\documentclass[11pt]{article} %version 1.0,\ \ 18.01.2013 %получено из листка ``алгебраическая геометрия 6'' (осень 2011) %version 1.1, \ 23.01.2013 немного исправлений от Лени Посицельского \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 23.01.2013} \newcommand{\firstdate}{01.02.2013} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{3}{Теория Галуа 3: Тензорные произведения полей и композиты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Инвариантные билинейные формы и форма следа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% При сдаче задач (кроме тех, где это специально оговорено или подразумевается), можно предполагать, что $\Char k=0$. \def\chpoly{\operatorname{\sf chpoly}} \def\tr{\operatorname{\sf tr}} \определение {\бф След} линейного оператора есть сумма всех диагональных членов в каком-то матричном представлении. \ео \задача Докажите, что след не зависит от выбора базиса, который применяется для матричного представления оператора. \ез \определение {\бф Характеристический полином} линейного оператора $A$ есть полином $P(t):=\det(t\Id-A)$. \ео \begin{zadacha}\label{tr=0} Пусть $A \in \End V$ -- нильпотентный оператор. Докажите, что $\tr(A)=\det(A)=0$, а характеристический полином $\chpoly_A(t)=t^{\dim V}$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$, а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется {\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$ для любых $x$, $y$, $z$. \end{opredelenie} \замечание Если $R$ содержит единицу, то для любой инвариантной формы $g$, имеем $g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется линейным функционалом. \еза \begin{zadacha} Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное билинейной инвариантной формой $g$, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$. Докажите, что его ортогональное дополнение ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите артиново кольцо, не допускающее невырожденной инвариантной билинейной формы. \end{zadacha} \определение Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$, где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма $L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$. Эта форма называется {\бф формой следа}, и обозначается $\tr_k(ab)$. \ео \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение полей характеристики 0. Докажите, что форма следа всегда невырождена. \ез \замечание Расширения с невырожденной формой следа называются {\бф сепарабельными}. \еза \задача[*] Приведите пример конечного расширения $[K:k]$, которое несепарабельно. \ез %\задача[*] %Пусть $[K:k]$ -- расширение конечных полей. %Докажите, что оно сепарабельно. %\ез \определение Напомню, что {\бф полупростое артиново кольцо} есть прямая сумма полей. \ео \begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_} Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$. Докажите, что если форма следа невырождена, то $R$ полупросто. Докажите, что если $R$ полупросто, а $\Char k =0$, то эта форма невырождена. \end{zadacha} \begin{ukazanie} В одну сторону, воспользуйтесь задачей~\ref{tr=0}. В другую сторону, рассмотрите сначала ситуацию когда $R$ -- поле. \end{ukazanie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тензорные произведения полей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$. \енум \итем Докажите, что существует мультипликативная операция $(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$, переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$. \итем Докажите, что эта операция задает структуру кольца над $A\otimes_k B$. \ее \ез \определение Это кольцо называется {\бф тензорным произведением колец $A$ и $B$}, и обозначается $A\otimes_k B$. \ео \задача Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ -- кольца полиномов. Докажите, что $k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q]$. \ез \begin{zadacha} Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$ с естественной структурой артинова кольца и форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$. Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \tr(ab)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что тензорное произведение полупростых артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_Tr_semisimple_Zadacha_}. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- сепарабельные расширения. Докажите, что алгебра $K_1\otimes_k K_2$ полупроста. \ез \begin{zadacha} Докажите, что алгебра $\C \otimes_\R \C$ полупроста, и разложите ее в прямую сумму полей. \end{zadacha} \begin{zadacha} Докажите, что алгебра $\Q[\1]\otimes_\Q \Q[\1]$ полупроста, и разложите ее в прямую сумму полей. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$ и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что $K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого есть ровно $r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных, причем все корни разные. Докажите, что \[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R. \] \end{zadacha} \begin{zadacha}[**] Найдите два нетривиальных конечных расширения $K_1$, $K_2$ над $\Q$ таких, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле. \end{zadacha} \задача[**] Найдите два конечных расширения $K_1$ и $K_2$ поля $k$ характеристики $p$, что $K_1\otimes K_2$ не полупросто, или докажите, что таких расширений нет. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Композит расширений} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $K_1, K_2$ -- расширения поля $k$ характеристики 0. Постройте инъективное отображение из $K_i$ в $K_1 \otimes_k K_2$. \ез \задача\label{_gomo_v_summu_Zadacha_} Пусть $\phi:\; K \arrow R =\bigoplus R_i$ гомоморфизм из поля в прямую сумму колец, а $\pi_i: \; R \arrow R_i$ -- проекция. Докажите, что $\phi \circ \pi_i:\; K \arrow R_i$ инъективно. \ез \указание Убедитесь, что $\phi \circ \pi_i$ переводит 1 в 1. \еу \задача Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, а $\goth n$ -- его нильрадикал. \енум \итем Пусть $\Char k \neq 2$. Докажите, что $R/{\goth n}$ -- прямая сумма полей. \итем[*] Верно ли это, когда $\Char k=2$? \ее \ез \задача Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, $\Char k \neq 2$, причем одно из них конечное. Обозначим за ${\goth n}$ нильрадикал произведения $K_1 \otimes_k K_2$, и пусть $R=K_1 \otimes_k K_2/{\goth n}$. \енум \итем[!] Докажите, что $R$ допускает разложение в конечную прямую сумму, $R=\bigoplus L_i$, где $L_i$ -- расширения $k$. \итем Докажите, что каждая из компонент $L_i$ допускает $k$-линейные гомоморфизмы $K_1\hookrightarrow L_i$, $K_2\hookrightarrow L_i$. \ее \ез \определение Каждое из полей $L_i$, построенных в предыдущей задаче, называется {\бф композитом} расширений $K_1$ и $K_2$. \ео \задача Пусть $L$ -- поле, допускающее $k$-линейные вложения $K_1 \arrow L$, $K_2 \arrow L$. \енум \итем Докажите, что существует нетривиальный гомоморфизм $K_1 \otimes_k K_2\arrow L$. \итем Докажите, что существует $k$-линейный гомоморфизм $L_i\arrow L$, где $L_i$ -- какой-то из композитов $K_1, K_2$. \ее \ез \задача[!] (универсальное свойство композита) Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$, $\Char k \neq 2$, причем одно из них конечное, a $L$ -- расширение $k$, снабженное $k$-линейными гомоморфизмами $K_1 \stackrel \phi \arrow L$, $K_2 \stackrel \psi \arrow L$. Предпoложим, что $L$ порождено образами $\phi$ и $\psi$. Докажите, что $L$ это композит $K_1$ и $K_2$. \ез \замечание В дальнейшем, можно пользоваться этим свойством в качестве определения композита. \еза \задача[!] Пусть $K= k[t]/P(t)$ -- расширение, полученное добавлением корня неприводимого многочлена $P(t)$, а $P(t)= P_1(t) P_2(t) ... P_k(t)$ -- неприводимое разложение $P(t)$ над полем $K'\supset k$. Докажите, что композиты $K$ и $K'$ суть все поля вида $K'[t]/P_i(t)$. \ез \задача[*] Найдите поля $K_1$, $K_2$ и их композиты $L,L'$, которые неизоморфны. \ез \end{document}