\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %,wasysym} \newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}} \def\endproof{$\blacksquare$} \def\ендпрооф{\endproof} \def\goth{\mathfrak} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\phi}{\varphi} %\newcommand{\green}{} %\newcommand{\purple}{} %\newcommand{\red}{} %\newcommand{\blue}{} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\смалл{\small} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\1{\sqrt{-1}} \def\rad{\operatorname{\sf rad}} \def\Alt{\operatorname{\sf Alt}} \def\Sym{\operatorname{\sf Sym}} \def\Id{\operatorname{\sf Id}} \def\Hom{\operatorname{Hom}} \def\Vol{\operatorname{Vol}} \def\Lie{\operatorname{Lie}} \def\Map{\operatorname{Map}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}} \def\Z{{\mathbb Z}} \def\R{{\mathbb R}} \def\C{{\mathbb C}} \def\Q{{\mathbb Q}} \def\N{{\mathbb N}} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\указание}{% {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \makeatletter \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil \tiny М. Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \makeatother \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Теория Галуа, лекция 3: тензорные произведения полей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий} \\[8mm] {\tiny \bf 1 февраля, 2013\\ матфак ВШЭ} \end{center} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage {\bf \blue Расширения полей (повторение)} \определение {\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$. Отношение <<быть расширением>> обозначается $[K:k]$. \определение {\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение $[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения есть размерность $K$ как векторного пространства над $k$. \определение Элемент $K$ называется {\бф\блуе алгебраическим над $k$}, если он содержится в конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно порождает поле $K''$, конечномерное над $k$. {\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \newpage {\bf \blue Алгебраические числа (повторение)} \теорема {\бф \пурпле Сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.} \ендпрооф \определение {\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел} есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$. \определение Поле $K$ {\бф\блуе алгебраически замкнуто}, если любой многочлен $P(t)\in k[t]$ имеет корень в $K$. \теорема {\бф \ред Поле $\bar \Q$ алгебраически замкнуто.} \ендпрооф \замечание Коль скоро $\bar \Q$ счетно {\бф \пурпле (проверьте это!)} а $\C$ несчетно, в $\C$ существуют неалгебраические числа. Они называются {\бф \блуе трансцендентными}. Трансцендентными являются числа $e$, $\pi$, $e^{\alpha}$ для любого алгебраического $\alpha \neq 0$, $e^\pi$, $2^{\sqrt 2}$, $\ln(\alpha)$ для любого алгебраического $\alpha\neq 1$, и число Фредгольма $\sum_{i=0}^\infty 2^{-2^i}$. \невпаге {\бф \блуе Минимальные полиномы (повторение)} \утверждение Пусть $K$ -- конечномерное пространство над $k$, снабженное структурой кольца. {\бф \ред Если $K$ не имеет делителей нуля, то это поле.} \ендпрооф \определение Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, а $P(t)= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ полином минимальной степени с коэффициентами из $k$, удовлетворяющий $P(v)=0$. Этот полином называется {\бф \блуе минимальный полином} $v\in R$. \утверждение Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$, a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$, порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Неприводимые полиномы (повторение)} \теорема Кольцо полиномов $k[t]$ {\bf \blue факториально} (с однозначным разложением на множители). \ендпрооф \определение Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим}, если его нельзя разложить на множители положительной степени. \утверждение Обозначим идеал, $k[t]P(t)$, порожденный полиномом $P(t)$, за $(P)$. Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда, когда факторкольцо $k[t]/(P)$ является полем.} \ендпрооф \определение Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$ называется {\бф\блуе примитивным}. \утверждение Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение. {\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью примитивных расширений.} Иначе говоря, существует набор промежуточных расширений $[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Тензорные произведения колец (повторение)} \утверждение Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$. В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле существует мультипликативная операция $(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$, переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.} \определение Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$}, и обозначается $A\otimes_k B$. \пример Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ -- кольца полиномов. {\бф \пурпле Тогда \[ k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q].\] } \пример $\C\otimes_\R \C= \C \oplus \C$. \пример Пусть $\R(t)$ -- поле рациональных функций с коэффициентами из $\R$. Тогда $\R(t)\otimes_\R \C= \C(t)$. \замечание Как будет доказано на следующей лекции, {\бф \пурпле тензорное произведение полей есть <<почти всегда>> прямая сумма полей.} \newpage {\bf \blue Бесконечное тензорное произведение} Я сейчас буду определять {\бф \блуе "бесконечное тензорное произведение"} для бесконечного набора колец $R_\alpha\supset k$, проиндексированных набором индексов $\alpha\in {\goth S}$. Пусть $S\subset {\mathfrak S}$ -- конечное подмножество, а $R_S:= \bigotimes_{\alpha\in S} R_\alpha$ -- произведение (над $k$) всех колец, входящих в $S$. \лемма Пусть $S\subset S'$ -- подмножество, а $\zeta= x_1\otimes_k x_2 \otimes ...\in R_S$ какой-то моном, а $\zeta':=x_1\otimes_k x_2 \otimes ... \otimes 1 \otimes 1 \in R_{S'}$ соответствующий моном в $R_{S'}$, дополненный единицами. Рассмотрим отображение $R_S \stackrel {\phi(S,S')} \longrightarrow R_{S'}$, переводящее $\zeta$ в $\zeta'$. {\бф \пурпле Тогда $\phi$ индуцирует вложение колец.} \ендпрооф \определение {\бф \блуе Бесконечное тензорное произведение} $\bigoplus_{\alpha \in {\goth S}} R_\alpha$ есть объединение $R_S$ для всех конечных подмножеств $S\subset {\goth S}$ по вложениям $\phi(S,S')$. \newpage {\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания} Пусть ${\mathfrak S}$ -- множество всех конечных расширений $[K_\alpha:k]$, проиндексированных $\alpha \in {\mathfrak S}$, а $R_{\goth S}:= \bigotimes_{\alpha\in {\goth S}} K_\alpha$ -- произведение (над $k$) всех полей, входящих в $S$. \теорема Пусть${\mathfrak I}$ -- максимальный идеал, a $K:=R_{\mathfrak S}/{\mathfrak I}$ -- поле, полученное как фактор $R_{\mathfrak S}$ по ${\goth I}$. {\бф \ред Тогда $[K:k]$ алгебраично, а любой полином $P(t)\in k[t]$ положительной степени имеет корень в $K$.} \дшаг Каждый элемент $R_{\mathfrak S}$ происходит из конечного произведения, то есть представлен в виде $\zeta\in R_S\hookrightarrow R_{\mathfrak S}$, где $R_S$ -- алгебра, которая конечномерна над $k$. Поскольку $\zeta$ лежит в конечномерной алгебре, у $\zeta$ есть минимальный полином $P(t)$, с коэффициентами из $k$. {\бф \пурпле Значит, все элементы $K$ алгебраичны.} {\бф \греен Шаг 2:} Для любого неприводимого полинома $P(t)$, соответствующее поле $K_P:=k[t]/(P)$ содержит корень $P(t)$. Поскольку $R_{\goth S}$ содержит $K_P$, существует $\zeta\in R_{\goth S}$ такой, что $P(\zeta)=0$ {\бф \греен Шаг 3:} {\бф \пурпле Образ $\zeta$ в $K$ является корнем $P(t)$.} \ендпрооф \newpage {\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (продолжение)} \следствие Для каждого поля $k$ {\bf \ред существует алгебраическое расширение $[k':k]$ такое, что все многочлены $P(t)\in k[t]$ положительной степени имеют корни в $K$.} Напомню, что {\бф\блуе алгебраическое замыкание} поля $k$ есть алгебраическое расширение $[\bar k:k]$, которое алгебраически замкнуто. \теорема Пусть $k$ -- поле. {\бф \ред Тогда существует алгебраическое замыкание $[\bar k:k]$.} \дшаг Мы можем построить расширение $[k':k]$ такое, что все полиномы над $k$ имеют корни в $k'$. Нам нужно, чтобы все полиномы над $k'$ имели корни в $k$; это верно, но не вполне очевидно. Вместо этого мы рассмотрим цепочку расширений $k\subset k' \subset k'' \subset ...$, и {\бф \блуе положим $\bar k:=k\cup k'\cup k''\cup...$.} {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем полином $P(t)\in \bar k$. Каждый из его коэффициентов лежит в одном из полей $k^{(i)}$, их конечное число, что дает $P(t)\in k^{(n)}[t]$. Тогда $P(t)$ имеет корень в $k^{(n+1)}$. \newpage {\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (окончание)} {\бф \греен Шаг 2:} Возьмем полином $P(t)\in \bar k$. Каждый из его коэффициентов лежит в одном из полей $k^{(i)}$, их конечное число, что дает $P(t)\in k^{(n)}[t]$. Тогда $P(t)$ имеет корень в $k^{(n+1)}$. {\бф \греен Шаг 3:} Осталось убедиться, что $\bar k$ алгебраично над $k$. Каждый элемент $x\in \bar k$ лежит в каком-то $k^{(n)}$, значит, {\бф \пурпле достаточно доказать, что $[k^{(n)}:k]$ алгебраично.} {\бф \греен Шаг 4:} Имеем конечную цепочку расширений $[k^{(n)}:k^{(n-1)}:...:k]$, и каждое последовательное расширение алгебраично. Поэтому {\bf \пурпле алгебраичность $[k^{(n)}:k]$ вытекает из следующей леммы.} \лемма Пусть $K_2\supset K_1\supset K_0$ -- расширения полей, причем $[K_i:K_{i-1}]$ алгебраично. {\бф \ред Тогда $[K_2:K_0]$ алгебраично.} \доказательство Каждый $x\in K_2$ является корнем многочлена $P(t)\in K_1[t]$. Возьмем поле $[K_1':K_0]$, содержащее все коэффициенты $P(t)$. Оно конечно над $K_0$, потому что порождено конечным числом алгебраических элементов. {\бф \пурпле Получаем цепочку конечных расширений $[K_1'[x]:K_1':K_0]$,} то есть $[K_1'[x]:K_0]$ конечно. \ендпрооф \newpage {\bf \blue Идеалы в кольцах (повторение)} \замечание Все кольца в дальнейшем предполагаются коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$. Все гомоморфизмы сохраняют 1. Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию предполагаются {\бф\пурпле нетривиальными}, то есть не равными $R$. Кольцо, содержащее поле $k$, называется {\бф\блуе коммутативной $k$-алгеброй}, или {\бф\блуе кольцом над $k$}. \определение {\бф \блуе Максимальный идеал} в кольце есть идеал, который не содержится ни в каком большем. \теорема Каждый идеал $I$ в кольце {\бф\ред содержится в максимальном идеале.} \ендпрооф \определение Элемент $r\in R$ в кольце $R$ называется {\bf\блуе нильпотентным}, если $r^k=0$, для какого-то $k\in \N$. \замечание Множество всех нильпотентов в кольце образует идеал {\бф \пурпле (проверьте это).} Этот идеал называется {\бф \блуе нильрадикалом} кольца. \упражнение Докажите, что {\бф \ред фактор кольца по нильрадикалу не имеет ненулевых нильпотентов.} \newpage {\bf \blue Артиновы кольца} \определение Кольцо над полем (ассоциативное, коммутативное, но не обязательно с единицей) будем называть {\бф \блуе коммутативной алгеброй}. \определение Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf \блуе артиново кольцо над полем $k$}, если $R$ конечномерна как векторное пространство. \определение Артиново кольцо $R$ называется {\bf\блуе полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \определение Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем. Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется {\bf\блуе прямой суммой $R_i$}, обозначается $\oplus R_i$. Сейчас я буду доказывать такую теорему. \теорема Пусть $A$ -- полупростое артиново кольцо. {\бф\ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.} \невпаге {\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты} \определение Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$. Тогда $v$ называется {\bf\блуе идемпотентом}. \замечание Произведение идемпотентов - идемпотент. Если $e$ -- идемпотент, то $1-e$ -- тоже идемпотент. \следствие Для идемпотента $e$, произведение $e(1-e)$ равно нулю. Поэтому {\бф \пурпле каждый идемпотент $e\in A$ задает разложение $A$ в прямую сумму: $A=eA + (1-e)A$} {\бф \ред (проверьте это)} \невпаге {\бф \блуе Конечномерные алгебры над полем и идемпотенты (продолжение)} \утверждение Пусть $A$ -- коммутативная алгебра, в которой нет нильпотентов и конечномерная над полем. {\бф \ред Тогда $A$ содержит идемпотент.} \дшаг Поскольку $A$ конечномерно, любая убывающая цепочка идеалов обрывается. Значит, {\бф \пурпле есть идеал $I\subset A$, который не содержит ненулевых идеалов.} Дальше мы будем рассматривать этот идеал как подалгебру в $A$ (без единицы). {\бф \греен Шаг 2:} Поскольку в $A$ нет нильпотентов, $z^2\neq 0$. А поскольку $I$ минимальный, для любого ненулевого $z\in I$, имеем $zI=I$. {\бф \греен Шаг 3:} Му доказали, что умножение на любой $z\in I$ не имеет ядра в $I$. Следовательно, {\бф \пурпле все элементы $I$ обратимы,} как эндоморфизмы $I$. {\бф \греен Шаг 4:} Поскольку $I$ конечномерно, элементы $z, z^2, z^3, ...\in \End I$ линейно зависимы, что дает выражение вида $P(z)=0$. Если у этого полинома нет свободного члена, разделим на $z$, пользуясь тем, что у $z$ нет ядра. Получим соотношение $\Id_I= az+ bz^2+ cz^3+ ...$ в кольце эндоморфизмов $I$. {\бф \греен Шаг 5:} Элемент $U:=az+ bz^2+ cz^3+ ...$ удовлетворяет $Ux=x$ для любого $x\in I$, {\бф \пурпле поэтому является идемпотентом.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Структурная теорема для полупростых артиновых алгебр} \замечание Аргумент шага 5 доказывает следующее утверждение. Пусть $I$ -- коммутативная алгебра без делителей нуля, конечномерная над полем. {\бф \пурпле Тогда $I$ содержит единицу, т.е. является полем.} \следствие Пусть $A$ есть кольцо, конечномерное над полем, и без нильпотентов. {\бф \ред Тогда $A$ есть прямая сумма полей.} \дшаг Пусть $I\subset A$ -- нетривиальный идеал. В силу доказанного утверждения, $I$ содержит ненулевой идемпотент $a$. Тогда $a$ и $a-1$ -- идемпотенты, произведение которых равно нулю, а сумма равна 1. {\бф \пурпле Это дает $A= aA \oplus (1-a)A$, где $aA$ и $(1-a)A$ -- подалгебры с единицей.} Воспользовавшись индукцией по $\dim A$, можно считать, что $aA$ и $(1-a)A$ -- прямые суммы полей. \ендпрооф В следующей лекции я буду применять эти знания к тензорным произведениям полей. \невпаге {\бф \блуе Структурная теорема для полупростых артиновых алгебр: единственность разложения} \лемма Пусть $A$ есть прямая сумма полей, $A= \bigoplus_i k_i$. {\бф \ред Тогда разложение $A= \bigoplus_i k_i$ определено однозначно} с точностью до перестановки слагаемых. \доказательство Если $A= \bigoplus_i k_i = \bigoplus_i k_i'$, каждое из полей $k_i$ разложится в прямую сумму, $k_i= \bigoplus_j k_i\cap k_j'$. Поскольку поле не имеет нетривиальных разложений такого вида, {\бф \пурпле получаем, что $k_i=k_j'$ для какого-то индекса $j$.} \ендпрооф \end{document}