

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}
\def\Aut{\operatorname{\rm Aut}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 6: группа Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 15 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\newpage


{\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)}

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}
\ендпрооф


\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}
\ендпрооф


\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа (повторение)}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.


\пример
Пусть $p$ -- простое.
Тогда {\бф \пурпле  для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } 
А если $p$ не простое?

\пример
Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). 
{\бф \пурпле Тогда $[k:\Q]$ -- расширение
Галуа.}

%\newpage

%{\bf \blue Поля разложения}

\теорема
Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений.
Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
{\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.}
\ендпрооф

\теорема
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном
расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$.
{\бф \ред Тогда это расширение Галуа.}

\определение
Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$,
а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех
корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется
{\бф \блуе полем разложения  $P(t)$.}

\newpage

{\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\
\phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\
тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$.

\дшаг
Биекция между (б) и (в) строится так:
{\бф \пурпле каждому простому идеалу соответствует проекция 
$K\otimes_k K=K^{\bigoplus^n}\arrow K$}.

\newpage

{\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты (продолжение)}

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\
\phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\
тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$.

{\бф \греен Шаг 2:}
 Простые идеалы в $K\otimes_k K=\bigoplus K_e$
соответствуют неразложимым идемпотентам, то есть компонентам разложения. 
Каждый неразложимый идемпотент $e$ задает проекцию 
$K\otimes_k K \stackrel \pi \arrow K_e$,
переводящую 1 в 1. Рассмотрим гомоморфизмы 
$L_e, R_e:\; K\arrow K_e$, полученные  композицией
$L_e:\; K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K\stackrel \pi \arrow K_e$
и $R_e:\; K=k\otimes_k K\subset K\otimes_k K\stackrel \pi \arrow K_e$
Поскольку это поля одинаковой размерности над $k$, $L_e$ и $R_e$ --
изоморфизмы.
{\bf \purple Поставим в соответствие идемпотенту $e$ автоморфизм
$L_e R_e^{-1}\in \Aut_k(K)$.} Это задает  (б) $\Rightarrow$ (а).


{\бф \греен Шаг 3:} Каждому автоморфизму $\zeta \in \Aut_k(K)$
поставим в соответствие гомоморфизм $v_\zeta:\; K\otimes_k K\arrow K$,
переводящий $a\otimes b$ в $a\zeta^{-1}(b)$. Ядро этого гомоморфизма - простой
идеал. {\бф \пурпле Мы получили соответствие (а) $\Rightarrow$ (в)
$=$ (б).}

{\бф \греен Осталось доказать, что это биекция.}

\newpage

{\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты (окончание)}


\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\
\phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\
тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$.

{\бф \греен Доказательство биективности построенных
отображений из (а) в (б) и наоборот.}

{\бф \греен Шаг 4:} Удобнее доказывать
биективность соответствия между (а) и (в).
Для каждого $\zeta\in \Aut_k(K)$, соответствующий гомоморфизм
$v_\zeta$ удовлетворяет $v_\zeta(a\otimes 1)= a$,
$v_\zeta(1\otimes a)=\zeta^{-1}(a)$. {\бф \пурпле Для соответствующего
идемпотента получаем
$a\otimes 1\cdot e = 1\otimes \zeta(a) \cdot e$,
то есть $L_e(a)=R_e(\zeta(a))$.} Значит,
соответствие (a) $\Rightarrow$ (в) $\Rightarrow$ (а)
биективно на $\Aut_k(K)$.

{\бф \греен Шаг 5. В обратную сторону:} 
Достаточно убедиться, что идемпотент однозначно
восстанавливается по автоморфизму $\zeta$. Если есть два
идемпотента $e, e'$ с одинаковым $\zeta$, соответствующие
гомоморфизмы в $K$ удовлетворяют
$v_e(a\otimes 1)= v_{e'}(a\otimes 1)=a$ и 
$v_e(1\otimes a)= v_{e'}(1\otimes a)=\zeta^{-1}(a)$,
{\бф \пурпле то есть равны на $K\otimes_k K$. } \ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Порядок группы Галуа}


\следствие
{\бф \ред Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.}

\доказательство
$\Aut_k(K)$ находится в биективном соответствии
с компонентами $K\otimes_k K$, 
что дает $|\Aut_k(K)| = \dim_K (K\otimes_k K)=\deg[K:k]$. 
\ендпрооф

\следствие
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. 
Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$
на $K\otimes_k K$ автоморфизмами,
$\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$.
{\бф \ред Это действие транзитивно на компонентах
разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.}

\доказательство Достаточно убедиться,
что $\Aut_k(K)$ действует транзитивно на 
простых идеалах в $K\otimes_k K$. Но {\бф \пурпле каждый такой
простой идеал является ядром гомоморфизма
$K\otimes_k K\arrow K$ вида $a\otimes b\arrow a\zeta(b)$.}
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Инварианты группы Галуа}

{\бф \пурпле 
Левое и правое действие $K$ на $K\otimes_k K$
отличается на действие группы Галуа.}

\лемма
Пусть  $[K:k]$ -- расширение Галуа,
а $K\otimes_k K=\bigoplus_{\zeta\in\Aut_k(K)}  K_\zeta$ --
разложение $K\otimes_k K$ в компоненты, пронумерованные
элементами группы Галуа. Обозначим через $\mu_l$
левое действие $K^*$ на $K\otimes_k K$,
а за $\mu_r$ правое действие. {\бф \ред Тогда
$\mu_l(a) e_\zeta = \mu_r(\zeta(a)) e_\zeta$.}

\доказательство
$K_\zeta$ отождествляется с образом гомоморфизма
$K\otimes_k K\arrow K$, переводящего $v_1 \otimes v_2$ в 
$v_1 \zeta(v_2)$.
Каждое $a \in K$ действует на соответствующей
компоненте $K_\zeta \subset K\otimes_k K$ по формуле
$\mu_l(a) (v_1 \otimes v_2) = a v_1 \zeta(v_2)$
и $\mu_r(a) (v_1 \otimes v_2) = v_1 \zeta(a v_2)= \zeta(a)v_1
\zeta(v_2)$. 
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Aut_k(K)$. {\бф \ред Тогда $a\in k\subset K$.}

\доказательство
Поскольку $\mu_l(a)=\mu_r(a)$ на $K\otimes_k K$,
имеем $a\otimes_k 1= 1\otimes_k a$, что влечет $a\in K$.
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа}

\теорема
{\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
соответствия 
{\бф \ред стрелки 
$G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ 
устанавливают биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.}

\дшаг
Для любого промежуточного
подполя $K\supset K' \supset k$,
расширение $[K:K']$ есть расширение Галуа. В силу
предыдущего утверждения,
$K^{G'}= K'$, где $G'=\Aut_{K'}K \subset G$.
Получаем, что {\бф \пурпле
соответствие (подполя) $\Rightarrow$
(подгруппы) $\Rightarrow$ (подполя) биективно.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Осталось убедиться, что
две подгруппы $G_1, G_2\subset G$
не могут удовлетворять $K':=K^{G_1}=K^{G_2}$.
Без ограничения общности можно считать,
что $G_1= \Aut_{K'}K$, а $G_2\subsetneq G_1$.
{\бф \пурпле Поэтому все следует из такой леммы. }

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы
Галуа. {\бф \ред Тогда $K^{G'}\neq k$.}

{\бф \греен Доказательство см. следующий слайд.}

\newpage

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа (окончание)}

\замечание
Пусть группа $G$ действует на векторном пространстве $V$.
{\бф \пурпле Тогда $(V\otimes_k V)^{G\times G}= V^G\otimes_k V^G$.}
{\бф \ред Докажите это!}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы
Галуа. {\бф \ред Тогда $K^{G'}\neq k$.}

\дшаг
Поскольку $K^{G'}=k$, имеем $(K\otimes_k K)^{G'\times G'}=k$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $\zeta\in G$, а $a\otimes b \stackrel {v_\zeta}\arrow a\zeta(b)$
 -- соответствующий гомоморфизм $K\otimes_k K\arrow K$.
Для любого $\chi\times \chi'\in G\times G$,
$\chi\times\chi'(v_\zeta)$ переводит
$a\otimes b$ в $\chi(a)\chi'\zeta(b)$,
то есть имеет то же самое ядро, что у
$v_{\chi'\zeta\chi^{-1}}$. Значит,
{\bf \пурпле $G\times G$ переводит идемпотент
$e_\zeta$ в $e_{\chi'\zeta\chi^{-1}}$.}

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Получаем, что
действие $G'$ на $K\otimes_k K$
сохраняет нетривиальный идемпотент
$\sum_{g\in G'} e_{g}$,} что противоречит
утверждению шага 1.
\ендпрооф



\end{document}
