\documentclass[12pt]{article} %version 1.0,\ \ 14.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума) %version 1.1,\ \ 15.02.2013 исправления от Жени Фейгина %version 1.2,\ \ 30.03.2013 поправил про группу с транспозицией %version 1.3,\ \ 31.03.2013 и еще раз поправил \newcommand{\version}{version 1.3,\ \ 31.03.2013} \newcommand{\firstdate}{15.03.2013} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} %\addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{8}{Теория Галуа 8: Теорема Абеля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Разрешимые группы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть задан гомоморфизм $G_2\stackrel \phi \arrow \Aut(G_1)$. Определим на множестве пар $(g_1, g_2)\in G_1 \times G_2$ следующую операцию: \[ (g_1, g_2)\cdot (h_1, h_2) = (g_1 \phi(g_2) h_1, g_2 h_2).\] Докажите, что получится группа. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Эта группа называется {\bf полупрямым}, или {\бф скрученным} произведением $G_1$ и $G_2$ и обозначается $G_1 \rtimes G_2$. \end{opredelenie} \задача В условиях предыдущей задачи докажите, что $(G_1, 1)$ задает нормальную подгруппу в $G$, а фактор по этой подгруппе изоморфен $G_2$. \end{zadacha} \задача Опишите группу $S_3$ как скрученное произведение двух абелевых групп. \end{zadacha} \задача Опишите диэдральную группу (группу симметрий правильного многоугольника на плоскости) как скрученное произведение двух абелевых групп. \end{zadacha} \задача[*] {\бф Группой Клейна} называется группа кватернионов вида $\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K$, с естественной операцией умножения. Можно ли получить группу Клейна как скрученное произведение двух абелевых групп? \end{zadacha} \задача[!] Пусть $1 \arrow G_1 \arrow G \stackrel \phi \arrow G_2\arrow 1$ -- расширение групп. Предположим, что задан гомоморфизм $G\stackrel \psi \arrow G_2$, такой, что $\psi \circ \phi$ -- тождественный автоморфизм $G_2$ (в такой ситуации говорится, что $\phi$ {\bf допускает сечение}). Докажите, что $G$ можно получить как скрученное произведение $G_1 \rtimes G_2$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Группа $G$ называется {\bf разрешимой}, если существует последовательность $1= G_n \subset G_{n-1} \subset \dots \subset G_0 = G$ нормальных подгрупп, причем все $G_i/G_{i-1}$ абелевы. \end{opredelenie} \задача Докажите, что подгруппа разрешимой группы разрешима. \end{zadacha} \задача Докажите, что симметрическая группа $S_3$ разрешима. \end{zadacha} \задача Докажите, что симметрическая группа $S_4$ разрешима. \end{zadacha} \задача Докажите, что группа Клейна $\{\pm 1, \pm I, \pm J, \pm K\}$ разрешима. \end{zadacha} \задача Пусть $G_0$ -- группа, $G_1$ -- ее коммутант, $G_2= [G_1,G_1]$ -- коммутант коммутанта, и так далее, $G_i= [G_{i-1},G_{i-1}]$. Докажите, что $G_0$ разрешима тогда и только тогда, когда на каком-то шаге мы получим $G_n =1$. \end{zadacha} \определение Пусть $G$ -- группа, $LG_1$ -- ее коммутант, $LG_2= [G,LG_1]$, $LG_3= [G,LG_2]$, и так далее. Эта последовательность подгрупп называется {\бф нижним центральным рядом}. Группа, у которой нижний центральный ряд заканчивается группой $LG_n=\{1\}$, называется {\бф нильпотентной}. \ео %\NewVedomost \задача Докажите, что любая нильпотентная группа разрешима. Приведите пример разрешимой группы, которая не нильпотентна. \ез \определение Обозначим за $Z(G)$ центр группы $G$. Если $H\subset G$ нормальная подгруппа, обозначим за $Z_H(G)$ все элементы $G$, которые переходят в $Z(G/H)$ при естественном гомоморфизме $G \arrow G/H$. {\бф Верхний центральный ряд} группы $G$ есть $UG_0=Z(G)$, $UG_1=Z_{UG_0}(G)$, $UG_2=Z_{UG_1}(G)$, и так далее. \ео \задача[**] Докажите, что нижний центральный ряд нильпотентной группы имеет такую же длину, как и ее верхний центральный ряд. \ез \определение Пусть $t,x\in G$ -- элементы группы. Элемент вида $xtx^{-1}$ обозначается $t^x$. Соответствующая операция называется {\бф сопряжением}, {\бф скруткой}, или {\бф подкруткой на $x$}. Отображение $x\arrow t^x$ есть (очевидно) автоморфизм группы. Такой автоморфизм называется {\бф внутренним}. \ео \задача Пусть $g_1, g_2\in S_n$ элементы группы перестановок, разложение которых на циклы имеет одинаковую длину. Докажите, что $g_1$ можно перевести в $g_2$ внутренним автоморфизмом. \ез \задача[!] Пусть $g_1, g_2\in A_n$ элементы группы четных перестановок, разложение которых на непересекающиеся циклы имеет одинаковую длину. Всегда ли $g_1$ можно перевести в $g_2$ внутренним автоморфизмом? \ез \задача Пусть $t$ -- элемент группы $G$. такой, что множество \[ \{x\in G\ \ |\ \ \exists g\in G \text{\ такой, что\ } x=t^gt^{-1}\} \] порождает $G$. Докажите, что $G$ не разрешима. \ез \задача[!] Докажите, что группа четных подстановок $A_n$, $n \geq 5$ неразрешима. \end{zadacha} \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, взяв $t=(123)$. \еу \задача Докажите, что группа движений $\R^3$ неразрешима. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Постройте изоморфизм между $A_5$ и группой поворотов икосаэдра, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$. Докажите, что центр $G$ содержит больше одного элемента. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Рассмотрим действие $G$ на себе автоморфизмами. Порядок $G$ равен сумме мощностей классов вида $x^G$, где $x^G$ есть совокупность всех элементов вида $x^y$, $y\in G$. Докажите сначала, что если $x$ не лежит в центре, то порядок $x^G$ делится на $p$. Выведите $|G| = 1 + \sum |y_i^G|$, причем если у $G$ нет центра, все $|y_i^G|$ делятся на $p$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $G$ -- группа порядка $p^n$. Докажите, что $G$ нильпотентна. \end{zadacha} \замечание Если вы хотите применить теорему Силова, пожалуйста, изучите и запомните ее доказательство. \еза \задача Пусть $G$ -- группа порядка $p^2$, $p$ простое. Докажите, что $G$ абелева. \end{zadacha} \задача Приведите пример неабелевой группы порядка $p^3$, $p$ -- любое простое число. \end{zadacha} \задача Рассмотрим множество $S$ верхнетреугольных матриц $n\times n$ с единицей на диагонали над полем $k$. Докажите, что такие матрицы образуют подгруппу в $GL(n,k)$. Докажите, что эта группа разрешима. Найдите ее порядок для $k= \Z/p\Z$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Абеля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Теорема Абеля утверждает, что общий многочлен пятой степени неразрешим в радикалах; иначе говоря, решение общего уравнения пятой степени нельзя выразить посредством алгебраических операций (умножения, сложения, деления) и операции извлечения корня $n$-й степени. В этом разделе я приведу пример уравнения, неразрешимого в радикалах. \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что подгруппа $G'\subset \Gal([K:k])$ нормальна тогда и только тогда, когда $[K^{G'}:k]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \указание Из основной теоремы теории Галуа сразу следует это. \еу \задача Пусть $G'\subset \Gal([K:k])$ -- нормальная подгруппа. Докажите, что группа $\Gal([K^{G'}:k])$ изоморфна фактору $\Gal([K:k])/G'$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $k$ -- поле характеристики 0, а $[K:k]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$. Докажите, что группа Галуа $\Gal([K:k])$ разрешима. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Если $k$ содержит корни $n$-й степени из 1, мы все доказали. Если нет, докажите, что $K$ их содержит. Рассмотрите промежуточное расширение $K'$, полученное добавлением этих корней к $k$, и докажите, что $[K:K']$ и $[K':k]$ -- расширения Галуа с абелевыми группами Галуа. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть группа Галуа $[K:k]$ разрешима, а $k$ содержит все корни из единицы. Докажите, что $[K:k]$ можно представить в виде последовательности расширений Галуа $k=K_0 \subset K_1 \subset ... \subset K_n =K$, таким образом, что для каждого $i$, $\Gal([K_i: K_{i-1}])$ - циклическая группа. \end{zadacha} \задача[!] (теорема Галуа) Докажите, что расширение Галуа $[K:k]$ порождается последовательным добавлением решений уравнения $t^n -a=0$ тогда и только тогда, когда группа $\Gal [K:k]$ разрешима. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Пусть $P(t)\in k[t]$ -- многочлен. {\bf Группой Галуа} $P$ называется группа Галуа его поля разложения. Теорема Галуа утверждает, что уравнение $P(t)=0$ разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа $P(t)$ разрешима. \end{zamechanie} \begin{opredelenie} Пусть группа $G$ действует на множестве $\Sigma$. Действие называется {\bf транзитивным}, если любой $x\in \Sigma$ можно перевести в любой $y\in \Sigma$ применением подходящего $g\in G$. \end{opredelenie} \задача Пусть $G\subset S_n$, -- подгруппа, содержащая транспозицию и действующая транзитивно на $\{1, 2, 3, \dots, n\}$. \енум \итем[!] Докажите, что $G= S_n$ для $n=5$. \итем[*] Докажите, что $G= S_n$ для любого простого $n$. \ее \end{zadacha} \задача Пусть $P\in k[t]$ -- неприводимый многочлен, $\xi_1, \dots, \xi_n$ -- его корни, и пусть все эти корни различны. Докажите, что группа Галуа $P$ действует на $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ транзитивно. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Разобьем $\{\xi_1, \dots, \xi_n\}$ на смежные классы по действию $\Gal(P)$. Пусть $S$ такой класс. Докажите, что полином $\prod_{\xi_i\in S}(t-\xi_i)$ имеет коэффициенты в $k$, и делит $P$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $P\in \Q[t]$ -- неприводимый многочлен степени $n$, у которого ровно $n-2$ вещественных корня. Докажите, что его группа Галуа равна $S_n$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $\Gal(P)$ транзитивно действует на корнях $P$, а комплексное сопряжение сохраняет поле разложения $P$ и действует на множестве корней как транспозиция. \end{ukazanie} \задача (теорема Эйзенштейна) Пусть $Q= t^n + t^{n-1} a_{n-1} + t^{n-2} a_{n-2} + \dots + a_0$ -- такой многочлен с целыми коэффициентами, что все $a_i$ делят заданное простое число $p$, а $a_0\!\not\vdots \:\:p^2$. Докажите, что $Q$ неприводим над $\Q$. \end{zadacha} \задача Докажите, что $Q(t) = x^5 - 10 x +5$ -- неприводимый (над $\Q$) многочлен, у которого ровно 3 вещественных корня. Выведите из этого, что его группа Галуа это $S_5$. \end{zadacha} \задача[!] Докажите, что уравнение $x^5 - 10 x +5=0$ неразрешимо в радикалах. \end{zadacha} \задача[*] Постройте расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $(\Z/5\Z)^2$. \ез \задача[**] Пусть $n$ -- число вершин правильного $n$-угольника в $\R^2$, который можно построить циркулем и линейкой. Докажите, что каждый простой делитель $n$ имеет вид $2^k+1$. \ез \задача[*] Докажите, что для любого $n$ существует расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $S_n$ (симметрической группой). \ез \задача[*] Пусть $G$ -- конечная группа. Постройте конечное расширение $[K:k]$ с группой Галуа $G$. \ез \задача[*] Пусть $[K:\Q]$ -- расширение Галуа с группой Галуа $(\Z/2\Z)^2$. Докажите, что $K=\Q[\alpha, \beta]$, где $\alpha=\sqrt{x}$, $\beta=\sqrt{y}$, а $x,y$ -- взаимно простые целые числа, или найдите контрпример. \ез \задача[**] Пусть $[K:\Q]$ -- конечное расширение, а $Z$ -- множество всех корней из единицы, лежащих в $K$. Докажите, что $Z$ конечно. \ез \end{document}