\documentclass[12pt]{article}

%version 1.0,\ \   14.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума)
%version 1.1,\ \   15.02.2013 исправления от Жени Фейгина
%version 1.2,\ \   30.03.2013 поправил про группу с транспозицией
%version 1.3,\ \   31.03.2013 и еще раз поправил

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   31.03.2013}
\newcommand{\firstdate}{15.03.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Теория Галуа 8: Теорема Абеля}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Разрешимые группы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




\задача
Пусть задан гомоморфизм $G_2\stackrel \phi \arrow
\Aut(G_1)$. Определим на множестве пар $(g_1, g_2)\in G_1 \times G_2$ следующую
операцию: 
\[ (g_1, g_2)\cdot (h_1, h_2) = (g_1 \phi(g_2) h_1, g_2 h_2).\]
Докажите, что получится группа. 
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Эта группа называется {\bf полупрямым}, или {\бф скрученным} 
произведением $G_1$ и $G_2$ и обозначается $G_1 \rtimes G_2$.
\end{opredelenie}

\задача  
В условиях предыдущей задачи
докажите, что $(G_1, 1)$ задает нормальную 
 подгруппу в $G$, а фактор по этой подгруппе 
изоморфен $G_2$.
\end{zadacha}

\задача 
Опишите группу $S_3$ как скрученное произведение
двух абелевых групп. 
\end{zadacha}


\задача
Опишите диэдральную группу 
(группу симметрий правильного многоугольника на плоскости)
как скрученное произведение двух абелевых групп.
\end{zadacha}




\задача[*]
{\бф Группой Клейна} называется группа кватернионов
вида $\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K$,
с естественной операцией умножения.
Можно ли получить группу Клейна как 
скрученное произведение двух абелевых 
групп?
\end{zadacha}


\задача[!]
Пусть $1 \arrow G_1 \arrow G
\stackrel \phi \arrow G_2\arrow 1$ -- расширение групп.
Предположим, что задан  гомоморфизм 
$G\stackrel \psi \arrow G_2$, такой,
что $\psi \circ \phi$ -- тождественный
автоморфизм $G_2$ (в такой ситуации говорится,
что $\phi$ {\bf допускает сечение}).
Докажите, что $G$ можно получить как
скрученное произведение $G_1 \rtimes G_2$.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Группа $G$ называется {\bf разрешимой}, если
существует последовательность 
$1= G_n \subset G_{n-1} \subset \dots \subset G_0 = G$
нормальных подгрупп, причем все $G_i/G_{i-1}$ абелевы.
\end{opredelenie}



\задача
Докажите, что подгруппа разрешимой группы разрешима.
\end{zadacha}

\задача Докажите, что симметрическая группа $S_3$
разрешима.
\end{zadacha}

\задача 
Докажите, что симметрическая группа $S_4$ разрешима.
\end{zadacha}

\задача 
Докажите, что группа Клейна 
$\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$
разрешима.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $G_0$ -- группа, $G_1$ -- ее коммутант,  
$G_2= [G_1,G_1]$ -- коммутант коммутанта,
и так далее, $G_i= [G_{i-1},G_{i-1}]$. Докажите, что $G_0$ разрешима
тогда и только тогда, когда на каком-то 
шаге мы получим $G_n =1$.
\end{zadacha}

\определение
Пусть $G$ -- группа, $LG_1$ -- ее коммутант,  
$LG_2= [G,LG_1]$, $LG_3= [G,LG_2]$, и так далее.
Эта последовательность подгрупп называется
{\бф нижним центральным рядом}. Группа,
у которой нижний центральный ряд заканчивается
группой $LG_n=\{1\}$, называется {\бф нильпотентной}.
\ео

%\NewVedomost

\задача
Докажите, что любая нильпотентная группа разрешима.
Приведите пример разрешимой группы, которая не нильпотентна.
\ез

\определение
Обозначим за $Z(G)$ центр группы $G$.
Если $H\subset G$ нормальная подгруппа,
обозначим за $Z_H(G)$ все элементы $G$, 
которые переходят в $Z(G/H)$ при естественном
гомоморфизме $G \arrow G/H$.
{\бф Верхний центральный ряд} группы $G$
есть $UG_0=Z(G)$, $UG_1=Z_{UG_0}(G)$, 
$UG_2=Z_{UG_1}(G)$, и так далее.
\ео

\задача[**]
Докажите, что нижний центральный ряд нильпотентной 
группы имеет такую же длину, как и ее верхний 
центральный ряд.
\ез

\определение
Пусть $t,x\in G$ -- элементы группы.
Элемент вида $xtx^{-1}$ обозначается $t^x$.
Соответствующая операция называется {\бф сопряжением},
{\бф скруткой}, или {\бф подкруткой на $x$}.
Отображение $x\arrow t^x$ есть (очевидно) автоморфизм
группы. Такой автоморфизм называется {\бф внутренним}.
\ео

\задача
Пусть $g_1, g_2\in S_n$ элементы группы
перестановок, разложение которых на циклы имеет
одинаковую длину. Докажите, что $g_1$ можно перевести 
в $g_2$ внутренним автоморфизмом.
\ез


\задача[!]
Пусть $g_1, g_2\in A_n$ элементы группы четных
перестановок, разложение которых на непересекающиеся циклы имеет
одинаковую длину. Всегда ли $g_1$ можно перевести 
в $g_2$ внутренним автоморфизмом?
\ез



\задача
Пусть $t$ -- элемент группы $G$.
такой, что множество 
\[ \{x\in G\ \ |\ \ \exists g\in G \text{\ такой, что\ } x=t^gt^{-1}\}
\]
порождает $G$.
Докажите, что $G$ не разрешима.
\ез


\задача[!]
Докажите, что группа четных подстановок $A_n$, $n \geq 5$
неразрешима.
\end{zadacha}

\указание 
Воспользуйтесь предыдущей задачей, взяв $t=(123)$.
\еу


\задача
Докажите, что группа движений $\R^3$
неразрешима.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Постройте изоморфизм между $A_5$ и группой поворотов
икосаэдра, и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}



\задача 
Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$.
Докажите, что центр $G$ содержит больше одного элемента.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Рассмотрим действие $G$ на себе автоморфизмами.
Порядок $G$ равен сумме мощностей классов
вида $x^G$, где $x^G$ есть совокупность всех элементов
вида $x^y$, $y\in G$. Докажите сначала, что если $x$ не лежит в центре,
то порядок $x^G$ делится на $p$.
Выведите $|G| = 1 + \sum |y_i^G|$,
причем если у $G$ нет центра, все $|y_i^G|$
делятся на $p$.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$. Докажите,
что $G$ нильпотентна.
\end{zadacha}

\замечание
Если вы хотите применить теорему Силова,
пожалуйста, изучите и запомните ее доказательство.
\еза

\задача
Пусть $G$ -- группа порядка $p^2$, $p$ простое. Докажите,
что $G$ абелева.
\end{zadacha}

\задача
Приведите пример неабелевой группы порядка $p^3$, $p$ -- любое простое число.
\end{zadacha}

\задача
Рассмотрим множество $S$ верхнетреугольных 
матриц $n\times n$ с единицей на диагонали над полем $k$.
Докажите, что такие матрицы образуют подгруппу в $GL(n,k)$.
Докажите, что эта группа разрешима.
Найдите ее порядок для $k= \Z/p\Z$.
\end{zadacha}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Абеля}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теорема Абеля утверждает, что общий многочлен
пятой степени неразрешим в радикалах; иначе говоря,
решение общего уравнения пятой степени 
нельзя выразить посредством алгебраических
операций (умножения, сложения, деления)
и операции извлечения корня $n$-й степени.
В этом разделе я приведу пример 
уравнения, неразрешимого в радикалах.

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Докажите, что подгруппа $G'\subset \Gal([K:k])$
нормальна тогда и только тогда, когда
$[K^{G'}:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\указание
Из основной теоремы теории Галуа сразу следует это.
\еу

\задача
Пусть $G'\subset \Gal([K:k])$ -- нормальная
подгруппа. Докажите, что группа $\Gal([K^{G'}:k])$
изоморфна фактору $\Gal([K:k])/G'$.
\end{zadacha}



\задача[!]
Пусть $k$ -- поле характеристики 0, а 
$[K:k]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$.
Докажите, что группа Галуа $\Gal([K:k])$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Если $k$ содержит корни $n$-й степени из 1, мы все доказали.
Если нет, докажите, что $K$ их содержит. Рассмотрите
промежуточное расширение $K'$, полученное добавлением
этих корней к $k$, и докажите, что $[K:K']$ и
$[K':k]$ -- расширения Галуа с абелевыми группами Галуа.
\end{ukazanie}


\задача[!]
Пусть группа Галуа $[K:k]$
разрешима, а $k$ содержит все
корни из единицы. Докажите, что $[K:k]$ можно представить в виде
последовательности расширений Галуа
$k=K_0 \subset K_1 \subset ... \subset K_n =K$,
таким образом, что для каждого $i$, $\Gal([K_i: K_{i-1}])$ - 
циклическая группа.
\end{zadacha}



\задача[!]
(теорема Галуа)
Докажите, что 
расширение Галуа $[K:k]$ порождается последовательным
добавлением решений уравнения $t^n -a=0$ тогда
и только тогда, когда группа $\Gal [K:k]$ разрешима.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- многочлен.
{\bf Группой Галуа} $P$ называется группа Галуа
его поля разложения. Теорема Галуа утверждает, что
уравнение $P(t)=0$ разрешимо в радикалах тогда и только тогда,
когда группа Галуа $P(t)$ разрешима.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
Пусть группа $G$ действует на множестве $\Sigma$.
Действие называется {\bf транзитивным}, если
любой $x\in \Sigma$ можно перевести в любой
$y\in \Sigma$ применением подходящего $g\in G$.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть $G\subset S_n$, -- подгруппа, содержащая транспозицию
и действующая транзитивно на $\{1, 2, 3, \dots, n\}$.
\енум \итем[!]
Докажите, что $G= S_n$ для $n=5$.
\итем[*] Докажите, что $G= S_n$ для любого простого $n$.
\ее
\end{zadacha}

\задача 
Пусть $P\in k[t]$ -- неприводимый многочлен,
$\xi_1, \dots, \xi_n$ -- его корни, и пусть все эти корни различны. 
Докажите, что группа Галуа $P$ действует
на $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ транзитивно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Разобьем $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ 
на смежные классы по действию $\Gal(P)$.
Пусть $S$ такой класс.
Докажите, что полином $\prod_{\xi_i\in S}(t-\xi_i)$
имеет коэффициенты в $k$, и делит $P$.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $P\in \Q[t]$ -- неприводимый многочлен 
степени $n$, у которого ровно $n-2$ вещественных корня.
Докажите, что его группа Галуа равна $S_n$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что $\Gal(P)$ транзитивно действует на корнях $P$,
а комплексное сопряжение сохраняет поле разложения
$P$ и действует на множестве корней как транспозиция.
\end{ukazanie}

\задача
(теорема Эйзенштейна)
Пусть $Q= t^n + t^{n-1} a_{n-1} + t^{n-2} a_{n-2} + \dots + a_0$ --
такой многочлен с целыми коэффициентами, что 
все $a_i$ делят заданное простое число $p$,
а $a_0\!\not\vdots \:\:p^2$. Докажите, что $Q$ неприводим
над $\Q$.
\end{zadacha}

\задача
Докажите, что $Q(t) = x^5 - 10 x +5$ -- неприводимый
(над $\Q$) многочлен, у которого ровно 3 вещественных корня.
Выведите из этого, что его группа Галуа это $S_5$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Докажите, что уравнение $x^5 - 10 x +5=0$ 
неразрешимо в радикалах.
\end{zadacha}


\задача[*]
Постройте расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа
$(\Z/5\Z)^2$.
\ез

\задача[**]
Пусть $n$ -- число вершин правильного $n$-угольника в $\R^2$,
который можно построить циркулем и линейкой. Докажите, что
каждый простой делитель $n$ имеет вид $2^k+1$.
\ез

\задача[*]
Докажите, что для любого $n$ существует
расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $S_n$
(симметрической группой).
\ез

\задача[*]
Пусть $G$ -- конечная группа.
Постройте конечное расширение $[K:k]$ 
с группой Галуа $G$.
\ез

\задача[*]
Пусть $[K:\Q]$ -- расширение Галуа с группой Галуа $(\Z/2\Z)^2$.
Докажите, что $K=\Q[\alpha, \beta]$, где $\alpha=\sqrt{x}$,
$\beta=\sqrt{y}$, а $x,y$ -- взаимно простые целые числа,
или найдите контрпример.
\ез


\задача[**]
Пусть $[K:\Q]$ -- конечное расширение,
а $Z$ -- множество всех корней из единицы, лежащих в $K$.
Докажите, что $Z$ конечно.
\ез

\end{document}
