\documentclass[12pt]{article}

%version 1.0,\ \   12.02.2013 (������� �� ������ 11 ��� ��������)
%version 1.1,\ \   15.02.2013 ����������� �� ���� �������������
%version 1.2,\ \   28.02.2013 �������� ��� ����������� ��������

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   28.02.2013}
\newcommand{\firstdate}{01.03.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{������ ����� 7: �������� ���� � ������� ����������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\�� �������:} ������ �� ������� ������ ���� �����:
����� ����� ��� (��� 1/3, ��� 2/3) ������ �� �����������,
���� ��� (��� 1/3, ��� 2/3) ������ ��� ���������.
������ � ����� �����������
����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� 
�� ���� �� ��������. ������, ������������ (!),
������� ������� ����.

���� ����� 1/3 ����� � (*) � (!), ������� ��������
$2t$ ������,
���� 2/3 �����, $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ���� -- $10t$ ������.

���� ����� 1/3 ����� ��� ��������� � � (!), 
������� �������� $2t$ ������, ���� 2/3 �����, 
������� �������� $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ���� -- $10t$ ������.


��� ���� ������ �� ������������, �� ����
������ $10t$ �� �������� �������� ������.

����������� $t$ ����� 1.5, ���� ������ �����
�� �����, ��� ����� 20 ���� ����� ������,
1, ���� ����� 20 � 35 �����, � 0.7, ���� �����.

���������� ����� ������������ �� ������
���������, ������� �������� ��������, � �� ����
������� �� ��������� ������������� ������
�� �����.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{�������� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


�� ����� ������� ��� �������� ���������
���� ��� �������� ����. ������� ��������� ����
����� $p^n$, ��� $p$ -- ��� ��������������.
�� ����� ���� $k$ �������������� $p$
����� {\bf ����������� ����������},
$Fr:\; k \arrow k$, $x \arrow x^p$.
� ����� ���� �������������� $p$
����������� ������� �������� ����
${\Bbb F}_p$ �� $p$ ���������.

�� ����������  ���� ������� $p^n$ �����
${\Bbb F}_{p^n}$.

\������ 
����� $x \in {\Bbb F}_{p^n}$, $x\neq 0$. ��������, ���
$x^{p^n-1}=1$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
�������������� �������� �������� (������� �������� ����� �����
��������� � ������).
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
�� ����� �������, ��� ��������� $P(t) = t^{p^n-1}-1$
����� ����� $p^n-1$ ������ � ${\Bbb F}_{p^n}$.
\end{zamechanie}

\������[!]
����� ${\Bbb F}_{p^n}^*$ -- ����������������� ������
��������� ��������� ��������� ����. ��������, ��� ���
�����������.
\��

\��������
�������������� �������� ���� (����� ������ ����������
������� $n$ ��� ����� �� ������ $n$), ����� ����� ������� �������
$p^n-1$ � ${\Bbb F}_{p^n}^*$.
\��

\������
��������, ��� 
$\prod_{\xi\in {\Bbb F}_{p^n}^*} (t-\xi)= t^{p^n-1}-1$.
\end{zadacha}

\������[!]
��������, ��� 
$[{\Bbb F}_{p^n}: {\Bbb F}_{p}]$ -- ���������� �����.
\end{zadacha}

\������
��������, ��� $Fr, Fr^2, \dots, Fr^{n-1}$ --
������� ��������� ������������ ${\Bbb F}_{p^n}$.
\end{zadacha}

\��������
�������������� �������� ����. 
\��

\������[!]
��������, ��� $\Gal([{\Bbb F}_{p^n}: {\Bbb F}_{p}])$ -- �����������
������ ������� $n$.
\end{zadacha}

\������[!]
��������, ��� ���� ���������� ���������� $t^{p^n-1}-1$
��� ${\Bbb F}_p$ ����� ������� $p^n$.
\end{zadacha}

\������[!]
��������, ��� ���� ������� $p^n$ ����������� � ��������� ��
�����������.
\end{zadacha}

\������
����������� ��� ������� �  ${\Bbb F}_{p^n}$.
\end{zadacha}

\������[!]
����� $[K:k]$ -- ���������� �����.
��������, ��� � $K$ ���� ����������� �������.
\end{zadacha}

\��������
�������� ��������� ������ �������� � ����������� �����.
\��

\������[!]
��������, ��� ������ �������� ���������� $[K:k]$
� �������������� 0 ��������� ����������� ���������.
\��

\��������
�������������� �������� �������� ������ �����.
\��


\������[*]
�������� �� �� ����� ��� ������ ��������������
����������. <<������������� ����������>> ����
���������� $[K:k]$, ��� �������� ������� �����
$\Tr_kK$ �� ����� ����.
\��


\������[*]
������� �������� (���������������) 
����������, ������� �� ����� ����
��������� ����������� ���������.
\��


\������[**]
����� $P(t)\in {\Bbb F}_p[t]$ -- ������������
��������� ������� $n$. ��������, ��� ��� ����
���������� ��������� ${\Bbb F}_{p^n}$.
\��

\������
��������� $x^8-x$ � ������������ ������������
��������� ��� ${\Bbb F}_2$.
\��

\������
��������, ��� ������ ������� ��������� 
���� �������������� � ���� ����� ���������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{����������� ����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie} 
���������� ����� $[K:k]$
���������� {\bf �����������},
���� ��� ������ ����� �����������.
\end{opredelenie}

\������
����� ���� $k$ �������� ��� ����� �� ������� ������� $n$,
� $[K:k]$ -- ���� ���������� ���������� $t^n -a$,
�� �������� ������ ��� $k$. 
��������, ��� ��� ���������� �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� $\alpha$ -- �����-�� ������ ���������� $t^n -a$.
����� ��� ����� $t^n -a$ ����� ��� 
$\alpha, \alpha\xi, \alpha\xi^2, \dots, \alpha\xi^{p-1}$,
��� $\xi$ -- ������ �� �������.
��������, ��� �����������, �����������
$\alpha$ � $\alpha\xi^i$, ���������
$\alpha\xi^q$ � $\alpha\xi^{q+i}$.
\end{ukazanie}

\������
����������� $n\in \N$ � $a \in \Q$.
����� ��� ������ $k>1$, $|a|$ �� ����� $k$-� 
������� �������� ������������� �����, � $[K:\Q]$ --
���� ���������� ���������� $t^n -a$.
\����
\����
��������, ��� $K$ �������� ��� �����
$n$-� ������� �� �������. 
\����[*]
��������� �������� ��
$\Gal([K:\Q])$ � ���������� 
 ������������ $\Z/n\Z \rtimes \Aut(\Z/n\Z)$.
\����[**]
������� ������ $n$ � $a$, ��� �������� ���
�� ����������.
\��
\end{zadacha}

\������ 
����� $[K:k]$ -- ����������� ���������� ������� $n$,
$\nu$ -- ���������� ������ $\Gal[K:k]$, $\xi\in k$ --
����������� ������ �� ������� ������� $n$, 
� $a\in K$ -- ����������� �������.
������� {\bf ����������� ��������}
\[
L = a + \xi^{-1} \nu(a) + \xi^{-2} \nu^2(a) + \dots + \xi^{-n+1} \nu^{n-1}(a)
\]
��������, ��� $\nu(L)= \xi L$. ��������, ��� $L\neq 0$,
��� ������-�� ������������ $a$, ���� ���� $k$ ����������.
\end{zadacha}

\������
� �������� ���������� ������,
��������, ��� $\prod_{i=0}^{n-1}(t-\nu^i(L))= t^n-L^n$.
��������, ��� $L$ ��������� $K$ ��� $k$, � ��� $L^n\in k$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� ��������� � ���, ��� $L$ ��������� $K$ ��� $k$,
�������������� ���, ��� $\Gal[k[\sqrt[n]{L^n}],k]=\Z/n\Z$,
� �������������, ����������� $k[L]$ ��� $k$
����� ��, ��� ����������� $K$ ��� $k$.
\end{ukazanie}

\������[!]
����� $[K:k]$ -- ���������� ����� ������� $n$,
������ $k$ �������� ��� ����� $n$-� ������� �� �������.
��������, ��� $[K:k]$ ����������� ����� � ������
�����, ����� ��� ����� �������� �����������
����� $n$-� ������� �� $a\in k$.
\end{zadacha}





\������[*]
����� $p$ -- ������� ����� ���� $2^{2^n}+1$ (������� �����
�����, Fermat's prime), a $P(t):= \sum_{i=0}^{p-1} t^i$.
��������, ��� $P(t)$ �����������, 
� ���� $K_0$ ���������� $P(t)$
����� ��� $[K_0:K_1:K_2:...K_n=k]$,
��� ��� ���������� $[K_i:K_{i+1}]$ �����������,
�� ���� ������� 2.
\��


\������[**]
����� $p$ -- ������� ����� ���� $2^k+1$.
��������, ��� $k$ ���� ������� 2.
\��


\NewVedomost


\������[*]
��������, ��� ������ ����� ���� ����������
$P(t)=t^5-2$ ����� ������� 20.
\��

\�����������
{\�� ��������������� ���������� $[K:\Q]$}
���� ���� ���������� ���
������ �� ������������ ������������
���������� $P(t):= \sum_{i=0}^{n-1} t^i$.
\��


\������[**]
��������, ��� ������ ����� ���� $\sqrt d$, $d\in {\Bbb N}$,
����� � �����-�� ��������������� ����������.
\��




\end{document}
