\documentclass[11pt]{article}

%version 1.0,\ \   08.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума)
%version 1.1,\ \   12.02.2013 исправления от Жени Фейгина
%version 1.2,\ \   15.02.2013 исправления от Лени Посицельского

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   12.02.2013}
\newcommand{\firstdate}{22.02.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{Теория Галуа 6: Группы Галуа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Основная теорема теории Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. Мы обозначаем
группу Галуа через $\Gal([K:k])$ или через $\Aut_k(K)$.
\end{opredelenie}

В дальнейшем мы будем рассматривать 
$K\otimes_k K$ как $K$-алгебру, с действием $K^*$,
заданным формулой $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$.
Такое действие $K^*$ называется {\bf левым}.
Оно отличается от ``правого действия'',
заданного формулой $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$.

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте биекцию между множеством $K$-линейных
гомоморфизмов $K\otimes_k K\arrow K$ и множеством
неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ненулевой
$K$-линейный гомоморфизм, а $k\otimes_k K\subset
K\otimes_k K$ -- $k$-подалгебра, естественно изоморфная $K$.
Докажите, что $\mu\mid_{k\otimes_k K}$
задает $k$-линейный автоморфизм $K\arrow K$.
\end{zadacha}

\задача 
Докажите, что всякий $k$-линейный автоморфизм $K$ получается
таким образом.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\nu\in \Gal([K:k])$.
Определим гомоморфизм $K\otimes_k K\arrow K$ по формуле
$v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. 
\end{ukazanie}

\задача[!] 
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте естественную биекцию между $\Gal([K:k])$
и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
Докажите, что порядок группы Галуа равен размерности
$K$ как векторного пространства над $k$.
\end{zadacha}

\задача \label{_right_left_ide_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа,
$\nu\in \Gal([K:k])$ -- элемент группы Галуа, а $e_\nu$ -- соответствующий
идемпотент в $K\otimes_k K$. Обозначим через $\mu_l$
стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$,
а за $\mu_r$ правое действие. Докажите, что
$\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a\otimes 1 = 1 \otimes a$
в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей
\ref{_right_left_ide_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a \in k$.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
поле,  $K\supset K' \supset k$. Докажите, что
$K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Gal([K:k])$ -- группа
$K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает
множество $G'$-инвариантов.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что $[K:K']$ -- расширение Галуа,
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Докажите {\bf основную теорему теории Галуа:}
пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
$G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Gal([K:k])$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ расширение степени $n$.
\енум
\итем Докажите, что $\Aut_kK\leq n$.
\итем
Докажите, что $K$ -- расширение Галуа
тогда и только тогда, когда $|\Aut_kK|=n$.
\ее
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Группы Галуа и корни многочленов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Найдите группу Галуа $[\Q[\sqrt a]:\Q]$.
\end{zadacha}

%\задача
%Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
%поле,  $K\supset K' \supset k$. Постройте естественное
%отождествление между множеством $k$-линейных гомоморфизмов
%$K' \to K$ и множеством $\Gal([K:k])/\Gal([K:K'])$
%смежных классов группы Галуа $\Gal([K:k])$ по подгруппе
%$\Gal([K:K']) \subset \Gal([K:k])$.
%\end{zadacha}



%\задача[!] 
%Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
%$a\in K$ -- элемент, порождающий $K$ над $k$
%(такой элемент называется {\bf примитивным}).
%Докажите, что если $\nu_1, \nu_2, \dots, \nu_n$ -- попарно
%различные элементы $\Gal([K:k])$, то $\nu_1(a), \nu_2(a), \dots \nu_n(a)$
%линейно независимы над $k$.
%\end{zadacha}

%\указание
%Убедитесь, что соответствующие элементы $K\otimes_k K$
%линейно независимы там.
%\еу

\задача\label{_primitive_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, 
а $V\subset K$ -- объединение всех 
промежуточных полей $k\subset K'\subset K$,
которые строго меньше $K$. Пусть $k$ бесконечно.
Докажите, что $V\neq K$.
\end{zadacha}




\begin{ukazanie} 
$V$ есть объединение конечного числа
$k$-подпространств в $K$, которые имеют
(над $k$) размерность меньше, чем размерность 
$K$ как линейного пространства над $k$. 
Докажите, что в такой ситуации $V\neq K$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
Из этого следует, что в любом расширении
Галуа $[K:k]$ бесконечного поля $k$ есть примитивный элемент.
\end{zamechanie}

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что для любого $a\in K$
произведение $P(t)=\prod_{\nu_i \in \Gal([K:k])} (t- \nu_i(a))$ --
многочлен с коэффициентами в $k$.
\end{zadacha}



\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что для любого $a\in K$
существует многочлен $P(t)\in k[t]$, $P(a)=0$,
все корни которого лежат в $K$.
\ез


\NewVedomost


\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение, $\Char k=0$.
Докажите, что это расширение Галуа тогда и только тогда, когда
для любого $a\in K$
существует многочлен $P(t)\in k[t]$, $P(a)=0$,
все корни которого лежат в $K$.
\ез

\задача[*]
Докажите утверждение предыдущей задачи для любого
сепарабельного расширения $[K:k]$ (без условия
$\Char k=0$).
\ез



\задача
Напомним, что корень $n$-й степени из единицы  называется
{\bf примитивным}, если он порождает группу корней
$n$-й степени из единицы. Пусть $\xi\in \C$ -- примитивный
корень степени $n$. Докажите, что 
группа $\Gal([\Q[\xi]:\Q])$ изоморфна группе
$\Aut(\Z/n\Z)$ автоморфизмов группы $\Z/n\Z$. 
Найдите ее порядок.
\end{zadacha}

\задача[**]
Зафиксируем целое число $n$.
Пусть $P(t)= \prod(t-\xi_i)$, где $\xi_i$ пробегает
все примитивные корни степени $n$ из единицы.
Докажите, что $P(t)$ имеет рациональные коэффициенты
и неприводим над $\Q$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Этот многочлен называется {\bf круговым многочленом}
(cyclotomic polynomial).
\end{zamechanie}


\задача 
Пусть $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- взаимно простые числа,
не являющиеся квадратами. 
Докажите, что 
$[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ --
расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача 
Найдите группу Галуа этого расширения.
\end{zadacha}

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, докажите, 
что $\sqrt {a_1},$ $\sqrt {a_2},$ $\dots, \sqrt {a_n}$
линейно независимы над $\Q$.
\end{zadacha}


\задача
Докажите, что $\Aut_\Q(\Q[\sqrt[3]2])=\{1\}$.
\ез


\задача[*]
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$.
Докажите, что его группа Галуа абелева, или найдите контрпример.
\ез


\задача
Пусть $P(t)=x^3-2$. 
\енум
\итем Докажите, что поле разложения $P$ 
над $\Q$ имеет степень 6.
\итем[!] Найдите его группу Галуа.
\ее
\ез

\задача[**]
Докажите, что $\Q[\sqrt[4]{2},\1]$ -- расширение
Галуа $\Q$, а его группа Галуа -- диэдральная порядка 8.
\ез

\задача[**]
Найдите пример расширения $[K:k]$ степени 4
такого, что не существует промежуточных
полей $K\supsetneq K' \supsetneq k$,
или докажите, что такого не бывет.
\ез

\задача[*]
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- неприводимый полином,
у которого есть вещественные и комплексные корни.
Докажите, что группа Галуа поля разложения $P(t)$
неабелева.
\ез




\end{document}
