\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left'_{{\phantom{'}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \def\Fr{\operatorname{\sf Fr}} \def\Aut{\operatorname{\rm Aut}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Char{\operatorname{\sf char}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 7:\\[2mm] группы Галуа конечных полей\\[7mm] и другие применения основной теоремы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 1 марта, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)} \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \newpage {\bf \blue Расширения Галуа (повторение)} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. %\newpage %{\bf \blue Поля разложения} \теорема Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений. Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.} \теорема Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$. {\бф \ред Тогда это расширение Галуа.} \определение Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$, а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется {\бф \блуе полем разложения $P(t)$.} \замечание {\бф \пурпле В характеристике 0, поля разложения суть поля Галуа} {\бф \ред (в характеристике $p$, не обязательно)} \утверждение Если $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$, то {\бф \пурпле существует расширение $[K_1:K]$ такое, что $[K_1:k]$ -- расширение Галуа. } \newpage {\bf \blue Группа Галуа (повторение)} \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$. \следствие {\бф \пурпле Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.} \следствие Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$ на $K\otimes_k K$ автоморфизмами, $\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$. {\бф \пурпле Это действие транзитивно на компонентах разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.} \newpage {\bf \blue Основная теорема теории Галуа (повторение)} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы Галуа. {\бф \пурпле Тогда $K^{G'}\neq k$.} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Aut_k(K)$. {\бф \пурпле Тогда $a\in k\subset K$.} \замечание {\бф \блуе (осталось с прошлой лекции)}\\ Пусть группа $G$ действует на векторном пространстве $V$. \\ {\бф \пурпле Тогда $(V\otimes_k V)^{G\times G}= V^G\otimes_k V^G$.} {\бф \ред Докажите это!} \теорема {\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда соответствия {\бф \ред стрелки $G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ устанавливают биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$.} \newpage {\bf \blue Теорема о примитивном элементе} \теорема {\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)} \\ Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, причем $K$ бесконечно, и выполнено одно из условий: (1) $\Char k=0$ (2) $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\бф \ред Тогда $[K:k]$ примитивно}, то есть порождено одним элементом $x\in K$. \дшаг Заменим $[K:k]$ на расширение Галуа $[K_1:k]$, содержащее $K$. В силу основной теоремы теории Галуа, {\бф \пурпле существует не более чем конечное число промежуточных полей $K\supsetneq K'\supsetneq k$.} Обозначим за $Z$ объединение всех этих подполей. {\бф \греен Шаг 2:} Элемент $x$ примитивен тогда и только тогда, когда $x\notin Z$. Значит, {\бф \пурпле теорема о примитивном элементе вытекает из следующей леммы.} \лемма Пусть $V$ -- векторное пространство над бесконечным полем, а $Z$ -- конечное объединение подпространств $W_i\subsetneq V$, $i=1, ..., N$. {\бф \ред Тогда $V \backslash Z$ непусто.} \упражнение {\бф \пурпле Докажите это самостоятельно!} \newpage {\bf \blue Теорема о примитивном элементе (окончание)} \лемма Пусть $V$ -- векторное пространство над бесконечным полем $k$, а $Z$ -- конечное объединение подпространств $W_i\subsetneq V$, $i=1, ..., N$. {\бф \ред Тогда $V \backslash Z$ непусто.} \дшаг Без ограничения общности, можно считать все $W_i$ гиперплоскостями, которые пересекаются трансверсально. Применив индукцию по размерности $V$, {\бф \пурпле найдем точку $w\in W_0$, которая не принадлежит объединению $\bigcup_{j\neq 0} W_j$. } {\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим гиперплоскость $V'$, трансверсальную $W_0$, и проходящую через $W$. Эта гиперплоскость {\бф \пурпле не содержится ни в одном из $W_i$, $i>0$, так как она содержит $w$.} {\бф \греен Шаг 3:} Применив индукцию по размерности $V$, лемму можно считать доказанной для любого $V'$ с $\dim V'< \dim V$. Применим ее к $V'$ из шага 2, с гиперплоскостями $W_i':= V'\cap W_i$, и найдем точку на $V'$, которая не содержится ни в одном из $W_i$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечные поля} {\бф \греен Сведения о конечных полях:} Порядок конечного поля равен $p^n$, где $p$ -- его характеристика. На любом поле $k$ характеристики $p$ задан {\bf\блуе гомоморфизм Фробениуса}, $Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$. В любое поле характеристики $p$ естественно вложено конечное поле ${\Bbb F}_p$ из $p$ элементов. {\бф \блуе Поле порядка $p^n$ обозначается ${\Bbb F}_{p^n}$.} В устаревшей литературе эти поля называются "полями Галуа". \утверждение {\бф \ред Все элементы ${\Bbb F}_{p^n}$ удовлетворяют уравнению $x^{p^n}-x=0$.} \доказательство Группа обратимых элементов ${\Bbb F}_{p^n}^*$ имеет порядок $p^n-1$, и {\бф \пурпле по теореме Лагранжа, все ее элементы удовлетворяют $x^{p^n-1}=1$.} \ендпрооф \следствие ${\Bbb F}_{p^n}$ есть поле разложения многочлена $x^{p^n-1}-1$ над ${\Bbb F}_p$. {\бф \пурпле Поэтому все поля из $p^n$ элементов изоморфны.} \невпаге {\бф \блуе Конечные поля и примитивные корни} \утверждение {\бф \ред Группа ${\Bbb F}_{p^n}^*$ -- циклическая.} \дшаг Пусть $p^n-1=\prod p_i^{\alpha_i}$ -- разложение $p^n-1$ на простые множители. По теореме о классификации абелевых групп, $G:={\Bbb F}_{p^n}^*$ есть произведение абелевых групп $G_{p_i}$ порядка $p_i^{\alpha_i}$. {\бф\пурпле $G$ циклическая $\Leftrightarrow$ все $G_i$ циклические} (китайская теорема об остатках). {\бф \греен Шаг 2:} Значит, если $G$ не циклическая, то {\бф \пурпле порядок каждого элемента в ${\Bbb F}_{p^n}^*$ делит $m:=\prod p_i^{\alpha_i-k_i}$, где какой-то из $k_i$ больше 0.} {\бф \греен Шаг 3:} В этом случае, {\бф \пурпле все элементы ${\Bbb F}_{p^n}^*$ являются корнями многочлена $x^m=1$, что противоречит теореме Безу.} \ендпрооф \определение $\alpha \in {\Bbb F}_{p^n}^*$ называется {\бф \блуе примитивным корнем} (или первообразным корнем), если его порядок равен $p^n-1$. \замечание { Нахождение примитивных корней есть {\бф \ред важная народно-хозяйственная задача.} К примеру, первая современная криптосистема с открытым ключом (Diffie-Hellman key exchange, 1976) использовала вычислительную трудность нахождения "конечного логарифма", то есть числа $b:=\log_\epsilon (a) \bmod p$ такого, что $\epsilon^b=a$, где $\epsilon$ первообразный корень, а $a$ какой-то остаток.} \невпаге {\бф \блуе Группа Галуа для конечного поля} \теорема Любое расширение конечных полей есть расширение Галуа. \дшаг Поскольку $k$ содержит ${\Bbb F}_p$, достаточно доказать, что $[K:{\Bbb F}_p]$ расширение Галуа, где $K={\Bbb F}_{p^n}$. {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем первообразный корень $\epsilon\in {\Bbb F}_{p^n}^*$. Тогда $K={\Bbb F}_p[\epsilon]$, но $\epsilon$ является корнем многочлена $P(t)=x^{p^n-1}-1$, который разлагается на множители в $K$. Значит, $K\otimes_{{\Bbb F}_p}K=K[t]/(P)=\bigoplus K$. \ендпрооф \теорема Группа Галуа $[{\Bbb F}_{p^n}:{\Bbb F}_p]$ {\бф \ред это циклическая группа, порожденная гомоморфизмом Фробениуса $\Fr$.} \дшаг Поскольку порядок группы Галуа равен степени расширения (то есть $n$), {\бф \пурпле достаточно убедиться, что порядок $\Fr$ равен $n$. } {\бф \греен Шаг 2:} Любой элемент $z\in {\Bbb F}_{p^n}$ удовлетворяет $z^{p^n}=z$, то есть $\Fr^n=1$. Если $\Fr^k=1$ для $k<1$, мы получим, что {\бф \пурпле $z^{p^k}=z$ имеет $p^n$ решений в ${\Bbb F}_{p^n}$, что невозможно по теореме Безу.} \ендпрооф \end{document}