\documentclass[12pt]{book} \usepackage{tabularx,url} %version 1.0,\ \ 23.01.2013 %version 1.1,\ \ 24.01.2013, s ispravleniyami iz LJR %version 1.2,\ \ 25.01.2013, Львовский ошибку нашел \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 25.01.2013} \input{defs-lectures.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Теория Галуа, лекция 1: геометрический смысл теории Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% В этой лекции я расскажу вкратце, в чем состоит предмет теории Галуа. За определениями и разъяснением основных понятий лучше обращаться в следующие лекции, здесь только обзор. Доказательства тоже там. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Предмет теории Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Сейчас я дам определение основных понятий теории Галуа, и перечислю главные теоремы. Теория Галуа содержит много других теорем, но если вы хорошо понимаете доказательство главных утверждений, все остальное будет уже нетрудно. Результатом изучения теории Галуа должно быть тесное знакомство с этими утверждениями и их доказательствами. \определение Пусть $k$ -- поле. {\бф Рaсширение $k$} есть поле $K$, содержащее $k$; отношение <<$K$ является расширением $k$>> обозначается $[K:k]$. {\бф Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. Элемент $K$ называется {\бф алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \ео \определение Поле $k$ называется {\бф алгебраически замкнутым}, если любой многочлен $P(t)\in k[t]$ положительной степени имеет корень в $k$. Расширение $[\bar k:k]$ называется {\бф алгебраическим замыканием $k$}, если $\bar k$ алгебраически замкнуто, а все элементы $\bar k$ алгебраичны над $k$. \ео \пример Основная теорема алгебры утверждает, что поле $\C$ комплексных чисел алгебраически замкнуто. \еп \вопрос Я знаю 4 доказательства этой теоремы: одно топологическое и использует свойства фундаментальной группы проколотого диска, другое, тоже топологическое, использует теорему Брауэра о неподвижной точке, третье, аналитическое, использует разложение полинома в ряд Тэйлора в окрестности минимума, и четвертое, алгебраическое, утверждает, что поле, где любой многочлен нечетной степени имеет корень, можно алгебраически замкнуть, если добавить корни всех квадратных полиномов. А сколько доказательств основной теоремы алгебры знаете вы? \ев \пример Рассмотрим множество всех элементов $\C$, алгебраических над $\Q$. Это множество образует поле, которое обозначается $\bar \Q$, и называется {\бф алгебраическим замыканием $\Q$}. \еп \теорема Пусть $k$ -- поле. Тогда алгебраическое замыкание $[\bar k:k]$ существует, и единственно с точностью до изоморфизма. Более того, любой автоморфизм $k$ продолжается до автоморфизма $\bar k$, сохраняющего $k$. \ет \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение полей. {\бф Автоморфизм} $K$ есть биективное отображение, сохраняющее сложение и умножение. {\бф Автоморфизм $K$ над $k$} есть автоморфизм $K$, действующий тождественно на $k\subset K$. \ео \замечание Группа автоморфизмов $K$ над $k$ обозначается $\Aut_k(K)$. Это одно из основных понятий теории Галуа. \еза \определение Пусть группа $G$ действует на множестве $S$. Множество точек, которые сохраняются $G$, обозначается $S^G$. Когда $S$ -- векторное пространство, это множество называется {\бф пространство инвариантов действия $G$}. \ео Главным предметом теории Галуа являются расширения Галуа. Расширения Галуа можно определить множеством разных способов. Вот некоторые из них. Чтобы не усложнять формулировки, я потребую характеристики 0. \теорема Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей характеристики 0. Тогда следующие условия равносильны. \begin{description} \item[(i)] Пусть $G=\Aut_k K$. Тогда $k= K^G$. \item[(ii)] Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином над $k$, имеющий хотя бы один корень в $K$. Тогда $P(t)$ разложим над $K$: $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$, где все $\alpha_i$ лежат в $K$. \item[(iii)] Тензорное произведение $K\otimes_k K$ изоморфно прямой сумме нескольких копий $K$. \item[(iv)] Порядок группы $\Aut_k K$ равен степени расширения $[K:k]$. \end{description} \ет \определение Если верно одно из этих условий, $[K:k]$ называется {\бф расширением Галуа}. Группа $\Aut_kK$ в такой ситуации называется {\бф группой Галуа}. \ео \теорема (основная теорема теории Галуа)\\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда существует биекция между подгруппами в $\Aut_kK$ и расширениями $[K':k]$, лежащими в $K$. Эта биекция задается $G \mapsto K^G$. При этом, $[K^G:k]$ является расширением Галуа тогда и только тогда, когда подгруппа $G\subset \Aut_kK$ нормальна. \ет Важное следствие основной теоремы теории Галуа - <<теорема о примитивном элементе>>. \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. Элемент $x\in K$ называется {\бф примитивным}, если он порождает поле $K$, то есть если минимальное подполе $K$, содержащее $x$, равно $K$. \ео \теорема (теорема о примитивном элементе)\\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда в $K$ существует примитивный элемент. \ет Доказывать эту теорему проще, если поле $k$ бесконечно. Понятно, что $x\in K$ примитивен, если он не лежит в собственном подполе $K'\subsetneq K$. Но таких подполей -- конечное число, потому что группа Галуа имеет конечное число подгрупп, и они все являются конечномерными подпространствами в $K$. Значит, теорема о примитивном элементе (для бесконечного поля) -- следствие следующего простого утверждения, которое я оставлю в качестве упражнения. \упражнение Пусть $V$ -- конечномерное векторное пространство над бесконечным полем, а $V_1, ..., V_n \subset V$ -- конечный набор пространств положительной коразмерности. Тогда дополнение $V \backslash \bigcup V_i$ непусто. \еуп Большинство утверждений теории Галуа выводятся (обыкновенно - весьма просто) из основной теоремы. Вот несколько полезных теорем, которые хорошо освоить (желательно помнить их вместе с доказательством). \теорема Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа с циклической группой Галуа порядка $n$. Предположим, что $k$ содержит все корни степени $n$ из 1, то есть что многочлен $x^n-1$ разлагается в $K$ на линейные множители. Тогда $K=k[\sqrt[n]{a}]$: $K$ получается из $k$ добавлением корня $n$-й степени из $a$. \ет \замечание Такое расширение называется {\бф расширением Куммера}. \еза \определение {\бф Коммутатор} группы $G$ есть подгруппа $[G,G]\subset G$, порожденная элементами вида $xyx^{-1}y^{-1}$. {\бф Производный ряд} группы $G_0$ есть ряд вида $G_0\supset G_1 \supset ...$, где $G_i=[G_{i-1}, G_{i-1}]$. {\бф Разрешимая группа} есть группа, производный ряд который заканчивается тривиальной группой $\{e\}$. \ео \определение {\бф Поле разложения} неприводимого многочлена $P(t)\in k[t]$ положительной степени есть минимальное расширение $[K:k]$ такое, что многочлен $P(t)$ разлагается в $K$ на линейные множители. \ео \замечание Существование такого расширения не сразу очевидно; тем не менее, оно существует, единственно с точностью до изоморфизма, и является расширением Галуа. Это еще одно утверждение, которое надо уметь доказывать. \еза \определение {\бф Группа Галуа} неприводимого многочлена $P(t)\in k[t]$ есть группа Галуа его поля разложения. \ео \определение Полиномиальное уравнение $P(t)=0$, $P(t)\in k[t]$, называется {\бф разрешимым в радикалах над $k$}, если оно имеет решение в поле $[K:k]$, которое получено последовательными расширениями $[K=K_0:K_1:K_2:...:K_{N-1}:K_N=k]$, причем каждое $[K_i:K_{i+1}]$ есть поле разложения для многочлена $P(t)=t^n-a$. \ео \замечание Иначе говоря, уравнение разрешимо в радикалах, если его решение можно выразить через алгебраические операции и операцию взятие корня. \еза Следующая теорема (доказанная Абелем) является одним из величайших достижений алгебры. \теорема Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином над полем $k$, а $G$ -- его группа Галуа. Уравнение $P(t)=0$ разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа многочлена $P(t)$ разрешима. \ет \следствие Существует полиномиальное уравнение степени 5 над $\Q$, которое не разрешимо в радикалах. \ес Действительно, можно без особенных усилий реализовать симметрическую группу $S_5$ в качестве группы Галуа некоторого уравнения степени 5; а эта группа не разрешима; доказательство этого чуть менее просто, но весьма элементарно. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Накрытия Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Теория Галуа весьма мало отличается от теории накрытий, известной из топологии. Существует абстрактная (категорная) версия теории Галуа, в которой доказательство основной теоремы теории Галуа получается как следствие небольшого количества аксиоматических условий, которым удовлетворяют и расширения полей, и накрытия. Излагая теорию Галуа в этом курсе, я буду рассказывать такие версии доказательств, которые легко сводятся к абстрактной версии. Таким образом, внимательный читатель сможет заодно изучить основы теории Галуа для накрытий. Все топологические пространства в этом разделе предполагаются хаусдорфовыми, локально линейно связными и локально односвязными. Это условия, которые нужны для применения принципа накрывающей гомотопии. Также, я буду считать, что пространство $M$ (которое служит базой накрытий) связно. \определение Пусть $M$, $\tilde M$ --- топологические пространства, а $\pi:\; \tilde M \arrow M$ непрерывное отображение. $\pi$ называется {\бф этальным}, если у каждой точки $\tilde x\in \tilde M$ есть окрестность $\tilde U \ni \tilde x$ такая, что \[ \pi\restrict {\tilde U}:\; \tilde U \arrow \pi(\tilde U) \] это гомеоморфизм. Это отображение называется {\бф накрытием}, если у каждой точки $x\in M$, есть окрестность $U\ni x$ такая, что $\pi^{-1}(U)$ гомеоморфно $U \times S$, где $S$ --- топологическое пространство с дискретной топологией, а отображение $\pi\restrict{\pi^{-1}(U)}:\; \pi^{-1}(U)\arrow U$ при таком изоморфизме совпадает с проекцией $U \times S\arrow U$. {\бф Базой накрытия} называется $M$, а его {\бф слоем} над точкой $x$ --- прообраз $\pi^{-1}(x)$. Накрытие $M_1 \arrow M$ обозначается $[M_1:M]$. \ео \замечание Пусть $U\subset X$ --- открытое подмножество, которое не является замкнутым. Отображение вложения $j:\; U \arrow X$ этально, но не является накрытием (проверьте). \еза \пример Отождествим окружность $S^1$ с одномерным тором $\R / {2 \pi \Z}$. Естественная проекция $\R \arrow S^1$ является накрытием (докажите). Проекция $\R^n$ на тор $T^n = \R^n/\Z^n$ также является накрытием (докажите это). \еп \определение Пусть $G$ --- группа, действующая на топологическом пространстве $M$. Говорится, что действие $G$ {\бф вполне разрывно}, если у каждой точки $x\in M$ есть окрестность $U$ такая, что $U \cap gU= \emptyset$ для любого $g\in G$ такого, что $g$ действует не тождественно в окрестности $U$. \ео \пример Пусть $G$ --- группа, вполне разрывно действующая на топологическом пространстве $M$. Тогда проекция $M \stackrel \pi \arrow M/G$ является накрытием. \еп \определение {\бф Автоморфизм накрытия} $[M_1:M]$ есть гомеоморфизм, коммутирующий с проекцией на $M$. \ео На накрытиях определены две операции, которые коммутативны и ассоциативны: это произведение и несвязная сумма, которую также называют копроизведением. \определение Пусть $[M_1:M]$, $[M_2:M]$ -- накрытия $M$. Рассмотрим расслоенное произведение $M_1 \times_M M_2\subset M_1 \times M_2$, состоящее из всех $(x,y)\in M_1 \times M_2$, которые проектируются в одну и ту же точку $M$. Тогда $M_1 \times_M M_2$ называется {\бф произведением накрытий}. \ео \замечание Произведение $M_1 \times_M M_2$ является накрытием $M$. \еза \определение Пусть $[M_1:M]$, $[M_2:M]$ -- накрытия $M$. Несвязное объединение $M_1 \coprod M_2$ называется {\бф несвязной суммой}, или же {\бф копроизведением} накрытий. \ео Легко видеть, что несвязная сумма дистрибутивна относительно умножения накрытий. \упражнение Пусть $[M_1:M]$ -- связное накрытие. Докажите, что следующие условия равносильны. \begin{description} \item[(i)] Группа автоморфизмов накрытия $[M_1:M]$ действует транзитивно на слоях (то есть прообразах точек $M$). \item[(ii)] Произведение $M_1\times_M M_1$ изоморфно (как накрытие) несвязной сумме нескольких копий $M_1$. \end{description} \еуп \определение Накрытие, удовлетворяющее какому-то из условий предыдущего упражнение, называется {\бф накрытием Галуа}, а группа \\ $\Aut[M_1:M]$ -- его группой Галуа, или группой монодромии (по-английски: <>). \ео Основная теорема теории Галуа для накрытий формулируется так. \теорема Пусть $[M_1:M]$ -- накрытие Галуа, а $G=\Aut[M_1:M]$ -- его группа Галуа. Тогда существует биекция между подгруппами $G$ и накрытиями $[M_1:M_2:M]$. При этой биекции подгруппа $G'\subset G$ соответствует накрытию $M_1/G'$. \ет %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Теория Галуа в алгебре и геометрии: сравнительная табличка} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|} \hline {\bf Геометрия} & {\bf Алгебра} \\[1mm] \hline Связное накрытие $[M_1:M]$ & Расширение полей $[K:k]$ \\[1mm] \hline Накрытие $[M_1:M]$, которое не обязательно связно & Алгебра, изоморфная прямой сумме полей $[K_i:k]$ \\[1mm] \hline Несвязное объединение накрытий & Прямая сумма алгебр \\[1mm] \hline Произведение накрытий & Тензорное произведение алгебр \\[1mm] \hline Накрытие Галуа & Расширение Галуа \\[1mm] \hline Универсальное накрытие & Алгебраическое замыкание \\[1mm] \hline Накрытие Галуа есть такое накрытие $[M_1:M]$, что $M'\times_M M'= \coprod ^i M'$ & Расширение Галуа есть такое расширение $[K:k]$, что $K\otimes_kK=\bigoplus^i K$ \\[1mm] \hline Взятие факторa $M_1/G$ по подгруппе $G\subset \Aut[M_1:M]$ группы автоморфизмов $[M_1:M]$ & Взятие пространства инвариантов $K^G$ подгруппы $GH\subset \Aut[K:k]$ группы автоморфизмов $[K:k]$ \\[1mm] \hline \multicolumn{2}{|c|} {\bf Основная теорема теории Галуа} \\[1mm]\hline $[M':M]$ -- накрытие Галуа. Тогда промежуточные накрытия $[M':M'':M]$ биективно соответствуют подгруппам в $\Aut[M':M]$ & $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда промежуточные расширения $[K:K':k]$ биективно соответствуют подгруппам в $\Aut[K:k]$ \\[1mm]\hline подгруппа $G\subset \Aut[M':M]$ соответствует фактору $M'/G$ & подгруппа $G\subset \Aut[K:k]$ соответствует пространству инвариантов $K^G$. \\[1mm] \hline \end{tabularx} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Заключительные замечания} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Аксиоматический подход к теории Галуа (включающей в себя обычную теорию Галуа и теорию Галуа накрытий) опубликован в SGA1 (Rev\^etements \'etales et groupe fondamental, S\'eminaire de G\'eom\'etrie Alg\'ebrique 1),\footnote{\url{http://arxiv.org/abs/math/0206203}} за авторством Александра Гротендика и Мишель Рейно, которая была его студенткой. \begin{center} \epsfig{file=Grothendieck-hippie.png,width=0.85\linewidth}\\ {Alexander Grothendieck \\ (род. 28 марта 1928)} \end{center} Гротендик определяет специальный класс категорий, которые он называет <<категории Галуа>>, и доказывает, что в рамках этой теории можно определить все конструкции, которые определяются в обычной теории Галуа или теории Галуа для накрытий, и доказать основную теорему теории Галуа. Также он доказывает, что категория Галуа есть категория множеств с действием группы; это позволяет явно выписать фундаментальную группу или группу $\Aut[\bar k:k]$, исходя из данных соответствующей категории Галуа. В следующих томах SGA этот же подход применялся для определения гомотопического класса многообразия (в частности, его когомологий), пользуясь конструкциями из коммутативной алгебры; эта наука называется <<этальные когомологии>>. С помощью <<этальных когомологий>> можно говорить о топологическом устройстве многообразия над полем конечной характеристики, или, например, кольца $\Z$. \end{document}