

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left'_{{\phantom{'}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}
\def\Fr{\operatorname{\sf Fr}}
\def\Aut{\operatorname{\rm Aut}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Char{\operatorname{\sf char}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 8: циклические расширения и теорема Абеля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 15 марта, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\newpage


{\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)}

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}



\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}



\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.



\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа (повторение)}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.


%\newpage

%{\bf \blue Поля разложения}

\теорема
Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений.
Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
{\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.}


\теорема
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном
расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$.
{\бф \ред Тогда это расширение Галуа.}

\определение
Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$,
а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех
корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется
{\бф \блуе полем разложения  $P(t)$.}

\замечание
{\бф \пурпле В характеристике 0, поля разложения суть поля Галуа}
{\бф \ред (в характеристике $p$, не обязательно)}


\утверждение
Если $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$,
то {\бф \пурпле существует расширение $[K_1:K]$ такое, что 
$[K_1:k]$ -- расширение Галуа. }




\newpage

{\bf \blue Группа Галуа (повторение)}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.


\следствие
{\бф \пурпле Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.}

\следствие
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. 
Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$
на $K\otimes_k K$ автоморфизмами,
$\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$.
{\бф \пурпле Это действие транзитивно на компонентах
разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.}

\следствие
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, которое
примитивно: $K=k[t]/(P)$, где $P(t)\in k[t]$.
{\бф \ред Тогда $\Aut_k(K)$ действует транзитивно на корнях $P(t)$.}


\newpage

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа (повторение)}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы
Галуа. {\бф \пурпле Тогда $K^{G'}\neq k$.}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Aut_k(K)$. {\бф \пурпле Тогда $a\in k\subset K$.}


\теорема
{\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
соответствия 
{\бф \ред стрелки 
$G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ 
устанавливают биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.}


\невпаге

{\бф \блуе Примитивные расширения}

\определение
Расширение $[K:k]$ называется {\бф\блуе сепарабельным},
если форма следа на $K$ невырождена.

\упражнение
{\бф \ред Докажите, что следующие условия равносильны.}\\
\phantom{hu} (i) $[K:k]$ сепарабельно\\
\phantom{hu} (ii) $K\otimes_k K$ не содержит нильпотентов.\\
\phantom{hu} (iii) Для любого $x\in K$, минимальный многочлен
$P_x(t)\in k[t]$ не имеет кратных корней.

\теорема
{\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)} \\
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, причем $K$ бесконечно,
и выполнено одно из условий: (1) $\Char k=0$ (2)
$[K:k]$ -- подполе в расширении Галуа (3) $[K:k]$
сепарабельно.
{\бф \ред Тогда $[K:k]$  примитивно}, то есть порождено
одним элементом $x\in K$.

\замечание
Первые два утверждения были доказаны на прошлой лекции,
3-е оставлено в качестве упражнения.

\невпаге

{\бф \блуе Циклотомические расширения}

\определение
{\бф\блуе Циклотомическое расширение}
есть поле разложения для
многочлена $P(t):= \sum_{i=0}^{n-1} t^i$.

\замечание
$P(t)=\frac{t^n-1}{t-1}$, то есть {\бф \блуе циклотомическое
расширение получается добавлением всех корней степени $n$
из единицы.}

\утверждение
{\бф \ред Группа корней степени $n$ из единицы циклическая.}

\доказательство
Дословно то же самое, что для ${\Bbb F}_{p^n}$.
\ендпрооф

\определение
 $\epsilon\in \C$ называется {\бф \блуе примитивным корнем},
или же {\бф \блуе первообразным корнем} степени $n$ из единицы, если
$\epsilon$ порождает группу корней степени $n$.

\невпаге

{\бф \блуе Группа Галуа циклотомического расширения}

\утверждение
{\бф \ред Группа Галуа циклотомического расширения 
вложена в мультипликативную группу $(\Z/n)^*$} остатков, 
взаимно простых с $n$.

\дшаг
Пусть $\epsilon$ есть примитивный корень, а $\nu\in \Aut[K:\Q]$ --
элемент группы Галуа. Тогда $\nu$ переводит $\epsilon$ в какой-то
другой примитивный корень, то есть в $\epsilon^a$ для
$a$, взаимно простого с $n$. Значит, {\бф \пурпле 
группа Галуа циклотомическоро
расширения вложена в $(\Z/n)^*$, и она действует на корнях,
переводя корень $e$ в $e^a$.} 
\ендпрооф

\замечание
На самом деле группа Галуа $\Aut[K:\Q]$
изоморфна группе $(\Z/n)^*$, но доказать это 
довольно трудно.

\невпаге

{\бф \блуе Циклические расширения}


\определение
Расширение Галуа $[K:k]$
называется {\bf\блуе циклическим},
если его группа Галуа циклическая.

\утверждение
Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы,
а $[K:k]$ -- поле разложения многочлена $P(t)=t^n -a$,
где $a\neq b^l$ для любого $l|n$. Предположим, что
$\Char p$ не делит $n$. {\бф \ред Тогда  это расширение циклическое.}

\дшаг Это расширение Галуа, ибо {\бф \пурпле 
если $\Char p$ не делит $n$, то
$P(t)$ и $P'(t)$ взаимно просты,} а значит, у $P(t)$
нет кратных корней. 

{\бф \греен Шаг 2:} Eсли $\alpha$ есть корень $P(t)$,
можно написать $P(t)=\prod(t-\zeta_i\alpha)$, где $\{\zeta_i\}$ -- 
множество всех корней степени $n$ из 1. Значит,
$K$ получается из $k$ добавлением $\alpha$. 


\невпаге

{\бф \блуе Циклические расширения (окончание)}


{\бф \греен Шаг 3:} Если полином $P(t)$ приводим и раскладывается
в произведение $P(t)=Q_1(t)Q_2(t)$, мы имеем
$Q_i(t)=\prod(t-\zeta_j\alpha)$, где произведение берется 
по части корней. Значит, свободный член $Q_i$
имеет вид $\alpha^m\zeta$, где $\zeta\in k$ -- корень
из единицы. Применив алгоритм Евклида к соотношениям
$\alpha^m\in k$ и $\alpha^n \in k$, получим соотношение
вида $\alpha^l\in k$ для $l|n$. Значит, $P(t)$ неприводим.

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\zeta$ -- какой-то корень 
степени $n$ из 1. Рассмотрим автоморфизм $K=k[t]/(P)$,
переводящий $t$ в $\zeta t$. Группа, порожденная
такими автоморфизмами, изоморфна $\Z/n$. {\бф \пурпле Значит,
ее порядок равен степени $[K:k]$.} Поэтому
это вся группа Галуа.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Резольвента Лагранжа}


\теорема {\бф \блуе (теорема Куммера)}
Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы,
а $[K:k]$ -- циклическое расширение степени $n$. {\бф \ред Тогда 
$K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n -a$.}

\дшаг Для  конечного поля все уже доказано.
Будем доказывать для бесконечного. 


{\бф \греен Шаг 2:} 
Расширение Галуа всегда примитивно.
Пусть $\nu$ -- образующая группы $G:=\Aut_k(K)$, $\xi\in k$ --
примитивный корень из единицы степени $n$, 
а $a\in K$ -- примитивный элемент.
Напишем {\bf \блуе резольвенту Лагранжа}
$L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + 
\dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)$.
Тогда $\nu(L)= \xi L$.


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V\subset K$ -- $k$-векторное подпространство,
порожденное $a, \nu(a),$ $\nu^2(a), ...$ Число $G$-инвариантных
подпространств $V\subsetneq K$ конечно. Выбрав $a$ вне этих подпространств,
можно считать, что все $a, \nu(a), \nu^2(a), ...$ линейно
независимы над $k$, {\бф \пурпле а значит, $L\neq 0$.}



\невпаге

{\бф \блуе Резольвента Лагранжа (окончание)}

\утверждение
Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы,
а $[K:k]$ -- циклическое расширение степени $n$. {\бф \ред Тогда 
$K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n -a$.}



{\бф \греен Шаг 2:} 
Расширение Галуа всегда примитивно.
Пусть $\nu$ -- образующая группы $G:=\Aut_k(K)$, $\xi\in k$ --
примитивный корень из единицы степени $n$, 
а $a\in K$ -- примитивный элемент.
Напишем {\bf \блуе резольвенту Лагранжа}
$L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + 
\dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)$.
Тогда $\nu(L)= \xi L$.


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V\subset K$ -- $k$-векторное подпространство,
порожденное $a, \nu(a),$ $\nu^2(a), ...$ Число $G$-инвариантных
подпространств $V\subsetneq K$ конечно. Выбрав $a$ вне этих подпространств,
можно считать, что все $a, \nu(a), \nu^2(a), ...$ линейно
независимы над $k$, {\бф \пурпле а значит, $L\neq 0$.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Тот же аргумент показывает, что {\бф \пурпле можно выбрать $a$
таким образом, что $L$ тоже примитивно.}

{\бф \греен Шаг 5:} $\prod\limits_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$,
но $L^n$ инвариантно относительно $\Aut_k(K)$, а значит, лежит
в $k$. {\bf \ред Мы получаем, что $K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n-L^n$.}
\ендпрооф

\newpage

{\бф\блуе Расширения Галуа и корни}


\теорема
Пусть $[K:k]$ -- конечное, сепарабельное, примитивное расширение.
Тогда следующие условия равносильны.\\
\phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K:k]$ -- расширение Галуа.}\\
\phantom{hu} (ii) {\бф \ред Для любого $x\in K$, все корни
его минимального многочлена $P_x(t)\in k[t]$ содержатся в $K$}.

\дшаг
{\бф \пурпле Импликация (ii) $\Rightarrow$ (i) следует из теоремы о
примитивном элементе,} ибо $K=k[x]$ есть поле разложения
многочлена $P_x(t)\in k[t]$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $K$ -- расширение Галуа, 
$x\in K$, а $K':=k[x]$ -- порожденное им подполе. 
Тогда $K'\otimes_k K$ есть
подкольцо в $K\otimes_k K=\bigoplus K$. Поскольку
$K'\otimes_k K$ линейно относительно умножения на $K$
справа, {\бф \пурпле $K'\otimes_k K$ -- тоже прямая сумма 
нескольких копий $K$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $K' = k[t]/(P_x)$, 
$K'\otimes_k K= K[t]/(P_x)$, а {\бф \пурпле коль скоро все слагаемые
$K[t]/(P_x)$ одномерны над $K$, многочлен $P_x(t)$
разлагается на линейные множители в $K[t]$.} Это доказывает
импликацию (i) $\Rightarrow$ (ii). \ендпрооф

\newpage


{\бф\блуе Группа Галуа и корни}

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, $x\in K$, a 
$P_x(t)\in k[t]$ его минимальный многочлен.
{\бф \ред Тогда группа Галуа $\Aut_k(K)$ действует
транзитивно на корнях $P_x(t)$.}

\доказательство
Все коэффициенты 
многочлена $\prod_{\in \in \Aut_k(K)}(t-\nu(x)$ $\Aut_k(K)$-инвариантны,
значит, лежат в $k$. Поэтому этот многочлен делится на $P_x(t)$.
\ендпрооф

\newpage


{\бф\блуе Последовательности расширений Галуа}

\теорема
Пусть $[K:K':k]$ конечные расширения,
причем $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Тогда следующие условия равносильны.\\
\phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K':k]$ -- расширение Галуа.}\\
\phantom{hu} (ii) Группа Галуа 
{\бф \ред $\Aut_{K'}(K)$ -- нормальная подгруппа в $\Aut_k(K)$.}\\ 
\phantom{hu} (iii) 
{\бф \ред Действие $\Aut_{k}(K)$ сохраняет $K'\subset K$.}\\
В этой ситуации, $\Aut_k(K')=\Aut_{k}(K)/\Aut_{K'}(K)$.

\дшаг
Подполя в $K\supset K''\supset k$ 
находятся в биективном соответствии с 
подгруппами в $\Aut_k(K)$. 
Группа Галуа $G:=\Aut_k(K)$ переставляет подгруппы
$G$, действуя на них сопряжениями. {\бф \пурпле Нормальные
подгруппы суть такие, которые неподвижны при действии
$G$.} Поэтому соответствующие поля -- тоже неподвижны
(при действии $G$ на $K$). Это доказывает равносильность
(ii) и (iii).


\newpage


{\бф\блуе Последовательности расширений Галуа (окончание)}

\теорема
Пусть $[K:K':k]$ конечные расширения,
причем $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Тогда следующие условия равносильны.\\
\phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K':k]$ -- расширение Галуа.}\\
\phantom{hu} (ii) Группа Галуа 
{\бф \ред $\Aut_{K'}(K)$ -- нормальная подгруппа в $\Aut_k(K)$.}\\ 
\phantom{hu} (iii) 
{\бф \ред Действие $\Aut_{k}(K)$ сохраняет $K'\subset K$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $x\in K'$ -- какой-то элемент, а 
$P_x(t)\in k[t]$ -- его минимальный полином. В силу предыдущей теоремы,
$K'$ есть расширение Галуа тогда и только тогда, когда $P_x(t)$
разложим в $K'$, причем в этом случае $G$ действует на его
корнях транзитивно. {\бф \пурпле Группа Галуа $G$
переставляет корни многочлена $P_x(t)$, действуя на них
транзитивно.} Значит, если $G$ сохраняет $K'$,
все корни $P_x(t)$ лежат в $K'$. Это доказывает 
импликацию (iii) $\Rightarrow$ (i). 

{\бф \греен Шаг 3:} Если же $[K':k]$ -- расширение Галуа,
то {\бф \пурпле $G$ сохраняет $K'$, потому что она переставляет корни
многочленов $P(t)\in k[t]$,} а для каждого корня $P(t)$,
содержащегося в $K'$, все остальные тоже там содержатся.

{\бф \греен Шаг 4:} Изоморфизм
$\Aut_k(K')=\Aut_{k}(K)/\Aut_{K'}(K)$ следует из того, что
$\Aut_{k}(K)$ действует на $K'$ автоморфизмами, без
инвариантов, а ядро отображения $\Aut_{k}(K)\arrow \Aut_k(K')$
есть $\Aut_{K'}(K)$. \ендпрооф


\newpage


{\бф\блуе Разрешимые группы}

\определение
Группа $G$ называется {\бф\блуе разрешимой},
если содержит цепочку нормальных 
подгрупп $G=G_0\supset G_1 \supset ... \supset G_n=\{e\}$,
причем каждая из факторгрупп коммутативна.

\утверждение
Пусть 
расширение Галуа $[K:k]$ содержит цепочку
подполей $K=K_1\supset K_2\supset ... \supset K_n =k$
со следующими свойствами: \\
\phantom{hu} (i) Для всех $i$, $[K_i:k]$ -- расширение Галуа.\\
\phantom{hu} (ii) Группа Галуа $\Aut_{K_{i+1}}(K_i)$ абелева.\\
{\бф \ред Тогда группа Галуа $[K:k]$ разрешима.} Обратное тоже верно:
{\бф \ред каждое расширение с разрешимой группой Галуа может быть
получено таким образом.}

\доказательство Сразу следует из предыдущей теоремы.
\ендпрооф



\newpage


{\бф\блуе Теорема Абеля}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Абеля)}\\
Пусть поле $k$ содержит все корни из 1, 
а расширение Галуа $[K:k]$ содержит цепочку
подполей $K=K_1\supset K_2\supset ... \supset K_n =k$
со следующими свойствами: \\
\phantom{hu} (i) Для всех $i$, $[K_i:k]$ -- расширение Галуа.\\
\phantom{hu} (ii) Расширение $[K_i:K_{i-1}]$ получено добавлением
корней многочлена $P(t)=t^{n_i}-a_i$.\\
{\бф \ред Тогда группа Галуа $\Aut_k(K)$ разрешима. }
Обратное тоже верно: {\бф \ред любое расширение Галуа $[K:k]$
с разрешимой группой Галуа может быть получено таким образом.}

\доказательство
Разрешимость $\Aut_k(K)$ следует из предыдущего утверждения, и вычисления
группы Галуа для циклического расширения. Обратное
утверждение следует из теоремы Куммера, утверждающей,
что каждое циклическое расширение получено добавлением
корней многочлена $P(t)=t^{n_i}-a_i$.
\ендпрооф



\следствие
{\бф \блуе (теорема Абеля)}\\
{\бф \ред Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда
и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.}


\невпаге

{\бф \блуе Экзамены, сессия}


В следующую пятницу (22.03.2013), будет коллоквиум
в виде устной контрольной. 
Письменная контрольная (тоже задачи) будет 29.03.2013,
с 12:00 до 15:30. 

Вместе с решениями,
29 марта студенты {\бф \ред должны сдать копии своих ведомостей,} 
с отметками о том, {\бф \ред сколько баллов им причитается за 
каждый листочек}, и
кратким объяснением, почему именно столько. Показ работ
и окончательная расстановка оценок -- среда, 3-го апреля
(первая половина дня).

Студенты, которые не сдадут свои ведомости 29-го, ничего за 
листочки не получат (или получат, но не сразу и без удовольствия).

{\бф \пурпле Окончательная оценка вычисляется по формуле $F=0.1B$,
где $B$ есть сумма баллов за все (округление вниз).}


\невпаге

\centerline{\epsfig{file=galois-stamp.jpg, width=.9\linewidth}}




\end{document}


