

\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 1 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей (повторение)}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.
Отношение <<быть расширением>> обозначается $[K:k]$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 

\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.


\newpage

{\bf \blue Алгебраические числа (повторение)}

\теорема
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\определение
{\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел}
есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$.

\определение
Поле $K$ {\бф\блуе алгебраически замкнуто},
если любой многочлен $P(t)\in k[t]$
имеет корень в $K$.

\теорема
{\бф \ред Поле  $\bar \Q$ алгебраически замкнуто.}
\ендпрооф

\замечание
Коль скоро $\bar \Q$ счетно {\бф \пурпле (проверьте это!)}
а $\C$ несчетно, в $\C$ существуют неалгебраические числа.
Они называются {\бф \блуе трансцендентными}.

Трансцендентными являются числа $e$, $\pi$,
$e^{\alpha}$ для любого алгебраического $\alpha \neq 0$,
$e^\pi$, $2^{\sqrt 2}$, $\ln(\alpha)$ для любого
алгебраического $\alpha\neq 1$, и число Фредгольма
$\sum_{i=0}^\infty 2^{-2^i}$.


\невпаге

{\бф \блуе Минимальные полиномы (повторение)}

\утверждение
Пусть $K$ -- конечномерное пространство над $k$,
снабженное структурой кольца. {\бф \ред Если $K$ не имеет
делителей нуля, то это поле.} \ендпрооф


\определение
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
а $P(t)= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ полином
минимальной степени с коэффициентами из $k$, удовлетворяющий
$P(v)=0$. Этот полином называется {\бф \блуе минимальный полином}
$v\in R$.

\утверждение
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Неприводимые полиномы (повторение)}


\теорема Кольцо полиномов $k[t]$ {\bf \blue факториально}
(с однозначным разложением на множители).
\ендпрооф

\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал, $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.}
\ендпрооф


\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.
\ендпрооф

\newpage


{\bf \blue Тензорные произведения колец (повторение)}



\утверждение
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле
существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.}

\определение
Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.

\пример
Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ --
кольца полиномов. {\бф \пурпле Тогда 
\[ k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k
k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q].\]
}
\пример
$\C\otimes_\R \C= \C \oplus \C$.

\пример
Пусть $\R(t)$ -- поле рациональных функций 
с коэффициентами из $\R$. Тогда $\R(t)\otimes_\R \C= \C(t)$.

\замечание
Как будет доказано на следующей лекции, 
{\бф \пурпле тензорное произведение полей есть <<почти всегда>>
прямая сумма полей.}


\newpage

{\bf \blue Бесконечное тензорное произведение}

Я сейчас буду определять {\бф \блуе "бесконечное тензорное произведение"}
для бесконечного набора колец $R_\alpha\supset k$, проиндексированных
набором индексов $\alpha\in {\goth S}$.

Пусть  $S\subset {\mathfrak S}$ --
конечное подмножество, а $R_S:= \bigotimes_{\alpha\in S} R_\alpha$ --
произведение (над $k$) всех колец, входящих в $S$.

\лемма
Пусть $S\subset S'$ -- подмножество, 
а $\zeta= x_1\otimes_k x_2 \otimes ...\in R_S$ какой-то моном,
а $\zeta':=x_1\otimes_k x_2 \otimes ... \otimes 1 \otimes 1 \in R_{S'}$
соответствующий моном в $R_{S'}$, дополненный единицами.
Рассмотрим отображение $R_S \stackrel {\phi(S,S')} \longrightarrow R_{S'}$, переводящее
$\zeta$ в $\zeta'$. {\бф \пурпле Тогда $\phi$ индуцирует вложение колец.}
\ендпрооф

\определение
{\бф \блуе Бесконечное тензорное произведение}
$\bigoplus_{\alpha \in {\goth S}} R_\alpha$ есть объединение
 $R_S$ для всех конечных подмножеств $S\subset {\goth S}$
по вложениям $\phi(S,S')$.


\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания}


Пусть ${\mathfrak S}$ -- множество всех 
конечных расширений $[K_\alpha:k]$, проиндексированных 
$\alpha \in {\mathfrak S}$, а 
$R_{\goth S}:= \bigotimes_{\alpha\in {\goth S}} K_\alpha$ --
произведение (над $k$) всех полей, входящих в $S$.


\теорема
Пусть${\mathfrak I}$ -- максимальный идеал,
a  $K:=R_{\mathfrak S}/{\mathfrak I}$ -- поле, полученное 
как фактор $R_{\mathfrak S}$
по ${\goth I}$. {\бф \ред Тогда $[K:k]$ алгебраично, 
а любой полином $P(t)\in k[t]$  положительной
степени имеет корень в $K$.}

\дшаг
Каждый элемент $R_{\mathfrak S}$ происходит из конечного
произведения, то есть представлен в виде 
$\zeta\in R_S\hookrightarrow R_{\mathfrak S}$,
где $R_S$ -- алгебра, которая конечномерна над $k$.
Поскольку $\zeta$ лежит в конечномерной алгебре,
у $\zeta$ есть минимальный полином $P(t)$, с коэффициентами из $k$.
{\бф \пурпле Значит, все элементы $K$ алгебраичны.}


{\бф \греен Шаг 2:} Для любого неприводимого полинома $P(t)$,
соответствующее поле $K_P:=k[t]/(P)$ содержит корень $P(t)$.
Поскольку $R_{\goth S}$ содержит $K_P$, 
существует $\zeta\in R_{\goth S}$ такой, что $P(\zeta)=0$

{\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Образ $\zeta$ в $K$ является корнем $P(t)$.}
\ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (продолжение)}


\следствие
Для каждого поля $k$ {\bf \ред существует алгебраическое расширение
$[k':k]$ такое, что все многочлены $P(t)\in k[t]$  положительной
степени имеют корни в $K$.}

Напомню, что {\бф\блуе алгебраическое замыкание} поля
$k$ есть алгебраическое расширение $[\bar k:k]$,
которое алгебраически замкнуто.

\теорема
Пусть $k$ -- поле. {\бф \ред 
Тогда существует алгебраическое замыкание
$[\bar k:k]$.}

\дшаг
Мы можем построить расширение  $[k':k]$ такое, что все
полиномы над $k$ имеют корни в $k'$. Нам нужно, чтобы все
полиномы над $k'$ имели корни в $k$; это верно, но не вполне очевидно.
Вместо этого мы рассмотрим цепочку расширений
$k\subset k' \subset k'' \subset ...$, и {\бф \блуе положим 
$\bar k:=k\cup k'\cup k''\cup...$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем полином $P(t)\in \bar k$.
Каждый из его коэффициентов лежит в одном из полей
$k^{(i)}$, их конечное число, что дает $P(t)\in
k^{(n)}[t]$. Тогда $P(t)$ имеет корень в $k^{(n+1)}$.


\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (окончание)}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем полином $P(t)\in \bar k$.
Каждый из его коэффициентов лежит в одном из полей
$k^{(i)}$, их конечное число, что дает $P(t)\in
k^{(n)}[t]$. Тогда $P(t)$ имеет корень в $k^{(n+1)}$.


{\бф \греен Шаг 3:} Осталось убедиться, что 
$\bar k$ алгебраично над $k$. Каждый элемент
$x\in \bar k$ лежит в каком-то $k^{(n)}$, значит, {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $[k^{(n)}:k]$ алгебраично.}

{\бф \греен Шаг 4:} Имеем конечную цепочку расширений
$[k^{(n)}:k^{(n-1)}:...:k]$, и каждое последовательное
расширение алгебраично. Поэтому {\bf \пурпле алгебраичность 
$[k^{(n)}:k]$ вытекает из следующей леммы.}

\лемма
Пусть $K_2\supset K_1\supset K_0$ -- расширения полей,
причем $[K_i:K_{i-1}]$ алгебраично. {\бф \ред Тогда $[K_2:K_0]$
алгебраично.}

\доказательство Каждый $x\in K_2$  является корнем
многочлена $P(t)\in K_1[t]$. Возьмем поле $[K_1':K_0]$,
содержащее все коэффициенты $P(t)$. Оно конечно над $K_0$,
потому что порождено конечным числом алгебраических
элементов. {\бф \пурпле Получаем цепочку конечных расширений
$[K_1'[x]:K_1':K_0]$,} то есть $[K_1'[x]:K_0]$ конечно.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Идеалы в кольцах (повторение)}


\замечание
Все кольца в дальнейшем предполагаются 
коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$.
Все гомоморфизмы сохраняют 1. 
Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию
предполагаются {\бф\пурпле нетривиальными},
то есть не равными $R$. Кольцо, содержащее
поле $k$, называется {\бф\блуе коммутативной $k$-алгеброй},
или {\бф\блуе кольцом над $k$}.

\определение
{\бф \блуе Максимальный идеал} в кольце есть идеал, который не содержится
ни в каком большем.

\теорема
Каждый идеал $I$ в кольце {\бф\ред содержится в максимальном идеале.}
\ендпрооф

\определение
Элемент $r\in R$ в кольце $R$ называется
{\bf\блуе нильпотентным}, если $r^k=0$, для
какого-то $k\in \N$.

\замечание
Множество всех нильпотентов в кольце образует
идеал {\бф \пурпле (проверьте это).} Этот идеал называется
{\бф \блуе нильрадикалом} кольца.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред фактор кольца по нильрадикалу 
не имеет ненулевых нильпотентов.}



\newpage

{\bf \blue Артиновы кольца}


\определение
Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не
обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе
коммутативной алгеброй}.

\определение
Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над
полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf \блуе артиново кольцо над полем $k$},
если $R$ конечномерна как векторное пространство.

\определение
Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.

\определение
Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем.
Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным
(почленным) умножением и сложением.
Получившаяся алгебра называется
{\bf\блуе прямой суммой $R_i$}, обозначается
 $\oplus R_i$.

Сейчас я буду доказывать такую теорему.

\теорема
Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо.
{\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.}


\невпаге

{\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты}



\определение
Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$.
Тогда $v$ называется {\bf\блуе идемпотентом}.

\замечание
Произведение идемпотентов - идемпотент.
Если $e$ -- идемпотент, то $1-e$ -- тоже идемпотент.

\следствие Для идемпотента $e$, произведение $e(1-e)$ равно нулю.
Поэтому {\бф \пурпле каждый идемпотент $e\in A$ задает разложение
$A$ в прямую сумму: $A=eA + (1-e)A$} {\бф \ред (проверьте это)}


\невпаге

{\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты (продолжение)}

\утверждение
Пусть  $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет нильпотентов
и конечномерная над полем. {\бф \ред Тогда $A$ содержит идемпотент.}


\дшаг
Поскольку $A$ конечномерно, любая убывающая
цепочка идеалов обрывается. Значит, {\бф \пурпле есть идеал $I\subset A$,
который не содержит ненулевых идеалов.} Дальше мы будем рассматривать
этот идеал как подалгебру в $A$ (без единицы).

{\бф \греен Шаг 2:} 
Поскольку в $A$ нет нильпотентов, $z^2\neq 0$. 
А поскольку $I$ минимальный, 
для любого ненулевого $z\in I$, имеем $zI=I$. 

{\бф \греен Шаг 3:} Му доказали, что умножение на любой $z\in I$ 
не имеет ядра в $I$. Следовательно, {\бф \пурпле все элементы
$I$ обратимы,} как эндоморфизмы $I$. 

{\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $I$ конечномерно,
элементы $z, z^2, z^3, ...\in \End I$ линейно зависимы, что дает
выражение вида $P(z)=0$. Если у этого полинома нет
свободного члена, разделим на $z$, пользуясь тем, что
у $z$ нет ядра. Получим соотношение $\Id_I= az+ bz^2+ cz^3+ ...$
в кольце эндоморфизмов $I$. 

{\бф \греен Шаг 5:}
Элемент $U:=az+ bz^2+ cz^3+ ...$ удовлетворяет $Ux=x$ для
любого $x\in I$, {\бф \пурпле поэтому является идемпотентом.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Структурная теорема для полупростых артиновых алгебр}


\замечание
Аргумент шага 5 доказывает следующее утверждение.
Пусть $I$ -- коммутативная алгебра без делителей нуля,
конечномерная над полем.
{\бф \пурпле Тогда $I$ содержит единицу, т.е. является полем.}

\следствие
Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без
нильпотентов. {\бф \ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.}

\дшаг
Пусть $I\subset A$ -- нетривиальный идеал.
В силу доказанного утверждения, $I$ содержит 
ненулевой идемпотент $a$.

Тогда $a$ и $a-1$ -- идемпотенты, произведение которых
равно нулю, а сумма равна 1. {\бф \пурпле Это дает $A= aA \oplus (1-a)A$,
где $aA$ и $(1-a)A$ -- подалгебры с единицей.} Воспользовавшись
индукцией по $\dim A$, можно считать, что $aA$ и $(1-a)A$ --
прямые суммы полей. \ендпрооф

В следующей лекции я буду применять эти знания к тензорным
произведениям полей.


\невпаге

{\бф \блуе Структурная теорема для полупростых артиновых алгебр:
единственность разложения}

\лемма
Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$.
{\бф \ред Тогда разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено
однозначно} с точностью до перестановки слагаемых.

\доказательство
Если $A= \bigoplus_i k_i = \bigoplus_i k_i'$,
каждое из полей $k_i$ разложится в прямую сумму,
$k_i= \bigoplus_j k_i\cap k_j'$.
Поскольку поле не имеет нетривиальных разложений
такого вида, {\бф \пурпле получаем, что $k_i=k_j'$ для
какого-то индекса $j$.} \ендпрооф



\end{document}
