

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}
\def\Aut{\operatorname{\rm Aut}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 5: расширения Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 8 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.


\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\newpage


{\bf \blue Алгебраические числа (повторение)}


\определение
{\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел}
есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$.

\определение
{\бф \блуе Алгебраическое замыкание} $k$ есть поле
$[\bar k:k]$, алгебраически замкнутое и алгебраичное над $k$.

\пример
Поле $\bar \Q$ является алгебраическим замыканием $\Q$

\теорема
Для любого поля $k$, {\бф \ред алгебраическое замыкание $[\bar k:k]$
существует, и оно единственно с точностью до изоморфизма.}


\невпаге

{\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)}

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}
\ендпрооф


\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}
\ендпрооф


\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.
\ендпрооф



\newpage

{\bf \blue Артиновы кольца (повторение)}

\определение
{\bf \блуе Артиново кольцо над полем $k$},
если кольцо, которое конечномерна как векторное пространство
над $k$.

\определение
Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.

\теорема
Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо.
{\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.}

\утверждение
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле
существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.}

\определение
Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.

\теорема
{\бф \ред В характеристике 0, тензорное произведение
полупростых алгебр всегда полупросто.}



{\бф \греен ПРИМЕР 1:}
Пусть $P(t)$ -- полином над полем k,
$[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$.
Предположим, что $P(t)$ разлагается на линейные
множители над $K$. {\бф \пурпле Тогда
$K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)=\bigoplus К$}


\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.

\пример
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$.
{\бф \пурпле Тогда $[K:k]$ -- расширение Галуа.}
В самом деле, $K\otimes_k K=K[t]/(P)= \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)$

\пример
Пусть $p$ -- простое.
Тогда {\бф \пурпле  для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } {\бф \ред (докажите это!)}
А если $p$ не простое?

\упражнение
Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). {\бф \пурпле Докажите, что $[k:\Q]$ -- расширение
Галуа.}



\newpage

{\bf \blue Кратные корни и производная}


Полезное утверждение, которое будет использоваться дальше:

\утверждение
Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином над полем $k$ характеристики 0.
{\бф \ред Тогда $P(t)$ имеет $n$ попарно различных корней} в 
алгебраическом замыкании $\bar k$.

\доказательство В поле $\bar k$ полином $P(t)$
разлагается на множители: $P(t)=\prod_i (t-\alpha_i)$.
{\бф \пурпле Если среди корней есть кратные, $P(t)$ имеет общий делитель
$Q(t)$ с $P'(t)$,} в $\bar k[t]$. Поскольку наличие общих
делителей проверяется применением алгоритма Евклида,
многочлен $Q(t)$ тоже определен над $k$.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа и корни}


\лемма
Пусть $[K:K_1:k]$ -- цепочка конечных расширений, причем
$K\otimes_k K_1= K^{\oplus^n}$ и $K\otimes_{K_1} K= K^{\oplus^m}$.
{\бф \пурпле Тогда $K\otimes_k K= K^{\oplus^{nm}}$.}

\доказательство
Поскольку $K_1\otimes_{K_1} K=K$, имеем
$K\otimes_k K=K\otimes_k K_1\otimes_{K_1} K= 
K^{\oplus_n} \otimes_{K_1} K=K^{\oplus^{nm}}$.
\ендпрооф

\теорема
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней $\alpha_1, ..., \alpha_n$ в конечном
расширении $[K:k]$. Предположим, что $K$ порождено $\{\alpha_i\}$.
{\бф \ред Тогда это расширение Галуа.}

\дшаг
Рассмотрим цепочку расширений 
$K_0=k\subset K_1 \subset K_2 \subset ... K_n=K$,
полученных из $k$ последовательным добавлением $\alpha_i$.
Каждое из этих расширений имеет вид $K_i = K_{i-1}[t]/P_i$,
где $P_i(t)$ -- какой-то из делителей $P(t)$ в $K_{i-1}[t]$.
{\bf \purple В силу примера 1, каждое из $K_i$ удовлетворяет
$K_i\otimes_{K_{i-1}}K= K^{\oplus^{n_i}}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив индукцию, будем считать, что
$K_{i-1}\otimes_kK= K^{\oplus^{m_i}}$. Поскольку
$K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K= K^{\oplus^{n_i}}$ в силу леммы выше,
получаем 
\begin{multline*} K_{i}\otimes_kK= 
(K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K_{i-1})\otimes_kK= \\
K_{i}\otimes_{K_{i-1}}(K_{i-1}\otimes_kK)= 
K_{i}\otimes_{K_{i-1}}K^{\oplus^{m_i}}=
K^{\oplus^{m_in_i}}.
\end{multline*}


\newpage

{\bf \blue Цепочки расширений Галуа}

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а 
$[K:K_1:k]$ -- цепочка расширений. {\бф \ред Тогда $[K:K_1]$ -- тоже
расширение Галуа.}

\доказательство
Из определения тензорного произведения,
получаем $K$-линейную сюрьекцию  $K\otimes_k K \arrow K\otimes_{K_1} K$.
Поскольку $K\otimes_k K=K^{\oplus^{n}}$, а $K\otimes_{K_1} K$ -- его 
фактор по идеалу, $K\otimes_{K_1} K=K^{\oplus^{n'}}$. \ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Поля разложения}

\определение
Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$
без кратных корней над полем $k$
характеристики 0. Положим
$K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений,
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$,
полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено.
Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$
в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили.
В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый
сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем 
$K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. {\бф \пурпле Этот процесс заканчивается
через конечное число шагов}, {\бф \ред (докажите
это!)} и в результате мы получаем поле $[K:k]$. Это поле 
называется {\bf\blue полем разложения} (splitting field)
многочлена $P$.


\замечание
Несколько слайдов назад было доказано, что
{\бф \ред поле разложения является полем Галуа.}

\утверждение
Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание $k$,
а $K\subset \bar k$ -- поле, полученное из $k$ добавлением всех
корней $\alpha_i\in \bar k$. {\бф \пурпле Тогда $K$ изоморфно
полю разложения $P(t)$.}
\ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Поле разложения многочлена определено однозначно.}
\ендпрооф 


\newpage

{\bf \blue Группа Галуа}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf\блуе Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $\Aut_k(K)$ $k$-линейных автоморфизмов поля $K$.

\замечание $K^*$ действует на $K\otimes_k K$ умножениями
справа ({\бф\блуе правое действие}) и слева ({\бф\блуе
левое}). Зафиксируем раз и навсегда левое действие,
и будем рассматривать $K\otimes_k K$ как векторное
пространство над $K$ с левым действием $k$.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\
\phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,
линейные относительно левого действия $K$.

{\бф \греен Доказательство см. следующий слайд.}


\newpage

{\bf \blue Группа Галуа (продолжение)}

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред существует естественная биекция между следующими множествами.}\\
\phantom{a} \ \ (а) Группой Галуа $\Aut_k(K)$\\
\phantom{a} \ \ (б) Простые идеалы в $K\otimes_k K$.\\
\phantom{a} \ \ (в) Гомоморфизмы $K\otimes_k K\arrow K$,
линейные относительно левого действия $K$.

\доказательство
Биекция между (б) и (в) строится так:
{\бф \пурпле каждому простому идеалу соответствует проекция 
$K\otimes_k K=K^{\bigoplus^n}\arrow K$,} а из
$K$-линейности получаем, что такое отображение
однозначно задается своим идеалом.

Ограничивая 
$K$-линейный гомоморфизм $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$
на $K=k\otimes K \subset K\otimes K$, получаем 
$k$-линейный гомоморфизм $\mu\mid_{k\otimes_k K}:\; K
\arrow K$. Это задает отображение из (в) в (а).

Для каждого элемента группы Галуа 
$\nu\in \Aut_k(K)$, определим гомоморфизм
$K\otimes_k K\arrow K$ по формуле
$v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. 
Это задает обратную биекцию из (а) в (в).
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Инварианты группы Галуа}

{\бф \пурпле 
Левое и правое действие $K$ на $K\otimes_k K$
отличается на действие группы Галуа.}

\лемма
Пусть  $[K:k]$ -- расширение Галуа,
а $K\otimes_k K=\bigoplus_{\nu\in\Aut_k(K)}  K_\nu$ --
разложение $K\otimes_k K$ в компоненты, пронумерованные
элементами группы Галуа. Обозначим через $\mu_l$
стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$,
а за $\mu_r$ правое действие. {\бф \ред Тогда
$\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.}

\доказательство
Каждое $a \in K$ действует на соответствующей
компоненте $K_\nu \subset K\otimes_k K$ по формуле
$\mu_l(a) (v_1 \otimes v_2) = a v_1 \nu(v_2)$
и $\mu_r(a) (v_1 \otimes v_2) = v_1 \nu(a v_2)= \nu(a)v_1
\nu(v_2)$. 
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Aut_k(K)$. {\бф \ред Тогда $a\in k\subset K$.}

\доказательство
Поскольку $\mu_l(a)=\mu_r(a)$ на $K\otimes_k K$,
имеем $a\otimes_k 1= 1\otimes_k a$, что влечет $a\in K$.
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Основная теорема теории Галуа}

\лемма
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
поле,  $K\supset K' \supset k$. {\бф \ред Тогда
$K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Aut_{K'}(K)$ -- группа
$K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает
множество $G'$-инвариантов.}

\доказательство
$[K:K']$ -- расширение Галуа, а $G'=\Aut_{K'}(K)$ значит,
$K^{G'}=K'$.
\ендпрооф

\теорема
{\бф \блуе Основная теорема теории Галуа:} \\
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
{\бф \ред $G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Aut_{k}(K)$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.}

\доказательство
Из предыдущей леммы, получаем, что $G'=\Aut_{K'}(K)$ однозначно
задает $K'= K^{G'}$. \ендпрооф


\end{document}
