\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 4: тензорные произведения полей и композиты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 8 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. Отношение <<быть расширением>> обозначается $[K:k]$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \утверждение Пусть $[K_2:K_1:K]$ -- расширения полей. {\бф \пурпле Если $[K_1:K]$ и $[K_2:K_1]$ алгебраичны, то $[K_2:K]$ алгебраично. Если они конечны, то $[K_2:K]$ конечно.} \newpage {\bf \blue Алгебраические числа (повторение)} \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \определение {\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел} есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$. \определение Поле $K$ {\бф\блуе алгебраически замкнуто}, если любой многочлен $P(t)\in k[t]$ имеет корень в $K$. \теорема {\бф \ред Поле $\bar \Q$ алгебраически замкнуто.} \ендпрооф \замечание Коль скоро $\bar \Q$ счетно {\бф \пурпле (проверьте это!)} а $\C$ несчетно, в $\C$ существуют неалгебраические числа. Они называются {\бф \блуе трансцендентными}. \невпаге {\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)} \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \ендпрооф \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \ендпрооф \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \ендпрооф \newpage \newpage {\bf \blue Нильрадикал и идемпотенты (повторение)} \определение Элемент $r\in R$ в кольце $R$ называется {\bf\блуе нильпотентным}, если $r^k=0$, для какого-то $k\in \N$. \замечание Множество всех нильпотентов в кольце образует идеал. Этот идеал называется {\бф \блуе нильрадикалом} кольца. \утверждение {\бф \пурпле Фактор кольца по нильрадикалу не имеет ненулевых нильпотентов.} \определение Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$. Тогда $v$ называется {\bf\блуе идемпотентом}. \замечание Произведение идемпотентов - идемпотент. Если $e$ -- идемпотент, то $1-e$ -- тоже идемпотент. \следствие Для идемпотента $e$, произведение $e(1-e)$ равно нулю. Поэтому {\бф \пурпле каждый идемпотент $e\in A$ задает разложение $A$ в прямую сумму: $A=eA + (1-e)A$} {\бф \ред (проверьте это)} \newpage {\bf \blue Артиновы кольца (продолжение)} \определение Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе коммутативной алгеброй}. \определение Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf \блуе артиново кольцо над полем $k$}, если $R$ конечномерна как векторное пространство. \определение Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \определение Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем. Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется {\bf\блуе прямой суммой $R_i$}, обозначается $\oplus R_i$. \лемма Пусть $K$ -- конечномерное пространство над $k$, снабженное структурой кольца. {\бф \ред Если $K$ не имеет делителей нуля, то это поле.} \ендпрооф \теорема Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо. {\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.} \невпаге {\bf \blue Тензорные произведения колец (повторение)} \утверждение Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$. В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле существует мультипликативная операция $(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$, переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.} \определение Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$}, и обозначается $A\otimes_k B$. \пример Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ -- кольца полиномов. {\бф \пурпле Тогда \[ k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q].\] } \пример $H^*(X\times Y, k) = H^*(X,k)\otimes_k H^*(Y, k)$ {\бф \блуе (формула Кюннета)} \пример $k[x,y]/(x^n,y^n)=k[x]/(x^n)\otimes_k k[y]/(y^n)$. \newpage {\bf \blue Инвариантные билинейные формы} \определение Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$, а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется {\bf\блуе инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$ для любых $x$, $y$, $z$. \замечание Если $R$ содержит единицу, то для любой инвариантной формы $g$, имеем $g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется линейным функционалом. \пример На кольце $\R[x,y]/(x^{n+1},y^{n+1})= H^*(\C P^n\times \C P^n)$ есть функционал $\epsilon(\sum a_{ij}x^iy^j):= a_{nn}$. {\бф \пурпле Соответствующая билинейная инвариантная форма $g(x,y):=\epsilon(xy)$ невырождена (проверьте).} Этo формa Пуанкаре на $H^*(\C P^{n}\times \C P^{n})$ \определение {\бф \блуе Фробениусова алгебра} есть конечномерная алгебра над полем, снабженная невырожденной билинейной инвариантной формой. \упражнение {\бф \пурпле Приведите пример артинова кольца, не допускающего такой формы.} \newpage {\bf \blue Форма следа } \утверждение Пусть $[K:k]$ -- расширение полей, а $\epsilon$ -- ненулевой $k$-линейный функционал на $K$. {\бф \пурпле Тогда форма $g(x,y):=\epsilon(xy)$ невырождена.} \доказательство Пусть $\epsilon(a)\neq 0$. Тогда $g(x, x^{-1}a)\neq 0$. \ендпрооф \определение {\бф \блуе След} линейного оператора есть сумма всех диагональных членов в каком-то матричном представлении. \определение Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$, где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма $L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$. Эта форма называется {\бф\блуе формой следа}, и обозначается $\tr_k(ab)$. \замечание Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей. В силу доказанного выше утверждения, {\bf \purple форма следа $\tr_k(ab)$ невырождена, если $\tr_k$ не тождественно равен нулю.} \newpage {\bf \blue Форма следа и сепарабельность} \определение Расширение $[K:k]$ называется {\бф \блуе сепарабельным}, если форма следа $\tr_k(ab)$ ненулевая. \замечание {\бф \пурпле В характеристике 0, любое расширение сепарабельно,} ибо $\tr_k(1)=\dim_k K$. \теорема Пусть $R$ -- артинова алгебра над $k$ с невырожденной формой следа. {\бф \ред Тогда $R$ полупросто.} \доказательство Поскольку $\tr_k(ab)=0$ для любого нильпотента $a$ (след нильпотентного оператора равен нулю), {\бф \пурпле в $R$ нет нильпотентов. } \ендпрооф \newpage {\bf \blue Тензорное произведение полей} \лемма Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes_k R'$ с естественной структурой артинова кольца. {\бф \ред Тогда форма следа на $R \otimes_k R'$ равна $g\otimes g'$.} \доказательство Если $V,W$ -- векторные пространства над $k$, $\mu, \rho$ -- эндоморфизмы $V,W$, то след $\mu\otimes \rho$ на $V \otimes W$ равен $\tr(\mu)\tr(\rho)$, что ясно из блочного разложение матрицы $\mu\otimes \rho$. {\бф \пурпле Это дает след для разложимых векторов вида $r\otimes r'\in R \otimes_k R'$, на все остальные оно продолжается по линейности.} \ендпрооф \следствие Если $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- сепарабельные расширения, то {\бф \ред $K_1 \otimes_k K_2$ полупросто,} то есть изоморфно прямой сумме полей. \доказательство Потому что форма следа невырождена. \ендпрооф \замечание В частности, {\бф \пурпле в характеристике 0 произведение конечных расширений поля $k$ есть всегда прямая сумма полей.} \newpage {\bf \blue Тензорные произведения полей: примеры} \утверждение Пусть $P(t)$ -- полином над полем k, $[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$. {\bf \red Тогда $K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)$.} \ендпрооф \утверждение Пусть $P(t)$ -- полином над полем k, $[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$. Предположим, что $P(t)$ разлагается на линейные множители над $K$. {\бф \ред Тогда $K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)=\bigoplus К$} \доказательство Пусть $P=(t-a_1)(t-a_2)...(t-a_n)$. {\бф \пурпле По китайской теореме об остатках, отображение $K[t]/(P)\arrow \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)=K$ сюрьективно,} и по соображениям размерности, это изоморфизм. \ендпрооф \упражнение Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого есть ровно $r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных, причем все корни разные. {\бф \ред Докажите, что $(\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R$.} \задача Докажите, что {\бф \ред $[K:k]$ несепарабельно тогда и только тогда, когда $K \otimes_k K$ содержит нильпотенты.} \newpage {\bf \blue Композит расширений} \определение Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, причем $[K_1:k]$ конечное. Обозначим за ${\goth n}$ нильрадикал произведения $K_1 \otimes_k K_2$, и пусть $R=K_1 \otimes_k K_2/{\goth n}$. Поскольку $R$ конечномерно над $K_2$ и без нильпотентов, это прямая сумма полей. Каждое из этих полей называется {\бф \блуе композитом} $K_1$ и $K_2$. \утверждение {\бф \ред $K_1$ и $K_2$ канонически вложено в любой их композит.} \доказательство $K_1 \otimes_k 1 \subset K_1 \otimes_k K_2$ есть подполе, содержащее 1, и проекция $K_1 \otimes_k 1$ переводит 1 в 1, значит, не равна нулю. С другой стороны, ненулевой гомоморфизм из поля куда угодно есть вложение. \ендпрооф \утверждение Для каждого поля, допускающего $k$-линейный гомоморфизм $K_1\stackrel{\mu_1} \arrow L$, $K_2 \stackrel{\mu_2}\arrow L$, {\бф \ред естественное отображение $K_1\otimes_k K_2\stackrel{\mu_1\otimes\mu_2}\arrow L$ инъективно на каком-то из композитов $K\subset K_1\otimes_k K_2$.} \доказательство Гомоморфизм из поля куда угодно инъективен либо равен нулю. С другой стороны, ограничение ${\mu_1\otimes\mu_2}$ на $K_1\otimes_k 1 \subset K_1\otimes_k K_2$ равно $\mu_1$, значит ненулевое. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Универсальное свойство композита} \теорема {\bf \blue (Универсальное свойство композита)} Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, причем одно из них конечное, a $L$ -- расширение $k$, снабженное $k$-линейными гомоморфизмами $K_1 \stackrel \phi \arrow L$, $K_2 \stackrel \psi \arrow L$. Предпoложим, что $L$ порождено образами $\phi$ и $\psi$. {\bf \red Тогда $L$ это композит $K_1$ и $K_2$.} \доказательство В силу предыдущего утверждения, существует инъективное отображение $K\arrow L$, где $K$ есть какой-то композит $K_1$ и $K_2$. {\бф \пурпле Поскольку $L$ порожден образами $K_1$ и $K_2$, это отображение сюрьективно.} \ендпрооф \утверждение Пусть $K= k[t]/P(t)$ -- расширение, полученное добавлением корня неприводимого многочлена $P(t)$, а $P(t)= P_1(t) P_2(t) ... P_n(t)$ -- неприводимое разложение $P(t)$ над полем $K'\supset k$. {\бф \ред Тогда композиты $K$ и $K'$ суть все поля вида $K'[t]/P_i(t)$.} \доказательство Следует из того, что \\ $K\otimes_k K'=k[t]/(P)\otimes_k K =K[t]/(P)=\bigoplus_{i=1}^n K[t]/(P_i)$. \ендпрооф \упражнение {\бф \пурпле Докажите последнее из этих равенств, используя китайскую теорему об остатках.} \newpage {\bf \blue Расширения Галуа} \определение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. \пример Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$. {\бф \пурпле Тогда $[K:k]$ -- расширение Галуа.} В самом деле, $K\otimes_k K=K[t]/(P)= \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)$ \пример Пусть $p$ -- простое. Тогда{\бф \пурпле для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$, $[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } {\бф \ред (докажите это!)} А если $p$ непростое? \пример Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно как векторное пространство над $\Q$). Тогда $[k:\Q]$ -- расширение Галуа {\бф \ред (докажите это!)} \end{document}