\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%,wasysym}

\newcommand{\arrow}{{\:\rightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{$\blacksquare$}
\def\ендпрооф{\endproof}
\def\goth{\mathfrak}


\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}


\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\смалл{\small}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


 
   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\указание}{%
     {\bf \green УКАЗАНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Теория Галуа, второй курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother



\begin{document}

\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Теория Галуа, лекция 2: расширения полей }
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 25 января, 2013\\ матфак ВШЭ}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Расширения полей}

\определение
{\бф\блуе Расширение поля $k$} есть поле $K$, содержащее $k$.
Отношение <<быть расширением>> обозначается $[K:k]$.

\определение
{\бф \блуе Конечное расширение} есть расширение
$[K:k]$ такое, что $K$ конечномерно как векторное
пространство над $k$. {\бф\блуе Степень} конечного расширения
есть размерность $K$ как векторного пространства
над $k$. 


{\бф \греен Утверждение 1:}
{\бф \ред Если $[K:K_1]$ и $[K_1:k]$ -- конечные расширения,
то $[K:k]$ тоже конечно.}

\доказательство
Возьмем базис $a_1, ..., a_n$ в $K_1$ над $k$,
и $b_1, ..., b_m$ в $K$ над $K_1$. Тогда
$k\langle a_1, ..., a_n\rangle= K_1$, что дает
\[ K= \bigoplus_{i=1}^m K_1 \cdot b_i= \bigoplus_{i=1}^m
\bigoplus_{j=1}^n k\cdot a_j b_i
\]
то есть конечномерно. \ендпрооф


\определение
Элемент $K$ называется {\бф\блуе 
алгебраическим над $k$}, если он содержится в
конечном расширении $[K':k]$, то есть мультипликативно 
порождает поле $K''$, конечномерное над $k$.
{\бф\блуе Алгебраическое расширение} есть
такое расширение $[K:k]$, что все элементы $K$
алгебраичны над $k$.

\newpage

{\bf \blue Конечные расширения}

\определение
{\бф \блуе Делители нуля} в кольце суть такие $x, y$, что
$xy=0$.


\определение
Если $k\subset K$ -- подполе $K$, a $V$, $W$ -- 
линейные пространства над $K$, мы можем рассмотреть
$V$, $W$ как линейные пространства $V_k$, $W_k$ над $k$.
В такой ситуации, линейное отображение $V_k\arrow W_k$
называется {\bf\блуе $k$-линейным отображением пространства
$V$ в $W$.}

\утверждение
Пусть $K$ -- конечномерное пространство над $k$,
снабженное структурой кольца. {\бф \ред Если $K$ не имеет
делителей нуля, то это поле.}

\дшаг
Для любого конечного расширения
$[K:k]$, рассмотрим умножение на $x\in K$ как $k$-линейный
эндоморфизм $A_x:\; K\arrow K$. Ядра у него нет, потому что $K$ без
делителей нуля. {\бф \пурпле Поскольку размерность ядра равна
размерности коядра, $A_x$ сюрьективен.}

{\бф \греен Шаг 2:} {\бф \пурпле
Значит, найдется $y\in A$ такой, что
$xy=1$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $x\in K$ -- элемент расширения
$[K:k]$, алгебраичный над $k$.
{\бф \ред Тогда кольцо $k[x]$, порожденное $x$, это 
поле.} \ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Корни многочленов}

\определение
Пусть $P(t)\in K[t]$ -- многочлен степени $>0$.
{\бф \блуе Корень} $P$ есть $\alpha \in K$
такое, что $P(\alpha)=0$.

\теорема
Пусть $[K:k]$ расширение,
а $x\in K$. Тогда следующие условия равносильны.\\
\ \ (i) {\бф \ред $x$ -- корень многочлена} $P(x)=0$ над $k$. \\
\ \ (ii) {\бф \ред $х$ алгебраичен.}

\доказательство,
Если $x$ алгебраичен, то $k[x]$ конечномерно над $k$, то есть
$x^d$ выражается как линейная комбинация $x^{d-1}$,
$x^{d-2}$, ... $x$, 1 с коэффициентами из $k$. {\бф
\пурпле Значит, $x$ корень полинома.}

Наоборот, если $x$ -- корень многочлена, 
то $x^d$ выражается как линейная комбинация $x^{d-1}$,
$x^{d-2}$, ... $x$, 1, значит {\бф \пурпле 
$k[x]$ конечномерно над $k$;}
в силу доказанного выше утверждения, {\бф \пурпле $k[x]$ 
конечномерное кольцо без делителей нуля, то есть поле.}
\ендпрооф




\newpage

{\bf \blue Алгебраические числа}

\замечание
Пусть $[K_1=k[x]:k]$ конечное расширение,
а $[K_2=K_1[y]:K_1$ -- тоже конечное
расширение. Значит, {\бф \пурпле кольцо $k[x,y]$, порожденное 
$x$ и $y$, конечномерно.}

\следствие
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, 
$x_1, ..., x_n\in K$ -- алгебраические элементы.
Тогда {\бф \ред кольцо $R:=k[x_1, x_2,..., x_n]$, порожденное 
$x_1, ..., x_n$, является полем,} и расширение
$[R:k]$ конечно.
\ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов алгебраично над $k$.}
\ендпрооф

\определение
{\бф \блуе Поле $\bar \Q$ алгебраических чисел}
есть множество всех элементов $\C$, алгебраичных над $\Q$.

\определение
Поле $K$ {\бф\блуе алгебраически замкнуто},
если любой многочлен $P(t)\in k[t]$
имеет корень в $K$.

\newpage

{\bf \blue Алгебраические числа (продолжение)}


\теорема
{\бф \ред Поле  $\bar \Q$ алгебраически замкнуто.}

\дшаг
$\C$ алгебраически замкнуто, значит, {\бф \пурпле любой многочлен 
$P(t)\in \bar \Q[t]$ над $\bar Q$ имеет корень в $\C$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть $\alpha$ -- корень многочлена $P(t)$ с коэффициентами в
$\bar \Q$. Рассмотрим {\бф \пурпле поле $K$, порожденное этими
коэффициентами.} Поскольку коэффициенты $P(t)$ алгебраичны,
расширение $[K:k]$ конечно. Значит, $\alpha$ алгебраичен
над $K$.

{\бф \греен Шаг 3:} Расширение $[K:\Q]$ конечно
и $[K[\alpha]:K]$ тоже конечно. {\бф \пурпле В силу <<Утверждения 1>>
со 2-й страницы, $[K[\alpha]:\Q]$ -- конечное расширение.}
\ендпрооф

\замечание
Коль скоро $\bar \Q$ счетно {\бф \пурпле (проверьте это!)}
а $\C$ несчетно, в $\C$ существуют неалгебраические числа.
Они называются {\бф \блуе трансцендентными}.

Трансцендентными являются числа $e$, $\pi$,
$e^{\alpha}$ для любого алгебраического $\alpha \neq 0$,
$e^\pi$, $2^{\sqrt 2}$, $\ln(\alpha)$ для любого
алгебраического $\alpha\neq 1$, и число Фредгольма
$\sum_{i=0}^\infty 2^{-2^i}$.


\newpage

{\bf \blue Алгоритм Евклида}

\замечание
В дальнейшем, все полиномы предполагаются по умолчанию 
{\бф \ред положительной степени.}

\теорема {\бф \греен (Алгоритм Евклида)}\\
Пусть $P(t), Q(t)\in k[t]$ --
полиномы над полем $k$. 
{\бф \ред Тогда существует полином $V(t)$, делящий $P(t)$ и $Q(t)$,
который можно можно выразить как линейную комбинацию
$P$ и $Q$} над $k[t]$.
\ендпрооф

\упражнение
{\бф \пурпле Докажите эту теорему.}

\определение
{\бф \блуе Наибольший общий делитель} $P$ и $Q$
есть полином наибольшей степени, который делит $P$ и $Q$.

\замечание
Наибольший общий делитель $P(t)$ и $Q(t)$
пропорционален $V(t)$, построенному выше.
Действительно, {\бф \пурпле любой делитель $P(t)$ и $Q(t)$
обязан делить их линейную комбинацию
$V(t)=A(t)P(t)+B(t)Q(t)$.}

\следствие
Кольцо полиномов $k[t]$ {\бф \блуе факториально}
(обладает однозначным разложением на простые множители).


\newpage

{\bf \blue Неприводимые полиномы}


\определение
Полином $P(t)\in k[t]$ {\бф \блуе неприводим},
если его нельзя разложить на множители положительной
степени.


\утверждение
Обозначим идеал, $k[t]P(t)$, порожденный полиномом
$P(t)$, за $(P)$.
Полином $P(t)$ {\бф \ред неприводим тогда и только тогда,
когда факторкольцо $k[t]/(P)$
не имеет делителей нуля.}

\дшаг
{\бф \пурпле Произведение полиномов, взаимно простых с $P(t)$, снова
взаимно просто с $P(t)$,} в силу факториальности.

{\бф \греен Шаг 2:}
Поэтому, если полином $P(t)$ неприводим, то любой полином
$Q(t)$ {\бф \пурпле либо делится на $P(t)$, либо взаимно прост с ним.}
Значит $k[t]/(P)$
не имеет делителей нуля.

{\бф \греен Шаг 3:} Наоборот, если $k[t]/(P)$ не имеет
делителей нуля, то произведение полиномов, которые
не делятся на $P(t)$, тоже не делится на $P(t)$.
\endproof


\newpage

{\bf \blue Минимальный полином}

\утверждение
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$.
Рассмотрим подпространство $R$, порожденное
$1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). 
Пусть оно $n$-мерно. {\бф \ред Тогда $P(v)=0$  для 
некоторого полинома $P= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$
с коэффициентами из $k$. Более того, этот полином 
единственный}.

\дшаг
Существование нетривиального полинома
$P$ степени $d\leq n$, удовлетворяющего $P(v)=0$, {\бф \пурпле сразу следует
из наличия линейных соотношений между $1, v, v^2, v^3, \dots$.}
(если таких соотношений нет, $R$ должно быть как минимум $n+1$-мерно).

{\бф \греен Шаг 2:}  $\deg P \leq n$,
потому что {\бф \пурпле $v^d, v^{d+1}, ...$  выражаются через 
$1, v, v^2, v^3, \dots, v^{d-1}$. } Мы получили, что $\deg P=n$

{\бф \греен Шаг 3:} Если таких полиномов 2, то 
{\бф\пурпле они равны, либо 
их разность $Q(t)$ -- полином степени $<n$,
удовлетворяющий $Q(v)=0$.}
Это доказывает единственность.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Минимальный полином (продолжение)}


\определение
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
а $P(t)= = t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ полином
минимальной степени с коэффициентами из $k$, удовлетворяющий
$P(v)=0$. Этот полином называется {\бф \блуе минимальный полином}
$v\in R$.

\замечание
Минимальный полином линейного оператора определяется точно также.

{\бф \греен Утверждение 2:}
Пусть $v\in R$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$,
a $P(t)$ -- его минимальный полином. {\бф \ред Тогда подалгебра $R_v\subset R$,
порожденная $v$, изоморфна $k[t]/(P)$.}

\доказательство
Определим гомоморфизм $k[t]/(P)\arrow R_v$, переводящий $t$ в $v$.
Он по построению сюрьективен. Поскольку $\dim R_v=\deg P$,
размерность этих колец одинаковая.
\ендпрооф



\newpage

{\bf \blue Примитивные расширения}


Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином.
{\бф \пурпле Поскольку $k[t]/(P)$ конечномерно над $k$ и не имеет
делителей нуля, это поле.} А поскольку $P(t)=0$ имеет решение $t$
в $k[t]/(P)$, $P(t)$ имеет корень в этом поле.

\определение
 Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином. 
Поле $k[t]/(P)$ называется {\bf\блуе расширение $k$, полученное
добавлением корня $P(t)$}. Расширение $[k[t]/(P):k]$
называется {\бф\блуе примитивным}.

\утверждение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение.
{\бф \ред Тогда $K$ может быть получено из $k$ последовательностью
примитивных расширений.} Иначе говоря,
существует набор промежуточных расширений
$[K=K_n:K_{n-1}:K_{n-2}:...:K_0=k]$, таких, что
каждое $[K_i:K_{i-1}]$ примитивно.

\дшаг
Возьмем $\alpha \in K$, и пусть $K_{1}=k[\alpha]$ --
кольцо, порожденное $\alpha$. Тогда {\бф \пурпле $[K_1:K_0]$ примитивно, в силу 
Утверждения 2.}

{\бф \греен Шаг 2:} Если $K_1\neq K$, повторим эту 
процедуру, получив примитивное расширение $[K_2:K_1]$ и так далее.
На каждом шаге размерность $K_i$ над $k$ увеличивается,
но она не может быть больше $\dim_k K$, поэтому {\бф \пурпле этот
процесс остановится, когда $K_n=K$.} \ендпрооф

\newpage

{\bf \blue Идеалы в кольце}

\замечание
Все кольца в дальнейшем предполагаются 
коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$.
Все гомоморфизмы сохраняют 1. 
Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию
предполагаются {\бф\пурпле нетривиальными},
то есть не равными $R$. Кольцо, содержащее
поле $k$, называется {\бф\блуе коммутативной $k$-алгеброй},
или {\бф\блуе кольцом над $k$}.


\определение
{\бф \блуе Максимальный идеал} в кольце есть идеал, который не содержится
ни в каком большем.


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле идеал $I\subset R$ максимален
тогда и только тогда, когда $R/I$ -- поле.}

\теорема
Каждый идеал $I$ в кольце {\бф\ред содержится в максимальном идеале.}
\ендпрооф

\упражнение Докажите это.



\newpage

{\bf \blue Тензорные произведения колец}



\утверждение
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
В силу билинейности произведения, {\бф \пурпле
существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.}

\определение
Это кольцо называется {\бф\blue тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.

\пример
Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ --
кольца полиномов. {\бф \пурпле Тогда 
\[ k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k
k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q].\]
}

\утверждение
Пусть $R=k[u_1, u_2, ...,u_d]$ кольцо полиномов от какого-то
набора переменных, a $F_i\in k[u_i]$ -- полином
положительной степени. Рассмотрим идеал
$I\subset R$, порожденный $F_i(u_i)$.
{\бф \ред Тогда $R/I=\bigotimes_{i=1}^d\bigg(k[u_i]/(F_i)\bigg)$.}

\дшаг
Положим $R':= k[u_1, u_2,
...,u_{d-1}]$, и пусть идеал $I'$
порожден $F_1(u_1), ..., F_{d-1}(u_{d-1})$.
{\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией, получим $R'/I'=\bigotimes_{i=1}^{d-1}
\bigg(k[u_i]/(F_i)\bigg)$}.


\newpage

{\bf \blue Тензорные произведения колец (продолжение)}

\лемма
Пусть $R=k[u_1, u_2, ...,u_d]$ кольцо полиномов от какого-то
набора переменных, a $F_i\in k[u_i]$, $i=1, ..., d$ -- полиномы
положительной степени. Рассмотрим идеал
$I\subset R$, порожденный $F_i(u_i)$.
{\бф \ред Тогда \[ R/I=\bigotimes_{i=1}^d\bigg(k[u_i]/(F_i)\bigg).\]}

\дшаг
Положим $R':= k[u_1, u_2,
...,u_{d-1}]$, и пусть идеал $I'$
порожден $F_1(u_1), ..., F_{d-1}(u_{d-1})$.
{\бф \пурпле Воспользовавшись индукцией, получим $R'/I'=\bigotimes_{i=1}^{d-1}
\bigg(k[u_i]/(F_i)\bigg)$}.

{\бф \греен Шаг 2:} $R=R'\otimes_k k[u_d]/(F_d(u_d))$,
ибо {\бф \пурпле по модулю $I'$ идеал $I$ главный и порожден $(F_d(u_d))$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Искомый изоморфизм получается 
из объединения утверждений шага 1 и шага 2. \ендпрооф

\следствие
{\бф \пурпле Кольцо $R/I$, определенное в этом утверждении, ненулевое.}


\newpage

{\bf \blue Тензорные произведения колец (окончание)}

\лемма
Пусть $R=k[u_1, u_2, ...,]$ кольцо полиномов от какого-то
набора переменных, не обязательно конечного, а 
$F_i\in k[u_i]$, $i=1, 2, ... $ -- полиномы
положительной степени. Рассмотрим идеал $I$, порожденный
$F_i(u_i)$. {\бф \ред Тогда $I$ -- собственный идеал, то есть не содержит 1.}

\дшаг
Если $I$ содержит 1, то существует конечное
линейное выражение вида $1= \sum_{l=1}^k A_l F_{i_l}(u_{i_l})$,
где $A_l\in k[u_1, u_2, ...,]$. Рассмотрим конечно-порожденное подкольцо
$R'=k[u_1, u_2, ...,u_d]$, в которое входят все переменные,
встречающиеся в полиномах $A_l$, и все $u_{i_l}$.
{\бф \пурпле Из $1= \sum_{l=1}^k A_l F_{i_l}(u_{i_l})$ следует, что
$1\in I\cap R'$.}

{\бф \греен Шаг 2:} 
В силу предыдущей леммы, $R'/I\cap R'\neq 0$,
но это противоречит тому, что $1\in I\cap R'$.
\ендпрооф


\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания}

Пусть ${\mathfrak S}$ -- множество всех полиномов положительной
степени $F_\alpha\in k[t]$ над полем $k$, 
$R_{\mathfrak S}=k[u_1, u_2, ...,]$ кольцо полиномов,
проиндексированное $\alpha\in {\mathfrak S}$, а $F_\alpha(u_\alpha)$ --
соответствующие полиномы. Пусть $I\subset R$ -- идеал, порожденный
всеми $F_\alpha(u_\alpha)$, а ${\mathfrak I}$ --
максимальный идеал, содержащий $I$. 

\теорема
Пусть $K:=R_{\mathfrak S}/{\mathfrak I}$ -- поле, полученное 
как фактор $R_{\mathfrak S}$
по ${\goth I}$. {\бф \ред Тогда $[K:k]$ алгебраично, 
а любой полином $P(t)\in k[t]$  положительной
степени имеет корень в $K$.}

\дшаг
Я буду обозначать элементы $K$, полученные из $u_\alpha\in R$,
той же буквой.
Пусть $F_\alpha(t)\in k[t]$ -- какой-то полином. Поскольку
$F_\alpha(u_\alpha)=0$ в $R/I$, $F_\alpha(t)$ имеет корень в $K$.

{\бф \греен Шаг 2:} Любой $u_\alpha$ является корнем полинома
$F_\alpha(t)$, то есть алгебраичен над $k$. Но все элементы
$K$ выражаются через полиномы от $u_\alpha$.
\ендпрооф

\следствие
Для каждого поля $k$ {\bf \ред существует алгебраическое расширение
$[k':k]$ такое, что все многочлены $P(t)\in k[t]$  положительной
степени имеют корни в $K$.}

\вопрос
А почему из этого не следует сразу
что $[k':k]$ -- алгебраическое замыкание $k$?

\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (продолжение)}

Напомню, что {\бф\блуе алгебраическое замыкание} поля
$k$ есть алгебраическое расширение $[\bar k:k]$,
которое алгебраически замкнуто.

\теорема
Пусть $k$ -- поле. {\бф \ред 
Тогда существует алгебраическое замыкание
$[\bar k:k]$.}

\доказательство
Мы можем построить расширение  $[k':k]$ такое, что все
полиномы над $k$ имеют корни в $k'$. Нам нужно, чтобы все
полиномы над $k'$ имели корни в $k$; это верно, но не вполне очевидно.
Вместо этого мы рассмотрим цепочку расширений
$k\subset k' \subset k'' \subset ...$, и {\бф \блуе положим 
$\bar k:=k\cup k'\cup k''\cup...$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Возьмем полином $P(t)\in \bar k$.
Каждый из его коэффициентов лежит в одном из полей
$k^{(i)}$, их конечное число, что дает $P(t)\in
k^{(n)}[t]$. Тогда $P(t)$ имеет корень в $k^{(n+1)}$.

{\бф \греен Шаг 3:} Осталось убедиться, что 
$\bar k$ алгебраично над $k$. Каждый элемент
$x\in \bar k$ лежит в каком-то $k^{(n)}$, значит, {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $[k^{(n)}:k]$ алгебраично.}


\newpage

{\bf \blue Конструкция алгебраического замыкания (окончание)}


{\бф \греен Шаг 3:} Осталось убедиться, что 
$\bar k$ алгебраично над $k$. Каждый элемент
$x\in \bar k$ лежит в каком-то $k^{(n)}$, значит, {\бф \пурпле достаточно
доказать, что $[k^{(n)}:k]$ алгебраично.}

{\бф \греен Шаг 4:} Имеем конечную цепочку расширений
$[k^{(n)}:k^{(n-1)}:...:k]$, и каждое последовательное
расширение алгебраично. Поэтому {\bf \пурпле алгебраичность 
$[k^{(n)}:k]$ вытекает из следующей леммы.}

\лемма
Пусть $K_2\supset K_1\supset K_0$ -- расширения полей,
причем $[K_i:K_{i-1}]$ алгебраично. {\бф \ред Тогда $[K_2:K_0]$
алгебраично.}

\доказательство Каждый $x\in K_2$  является корнем
многочлена $P(t)\in K_1[t]$. Возьмем поле $[K_1':K_0]$,
содержащее все коэффициенты $P(t)$. Оно конечно над $K_0$,
потому что порождено конечным числом алгебраических
элементов. {\бф \пурпле Получаем цепочку конечных расширений
$[K_1'[x]:K_1':K_0]$,} то есть $[K_1'[x]:K_0]$ конечно
(Утверждение 1).
\ендпрооф





\end{document}