\documentclass[12pt]{book}
\usepackage{tabularx,url}

%version 1.0,\ \   23.01.2013
%version 1.1,\ \   24.01.2013, s ispravleniyami iz LJR
%version 1.2,\ \   25.01.2013, ��������� ������ �����

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   25.01.2013}

\input{defs-lectures.tex}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{������ �����, ������ 1: �������������� ����� ������ �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

� ���� ������ � �������� �������, � ��� �������
������� ������ �����. �� ������������� � ������������
�������� ������� ����� ���������� � ��������� ������,
����� ������ �����. �������������� ���� ���. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������� ������ �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ � ��� ����������� �������� ������� ������
�����, � ��������� ������� �������. ������ ����� �������� �����
������ ������, �� ���� �� ������ ���������
�������������� ������� �����������,
��� ��������� ����� ��� ��������. �����������
�������� ������ ����� ������ ���� ������ ����������
� ����� ������������� � �� ����������������.

\�����������
����� $k$ -- ����.
{\�� �a�������� $k$} ���� ���� $K$, ���������� $k$;
��������� <<$K$ �������� ����������� $k$>> ������������
$[K:k]$. {\�� �������� ����������} ���� ����������
$[K:k]$ �����, ��� $K$ ������������ ��� ���������
������������ ��� $k$. {\�� �������} ��������� ����������
���� ����������� $K$ ��� ���������� ������������
��� $k$. ������� $K$ ���������� {\�� 
�������������� ��� $k$}, ���� �� ���������� �
�������� ���������� $[K':k]$, �� ���� ���������������� 
��������� ���� $K''$, ������������� ��� $k$.
{\�� �������������� ����������} ����
����� ���������� $[K:k]$, ��� ��� �������� $K$
����������� ��� $k$.
\��

\�����������
���� $k$ ���������� {\�� ������������� ���������},
���� ����� ��������� $P(t)\in k[t]$ �������������
������� ����� ������ � $k$. ���������� $[\bar k:k]$
���������� {\�� �������������� ���������� $k$},
���� $\bar k$ ������������� ��������, � ��� �������� $\bar k$
����������� ��� $k$.
\��

\������
�������� ������� ������� ����������, ��� ���� $\C$
����������� ����� ������������� ��������.
\��

\������
� ���� 4 �������������� ���� �������: ���� ��������������
� ���������� �������� ��������������� ������
����������� �����, ������, ���� ��������������, 
���������� ������� ������� � ����������� �����,
������, �������������, ���������� ����������
�������� � ��� ������� � ����������� ��������,
� ���������, ��������������, ����������, ���
����, ��� ����� ��������� �������� �������
����� ������, ����� ������������� ��������,
���� �������� ����� ���� ���������� ���������.
� ������� ������������� �������� �������
������� ������ ��?
\��

\������
���������� ��������� ���� ��������� $\C$,
�������������� ��� $\Q$. ��� ��������� ��������
����, ������� ������������ $\bar \Q$, � ����������
{\�� �������������� ���������� $\Q$}.
\��

\�������
����� $k$ -- ����. ����� �������������� ���������
$[\bar k:k]$ ����������, � ����������� � ���������
�� �����������. ����� ����, ����� ����������� $k$
������������ �� ������������ $\bar k$, ������������ $k$.
\��

\�����������
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
{\�� �����������} $K$ ���� ���������� �����������,
����������� �������� � ���������. {\�� �����������
$K$ ��� $k$} ���� ����������� $K$,
����������� ������������ �� $k\subset K$.
\��

\���������
������ ������������� $K$ ��� $k$ ������������
$\Aut_k(K)$. ��� ���� �� �������� ������� ������ �����.
\���

\�����������
����� ������ $G$ ��������� �� ��������� $S$.
��������� �����, ������� ����������� $G$, ������������ $S^G$.
����� $S$ -- ��������� ������������, ��� ��������� ����������
{\�� ������������ ����������� �������� $G$}.
\��

������� ��������� ������ ����� �������� ����������
�����. ���������� ����� ����� ���������� ����������
������ ��������. ��� ��������� �� ���. �����
�� ��������� ������������, � �������� �������������� 0.

\�������
����� $[K:k]$ -- �������� ���������� �����
�������������� 0. ����� ��������� �������
�����������.
\begin{description}
\item[(i)] ����� $G=\Aut_k K$. ����� $k= K^G$.
\item[(ii)] ����� $P(t)\in k[t]$ -- ������������ ������� ���
$k$, ������� ���� �� ���� ������ � $K$. ����� $P(t)$ �������� ��� $K$:
$P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$, ��� ��� $\alpha_i$ ����� � $K$.
\item[(iii)] ��������� ������������ $K\otimes_k K$ ��������� ������
����� ���������� ����� $K$.
\item[(iv)] ������� ������ $\Aut_k K$ ����� ������� ���������� $[K:k]$.
\end{description}
\��

\�����������
���� ����� ���� �� ���� �������, $[K:k]$ ����������
{\�� ����������� �����}. ������ $\Aut_kK$ � ����� ��������
���������� {\�� ������� �����}.
\��

\������� (�������� ������� ������ �����)\\
����� $[K:k]$ -- ���������� �����. ����� ����������
������� ����� ����������� � $\Aut_kK$ �
������������ $[K':k]$, �������� � $K$.
��� ������� �������� $G \mapsto K^G$.
��� ����, $[K^G:k]$ �������� ����������� �����
����� � ������ �����, ����� ��������� $G\subset \Aut_kK$
���������.
\��

������ ��������� �������� ������� ������ ����� - 
<<������� � ����������� ��������>>.

\�����������
����� $[K:k]$ -- �������� ����������.
������� $x\in K$ ���������� {\�� �����������},
���� �� ��������� ���� $K$, �� ���� ���� 
����������� ������� $K$, ���������� $x$, ����� $K$.
\��

\�������
(������� � ����������� ��������)\\
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
����� � $K$ ���������� ����������� �������.
\��

���������� ��� ������� �����, ���� ���� $k$ ����������.
�������, ��� $x\in K$ ����������, ���� �� �� �����
� ����������� ������� $K'\subsetneq K$. �� �����
�������� -- �������� �����, ������ ��� ������ �����
����� �������� ����� ��������, � ��� ��� ��������
�������������� ����������������� � $K$.

������, ������� � ����������� �������� (��� ������������
����) -- ��������� ���������� �������� �����������, �������
� ������� � �������� ����������.

\����������
����� $V$ -- ������������� ��������� ������������
��� ����������� �����, � $V_1, ..., V_n \subset V$ --
�������� ����� ����������� ������������� �������������.
����� ���������� $V \backslash \bigcup V_i$ �������.
\���


����������� ����������� ������ ����� ���������
(����������� - ������ ������) �� �������� �������.

��� ��������� �������� ������, ������� ������ �������
(���������� ������� �� ������ � ���������������).

\�������
����� $[K:k]$ -- ���������� ����� � ����������� �������
����� ������� $n$. �����������, ��� $k$ �������� ���
����� ������� $n$ �� 1, �� ���� ��� ��������� $x^n-1$
����������� � $K$ �� �������� ���������. 
����� $K=k[\sqrt[n]{a}]$: $K$ ����������
�� $k$ ����������� ����� $n$-� ������� �� $a$.
\��

\��������� 
����� ���������� ���������� {\�� ����������� �������}.
\���

\�����������
{\�� ����������} ������ $G$ ���� ��������� $[G,G]\subset G$, �����������
���������� ���� $xyx^{-1}y^{-1}$. {\�� ����������� ���}
������ $G_0$ ���� ��� ���� $G_0\supset G_1 \supset ...$,
��� $G_i=[G_{i-1}, G_{i-1}]$. {\�� ���������� ������} ���� 
������, ����������� ��� ������� ������������� �����������
������� $\{e\}$.
\��


\�����������
{\�� ���� ����������} ������������� 
���������� $P(t)\in k[t]$
������������� ������� ���� 
����������� ���������� $[K:k]$ �����,
��� ��������� $P(t)$ ����������� � $K$ 
�� �������� ���������.
\��

\���������
������������� ������ ���������� �� ����� ��������;
��� �� �����, ��� ����������, ����������� � ���������
�� �����������, � �������� ����������� �����. ��� ���
���� �����������, ������� ���� ����� ����������.
\���

\�����������
{\�� ������ �����} ������������� ���������� $P(t)\in k[t]$ ���� 
������ ����� ��� ���� ����������.
\��

\�����������
�������������� ��������� $P(t)=0$, $P(t)\in k[t]$, ����������
{\�� ���������� � ��������� ��� $k$}, ���� ��� ����� �������
� ���� $[K:k]$, ������� �������� �����������������
������������ $[K=K_0:K_1:K_2:...:K_{N-1}:K_N=k]$,
������ ������ $[K_i:K_{i+1}]$ ���� ���� ����������
��� ���������� $P(t)=t^n-a$.
\��

\���������
����� ������, ��������� ��������� � ���������,
���� ��� ������� ����� �������� ����� ��������������
�������� � �������� ������ �����.
\���

��������� ������� (���������� ������) ��������
����� �� ���������� ���������� �������.

\�������
����� $P(t)$ -- ������������ ������� ��� ����� $k$, 
� $G$ -- ��� ������ �����. ��������� $P(t)=0$ ���������
� ��������� ����� � ������ �����, ����� ������
����� ���������� $P(t)$ ���������.
\��

\���������
���������� ��������������
��������� ������� 5 ��� $\Q$,
������� �� ��������� � ���������.
\��

�������������, ����� ��� ��������� ������
����������� �������������� ������ $S_5$ � �������� ������
����� ���������� ��������� ������� 5;
� ��� ������ �� ���������; �������������� �����
���� ����� ������, �� ������ �����������.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

������ ����� ������ ���� ���������� �� ������ ��������,
��������� �� ���������.
���������� ����������� (����������) ������ ������ �����,
� ������� �������������� �������� ������� ������ �����
���������� ��� ��������� ���������� ���������� ���������������
�������, ������� ������������� � ���������� �����, � ��������.
������� ������ ����� � ���� �����, � ���� ������������
����� ������ �������������, ������� ����� �������� �
����������� ������. ����� �������, ������������ ��������
������ ������ ������� ������ ������ ����� ��� ��������.

��� �������������� ������������ � ���� ������� ��������������
�������������, �������� ������� �������� � �������� ������������.
��� �������, ������� ����� ��� ���������� �������� �����������
���������. �����, � ���� �������, ��� ������������ $M$ 
(������� ������ ����� ��������) ������.



\�����������
����� $M$, $\tilde M$ --- 
�������������� ������������, � $\pi:\; \tilde M \arrow M$
����������� �����������. $\pi$ ���������� {\�� ��������},
���� � ������ ����� $\tilde x\in \tilde M$ ���� �����������
$\tilde U \ni \tilde x$ �����, ��� 
\[ \pi\restrict {\tilde U}:\; \tilde U \arrow \pi(\tilde U) 
\]
��� ������������. 
��� ����������� ���������� {\�� ���������}, ����
� ������ ����� $x\in M$, ���� �����������
$U\ni x$ �����, ��� $\pi^{-1}(U)$ ����������� $U \times S$,
��� $S$ --- �������������� ������������ � ���������� ����������,
� ����������� $\pi\restrict{\pi^{-1}(U)}:\; \pi^{-1}(U)\arrow U$
��� ����� ����������� ��������� � ��������� $U \times
S\arrow U$. {\�� ����� ��������} ���������� 
$M$, � ��� {\�� �����} ��� ������ $x$ --- �������� 
$\pi^{-1}(x)$. �������� $M_1 \arrow M$ ������������
$[M_1:M]$.
\��


\���������
����� $U\subset X$ --- �������� ������������,
������� �� �������� ���������. ����������� ��������
$j:\; U \arrow X$ �������, �� �� �������� ��������� (���������).
\���


\������
����������� ���������� $S^1$ � ���������� ����� $\R / {2
\pi \Z}$. ������������ �������� $\R \arrow S^1$ ��������
��������� (��������). �������� $\R^n$ �� ��� $T^n = \R^n/\Z^n$
����� �������� ��������� (�������� ���). 
\��

\�����������
����� $G$ --- ������, ����������� �� ��������������
������������ $M$. ���������, ��� �������� $G$ {\�� ������ ��������},
���� � ������ ����� $x\in M$ ���� ����������� $U$ �����,
��� $U \cap gU= \emptyset$ ��� ������ $g\in G$ ������, ���
$g$ ��������� �� ������������ � ����������� $U$. 
\��

\������
�����  $G$ --- ������, ������ �������� ����������� ��
�������������� ������������ $M$.
�����  ��������
$M \stackrel \pi \arrow M/G$ �������� ���������.
\��

\�����������
{\�� ����������� ��������} $[M_1:M]$ ���� 
������������, ������������� � ��������� �� $M$.
\��

�� ��������� ���������� ��� ��������, �������
������������ � ������������: ��� ������������
� ��������� �����, ������� ����� �������� ���������������.


\�����������
����� $[M_1:M]$, $[M_2:M]$ 
-- �������� $M$. ���������� ����������� ������������
$M_1 \times_M M_2\subset M_1 \times M_2$, ���������
�� ���� $(x,y)\in  M_1 \times M_2$, 
������� ������������� � ���� � �� ��
����� $M$. ����� $M_1 \times_M M_2$
���������� {\�� ������������� ��������}.
\��


\��������� 
������������
$M_1 \times_M M_2$ �������� ��������� $M$.
\���

\�����������
����� $[M_1:M]$, $[M_2:M]$ 
-- �������� $M$. ��������� �����������
$M_1 \coprod M_2$ ���������� {\�� ��������� ������},
��� �� {\�� ���������������} ��������.
\�� 

����� ������, ��� ��������� ����� ������������� ������������
��������� ��������. 

\����������
����� $[M_1:M]$ -- ������� ��������. 
��������, ��� ��������� ������� �����������.
\begin{description}
\item[(i)] ������ ������������� �������� $[M_1:M]$ ���������
����������� �� ����� (�� ���� ���������� ����� $M$).
\item[(ii)] ������������ $M_1\times_M M_1$ ���������
(��� ��������) ��������� ����� ���������� ����� $M_1$.
\end{description}
\���

\�����������
��������, ��������������� ������-�� �� �������
����������� ����������, ���������� {\�� ��������� �����},
� ������ \\ $\Aut[M_1:M]$ -- ��� ������� �����, ��� �������
���������� (��-���������: <<deck transformation group>>).
\��

�������� ������� ������ ����� ��� �������� ������������� ���.

\�������
����� $[M_1:M]$ -- �������� �����,
� $G=\Aut[M_1:M]$ -- ��� ������ �����.
����� ���������� ������� ����� �����������
$G$ � ���������� $[M_1:M_2:M]$. ��� ����
������� ��������� $G'\subset G$ ������������� ��������
$M_1/G'$.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{������ ����� � ������� � ���������: �������������
��������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|}
\hline
{\bf ���������} & {\bf �������} \\[1mm]
\hline
������� �������� $[M_1:M]$ & ���������� ����� $[K:k]$
\\[1mm]
\hline
�������� $[M_1:M]$, ������� �� �����������
������ & �������, ���������� ������ ����� ����� $[K_i:k]$
\\[1mm]
\hline
��������� ����������� �������� & ������ ����� ������ 
\\[1mm]
\hline
������������ �������� & ��������� ������������ ������ 
\\[1mm]
\hline
�������� ����� & ���������� �����
\\[1mm]
\hline
������������� �������� & �������������� ���������
\\[1mm]
\hline
�������� ����� ���� ����� �������� $[M_1:M]$, ���
$M'\times_M M'= \coprod ^i M'$ & ���������� ����� ����
����� ���������� $[K:k]$, ��� $K\otimes_kK=\bigoplus^i K$ 
\\[1mm]
\hline
������ ������a $M_1/G$ �� ��������� $G\subset \Aut[M_1:M]$
������ ������������� $[M_1:M]$ & ������ ������������ �����������
$K^G$ ��������� $GH\subset \Aut[K:k]$ ������ ������������� $[K:k]$ 
\\[1mm]
\hline
\multicolumn{2}{|c|}
{\bf �������� ������� ������ �����} \\[1mm]\hline
$[M':M]$ -- �������� �����.
����� ������������� �������� $[M':M'':M]$
��������� ������������� ���������� �
$\Aut[M':M]$ &
$[K:k]$ -- ���������� �����.
����� ������������� ���������� $[K:K':k]$
��������� ������������� ���������� �
$\Aut[K:k]$ \\[1mm]\hline
��������� $G\subset \Aut[M':M]$ �������������
������� $M'/G$ &
��������� $G\subset \Aut[K:k]$ �������������
������������ ����������� $K^G$.
\\[1mm]
\hline
\end{tabularx}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{�������������� ���������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


��������������� ������ � ������ �����
(���������� � ���� ������� ������ ����� � ������ ����� ��������)
����������� � SGA1 (Rev\^etements \'etales et groupe fondamental,
S\'eminaire de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique 1),\footnote{\url{http://arxiv.org/abs/math/0206203}}
�� ���������� ���������� ����������
� ������ �����, ������� ���� ��� ����������.

\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck-hippie.png,width=0.85\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(���. 28 ����� 1928)}
\end{center}

��������� ���������� ����������� ����� ���������,
������� �� �������� <<��������� �����>>, � ����������,
��� � ������ ���� ������ ����� ���������� ��� �����������,
������� ������������ � ������� ������ ����� ���
������ ����� ��� ��������, � �������� ��������
������� ������ �����. ����� �� ����������, ���
��������� ����� ���� ��������� �������� � ���������
������; ��� ��������� ���� �������� ���������������
������ ��� ������ $\Aut[\bar k:k]$, ������ �� 
������ ��������������� ��������� �����.

� ��������� ����� SGA ���� �� ������ ����������
��� ����������� ��������������� ������ ������������
(� ���������, ��� �����������), ��������� �������������
�� ������������� �������; ��� ����� ����������
<<�������� �����������>>. � ������� <<��������
�����������>> ����� �������� � ��������������
���������� ������������ ��� ����� ��������
��������������, ���, ��������, ������ $\Z$.

 




\end{document}


