

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left'_{{\phantom{'}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}
\def\Fr{\operatorname{\sf Fr}}
\def\Aut{\operatorname{\rm Aut}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Char{\operatorname{\sf char}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 7:\\[2mm]  группы Галуа конечных полей\\[7mm] и другие применения основной теоремы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 1 марта, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\newpage


{\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)}

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}



\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}



\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.



\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа (повторение)}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.


%\newpage

%{\bf \blue Поля разложения}

\теорема
Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений.
Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
{\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.}


\теорема
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном
расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$.
{\бф \ред Тогда это расширение Галуа.}

\определение
Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$,
а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех
корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется
{\бф \блуе полем разложения  $P(t)$.}

\замечание
{\бф \пурпле В характеристике 0, поля разложения суть поля Галуа}
{\бф \ред (в характеристике $p$, не обязательно)}


\утверждение
Если $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$,
то {\бф \пурпле существует расширение $[K_1:K]$ такое, что 
$[K_1:k]$ -- расширение Галуа. }




\newpage

{\bf \blue Группа Галуа (повторение)}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.


\следствие
{\бф \пурпле Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.}

\следствие
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. 
Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$
на $K\otimes_k K$ автоморфизмами,
$\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$.
{\бф \пурпле Это действие транзитивно на компонентах
разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.}



\newpage

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа (повторение)}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы
Галуа. {\бф \пурпле Тогда $K^{G'}\neq k$.}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Aut_k(K)$. {\бф \пурпле Тогда $a\in k\subset K$.}


\замечание {\бф \блуе (осталось с прошлой лекции)}\\
Пусть группа $G$ действует на векторном пространстве $V$. \\
{\бф \пурпле Тогда $(V\otimes_k V)^{G\times G}= V^G\otimes_k V^G$.}
{\бф \ред Докажите это!}


\теорема
{\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
соответствия 
{\бф \ред стрелки 
$G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ 
устанавливают биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.}


\newpage

{\bf \blue Теорема о примитивном элементе}


\теорема
{\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)} \\
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, причем $K$ бесконечно,
и выполнено одно из условий: (1) $\Char k=0$ (2)
$[K:k]$ -- расширение Галуа. 
{\бф \ред Тогда $[K:k]$  примитивно}, то есть порождено
одним элементом $x\in K$.

\дшаг
Заменим $[K:k]$ на расширение Галуа $[K_1:k]$, содержащее
$K$. В силу основной теоремы теории Галуа,
{\бф \пурпле существует не более чем конечное число промежуточных
полей $K\supsetneq K'\supsetneq k$.} Обозначим за $Z$
объединение всех этих подполей.

{\бф \греен Шаг 2:} Элемент $x$ примитивен тогда и только 
тогда, когда $x\notin Z$. Значит, {\бф \пурпле теорема о примитивном
элементе вытекает из следующей леммы.}

\лемма
Пусть $V$ -- векторное пространство над бесконечным
полем, а $Z$ -- конечное объединение подпространств
$W_i\subsetneq V$, $i=1, ..., N$. {\бф \ред Тогда $V
\backslash Z$ непусто.}

\упражнение
{\бф \пурпле Докажите это самостоятельно!}

\newpage

{\bf \blue Теорема о примитивном элементе (окончание)}


\лемма
Пусть $V$ -- векторное пространство над бесконечным
полем $k$, а $Z$ -- конечное объединение подпространств
$W_i\subsetneq V$, $i=1, ..., N$. {\бф \ред Тогда $V
\backslash Z$ непусто.}

\дшаг
Без ограничения общности, можно считать все $W_i$ гиперплоскостями,
которые пересекаются трансверсально. Применив индукцию по размерности $V$,
{\бф \пурпле найдем точку $w\in W_0$, которая не принадлежит объединению
$\bigcup_{j\neq 0} W_j$. }

{\бф \греен Шаг 2:} Рассмотрим гиперплоскость $V'$, трансверсальную
$W_0$, и проходящую через $W$. Эта гиперплоскость {\бф \пурпле не содержится
ни в одном из $W_i$, $i>0$, так как она содержит $w$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Применив индукцию по размерности $V$,
лемму можно считать доказанной для любого $V'$ с $\dim V'<
\dim V$. Применим ее к $V'$ из шага 2, с гиперплоскостями
$W_i':= V'\cap W_i$, и найдем точку на $V'$, которая
не содержится ни в одном из $W_i$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Конечные поля}

{\бф \греен Сведения о конечных полях:}
Порядок конечного поля
равен $p^n$, где $p$ -- его характеристика.
На любом поле $k$ характеристики $p$
задан {\bf\блуе гомоморфизм Фробениуса},
$Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$.
В любое поле характеристики $p$
естественно вложено конечное поле
${\Bbb F}_p$ из $p$ элементов.

{\бф \блуе Поле порядка $p^n$ обозначается
${\Bbb F}_{p^n}$.} В устаревшей литературе
эти поля называются "полями Галуа".

\утверждение
{\бф \ред Все элементы ${\Bbb F}_{p^n}$
удовлетворяют уравнению $x^{p^n}-x=0$.}

\доказательство
Группа обратимых элементов ${\Bbb F}_{p^n}^*$ имеет порядок
$p^n-1$, и {\бф \пурпле по теореме Лагранжа, все ее элементы удовлетворяют
$x^{p^n-1}=1$.} \ендпрооф

\следствие
${\Bbb F}_{p^n}$ есть поле разложения многочлена
$x^{p^n-1}-1$ над ${\Bbb F}_p$. 
{\бф \пурпле Поэтому все поля из $p^n$ элементов
изоморфны.}


\невпаге

{\бф \блуе Конечные поля и примитивные корни}


\утверждение
{\бф \ред Группа ${\Bbb F}_{p^n}^*$ -- циклическая.}

\дшаг
Пусть $p^n-1=\prod p_i^{\alpha_i}$ -- разложение
$p^n-1$ на простые множители.
По теореме о классификации абелевых групп, $G:={\Bbb F}_{p^n}^*$
есть произведение абелевых групп $G_{p_i}$ порядка $p_i^{\alpha_i}$.
{\бф\пурпле $G$ циклическая $\Leftrightarrow$ все $G_i$ циклические}
(китайская теорема об остатках).

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, если $G$ не циклическая, то {\бф \пурпле порядок
каждого элемента в ${\Bbb F}_{p^n}^*$ делит $m:=\prod p_i^{\alpha_i-k_i}$,
где какой-то из $k_i$ больше 0.}

{\бф \греен Шаг 3:} В этом случае, {\бф \пурпле все элементы ${\Bbb F}_{p^n}^*$
являются корнями многочлена $x^m=1$, что противоречит теореме Безу.}
\ендпрооф

\определение
$\alpha \in {\Bbb F}_{p^n}^*$ называется {\бф \блуе
примитивным корнем} (или первообразным корнем),
если его порядок равен $p^n-1$.

\замечание
{ Нахождение примитивных корней есть 
{\бф \ред важная народно-хозяйственная задача.}
К примеру, первая современная криптосистема с открытым ключом
(Diffie-Hellman key exchange, 1976) использовала
вычислительную трудность нахождения "конечного логарифма",
то есть числа $b:=\log_\epsilon (a) \bmod p$
такого, что $\epsilon^b=a$, где $\epsilon$ первообразный
корень, а $a$ какой-то остаток.}

\невпаге

{\бф \блуе Группа Галуа для конечного поля}

\теорема
Любое расширение конечных полей есть расширение Галуа.

\дшаг
Поскольку $k$ содержит ${\Bbb F}_p$, достаточно
доказать, что $[K:{\Bbb F}_p]$ расширение Галуа, где
$K={\Bbb F}_{p^n}$.

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем первообразный корень
$\epsilon\in {\Bbb F}_{p^n}^*$. Тогда 
$K={\Bbb F}_p[\epsilon]$, но $\epsilon$ является
корнем многочлена $P(t)=x^{p^n-1}-1$, который
разлагается на множители в $K$. Значит,
$K\otimes_{{\Bbb F}_p}K=K[t]/(P)=\bigoplus K$.
\ендпрооф

\теорема
Группа Галуа $[{\Bbb F}_{p^n}:{\Bbb F}_p]$
{\бф \ред это циклическая группа, порожденная гомоморфизмом
Фробениуса $\Fr$.}

\дшаг Поскольку порядок группы Галуа равен степени
расширения (то есть $n$), {\бф \пурпле достаточно убедиться, что 
порядок $\Fr$ равен $n$. }

{\бф \греен Шаг 2:}
Любой элемент $z\in {\Bbb F}_{p^n}$
удовлетворяет $z^{p^n}=z$, то есть $\Fr^n=1$.
Если $\Fr^k=1$ для $k<1$, мы получим, что
{\бф \пурпле $z^{p^k}=z$ имеет $p^n$ решений в ${\Bbb F}_{p^n}$, что невозможно
по теореме Безу.} \ендпрооф



\end{document}
