\documentclass[12pt]{article} %version 1.0,\ \ 12.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума) %version 1.1,\ \ 15.02.2013 исправления от Лени Посицельского %version 1.2,\ \ 28.02.2013 поправил про резольвенту Лагранжа \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 28.02.2013} \newcommand{\firstdate}{01.03.2013} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} %\addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{7}{Теория Галуа 7: Конечные поля и абелевы расширения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Конечные поля} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Из курса алгебры нам известны следующие вещи про конечные поля. Порядок конечного поля равен $p^n$, где $p$ -- его характеристика. На любом поле $k$ характеристики $p$ задан {\bf гомоморфизм Фробениуса}, $Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$. В любое поле характеристики $p$ естественно вложено конечное поле ${\Bbb F}_p$ из $p$ элементов. Мы обозначаем поле порядка $p^n$ через ${\Bbb F}_{p^n}$. \задача Пусть $x \in {\Bbb F}_{p^n}$, $x\neq 0$. Докажите, что $x^{p^n-1}=1$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь теоремой Лагранжа (порядок элемента делит число элементов в группе). \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Из этого следует, что многочлен $P(t) = t^{p^n-1}-1$ имеет ровно $p^n-1$ корней в ${\Bbb F}_{p^n}$. \end{zamechanie} \задача[!] Пусть ${\Bbb F}_{p^n}^*$ -- мультипликативная группа ненулевых элементов конечного поля. Докажите, что она циклическая. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой Безу (число корней многочлена степени $n$ над полем не больше $n$), чтобы найти элемент порядка $p^n-1$ в ${\Bbb F}_{p^n}^*$. \еу \задача Докажите, что $\prod_{\xi\in {\Bbb F}_{p^n}^*} (t-\xi)= t^{p^n-1}-1$. \end{zadacha} \задача[!] Докажите, что $[{\Bbb F}_{p^n}: {\Bbb F}_{p}]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \задача Докажите, что $Fr, Fr^2, \dots, Fr^{n-1}$ -- попарно различные автоморфизмы ${\Bbb F}_{p^n}$. \end{zadacha} \указание Воспользуйтесь теоремой Безу. \еу \задача[!] Докажите, что $\Gal([{\Bbb F}_{p^n}: {\Bbb F}_{p}])$ -- циклическая группа порядка $n$. \end{zadacha} \задача[!] Докажите, что поле разложения многочлена $t^{p^n-1}-1$ над ${\Bbb F}_p$ имеет порядок $p^n$. \end{zadacha} \задача[!] Докажите, что поле порядка $p^n$ единственно с точностью до изоморфизма. \end{zadacha} \задача Перечислите все подполя в ${\Bbb F}_{p^n}$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что в $K$ есть примитивный элемент. \end{zadacha} \указание Отдельно разберите случай конечных и бесконечных полей. \еу \задача[!] Докажите, что каждое конечное расширение $[K:k]$ в характеристике 0 порождено примитивным элементом. \ез \указание Воспользуйтесь основной теоремой теории Галуа. \еу \задача[*] Докажите то же самое для любого сепарабельного расширения. <<Сепарабельное расширение>> есть расширение $[K:k]$, для которого функция следа $\Tr_kK$ не равна нулю. \ез \задача[*] Найдите конечное (несепарабельное) расширение, которое не может быть порождено примитивным элементом. \ез \задача[**] Пусть $P(t)\in {\Bbb F}_p[t]$ -- неприводимый многочлен степени $n$. Докажите, что его поле разложения изоморфно ${\Bbb F}_{p^n}$. \ез \задача Разложите $x^8-x$ в произведение неприводимых полиномов над ${\Bbb F}_2$. \ез \задача Докажите, что каждый элемент конечного поля представляется в виде суммы квадратов. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Циклические расширения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Расширение Галуа $[K:k]$ называется {\bf циклическим}, если его группа Галуа циклическая. \end{opredelenie} \задача Пусть поле $k$ содержит все корни из единицы порядка $n$, а $[K:k]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$, не имеющего корней над $k$. Докажите, что это расширение циклическое. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $\alpha$ -- какой-то корень многочлена $t^n -a$. Тогда все корни $t^n -a$ имеют вид $\alpha, \alpha\xi, \alpha\xi^2, \dots, \alpha\xi^{p-1}$, где $\xi$ -- корень из единицы. Докажите, что автоморфизм, переводящий $\alpha$ в $\alpha\xi^i$, переводит $\alpha\xi^q$ в $\alpha\xi^{q+i}$. \end{ukazanie} \задача Зафиксируем $n\in \N$ и $a \in \Q$. Пусть для любого $k>1$, $|a|$ не равен $k$-й степени никакого рационального числа, а $[K:\Q]$ -- поле разложения многочлена $t^n -a$. \енум \итем Докажите, что $K$ содержит все корни $n$-й степени из единицы. \итем[*] Постройте вложение из $\Gal([K:\Q])$ в полупрямое произведение $\Z/n\Z \rtimes \Aut(\Z/n\Z)$. \итем[**] Найдите пример $n$ и $a$, для которого это не изоморфизм. \ее \end{zadacha} \задача Пусть $[K:k]$ -- циклическое расширение порядка $n$, $\nu$ -- образующая группы $\Gal[K:k]$, $\xi\in k$ -- примитивный корень из единицы степени $n$, а $a\in K$ -- примитивный элемент. Напишем {\bf резольвенту Лагранжа} \[ L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a) \] Докажите, что $\nu(L)= \xi L$. Докажите, что $L\neq 0$, для какого-то примитивного $a$, если поле $k$ бесконечно. \end{zadacha} \задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что $\prod_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$. Докажите, что $L$ порождает $K$ над $k$, и что $L^n\in k$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Чтобы убедиться в том, что $L$ порождает $K$ над $k$, воспользуйтесь тем, что $\Gal[k[\sqrt[n]{L^n}],k]=\Z/n\Z$, а следовательно, размерность $k[L]$ над $k$ такая же, как размерность $K$ над $k$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа порядка $n$, причем $k$ содержит все корни $n$-й степени из единицы. Докажите, что $[K:k]$ циклическое тогда и только тогда, когда его можно получить добавлением корня $n$-й степени из $a\in k$. \end{zadacha} \задача[*] Пусть $p$ -- простое число вида $2^{2^n}+1$ (простое число Ферма, Fermat's prime), a $P(t):= \sum_{i=0}^{p-1} t^i$. Докажите, что $P(t)$ неприводимо, а поле $K_0$ разложения $P(t)$ имеет вид $[K_0:K_1:K_2:...K_n=k]$, где все расширения $[K_i:K_{i+1}]$ квадратичны, то есть степени 2. \ез \задача[**] Пусть $p$ -- простое число вида $2^k+1$. Докажите, что $k$ есть степень 2. \ез \NewVedomost \задача[*] Докажите, что группа Галуа поля разложения $P(t)=t^5-2$ имеет порядок 20. \ез \определение {\бф Циклотомическое расширение $[K:\Q]$} есть поле разложения для одного из неприводимых сомножителей многочлена $P(t):= \sum_{i=0}^{n-1} t^i$. \ео \задача[**] Докажите, что каждое число вида $\sqrt d$, $d\in {\Bbb N}$, лежит в каком-то циклотомическом расширении. \ез \end{document}