\documentclass[11pt]{article}



%version 1.0,\ \   23.01.2013
%куски по теории множеств взяты из первого листка по алг. геометрии
%version 1.1,\ \   24.01.2013
%version 1.2,\ \   25.01.2013 Исправления от Лени Посицельского

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   26.01.2013}
\newcommand{\firstdate}{08.02.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{4}{Теория Галуа 4: Алгебраическое замыкание}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Вполне упорядоченные множества}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


При сдаче задач (кроме тех, где это специально 
оговорено или подразумевается), можно предполагать, что $\Char k=0$.



\определение
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ сюрьективное отображение
множеств. {\бф Сечением} отображения $\phi$ называется
отображение $\psi:\; B \arrow A$, такое, что
$\psi\circ \phi=\Id$. 
\ео

\begin{center}
\epsfig{file=sechenie.png,width=0.15\linewidth}
\end{center}

\определение
{\бф  Аксиома выбора} утверждает, что 
каждое сюрьективное отображение имеет сечение.
\ео




\определение
Пусть $(X, \prec)$ -- линейно
упорядоченное множество, а $Y \subset X$ -- его
подмножество. Элемент $y_0\in Y$ называется {\бф
минимальным}, если  для любого $y\in Y$, 
имеем $y_0\preccurlyeq y$. Линейно упорядоченное
множество называется {\бф вполне упорядоченным}
(well-ordered set),
если любое его подмножество имеет минимальный
элемент. Отношение порядка на таком множестве
называется {\бф отношение полного порядка}.
\ео



\определение
{\бф Начальным элементом} вполне упорядоченного
множества называется его минимальный элемент.
{\бф Отрезком} линейно упорядоченного
множества $(X, \prec)$ называется подмножество 
$Y\subset X$ такое, что для любых $x, z\in Y$,
и любого $y\in X$ такого, что $x\prec y\prec z$,
имеем $y\in Y$. {\бф Начальным отрезком}
вполне упорядоченного
множества называется отрезок, содержащий
минимальный элемент. 
\ео


\определение
Два вполне упорядоченных множества называются
{\бф изоморфными}, если между ними есть
биекция, сохраняющая порядок. Классы изоморфизма
вполне упорядоченных множеств называются
{\бф ординалами}, или же {\бф ординальными числами}.
\ео





\задача[!]
Пусть $X$, $Y$ -- вполне
упорядоченные множества. Докажите, что 
$X$ изоморфно начальному отрезку $Y$,
либо $Y$ изоморфно начальному отрезку $X$.
\ез




\задача
Докажите, что такой изоморфизм
определен однозначно.
\ез

\определение
{\бф Теорема Цермело} утверждает, что
любое множество может быть вполне упорядочено.
\ео

\задача
Выведите из теоремы Цермело аксиому выбора.
\ез

\указание
Возьмите минимальный элемент в $\psi^{-1}(b)$. 
\еу

\определение
Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное
множество. Элемент $x\in S$ называется
{\бф максимальным}, если не существует $y\in S$ с $x\prec y$.
Для подмножества $S_1\subset S$ и $x\in S$, 
мы пишем $S_1 \preccurlyeq x$, если для каждого
$\xi \in S_1$ имеем $\xi \preccurlyeq x$.
{\бф Лемма Цорна} утверждает следующее.
 Пусть $(S, \prec)$  -- частично упорядоченное
множество, причем для любого вполне упорядоченного 
подмножества $S_1\subset S$ найдется элемент $\xi\in S$
такой, что $S_1 \preccurlyeq \xi$. Тогда в $S$ найдется максимальный
элемент.
\ео

\задача
Выведите из леммы Цорна теорему Цермело.
\ез


\указание
Пусть $A$ -- множество, на котором мы хотим найти
полный порядок. Рассмотрите в качестве $S$ множество 
подмножеств $A$, снабженных полным порядком, а в качестве
$\prec$ отношение "$X$ есть начальный отрезок $Y$".
\еу

\задача[**]
Пусть $Х$ -- бесконечное множество. Докажите, что $X\times X$
равномощно $X$.
\ез


\задача[!]
Пусть $\alpha$ -- ординал, а $N_1 >N_2 > N_3> ...$ --
последовательность строго убывающих элементов $\alpha$.
Докажите, что она конечна.
\ез

\замечание
В дальнейшем, при сдаче листков {\бф вы можете пользоваться
леммой Цорна и теоремой Цермело без доказательства.}
\еза

\задача
Пусть некоторое свойство $P$ выполнено для
некоторых элементов вполне упорядоченного множества
$X$, причем $P$ выполнено для  $x\in X$,
если оно выполнено для всех $y< x$. Докажите, что
свойство $P$ выполнено для всех $x\in X$
\ез

\замечание
Это утверждение есть форма принципа математической
индукции, с той лишь разницей, что вместо индукции
по множеству натуральных чисел, мы пользуемся индукцией
по вполне упорядоченному множеству. Оно называется
{\бф принцип трансфинитной индукции}.
\еза



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Направленные расширения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Напомню, что алгебраическое расширение $[K:k]$
есть расширение полей, такое, что все элементы
$K$ алгебраичны над $k$. Алгебраическое расширение
не обязано быть конечным.

\задача
\label{_alge_cepo_Zadacha_}
Пусть $[K_1:k]$, $[K_2:K_1]$ -- расширения полей,
$[K_1:k]$ алгебраично, а $x\in K_2$ алгебраичен над $K_1$.
Докажите, что $x$ алгебраичен над $k$.
\ез

\указание
Докажите, что $x$ является корнем
многочлена с коэффициентами в $K_1$, и найдите
конечное расширение $[K_1':k]$, содержащее
все эти коэффициенты.
\еу


\задача
Пусть $\alpha$ -- ординал, а 
$K_0\subset K_1\subset K_2 \subset ...$ -- возрастающая
последовательность расширений, проиндексированных
элементами $\alpha$, такая, что $[K_i: \bigcup_{j<i} K_j]$
конечно. 
\енум
\итем Докажите, что все $K_i$ алгебраичны над $K_0$.
\итем Докажите, что $[\bigcup_{i\in\alpha} K_i:K_0]$
алгебраично.
\ее
\ез

\указание
Для (а), рассмотрим наименьший $i$, для которого $K_i$
не алгебраично над $K_0$, и пусть $x\in K_i$. Поскольку
$x$ алгебраично над $\bigcup_{j<i} K_j$, 
является корнем многочлена
с коэффициентами в $\bigcup_{j<i} K_j$, то есть
в каком-то из полей $K_{i_1}$ с $i_1 < i$; это поле
уже алгебраично, по предположению индукции.
Убедитесь, что в силу задачи \ref{_alge_cepo_Zadacha_}, 
$x$ алгебраичен над $k$.
\еу


\определение
В такой ситуации, расширение $[\bigcup_{i\in\alpha} K_i:K_0]$
называется {\бф направленным алгебраическим расширением},
а выбор последовательности $K_0\subset K_1\subset K_2 \subset ...$,
проиндексированной ординалом -- {\бф направленностью}.
{\бф Изоморфизм направленных алгебраических расширений}
$[K:k]$ и $[K':k]$
есть $k$-линейный изоморфизм $K\arrow K'$, который переводит
цепочку расширений, заданную для $K$, в аналогичную цепочку для $K'$.
\ео

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- алгебраическое расширение.
Докажите, что $K$ можно снабдить направленностью.
\ез

\указание
Пусть ${\goth S}$ -- множество промежуточных
расширений $[K:K':k]$, снабженных направленностью.
Введем нас ${\goth S}$ отношение частичного порядка таким
образом: $K'\preccurlyeq K''$ если $K'$ содержится в $K''$
в качестве элемента цепочки расширений, составляющих
направленность, а направленность в $K'$ является
начальным сегментом направленности в $K''$.
Примените лемму Цорна к ${\goth S}$, и докажите,
что максимальный элемент задает направленность на $K$.
\еу

\задача[!]
Пусть $k$ -- поле. Докажите, что
классы изоморфизма всех расширений той
же мощности, что и $k$, составляют множество.
\ез

\задача
Докажите, что классы изоморфизма направленных 
алгебраических расширений $k$ составляют множество.
\ез

\задача
\label{_maksi_napra_Zadacha_}
Рассмотрим на множестве ${\goth R}$ классов изоморфизма
направленных расширений $[K:k]$ следующее отношение
частичного порядка: $K\prec K'$, если $K$ изоморфно,
как направленное алгебраическое расширение, сегменту 
в цепочке расширений, составляющих направленность для
$K'$. Докажите, что существует максимальное направленное
расширение.
\ез

\указание 
Леммой Цорна воспользуйтесь же.
\еу

\определение
{\бф Алгебраически замкнутое поле}
есть такое поле $K$, что любой
многочлен $P(t)\in K[t]$ положительной
степени имеет корень в $K$.
{\бф Алгебраическое замыкание}
поля $k$ есть алгебраическое расширение
$[\bar k:k]$, которое алгебраически замкнуто.
\ео

\задача[!]
Пусть поле $K$ не допускает нетривиальных
алгебраических расширений. 
Докажите, что оно алгебраически замкнуто.
\ез

\задача
Пусть $[K:k]$ -- максимальное направленное
алгебраически расширение поля $k$, построенное
в задаче \ref{_maksi_napra_Zadacha_}.
Докажите, что $K$ алгебраически замкнуто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $k$ -- счетное поле.
Докажите, что $\bar k$ можно получить
как объединение возрастающей последовательности
конечных расширений $k$.
\ез

\задача[**]
Пусть $[K:k]$ -- расширение $k$, которое
не обязательно алгебраично, а $P_1, ..., P_k\in k[t_1, ..., t_n]$
набор полиномов. Предположим, что уравнение
$P_1(t_1, ..., t_n)=P_2(t_1, ..., t_n)= ... = P_n(t_1,
..., t_n)$ имеет решение в $K$. Докажите, что оно имеет
решение в алгебраическом замыкании $\bar k$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Единственность алгебраического замыкания}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Здесь и в дальнейшем, $[\bar k:k]$ обозначает
алгебраическое замыкание $k$.

\задача
Пусть $P(t)\in k[t]$ неприводимый многочлен над $k$,
а $[K:k]$ расширение вида $K=k[t]/P$\footnote{Такое 
расширение называется {\бф расширение, 
полученное добавлением корня многочлена $P(t)$}.}
Докажите, что тензорное произведение
$\bar k$ и $K$ есть прямая сумма нескольких копий $\bar k$:
 $\bar k \otimes_k K= \oplus \bar k$.
\ез

\задача[!]
\label{_proizve_w_bar_k_kone_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение,
$R:=K\otimes_k \bar k$, а ${\goth n}$ --
нильрадикал $R$. Докажите, что $R/{\goth n}$ есть
прямая сумма нескольких копий $\bar k$.
\ез


\задача
\енум
\итем Докажите, что любой $k$-линейный гомоморфизм
$\bar k \arrow \bar k$ -- изоморфизм.
\итем Верно ли это без требования $k$-линейности?
\ее
\ез

\задача
Пусть $R$ -- прямая сумма нескольких копий $\bar k$,
а $\bar k \arrow R$ -- $k$-линейный гомоморфизм.
Докажите, что это композиция диагонального вложения и автоморфизма.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что гомоморфизм, по определению, 
переводит 1 в 1, и примените предыдущую задачу.
\еу


\задача
Пусть $R$ -- прямая сумма нескольких копий $\bar k$,
а $ R\arrow K$ - $k$-линейный гомоморфизм на поле $K$.
Докажите, это проекция на один из сомножителей.
\ез


%адача
%Пусть $A$ -- прямая сумма $n$ копий $\bar k$,
%$B$ -- прямая сумма $m$ копий, а $A \arrow B$
%гомоморфизм. Докажите, что
%число таких гомоморфизмов равно числу 
%сюрьективных отображений из $\{1,2, ..., m\}$
%в какое-то подмножество $\{1,2, ..., n\}$.
%\ез

\определение
Пусть $R$ -- кольцо, содержащее $\bar k$.\footnote{В такой ситуации,
также можно сказать <<$R$ -- кольцо над $\bar k$>>.}
Кольцо $R$ называется {\бф поглощающим}, если
каждый простой идеал $I\subset R$ максимален,
и естественное отображение $\bar k \arrow R/I$ --
изоморфизм.
\ео

\задача
\label{_prya_summa_poglo_Zadacha_}
Пусть $R$ есть прямая сумма конечного числа копий $\bar k$.
Докажите, что $R$ -- поглощающее.
\ез

\задача[**]
Пусть $R=\prod \bar k$ -- произведение бесконечного
числа копий $k$. Верно ли, что $R$ -- поглощающее?
\ез

\задача 
Пусть $R_1 \subset R_2 \subset R_3 \subset ...$
набор вложенных друг в друга колец, а $I\subset R:=\bigcup R_i$
-- идеал. Докажите, что $R/I= \bigcup \bigg[R_i/I\cap R_i\bigg]$.
\ез

\задача[!]
\label{_obe_poglo_poglo_Zadacha_}
Пусть $R_1 \subset R_2 \subset R_3 \subset ...$ --
вполне упорядоченный набор вложенных друг в друга поглощающих колец.
Докажите, что $R:=\bigcup R_i$ тоже поглощающее.
\ез

\указание
Если $I\subset R$ -- простой идеал,
то $\bar K \arrow R_i / (I\cap R_i)$ -- изоморфизм для каждого $i$.
Выведите из предыдущей задачи, что $R/I= \bigcup \bigg[R_i/I\cap R_i\bigg]$.
\еу

\задача
Пусть $V$ -- векторное пространство над полем $k$,
$[K:k]$ -- расширение, а $W\subset V\otimes_k K$ -- подпространство.
Докажите, что естественное отображение
$[V/(W\cap V)]\otimes_k K \arrow V\otimes_k K /W$
сюрьективно.
\ез

\задача
\label{_tenzor_pro_poglo_Zadacha_}
Пусть $[\bar k:k]$ -- алгебраическое замыкание,
$R$ -- поглощающее кольцо над $\bar k$, а $[K:k]$ --
конечное расширение. Докажите, что $R\otimes_k K$ --
тоже поглощающее кольцо.
\ез

\указание
Пусть $I\subset R\otimes_k K$ -- простой идеал.
Воспользуйтесь предыдущей задачей, положив
$W=I$, $V=R$, и примените задачу 
\ref{_proizve_w_bar_k_kone_Zadacha_}
и задачу \ref{_prya_summa_poglo_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ алгебраическое расширение
(не обязательно конечное). Докажите, что
кольцо $\bar k\otimes_k K$ -- поглощающее.
\ез

\указание
Выберите направленность в $K$, и примените
трансфинитную индукцию, воспользовавшись утверждением
задачи \ref{_obe_poglo_poglo_Zadacha_} 
и задачи \ref{_tenzor_pro_poglo_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $[\bar k_1:k]$ и $[\bar k_2:k]$ -- алгебраические
замыкания поля $k$. Постройте $k$-линейный изоморфизм
между $\bar k_1$ и $\bar k_2$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\end{document}