\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left'_{{\phantom{'}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \def\Fr{\operatorname{\sf Fr}} \def\Aut{\operatorname{\rm Aut}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Char{\operatorname{\sf char}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 8: циклические расширения и теорема Абеля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 15 марта, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)} \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \newpage {\bf \blue Расширения Галуа (повторение)} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. %\newpage %{\bf \blue Поля разложения} \теорема Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений. Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.} \теорема Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$. {\бф \ред Тогда это расширение Галуа.} \определение Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$, а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется {\бф \блуе полем разложения $P(t)$.} \замечание {\бф \пурпле В характеристике 0, поля разложения суть поля Галуа} {\бф \ред (в характеристике $p$, не обязательно)} \утверждение Если $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$, то {\бф \пурпле существует расширение $[K_1:K]$ такое, что $[K_1:k]$ -- расширение Галуа. } \newpage {\bf \blue Группа Галуа (повторение)} \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$. \следствие {\бф \пурпле Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.} \следствие Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$ на $K\otimes_k K$ автоморфизмами, $\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$. {\бф \пурпле Это действие транзитивно на компонентах разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.} \следствие Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, которое примитивно: $K=k[t]/(P)$, где $P(t)\in k[t]$. {\бф \ред Тогда $\Aut_k(K)$ действует транзитивно на корнях $P(t)$.} \newpage {\bf \blue Основная теорема теории Галуа (повторение)} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы Галуа. {\бф \пурпле Тогда $K^{G'}\neq k$.} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Aut_k(K)$. {\бф \пурпле Тогда $a\in k\subset K$.} \теорема {\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда соответствия {\бф \ред стрелки $G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ устанавливают биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$.} \невпаге {\бф \блуе Примитивные расширения} \определение Расширение $[K:k]$ называется {\бф\блуе сепарабельным}, если форма следа на $K$ невырождена. \упражнение {\бф \ред Докажите, что следующие условия равносильны.}\\ \phantom{hu} (i) $[K:k]$ сепарабельно\\ \phantom{hu} (ii) $K\otimes_k K$ не содержит нильпотентов.\\ \phantom{hu} (iii) Для любого $x\in K$, минимальный многочлен $P_x(t)\in k[t]$ не имеет кратных корней. \теорема {\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)} \\ Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, причем $K$ бесконечно, и выполнено одно из условий: (1) $\Char k=0$ (2) $[K:k]$ -- подполе в расширении Галуа (3) $[K:k]$ сепарабельно. {\бф \ред Тогда $[K:k]$ примитивно}, то есть порождено одним элементом $x\in K$. \замечание Первые два утверждения были доказаны на прошлой лекции, 3-е оставлено в качестве упражнения. \невпаге {\бф \блуе Циклотомические расширения} \определение {\бф\блуе Циклотомическое расширение} есть поле разложения для многочлена $P(t):= \sum_{i=0}^{n-1} t^i$. \замечание $P(t)=\frac{t^n-1}{t-1}$, то есть {\бф \блуе циклотомическое расширение получается добавлением всех корней степени $n$ из единицы.} \утверждение {\бф \ред Группа корней степени $n$ из единицы циклическая.} \доказательство Дословно то же самое, что для ${\Bbb F}_{p^n}$. \ендпрооф \определение $\epsilon\in \C$ называется {\бф \блуе примитивным корнем}, или же {\бф \блуе первообразным корнем} степени $n$ из единицы, если $\epsilon$ порождает группу корней степени $n$. \невпаге {\бф \блуе Группа Галуа циклотомического расширения} \утверждение {\бф \ред Группа Галуа циклотомического расширения вложена в мультипликативную группу $(\Z/n)^*$} остатков, взаимно простых с $n$. \дшаг Пусть $\epsilon$ есть примитивный корень, а $\nu\in \Aut[K:\Q]$ -- элемент группы Галуа. Тогда $\nu$ переводит $\epsilon$ в какой-то другой примитивный корень, то есть в $\epsilon^a$ для $a$, взаимно простого с $n$. Значит, {\бф \пурпле группа Галуа циклотомическоро расширения вложена в $(\Z/n)^*$, и она действует на корнях, переводя корень $e$ в $e^a$.} \ендпрооф \замечание На самом деле группа Галуа $\Aut[K:\Q]$ изоморфна группе $(\Z/n)^*$, но доказать это довольно трудно. \невпаге {\бф \блуе Циклические расширения} \определение Расширение Галуа $[K:k]$ называется {\bf\блуе циклическим}, если его группа Галуа циклическая. \утверждение Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы, а $[K:k]$ -- поле разложения многочлена $P(t)=t^n -a$, где $a\neq b^l$ для любого $l|n$. Предположим, что $\Char p$ не делит $n$. {\бф \ред Тогда это расширение циклическое.} \дшаг Это расширение Галуа, ибо {\бф \пурпле если $\Char p$ не делит $n$, то $P(t)$ и $P'(t)$ взаимно просты,} а значит, у $P(t)$ нет кратных корней. {\бф \греен Шаг 2:} Eсли $\alpha$ есть корень $P(t)$, можно написать $P(t)=\prod(t-\zeta_i\alpha)$, где $\{\zeta_i\}$ -- множество всех корней степени $n$ из 1. Значит, $K$ получается из $k$ добавлением $\alpha$. \невпаге {\бф \блуе Циклические расширения (окончание)} {\бф \греен Шаг 3:} Если полином $P(t)$ приводим и раскладывается в произведение $P(t)=Q_1(t)Q_2(t)$, мы имеем $Q_i(t)=\prod(t-\zeta_j\alpha)$, где произведение берется по части корней. Значит, свободный член $Q_i$ имеет вид $\alpha^m\zeta$, где $\zeta\in k$ -- корень из единицы. Применив алгоритм Евклида к соотношениям $\alpha^m\in k$ и $\alpha^n \in k$, получим соотношение вида $\alpha^l\in k$ для $l|n$. Значит, $P(t)$ неприводим. {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\zeta$ -- какой-то корень степени $n$ из 1. Рассмотрим автоморфизм $K=k[t]/(P)$, переводящий $t$ в $\zeta t$. Группа, порожденная такими автоморфизмами, изоморфна $\Z/n$. {\бф \пурпле Значит, ее порядок равен степени $[K:k]$.} Поэтому это вся группа Галуа. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Резольвента Лагранжа} \теорема {\бф \блуе (теорема Куммера)} Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы, а $[K:k]$ -- циклическое расширение степени $n$. {\бф \ред Тогда $K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n -a$.} \дшаг Для конечного поля все уже доказано. Будем доказывать для бесконечного. {\бф \греен Шаг 2:} Расширение Галуа всегда примитивно. Пусть $\nu$ -- образующая группы $G:=\Aut_k(K)$, $\xi\in k$ -- примитивный корень из единицы степени $n$, а $a\in K$ -- примитивный элемент. Напишем {\bf \блуе резольвенту Лагранжа} $L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)$. Тогда $\nu(L)= \xi L$. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V\subset K$ -- $k$-векторное подпространство, порожденное $a, \nu(a),$ $\nu^2(a), ...$ Число $G$-инвариантных подпространств $V\subsetneq K$ конечно. Выбрав $a$ вне этих подпространств, можно считать, что все $a, \nu(a), \nu^2(a), ...$ линейно независимы над $k$, {\бф \пурпле а значит, $L\neq 0$.} \невпаге {\бф \блуе Резольвента Лагранжа (окончание)} \утверждение Пусть поле $k$ содержит все корни степени $n$ из единицы, а $[K:k]$ -- циклическое расширение степени $n$. {\бф \ред Тогда $K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n -a$.} {\бф \греен Шаг 2:} Расширение Галуа всегда примитивно. Пусть $\nu$ -- образующая группы $G:=\Aut_k(K)$, $\xi\in k$ -- примитивный корень из единицы степени $n$, а $a\in K$ -- примитивный элемент. Напишем {\bf \блуе резольвенту Лагранжа} $L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)$. Тогда $\nu(L)= \xi L$. {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $V\subset K$ -- $k$-векторное подпространство, порожденное $a, \nu(a),$ $\nu^2(a), ...$ Число $G$-инвариантных подпространств $V\subsetneq K$ конечно. Выбрав $a$ вне этих подпространств, можно считать, что все $a, \nu(a), \nu^2(a), ...$ линейно независимы над $k$, {\бф \пурпле а значит, $L\neq 0$.} {\бф \греен Шаг 4:} Тот же аргумент показывает, что {\бф \пурпле можно выбрать $a$ таким образом, что $L$ тоже примитивно.} {\бф \греен Шаг 5:} $\prod\limits_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$, но $L^n$ инвариантно относительно $\Aut_k(K)$, а значит, лежит в $k$. {\bf \ред Мы получаем, что $K=k[t]/(P)$, где $P(t)=t^n-L^n$.} \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Расширения Галуа и корни} \теорема Пусть $[K:k]$ -- конечное, сепарабельное, примитивное расширение. Тогда следующие условия равносильны.\\ \phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K:k]$ -- расширение Галуа.}\\ \phantom{hu} (ii) {\бф \ред Для любого $x\in K$, все корни его минимального многочлена $P_x(t)\in k[t]$ содержатся в $K$}. \дшаг {\бф \пурпле Импликация (ii) $\Rightarrow$ (i) следует из теоремы о примитивном элементе,} ибо $K=k[x]$ есть поле разложения многочлена $P_x(t)\in k[t]$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $K$ -- расширение Галуа, $x\in K$, а $K':=k[x]$ -- порожденное им подполе. Тогда $K'\otimes_k K$ есть подкольцо в $K\otimes_k K=\bigoplus K$. Поскольку $K'\otimes_k K$ линейно относительно умножения на $K$ справа, {\бф \пурпле $K'\otimes_k K$ -- тоже прямая сумма нескольких копий $K$.} {\бф \греен Шаг 3:} Поскольку $K' = k[t]/(P_x)$, $K'\otimes_k K= K[t]/(P_x)$, а {\бф \пурпле коль скоро все слагаемые $K[t]/(P_x)$ одномерны над $K$, многочлен $P_x(t)$ разлагается на линейные множители в $K[t]$.} Это доказывает импликацию (i) $\Rightarrow$ (ii). \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Группа Галуа и корни} \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, $x\in K$, a $P_x(t)\in k[t]$ его минимальный многочлен. {\бф \ред Тогда группа Галуа $\Aut_k(K)$ действует транзитивно на корнях $P_x(t)$.} \доказательство Все коэффициенты многочлена $\prod_{\in \in \Aut_k(K)}(t-\nu(x)$ $\Aut_k(K)$-инвариантны, значит, лежат в $k$. Поэтому этот многочлен делится на $P_x(t)$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Последовательности расширений Галуа} \теорема Пусть $[K:K':k]$ конечные расширения, причем $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда следующие условия равносильны.\\ \phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K':k]$ -- расширение Галуа.}\\ \phantom{hu} (ii) Группа Галуа {\бф \ред $\Aut_{K'}(K)$ -- нормальная подгруппа в $\Aut_k(K)$.}\\ \phantom{hu} (iii) {\бф \ред Действие $\Aut_{k}(K)$ сохраняет $K'\subset K$.}\\ В этой ситуации, $\Aut_k(K')=\Aut_{k}(K)/\Aut_{K'}(K)$. \дшаг Подполя в $K\supset K''\supset k$ находятся в биективном соответствии с подгруппами в $\Aut_k(K)$. Группа Галуа $G:=\Aut_k(K)$ переставляет подгруппы $G$, действуя на них сопряжениями. {\бф \пурпле Нормальные подгруппы суть такие, которые неподвижны при действии $G$.} Поэтому соответствующие поля -- тоже неподвижны (при действии $G$ на $K$). Это доказывает равносильность (ii) и (iii). \newpage {\бф\блуе Последовательности расширений Галуа (окончание)} \теорема Пусть $[K:K':k]$ конечные расширения, причем $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда следующие условия равносильны.\\ \phantom{hu} (i) {\бф \ред $[K':k]$ -- расширение Галуа.}\\ \phantom{hu} (ii) Группа Галуа {\бф \ред $\Aut_{K'}(K)$ -- нормальная подгруппа в $\Aut_k(K)$.}\\ \phantom{hu} (iii) {\бф \ред Действие $\Aut_{k}(K)$ сохраняет $K'\subset K$.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $x\in K'$ -- какой-то элемент, а $P_x(t)\in k[t]$ -- его минимальный полином. В силу предыдущей теоремы, $K'$ есть расширение Галуа тогда и только тогда, когда $P_x(t)$ разложим в $K'$, причем в этом случае $G$ действует на его корнях транзитивно. {\бф \пурпле Группа Галуа $G$ переставляет корни многочлена $P_x(t)$, действуя на них транзитивно.} Значит, если $G$ сохраняет $K'$, все корни $P_x(t)$ лежат в $K'$. Это доказывает импликацию (iii) $\Rightarrow$ (i). {\бф \греен Шаг 3:} Если же $[K':k]$ -- расширение Галуа, то {\бф \пурпле $G$ сохраняет $K'$, потому что она переставляет корни многочленов $P(t)\in k[t]$,} а для каждого корня $P(t)$, содержащегося в $K'$, все остальные тоже там содержатся. {\бф \греен Шаг 4:} Изоморфизм $\Aut_k(K')=\Aut_{k}(K)/\Aut_{K'}(K)$ следует из того, что $\Aut_{k}(K)$ действует на $K'$ автоморфизмами, без инвариантов, а ядро отображения $\Aut_{k}(K)\arrow \Aut_k(K')$ есть $\Aut_{K'}(K)$. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Разрешимые группы} \определение Группа $G$ называется {\бф\блуе разрешимой}, если содержит цепочку нормальных подгрупп $G=G_0\supset G_1 \supset ... \supset G_n=\{e\}$, причем каждая из факторгрупп коммутативна. \утверждение Пусть расширение Галуа $[K:k]$ содержит цепочку подполей $K=K_1\supset K_2\supset ... \supset K_n =k$ со следующими свойствами: \\ \phantom{hu} (i) Для всех $i$, $[K_i:k]$ -- расширение Галуа.\\ \phantom{hu} (ii) Группа Галуа $\Aut_{K_{i+1}}(K_i)$ абелева.\\ {\бф \ред Тогда группа Галуа $[K:k]$ разрешима.} Обратное тоже верно: {\бф \ред каждое расширение с разрешимой группой Галуа может быть получено таким образом.} \доказательство Сразу следует из предыдущей теоремы. \ендпрооф \newpage {\бф\блуе Теорема Абеля} \теорема {\бф \блуе (теорема Абеля)}\\ Пусть поле $k$ содержит все корни из 1, а расширение Галуа $[K:k]$ содержит цепочку подполей $K=K_1\supset K_2\supset ... \supset K_n =k$ со следующими свойствами: \\ \phantom{hu} (i) Для всех $i$, $[K_i:k]$ -- расширение Галуа.\\ \phantom{hu} (ii) Расширение $[K_i:K_{i-1}]$ получено добавлением корней многочлена $P(t)=t^{n_i}-a_i$.\\ {\бф \ред Тогда группа Галуа $\Aut_k(K)$ разрешима. } Обратное тоже верно: {\бф \ред любое расширение Галуа $[K:k]$ с разрешимой группой Галуа может быть получено таким образом.} \доказательство Разрешимость $\Aut_k(K)$ следует из предыдущего утверждения, и вычисления группы Галуа для циклического расширения. Обратное утверждение следует из теоремы Куммера, утверждающей, что каждое циклическое расширение получено добавлением корней многочлена $P(t)=t^{n_i}-a_i$. \ендпрооф \следствие {\бф \блуе (теорема Абеля)}\\ {\бф \ред Полиномиальное уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.} \невпаге {\бф \блуе Экзамены, сессия} В следующую пятницу (22.03.2013), будет коллоквиум в виде устной контрольной. Письменная контрольная (тоже задачи) будет 29.03.2013, с 12:00 до 15:30. Вместе с решениями, 29 марта студенты {\бф \ред должны сдать копии своих ведомостей,} с отметками о том, {\бф \ред сколько баллов им причитается за каждый листочек}, и кратким объяснением, почему именно столько. Показ работ и окончательная расстановка оценок -- среда, 3-го апреля (первая половина дня). Студенты, которые не сдадут свои ведомости 29-го, ничего за листочки не получат (или получат, но не сразу и без удовольствия). {\бф \пурпле Окончательная оценка вычисляется по формуле $F=0.1B$, где $B$ есть сумма баллов за все (округление вниз).} \невпаге \centerline{\epsfig{file=galois-stamp.jpg, width=.9\linewidth}} \end{document}