

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 4: тензорные произведения полей и композиты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 8 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.
Отношение <<быть расширением>> обозначается $[K:k]$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\утверждение
Пусть $[K_2:K_1:K]$ -- расширения полей.
{\бф \пурпле Если $[K_1:K]$ и $[K_2:K_1]$ алгебраичны, 
то $[K_2:K]$ алгебраично. Если они конечны,
то $[K_2:K]$ конечно.}

\newpage

{\bf \blue Алгебраические числа (повторение)}

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\определение
{\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел}
есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$.

\определение
Поле $K$ {\бф\блуе алгебраически замкнуто},
если любой многочлен $P(t)\in k[t]$
имеет корень в $K$.

\теорема
{\бф \ред Поле  $\bar \Q$ алгебраически замкнуто.}
\ендпрооф

\замечание
Коль скоро $\bar \Q$ счетно {\бф \пурпле (проверьте это!)}
а $\C$ несчетно, в $\C$ существуют неалгебраические числа.
Они называются {\бф \блуе трансцендентными}.



\невпаге

{\бф \блуе Примитивные расширения (повторение)}

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}
\ендпрооф


\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}
\ендпрооф


\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.
\ендпрооф

\newpage

\newpage

{\bf \blue Нильрадикал и идемпотенты (повторение)}


\определение
Элемент $r\in R$ в кольце $R$ называется
{\bf\блуе нильпотентным}, если $r^k=0$, для
какого-то $k\in \N$.

\замечание
Множество всех нильпотентов в кольце образует
идеал. Этот идеал называется
{\бф \блуе нильрадикалом} кольца.

\утверждение
{\бф \пурпле Фактор кольца по нильрадикалу 
не имеет ненулевых нильпотентов.}

\определение
Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$.
Тогда $v$ называется {\bf\блуе идемпотентом}.

\замечание
Произведение идемпотентов - идемпотент.
Если $e$ -- идемпотент, то $1-e$ -- тоже идемпотент.

\следствие Для идемпотента $e$, произведение $e(1-e)$ равно нулю.
Поэтому {\бф \пурпле каждый идемпотент $e\in A$ задает разложение
$A$ в прямую сумму: $A=eA + (1-e)A$} {\бф \ред (проверьте это)}


\newpage

{\bf \blue Артиновы кольца (продолжение)}

\определение
Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не
обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе
коммутативной алгеброй}.

\определение
Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над
полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf \блуе артиново кольцо над полем $k$},
если $R$ конечномерна как векторное пространство.

\определение
Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.

\определение
Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем.
Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным
(почленным) умножением и сложением.
Получившаяся алгебра называется
{\bf\блуе прямой суммой $R_i$}, обозначается
 $\oplus R_i$.

\лемма
Пусть $K$ -- конечномерное пространство над $k$,
снабженное структурой кольца. {\бф \ред Если $K$ не имеет
делителей нуля, то это поле.} \ендпрооф

\теорема
Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо.
{\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.}

\невпаге

{\bf \blue Тензорные произведения колец (повторение)}

\утверждение
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле
существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.}

\определение
Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.

\пример
Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ --
кольца полиномов. {\бф \пурпле Тогда 
\[ k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k
k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q].\]
}

\пример
$H^*(X\times Y, k) = H^*(X,k)\otimes_k H^*(Y, k)$ {\бф \блуе (формула Кюннета)}

\пример
$k[x,y]/(x^n,y^n)=k[x]/(x^n)\otimes_k k[y]/(y^n)$.


\newpage

{\bf \blue Инвариантные билинейные формы}

\определение
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$,
а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется
{\bf\блуе инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$
для любых $x$, $y$, $z$.

\замечание
Если $R$ содержит единицу, то 
для любой инвариантной формы $g$, имеем
$g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется
линейным функционалом.

\пример
На кольце $\R[x,y]/(x^{n+1},y^{n+1})= H^*(\C P^n\times \C P^n)$
есть функционал $\epsilon(\sum a_{ij}x^iy^j):= a_{nn}$.
{\бф \пурпле Соответствующая билинейная инвариантная форма 
$g(x,y):=\epsilon(xy)$ невырождена (проверьте).}
Этo формa Пуанкаре на $H^*(\C P^{n}\times \C P^{n})$

\определение
{\бф \блуе Фробениусова алгебра} есть конечномерная 
алгебра  над полем, снабженная невырожденной билинейной инвариантной
формой.

\упражнение
{\бф \пурпле Приведите пример артинова кольца, не допускающего
такой формы.}

\newpage

{\bf \blue Форма следа }



\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- расширение полей,
а $\epsilon$ -- ненулевой $k$-линейный функционал
на $K$. {\бф \пурпле Тогда  форма 
$g(x,y):=\epsilon(xy)$ невырождена.}

\доказательство Пусть $\epsilon(a)\neq 0$.
Тогда $g(x, x^{-1}a)\neq 0$.
\ендпрооф


\определение
{\бф \блуе След} линейного оператора есть сумма всех
диагональных членов в каком-то матричном представлении.


\определение
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$,
где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма 
$L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$.
Эта форма называется {\бф\блуе формой следа},
и обозначается $\tr_k(ab)$.


\замечание
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей.
В силу доказанного выше утверждения,
{\bf \purple форма следа $\tr_k(ab)$ невырождена, 
если $\tr_k$ не тождественно равен нулю.}


\newpage

{\bf \blue Форма следа и сепарабельность}

\определение
Расширение $[K:k]$ называется {\бф \блуе сепарабельным},
если форма следа $\tr_k(ab)$ ненулевая.

\замечание
{\бф \пурпле В характеристике 0, любое расширение сепарабельно,}
ибо $\tr_k(1)=\dim_k K$.

\теорема
Пусть $R$ -- артинова алгебра над $k$
с невырожденной формой следа. {\бф \ред Тогда $R$ полупросто.}

\доказательство
Поскольку $\tr_k(ab)=0$ для любого нильпотента $a$ (след нильпотентного
оператора равен нулю), {\бф \пурпле в $R$ нет нильпотентов. }
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Тензорное произведение полей}

\лемма
Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные
билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$.
Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes_k R'$
с естественной структурой артинова кольца. {\бф \ред Тогда форма следа на
$R \otimes_k R'$ равна $g\otimes g'$.}

\доказательство
Если $V,W$ -- векторные пространства над $k$,
$\mu, \rho$ -- эндоморфизмы $V,W$, то след
$\mu\otimes \rho$ на $V \otimes W$ равен 
$\tr(\mu)\tr(\rho)$, что ясно из блочного
разложение матрицы $\mu\otimes \rho$.
{\бф \пурпле Это дает след для разложимых векторов
вида $r\otimes r'\in R \otimes_k R'$,
на все остальные оно продолжается по линейности.}
\ендпрооф

\следствие
Если $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- сепарабельные расширения,
то {\бф \ред $K_1 \otimes_k K_2$ полупросто,} то есть
изоморфно прямой сумме полей.

\доказательство Потому что форма следа невырождена.
\ендпрооф

\замечание
В частности, {\бф \пурпле в характеристике 0 произведение 
конечных расширений поля $k$ есть всегда
прямая сумма полей.}


\newpage

{\bf \blue Тензорные произведения полей: примеры}

\утверждение
Пусть $P(t)$ -- полином над полем k,
$[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$. {\bf \red Тогда
$K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)$.}
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $P(t)$ -- полином над полем k,
$[K:k]$ -- расширение, а $K_1=k[t]/P(t)$.
Предположим, что $P(t)$ разлагается на линейные
множители над $K$. {\бф \ред Тогда
$K_1 \otimes K \cong K[t]/P(t)=\bigoplus К$}

\доказательство
Пусть $P=(t-a_1)(t-a_2)...(t-a_n)$.
{\бф \пурпле По китайской теореме об остатках, 
отображение $K[t]/(P)\arrow \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)=K$ 
сюрьективно,} и по соображениям размерности, это изоморфизм.
\ендпрооф



\упражнение
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого  есть ровно
$r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных,
причем все корни разные. {\бф \ред Докажите, что 
$(\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R$.}

\задача
Докажите, что {\бф \ред $[K:k]$ несепарабельно тогда и только тогда,
когда $K \otimes_k K$ содержит нильпотенты.}


\newpage

{\bf \blue Композит расширений}

\определение
Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, 
причем $[K_1:k]$ конечное. Обозначим за ${\goth n}$
нильрадикал произведения $K_1 \otimes_k K_2$, и пусть
$R=K_1 \otimes_k K_2/{\goth n}$. Поскольку $R$
конечномерно над $K_2$ и без нильпотентов, это прямая сумма полей.
Каждое из этих полей называется {\бф \блуе композитом}
$K_1$ и $K_2$.

\утверждение
{\бф \ред $K_1$ и $K_2$ канонически вложено в любой их композит.}

\доказательство
$K_1 \otimes_k 1 \subset K_1 \otimes_k K_2$
есть подполе, содержащее 1, и проекция $K_1 \otimes_k 1$
переводит 1 в 1, значит, не равна нулю. С другой стороны,
ненулевой гомоморфизм из поля куда угодно есть вложение.
\ендпрооф


\утверждение
Для каждого поля, допускающего 
$k$-линейный гомоморфизм
$K_1\stackrel{\mu_1} \arrow L$, $K_2 \stackrel{\mu_2}\arrow L$,
{\бф \ред естественное отображение 
$K_1\otimes_k K_2\stackrel{\mu_1\otimes\mu_2}\arrow L$
инъективно на каком-то из композитов $K\subset K_1\otimes_k K_2$.}

\доказательство
Гомоморфизм из поля куда угодно инъективен либо равен нулю.
С другой стороны, ограничение ${\mu_1\otimes\mu_2}$
на $K_1\otimes_k 1 \subset K_1\otimes_k K_2$
равно $\mu_1$, значит ненулевое.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Универсальное свойство композита}

\теорема {\bf \blue (Универсальное свойство композита)}
Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, 
причем одно из них конечное, a $L$ -- расширение $k$,
снабженное $k$-линейными гомоморфизмами 
$K_1 \stackrel \phi \arrow L$, 
$K_2 \stackrel \psi \arrow L$. 
Предпoложим, что $L$ порождено
образами $\phi$ и $\psi$. {\bf \red Тогда 
$L$ это композит $K_1$ и $K_2$.}

\доказательство
В силу предыдущего утверждения,
существует инъективное отображение
$K\arrow L$, где $K$ есть какой-то композит
$K_1$ и $K_2$. {\бф \пурпле Поскольку $L$ порожден
образами $K_1$ и $K_2$, это отображение сюрьективно.}
\ендпрооф

\утверждение
Пусть $K= k[t]/P(t)$ -- расширение, полученное
добавлением корня неприводимого многочлена $P(t)$,
а $P(t)= P_1(t) P_2(t) ... P_n(t)$ -- неприводимое
разложение $P(t)$ над полем $K'\supset k$.
{\бф \ред Тогда композиты $K$ и $K'$ суть все
поля вида $K'[t]/P_i(t)$.}

\доказательство
Следует из того, что \\
$K\otimes_k K'=k[t]/(P)\otimes_k K 
  =K[t]/(P)=\bigoplus_{i=1}^n K[t]/(P_i)$.
\ендпрооф

\упражнение
{\бф \пурпле Докажите последнее из этих равенств, используя китайскую 
теорему об остатках.}

\newpage

{\bf \blue Расширения Галуа}

\определение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf\blue расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.

\пример
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$.
{\бф \пурпле Тогда $[K:k]$ -- расширение Галуа.}
В самом деле, $K\otimes_k K=K[t]/(P)= \bigoplus_i K[t]/(t-a_i)$

\пример
Пусть $p$ -- простое.
Тогда{\бф \пурпле  для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. } {\бф \ред (докажите это!)}
А если $p$ непростое?

\пример
Пусть $[k:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). Тогда $[k:\Q]$ -- расширение
Галуа {\бф \ред (докажите это!)}





\end{document}
