\documentclass[11pt]{article} %version 1.0,\ \ 08.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума) %version 1.1,\ \ 12.02.2013 исправления от Жени Фейгина %version 1.2,\ \ 15.02.2013 исправления от Лени Посицельского \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 12.02.2013} \newcommand{\firstdate}{22.02.2013} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} %\addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{6}{Теория Галуа 6: Группы Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Основная теорема теории Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. Мы обозначаем группу Галуа через $\Gal([K:k])$ или через $\Aut_k(K)$. \end{opredelenie} В дальнейшем мы будем рассматривать $K\otimes_k K$ как $K$-алгебру, с действием $K^*$, заданным формулой $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$. Такое действие $K^*$ называется {\bf левым}. Оно отличается от ``правого действия'', заданного формулой $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$. \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Постройте биекцию между множеством $K$-линейных гомоморфизмов $K\otimes_k K\arrow K$ и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$. \end{zadacha} \задача Пусть $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ненулевой $K$-линейный гомоморфизм, а $k\otimes_k K\subset K\otimes_k K$ -- $k$-подалгебра, естественно изоморфная $K$. Докажите, что $\mu\mid_{k\otimes_k K}$ задает $k$-линейный автоморфизм $K\arrow K$. \end{zadacha} \задача Докажите, что всякий $k$-линейный автоморфизм $K$ получается таким образом. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $\nu\in \Gal([K:k])$. Определим гомоморфизм $K\otimes_k K\arrow K$ по формуле $v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Постройте естественную биекцию между $\Gal([K:k])$ и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$. Докажите, что порядок группы Галуа равен размерности $K$ как векторного пространства над $k$. \end{zadacha} \задача \label{_right_left_ide_Zadacha_} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, $\nu\in \Gal([K:k])$ -- элемент группы Галуа, а $e_\nu$ -- соответствующий идемпотент в $K\otimes_k K$. Обозначим через $\mu_l$ стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$, а за $\mu_r$ правое действие. Докажите, что $\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$. \end{zadacha} \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Gal([K:k])$. Докажите, что $a\otimes 1 = 1 \otimes a$ в $K\otimes_k K$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_right_left_ide_Zadacha_}. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Gal([K:k])$. Докажите, что $a \in k$. \end{zadacha} \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное поле, $K\supset K' \supset k$. Докажите, что $K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Gal([K:k])$ -- группа $K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает множество $G'$-инвариантов. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $[K:K']$ -- расширение Галуа, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача[!] Докажите {\bf основную теорему теории Галуа:} пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда $G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Gal([K:k])$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $[K:k]$ расширение степени $n$. \енум \итем Докажите, что $\Aut_kK\leq n$. \итем Докажите, что $K$ -- расширение Галуа тогда и только тогда, когда $|\Aut_kK|=n$. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Группы Галуа и корни многочленов} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Найдите группу Галуа $[\Q[\sqrt a]:\Q]$. \end{zadacha} %\задача %Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное %поле, $K\supset K' \supset k$. Постройте естественное %отождествление между множеством $k$-линейных гомоморфизмов %$K' \to K$ и множеством $\Gal([K:k])/\Gal([K:K'])$ %смежных классов группы Галуа $\Gal([K:k])$ по подгруппе %$\Gal([K:K']) \subset \Gal([K:k])$. %\end{zadacha} %\задача[!] %Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а %$a\in K$ -- элемент, порождающий $K$ над $k$ %(такой элемент называется {\bf примитивным}). %Докажите, что если $\nu_1, \nu_2, \dots, \nu_n$ -- попарно %различные элементы $\Gal([K:k])$, то $\nu_1(a), \nu_2(a), \dots \nu_n(a)$ %линейно независимы над $k$. %\end{zadacha} %\указание %Убедитесь, что соответствующие элементы $K\otimes_k K$ %линейно независимы там. %\еу \задача\label{_primitive_Zadacha_} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $V\subset K$ -- объединение всех промежуточных полей $k\subset K'\subset K$, которые строго меньше $K$. Пусть $k$ бесконечно. Докажите, что $V\neq K$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} $V$ есть объединение конечного числа $k$-подпространств в $K$, которые имеют (над $k$) размерность меньше, чем размерность $K$ как линейного пространства над $k$. Докажите, что в такой ситуации $V\neq K$. \end{ukazanie} \begin{zamechanie} Из этого следует, что в любом расширении Галуа $[K:k]$ бесконечного поля $k$ есть примитивный элемент. \end{zamechanie} \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что для любого $a\in K$ произведение $P(t)=\prod_{\nu_i \in \Gal([K:k])} (t- \nu_i(a))$ -- многочлен с коэффициентами в $k$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что для любого $a\in K$ существует многочлен $P(t)\in k[t]$, $P(a)=0$, все корни которого лежат в $K$. \ез \NewVedomost \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$. Докажите, что это расширение Галуа тогда и только тогда, когда для любого $a\in K$ существует многочлен $P(t)\in k[t]$, $P(a)=0$, все корни которого лежат в $K$. \ез \задача[*] Докажите утверждение предыдущей задачи для любого сепарабельного расширения $[K:k]$ (без условия $\Char k=0$). \ез \задача Напомним, что корень $n$-й степени из единицы называется {\bf примитивным}, если он порождает группу корней $n$-й степени из единицы. Пусть $\xi\in \C$ -- примитивный корень степени $n$. Докажите, что группа $\Gal([\Q[\xi]:\Q])$ изоморфна группе $\Aut(\Z/n\Z)$ автоморфизмов группы $\Z/n\Z$. Найдите ее порядок. \end{zadacha} \задача[**] Зафиксируем целое число $n$. Пусть $P(t)= \prod(t-\xi_i)$, где $\xi_i$ пробегает все примитивные корни степени $n$ из единицы. Докажите, что $P(t)$ имеет рациональные коэффициенты и неприводим над $\Q$. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Этот многочлен называется {\bf круговым многочленом} (cyclotomic polynomial). \end{zamechanie} \задача Пусть $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- взаимно простые числа, не являющиеся квадратами. Докажите, что $[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \задача Найдите группу Галуа этого расширения. \end{zadacha} \задача[!] В условиях предыдущей задачи, докажите, что $\sqrt {a_1},$ $\sqrt {a_2},$ $\dots, \sqrt {a_n}$ линейно независимы над $\Q$. \end{zadacha} \задача Докажите, что $\Aut_\Q(\Q[\sqrt[3]2])=\{1\}$. \ез \задача[*] Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$. Докажите, что его группа Галуа абелева, или найдите контрпример. \ез \задача Пусть $P(t)=x^3-2$. \енум \итем Докажите, что поле разложения $P$ над $\Q$ имеет степень 6. \итем[!] Найдите его группу Галуа. \ее \ез \задача[**] Докажите, что $\Q[\sqrt[4]{2},\1]$ -- расширение Галуа $\Q$, а его группа Галуа -- диэдральная порядка 8. \ез \задача[**] Найдите пример расширения $[K:k]$ степени 4 такого, что не существует промежуточных полей $K\supsetneq K' \supsetneq k$, или докажите, что такого не бывет. \ез \задача[*] Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- неприводимый полином, у которого есть вещественные и комплексные корни. Докажите, что группа Галуа поля разложения $P(t)$ неабелева. \ез \end{document}