\documentclass[12pt]{article}

%version 1.0,\ \   08.02.2013 (сделано из листка 11 для тривиума)
%version 1.1,\ \   12.02.2013 исправления от Жени Фейгина
%version 1.2,\ \   15.02.2013 исправления от Лени Посицельского
%version 1.3,\ \   16.02.2013 адскую ошибку нашел Паша Томас
%version 1.4,\ \   05.03.2013 5.11 ** неправильно
%version 1.4.1,\ \   12.03.2013 5.18 добавил условие

\newcommand{\version}{version 1.4.1,\ \   12.03.2013}
\newcommand{\firstdate}{15.02.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{Теория Галуа 5: Расширения Галуа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Расширения Галуа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


При сдаче задач (кроме тех, где это специально 
оговорено или подразумевается), можно предполагать, что $\Char k=0$.


\задача\label{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}
Пусть задан полином $P(t)\in K[t]$ степени $n$ с коэффициентами
в поле $K$, 
у которого $n$ попарно различных корней в $K$. Докажите, что
кольцо $K[t]/P$ остатков по модулю $P$ 
изоморфно прямой сумме $n$ копий $K$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $[K:k]$ -- алгебраическое расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.
\ео

\задача
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в $K = k[t]/P$.
Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\определение
Напомню, что конечное расширение $[K:k]$ {\бф несепарабельно},
если форма следа $\Tr_k:\; K \arrow k$ равна нулю.
\ео

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение полей.
Докажите, что $[K:k]$ несепарабельно тогда и только тогда,
когда $K \otimes_k K$ содержит нильпотенты.
\ез

\задача
Докажите, что $[\Q[\1]:\Q]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $[K:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). 
Докажите, что это расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $p$ простое.
Докажите, что для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. 
\end{zadacha}

\задача[*]
Будет ли $[\Q[\sqrt[3]{2}]:\Q]$ расширением Галуа?
\end{zadacha}

\задача[**]
Пусть $[K:\Q[\1]]$ -- расширение Галуа.
Докажите, что $[K:\Q]$ -- расширение Галуа, или найдите
контрпример.
\ез

\задача[*]
Пусть $F$ -- поле характеристики $p$, а $k= F(z)$ -- поле рациональных 
функций над $F$. Докажите, что полином $P(t) = t^p -z$
неприводим над $k$. Докажите, что $[k[t]/P:k]$ -- не расширение
Галуа.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей. Докажите, что 
\[ K_2 \otimes_{K_3} K_1 \cong (K_2 \otimes_{K_3} K_2)\otimes_{K_2} K_1.\]
\end{zadacha}

\задача
Рассмотрим расширение
$[\Q[\sqrt[4]{2}]:\Q]$. Докажите, что это не расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача[*] 
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ - последовательность
расширений полей, причем $[K_1: K_2]$ и $[K_2: K_3]$ -
расширения Галуа. Докажите, что $[K_1: K_3]$ -- расширение
Галуа, или найдите контрпример.
\end{zadacha}


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

%\задача
%Докажите, что композит двух расширений Галуа -- снова
%расширение Галуа.
%\ез

\задача
Докажите, что $\Q[\sqrt[3]2, \frac{\sqrt{-3}-1}2]$ --
расширение Галуа.
\end{zadacha}



\задача Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей. Докажите, что естественное отображение
\[
K_1 \otimes_{K_3}K_1 \arrow K_1 \otimes_{K_2}K_1
\]
-- сюрьективный гомоморфизм алгебр.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $K_1 \supset K_2 \supset K_3$ -- последовательность
расширений полей, причем $[K_1:K_3]$ -- расширение
Галуа. Докажите, что $[K_1:K_2]$ -- тоже расширение Галуа.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Поля разложения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$ над полем $k$. Положим
$K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений,
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$,
полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено.
Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$
в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили.
В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый
сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем 
$K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. Докажите, что
этот процесс закончится через конечное
число шагов и даст некоторое поле $K \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Это поле называется {\bf полем разложения} (splitting field)
многочлена $P$.
\end{opredelenie}


\задача
Пусть $K$ -- поле разложения для многочлена $P(t)\in k[t]$.
Докажите, что $K$ изоморфно подполю в алгебраическом
замыкании $\bar k$, порожденному всеми корнями $P$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть все корни $P(t)$ разные.
Докажите, что поле разложения $P(t)$ есть минимальное
расширение Галуа, содержащее $k[t]/(P)$.
\ез

%\задача[*]
%Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение вида $k[t]/(P)$.
%Докажите, что для достаточно большого $N$
%тензорное произведение $K$ на себя $N$ 
%содержит поле разложения $P(t)$.
%\ез

%\указание
%Воспользуйтесь индукцией по степени $P$.
%\еу

\задача
Докажите, что поле разложения любого полинома
единственно, с точностью до изоморфизма.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $P(t)$ -- многочлен степени $n$.
Докажите, что степень его поля разложения
не больше $n!$
\end{zadacha}

\задача
Пусть $P\in k[t]$ -- многочлен степени $n$,
имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$, и пусть $[K:k]$ -- его поле разложения, а
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$
соответствующая цепочка расширений. Докажите, 
что  $K\otimes_{K_{i-1}}K_i$ изоморфно 
прямой сумме нескольких копий $K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Это сразу следует из Задачи 
\ref{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\задача
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$ (такой полином называется {\bf не имеющим
кратных корней}), а $K$ -- его поле разложения. 
Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый многочлен над полем
$k$ характеристики 0. Докажите, что у $P$ нет кратных
корней.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Докажите, что у $P(t)= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ нет кратных корней
тогда и только тогда, когда $P$ не имеет
общих множителей с многочленом 
\[ P'(t) = n t^{n-1} + (n-1) a_{n-1} t^{n-2} + \dots + 2 a_2
t + a_1.
\]
Для этого докажите, что $(PQ)'=PQ'+Q'P$, и вычислите $P'(t)$ для 
$P=(t-b_1)\dots(t-b_n)$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} Из предыдущей задачи следует, что 
над полем характеристики 0, поле разложения любого
многочлена является расширением Галуа.
\end{zamechanie}


\задача
Пусть $a_1, ..., a_n$ -- целые числа.
Докажите, что $\Q[\sqrt{a_1}, ..., \sqrt{a_n}]$ --
расширение Галуа (или прямая сумма расширений Галуа).
\ез


\задача[**]
Пусть $\Char k=p$, а $f(x)=x^p-x+c$ -- неприводимый
многочлен над $k$. Докажите, что $k[t]/(f)$ есть расширение Галуа.
\ез

\задача[*]
Пусть $[K:\Q]$ -- поле разложения
многочлена $x^3-2$. Рассмотрим $K$ как подполе в $\C$.
Найдите комплексное число, которое порождает $K$ над $\Q$.
\ез

\задача[*]
Пусть $p$ простое, а $[K:\Q]$ -- поле разложения
многочлена $x^p-2$. Докажите, что степень $[K:\Q]$
(то есть размерность $K$ как $\Q$-линейного пространства)
равна $p(p-1)$.
\ез
 

\end{document}





