\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \def\Aut{\operatorname{\rm Aut}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 6: группа Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 15 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)} \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \ендпрооф \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \ендпрооф \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Расширения Галуа (повторение)} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. \пример Пусть $p$ -- простое. Тогда {\бф \пурпле для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$, $[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } А если $p$ не простое? \пример Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно как векторное пространство над $\Q$). {\бф \пурпле Тогда $[k:\Q]$ -- расширение Галуа.} %\newpage %{\bf \blue Поля разложения} \теорема Пусть $K\supset K'\supset k$ -- цепочка конечных расширений. Предположим, что $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\бф \ред Тогда $[K:K']$ тоже расширение Галуа.} \ендпрооф \теорема Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$. {\бф \ред Тогда это расширение Галуа.} \определение Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$, а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех корней $\alpha_i\in \bar k$. Тогда $K$ называется {\бф \блуе полем разложения $P(t)$.} \newpage {\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты} \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\ \phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\ тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$. \дшаг Биекция между (б) и (в) строится так: {\бф \пурпле каждому простому идеалу соответствует проекция $K\otimes_k K=K^{\bigoplus^n}\arrow K$}. \newpage {\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты (продолжение)} \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\ \phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\ тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$. {\бф \греен Шаг 2:} Простые идеалы в $K\otimes_k K=\bigoplus K_e$ соответствуют неразложимым идемпотентам, то есть компонентам разложения. Каждый неразложимый идемпотент $e$ задает проекцию $K\otimes_k K \stackrel \pi \arrow K_e$, переводящую 1 в 1. Рассмотрим гомоморфизмы $L_e, R_e:\; K\arrow K_e$, полученные композицией $L_e:\; K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K\stackrel \pi \arrow K_e$ и $R_e:\; K=k\otimes_k K\subset K\otimes_k K\stackrel \pi \arrow K_e$ Поскольку это поля одинаковой размерности над $k$, $L_e$ и $R_e$ -- изоморфизмы. {\bf \purple Поставим в соответствие идемпотенту $e$ автоморфизм $L_e R_e^{-1}\in \Aut_k(K)$.} Это задает (б) $\Rightarrow$ (а). {\бф \греен Шаг 3:} Каждому автоморфизму $\zeta \in \Aut_k(K)$ поставим в соответствие гомоморфизм $v_\zeta:\; K\otimes_k K\arrow K$, переводящий $a\otimes b$ в $a\zeta^{-1}(b)$. Ядро этого гомоморфизма - простой идеал. {\бф \пурпле Мы получили соответствие (а) $\Rightarrow$ (в) $=$ (б).} {\бф \греен Осталось доказать, что это биекция.} \newpage {\bf \blue Группа Галуа и идемпотенты (окончание)} \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\ \phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,\\ тождественные на $K=K\otimes_k k\subset K\otimes_k K$. {\бф \греен Доказательство биективности построенных отображений из (а) в (б) и наоборот.} {\бф \греен Шаг 4:} Удобнее доказывать биективность соответствия между (а) и (в). Для каждого $\zeta\in \Aut_k(K)$, соответствующий гомоморфизм $v_\zeta$ удовлетворяет $v_\zeta(a\otimes 1)= a$, $v_\zeta(1\otimes a)=\zeta^{-1}(a)$. {\бф \пурпле Для соответствующего идемпотента получаем $a\otimes 1\cdot e = 1\otimes \zeta(a) \cdot e$, то есть $L_e(a)=R_e(\zeta(a))$.} Значит, соответствие (a) $\Rightarrow$ (в) $\Rightarrow$ (а) биективно на $\Aut_k(K)$. {\бф \греен Шаг 5. В обратную сторону:} Достаточно убедиться, что идемпотент однозначно восстанавливается по автоморфизму $\zeta$. Если есть два идемпотента $e, e'$ с одинаковым $\zeta$, соответствующие гомоморфизмы в $K$ удовлетворяют $v_e(a\otimes 1)= v_{e'}(a\otimes 1)=a$ и $v_e(1\otimes a)= v_{e'}(1\otimes a)=\zeta^{-1}(a)$, {\бф \пурпле то есть равны на $K\otimes_k K$. } \ендпрооф \newpage {\bf \blue Порядок группы Галуа} \следствие {\бф \ред Порядок группы Галуа равен степени $[K:k]$.} \доказательство $\Aut_k(K)$ находится в биективном соответствии с компонентами $K\otimes_k K$, что дает $|\Aut_k(K)| = \dim_K (K\otimes_k K)=\deg[K:k]$. \ендпрооф \следствие Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Рассмотрим действие группы Галуа $\Aut_k(K)$ на $K\otimes_k K$ автоморфизмами, $\zeta(a\otimes b)= a\otimes \zeta(b)$. {\бф \ред Это действие транзитивно на компонентах разложения в прямую сумму $K\otimes_k K=\bigoplus K$.} \доказательство Достаточно убедиться, что $\Aut_k(K)$ действует транзитивно на простых идеалах в $K\otimes_k K$. Но {\бф \пурпле каждый такой простой идеал является ядром гомоморфизма $K\otimes_k K\arrow K$ вида $a\otimes b\arrow a\zeta(b)$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Инварианты группы Галуа} {\бф \пурпле Левое и правое действие $K$ на $K\otimes_k K$ отличается на действие группы Галуа.} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K\otimes_k K=\bigoplus_{\zeta\in\Aut_k(K)} K_\zeta$ -- разложение $K\otimes_k K$ в компоненты, пронумерованные элементами группы Галуа. Обозначим через $\mu_l$ левое действие $K^*$ на $K\otimes_k K$, а за $\mu_r$ правое действие. {\бф \ред Тогда $\mu_l(a) e_\zeta = \mu_r(\zeta(a)) e_\zeta$.} \доказательство $K_\zeta$ отождествляется с образом гомоморфизма $K\otimes_k K\arrow K$, переводящего $v_1 \otimes v_2$ в $v_1 \zeta(v_2)$. Каждое $a \in K$ действует на соответствующей компоненте $K_\zeta \subset K\otimes_k K$ по формуле $\mu_l(a) (v_1 \otimes v_2) = a v_1 \zeta(v_2)$ и $\mu_r(a) (v_1 \otimes v_2) = v_1 \zeta(a v_2)= \zeta(a)v_1 \zeta(v_2)$. \ендпрооф \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Aut_k(K)$. {\бф \ред Тогда $a\in k\subset K$.} \доказательство Поскольку $\mu_l(a)=\mu_r(a)$ на $K\otimes_k K$, имеем $a\otimes_k 1= 1\otimes_k a$, что влечет $a\in K$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Основная теорема теории Галуа} \теорема {\бф \блуе (Основная теорема теории Галуа)} \\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда соответствия {\бф \ред стрелки $G' \arrow K^{G'}$ и $K'\arrow \Aut_{K'}K \subset G$ устанавливают биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$.} \дшаг Для любого промежуточного подполя $K\supset K' \supset k$, расширение $[K:K']$ есть расширение Галуа. В силу предыдущего утверждения, $K^{G'}= K'$, где $G'=\Aut_{K'}K \subset G$. Получаем, что {\бф \пурпле соответствие (подполя) $\Rightarrow$ (подгруппы) $\Rightarrow$ (подполя) биективно.} {\бф \греен Шаг 2:} Осталось убедиться, что две подгруппы $G_1, G_2\subset G$ не могут удовлетворять $K':=K^{G_1}=K^{G_2}$. Без ограничения общности можно считать, что $G_1= \Aut_{K'}K$, а $G_2\subsetneq G_1$. {\бф \пурпле Поэтому все следует из такой леммы. } \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы Галуа. {\бф \ред Тогда $K^{G'}\neq k$.} {\бф \греен Доказательство см. следующий слайд.} \newpage {\bf \blue Основная теорема теории Галуа (окончание)} \замечание Пусть группа $G$ действует на векторном пространстве $V$. {\бф \пурпле Тогда $(V\otimes_k V)^{G\times G}= V^G\otimes_k V^G$.} {\бф \ред Докажите это!} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $G'\subsetneq \Aut_kK$ есть нетривиальная подгруппа группы Галуа. {\бф \ред Тогда $K^{G'}\neq k$.} \дшаг Поскольку $K^{G'}=k$, имеем $(K\otimes_k K)^{G'\times G'}=k$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\zeta\in G$, а $a\otimes b \stackrel {v_\zeta}\arrow a\zeta(b)$ -- соответствующий гомоморфизм $K\otimes_k K\arrow K$. Для любого $\chi\times \chi'\in G\times G$, $\chi\times\chi'(v_\zeta)$ переводит $a\otimes b$ в $\chi(a)\chi'\zeta(b)$, то есть имеет то же самое ядро, что у $v_{\chi'\zeta\chi^{-1}}$. Значит, {\bf \пурпле $G\times G$ переводит идемпотент $e_\zeta$ в $e_{\chi'\zeta\chi^{-1}}$.} {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Получаем, что действие $G'$ на $K\otimes_k K$ сохраняет нетривиальный идемпотент $\sum_{g\in G'} e_{g}$,} что противоречит утверждению шага 1. \ендпрооф \end{document}