\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \def\Aut{\operatorname{\rm Aut}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 5: расширения Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 8 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Алгебраические числа (повторение)} \определение {\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел} есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$. \определение {\бф \блуе Алгебраическое замыкание} $k$ есть поле $[\bar k:k]$, алгебраически замкнутое и алгебраичное над $k$. \пример Поле $\bar \Q$ является алгебраическим замыканием $\Q$ \теорема Для любого поля $k$, {\бф \ред алгебраическое замыкание $[\bar k:k]$ существует, и оно единственно с точностью до изоморфизма.} \невпаге {\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)} \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \ендпрооф \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \ендпрооф \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Артиновы кольца (повторение)} \определение {\bf \блуе Артиново кольцо над полем $k$}, если кольцо, которое конечномерна как векторное пространство над $k$. \определение Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \теорема Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо. {\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.} \утверждение Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$. В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле существует мультипликативная операция $(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$, переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.} \определение Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$}, и обозначается $A\otimes_k B$. \теорема {\бф \ред В характеристике 0, тензорное произведение полупростых алгебр всегда полупросто.} {\бф \греен ПРИМЕР 1:} Пусть $P(t)$ -- полином над полем k, $[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$. Предположим, что $P(t)$ разлагается на линейные множители над $K$. {\бф \пурпле Тогда $K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)=\bigoplus К$} \newpage {\bf \blue Расширения Галуа} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. \пример Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$. {\бф \пурпле Тогда $[K:k]$ -- расширение Галуа.} В самом деле, $K\otimes_k K=K[t]/(P)= \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)$ \пример Пусть $p$ -- простое. Тогда {\бф \пурпле для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$, $[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } {\бф \ред (докажите это!)} А если $p$ не простое? \упражнение Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно как векторное пространство над $\Q$). {\бф \пурпле Докажите, что $[k:\Q]$ -- расширение Галуа.} \newpage {\bf \blue Кратные корни и производная} Полезное утверждение, которое будет использоваться дальше: \утверждение Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином над полем $k$ характеристики 0. {\бф \ред Тогда $P(t)$ имеет $n$ попарно различных корней} в алгебраическом замыкании $\bar k$. \доказательство В поле $\bar k$ полином $P(t)$ разлагается на множители: $P(t)=\prod_i (t-\alpha_i)$. {\бф \пурпле Если среди корней есть кратные, $P(t)$ имеет общий делитель $Q(t)$ с $P'(t)$,} в $\bar k[t]$. Поскольку наличие общих делителей проверяется применением алгоритма Евклида, многочлен $Q(t)$ тоже определен над $k$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Расширения Галуа и корни} \лемма Пусть $[K:K_1:k]$ -- цепочка конечных расширений, причем $K\otimes_k K_1= K^{\oplus^n}$ и $K\otimes_{K_1} K= K^{\oplus^m}$. {\бф \пурпле Тогда $K\otimes_k K= K^{\oplus^{nm}}$.} \доказательство Поскольку $K_1\otimes_{K_1} K=K$, имеем $K\otimes_k K=K\otimes_k K_1\otimes_{K_1} K= K^{\oplus_n} \otimes_{K_1} K=K^{\oplus^{nm}}$. \ендпрооф \теорема Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$. {\бф \ред Тогда это расширение Галуа.} \дшаг Рассмотрим цепочку расширений $K_0=k\subset K_1 \subset K_2 \subset ... K_n=K$, полученных из $k$ последовательным добавлением $\alpha_i$. Каждое из этих расширений имеет вид $K_i = K_{i-1}[t]/P_i$, где $P_i(t)$ -- какой-то из делителей $P(t)$ в $K_{i-1}[t]$. {\bf \purple В силу примера 1, каждое из $K_i$ удовлетворяет $K_i\otimes_{K_{i-1}}K= K^{\oplus^{n_i}}$.} {\бф \греен Шаг 2:} Применив индукцию, будем считать, что $K_{i-1}\otimes_kK= K^{\oplus^{m_i}}$. Поскольку $K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K= K^{\oplus^{n_i}}$ в силу леммы выше, получаем \begin{multline*} K_{i}\otimes_kK= (K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K_{i-1})\otimes_kK= \\ K_{i}\otimes_{K_{i-1}}(K_{i-1}\otimes_kK)= K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K^{\oplus^{m_i}}= K^{\oplus^{m_in_i}}. \end{multline*} \newpage {\bf \blue Цепочки расширений Галуа} \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $[K:K_1:k]$ -- цепочка расширений. {\бф \ред Тогда $[K:K_1]$ -- тоже расширение Галуа.} \доказательство Из определения тензорного произведения, получаем $K$-линейную сюрьекцию $K\otimes_k K \arrow K\otimes_{K_1} K$. Поскольку $K\otimes_k K=K^{\oplus^{n}}$, а $K\otimes_{K_1} K$ -- его фактор по идеалу, $K\otimes_{K_1} K=K^{\oplus^{n'}}$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Поля разложения} \определение Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$ без кратных корней над полем $k$ характеристики 0. Положим $K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений, $K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$, полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено. Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$ в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили. В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем $K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. {\бф \пурпле Этот процесс заканчивается через конечное число шагов}, {\бф \ред (докажите это!)} и в результате мы получаем поле $[K:k]$. Это поле называется {\bf\blue полем разложения} (splitting field) многочлена $P$. \замечание Несколько слайдов назад было доказано, что {\бф \ред поле разложения является полем Галуа.} \утверждение Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$, а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех корней $\alpha_i\in \bar k$. {\бф \пурпле Тогда $K$ изоморфно полю разложения $P(t)$.} \ендпрооф \следствие {\бф \пурпле Поле разложения многочлена определено однозначно.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Группа Галуа} \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. \замечание $K^*$ действует на $K\otimes_k K$ умножениями справа ({\бф\блуе правое действие}) и слева ({\бф\блуе левое}). Зафиксируем раз и навсегда левое действие, и будем рассматривать $K\otimes_k K$ как векторное пространство над $K$ с левым действием $k$. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\ \phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$, линейные относительно левого действия $K$. {\бф \греен Доказательство см. следующий слайд.} \newpage {\bf \blue Группа Галуа (продолжение)} \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\ \phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\ \phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\ \phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$, линейные относительно левого действия $K$. \доказательство Биекция между (б) и (в) строится так: {\бф \пурпле каждому простому идеалу соответствует проекция $K\otimes_k K=K^{\bigoplus^n}\arrow K$,} а из $K$-линейности получаем, что такое отображение однозначно задается своим идеалом. Ограничивая $K$-линейный гомоморфизм $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ на $K=k\otimes K \subset K\otimes K$, получаем $k$-линейный гомоморфизм $\mu\mid_{k\otimes_k K}:\; K \arrow K$. Это задает отображение из (в) в (а). Для каждого элемента группы Галуа $\nu\in \Aut_k(K)$, определим гомоморфизм $K\otimes_k K\arrow K$ по формуле $v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. Это задает обратную биекцию из (а) в (в). \ендпрооф \newpage {\bf \blue Инварианты группы Галуа} {\бф \пурпле Левое и правое действие $K$ на $K\otimes_k K$ отличается на действие группы Галуа.} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K\otimes_k K=\bigoplus_{\nu\in\Aut_k(K)} K_\nu$ -- разложение $K\otimes_k K$ в компоненты, пронумерованные элементами группы Галуа. Обозначим через $\mu_l$ стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$, а за $\mu_r$ правое действие. {\бф \ред Тогда $\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.} \доказательство Каждое $a \in K$ действует на соответствующей компоненте $K_\nu \subset K\otimes_k K$ по формуле $\mu_l(a) (v_1 \otimes v_2) = a v_1 \nu(v_2)$ и $\mu_r(a) (v_1 \otimes v_2) = v_1 \nu(a v_2)= \nu(a)v_1 \nu(v_2)$. \ендпрооф \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Aut_k(K)$. {\бф \ред Тогда $a\in k\subset K$.} \доказательство Поскольку $\mu_l(a)=\mu_r(a)$ на $K\otimes_k K$, имеем $a\otimes_k 1= 1\otimes_k a$, что влечет $a\in K$. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Основная теорема теории Галуа} \лемма Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное поле, $K\supset K' \supset k$. {\бф \ред Тогда $K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Aut_{K'}(K)$ -- группа $K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает множество $G'$-инвариантов.} \доказательство $[K:K']$ -- расширение Галуа, а $G'=\Aut_{K'}(K)$ значит, $K^{G'}=K'$. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе Основная теорема теории Галуа:} \\ Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда {\бф \ред $G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$.} \доказательство Из предыдущей леммы, получаем, что $G'=\Aut_{K'}(K)$ однозначно задает $K'= K^{G'}$. \ендпрооф \end{document}