\documentclass[11pt]{article}



%version 1.0,\ \   18.01.2013
%получено из листка ``алгебраическая геометрия 6'' (осень 2011) 
%version 1.1, \ 23.01.2013 немного исправлений от Лени Посицельского

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   23.01.2013}
\newcommand{\firstdate}{01.02.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{Теория Галуа 3: Тензорные произведения полей и композиты}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Инвариантные билинейные формы и форма следа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


При сдаче задач (кроме тех, где это специально 
оговорено или подразумевается), можно предполагать, что $\Char k=0$.

\def\chpoly{\operatorname{\sf chpoly}}
\def\tr{\operatorname{\sf tr}}

\определение
{\бф След} линейного оператора есть сумма всех
диагональных членов в каком-то матричном представлении.
\ео

\задача
Докажите, что след не зависит от выбора базиса,
который применяется для матричного представления
оператора.
\ез

\определение
{\бф Характеристический полином} линейного оператора
$A$ есть полином $P(t):=\det(t\Id-A)$.
\ео

\begin{zadacha}\label{tr=0}
Пусть $A \in \End V$ -- нильпотентный оператор. Докажите, что 
$\tr(A)=\det(A)=0$, а характеристический полином $\chpoly_A(t)=t^{\dim V}$.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$,
а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется
{\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$
для любых $x$, $y$, $z$.
\end{opredelenie}

\замечание
Если $R$ содержит единицу, то 
для любой инвариантной формы $g$, имеем
$g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется
линейным функционалом.
\еза

\begin{zadacha} 
Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное
билинейной инвариантной формой $g$, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$.
Докажите, что его ортогональное дополнение ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите артиново кольцо, не допускающее
невырожденной инвариантной билинейной формы.
\end{zadacha}

\определение
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \tr(ab)$,
где $\tr(ab)$ -- след эндоморфизма 
$L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$.
Эта форма называется {\бф формой следа},
и обозначается $\tr_k(ab)$.
\ео

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение полей характеристики 0.
Докажите, что форма следа всегда невырождена.
\ез


\замечание
Расширения с невырожденной формой следа называются 
{\бф сепарабельными}.
\еза

\задача[*]
Приведите пример конечного расширения
$[K:k]$, которое несепарабельно.
\ез

%\задача[*]
%Пусть $[K:k]$ -- расширение конечных полей.
%Докажите, что оно сепарабельно.
%\ез

\определение
Напомню, что {\бф полупростое артиново кольцо}
есть прямая сумма полей.
\ео

\begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_}
Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$.
Докажите, что если  форма следа невырождена, то $R$ полупросто.
Докажите, что если $R$ полупросто, а $\Char k =0$,
то эта форма невырождена.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
В одну сторону, воспользуйтесь задачей~\ref{tr=0}. В другую сторону,
рассмотрите сначала ситуацию когда $R$ -- поле.
\end{ukazanie}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Тензорные произведения полей}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
\енум
\итем
Докажите, что существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.
\итем Докажите, что эта операция задает структуру кольца над $A\otimes_k B$.
\ее
\ез

\определение
Это кольцо называется {\бф тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.
\ео

\задача
Пусть $k[t_1, t_2, ..., t_p]$, $k[u_1, u_2, ..., u_q]$ --
кольца полиномов. Докажите, что $k[t_1, t_2, ..., t_p]\otimes_k
k[u_1, u_2, ..., u_q]\cong k[t_1, t_2, ..., t_p, u_1, u_2, ..., u_q]$.
\ез




\begin{zadacha}
Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные
билинейные формы $a, b \arrow \tr(ab)$ на них через $g$, $g'$.
Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$
с естественной структурой артинова кольца и 
форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$.
Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \tr(ab)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что тензорное произведение полупростых 
артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь задачей \ref{_Tr_semisimple_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- сепарабельные расширения.
Докажите, что алгебра $K_1\otimes_k K_2$ полупроста.
\ез



\begin{zadacha}
Докажите, что алгебра $\C \otimes_\R \C$ полупроста,
и разложите ее в прямую сумму полей.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что алгебра $\Q[\1]\otimes_\Q \Q[\1]$ полупроста,
и разложите ее в прямую сумму полей.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[!]
Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$
и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что 
$K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого  есть ровно
$r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных,
причем все корни разные. Докажите,
что 
\[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R.
\]
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[**]
Найдите два нетривиальных
конечных расширения $K_1$, $K_2$
над $\Q$ таких, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле.
\end{zadacha}

\задача[**]
Найдите два конечных расширения $K_1$ и $K_2$
поля $k$ характеристики $p$, что $K_1\otimes K_2$ не полупросто, или докажите,
что таких расширений нет.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Композит расширений}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $K_1, K_2$ -- расширения поля $k$ характеристики 0.
Постройте инъективное отображение из $K_i$ в $K_1 \otimes_k K_2$.
\ез

\задача\label{_gomo_v_summu_Zadacha_}
Пусть $\phi:\; K \arrow R =\bigoplus R_i$
гомоморфизм из поля в прямую сумму колец, а
$\pi_i: \; R \arrow R_i$ -- проекция.
Докажите, что $\phi \circ \pi_i:\; K \arrow R_i$
инъективно.
\ез

\указание
Убедитесь, что $\phi \circ \pi_i$  переводит 1 в 1.
\еу

\задача
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$,
а $\goth n$ -- его нильрадикал.
\енум
\итем Пусть $\Char k \neq 2$. Докажите, что
$R/{\goth n}$ -- прямая сумма полей.
\итем[*] Верно ли это, когда $\Char k=2$?
\ее
\ез

\задача
Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$,  $\Char k \neq 2$, 
причем одно из них конечное. Обозначим за ${\goth n}$
нильрадикал произведения $K_1 \otimes_k K_2$, и пусть
$R=K_1 \otimes_k K_2/{\goth n}$.
\енум
\итем[!] 
Докажите, что $R$ допускает разложение
в конечную прямую сумму, $R=\bigoplus L_i$, где $L_i$ -- расширения $k$.
\итем Докажите, что каждая из компонент $L_i$ допускает 
$k$-линейные гомоморфизмы $K_1\hookrightarrow L_i$,
$K_2\hookrightarrow L_i$.
\ее
\ез

\определение
Каждое из полей $L_i$, построенных в предыдущей задаче,
называется {\бф композитом} расширений $K_1$ и $K_2$.
\ео

\задача
Пусть $L$ -- поле, допускающее $k$-линейные вложения
$K_1 \arrow L$, $K_2 \arrow L$.
\енум
\итем Докажите, что существует нетривиальный
гомоморфизм $K_1 \otimes_k K_2\arrow L$.
\итем Докажите, что существует $k$-линейный гомоморфизм
$L_i\arrow L$, где $L_i$ -- какой-то из композитов $K_1,
K_2$.
\ее
\ез

\задача[!] (универсальное свойство композита)
Пусть $K_1, K_2$ -- расширения $k$,  $\Char k \neq 2$,
причем одно из них конечное, a $L$ -- расширение $k$,
снабженное $k$-линейными гомоморфизмами 
$K_1 \stackrel \phi \arrow L$, 
$K_2 \stackrel \psi \arrow L$. 
Предпoложим, что $L$ порождено
образами $\phi$ и $\psi$. Докажите,
что $L$ это композит $K_1$ и $K_2$.
\ез

\замечание
В дальнейшем, можно пользоваться
этим свойством в качестве определения
композита.
\еза

\задача[!]
Пусть $K= k[t]/P(t)$ -- расширение, полученное
добавлением корня неприводимого многочлена $P(t)$,
а $P(t)= P_1(t) P_2(t) ... P_k(t)$ -- неприводимое
разложение $P(t)$ над полем $K'\supset k$.
Докажите, что композиты $K$ и $K'$ суть все
поля вида $K'[t]/P_i(t)$.
\ез

\задача[*]
Найдите поля $K_1$, $K_2$ и их композиты $L,L'$,
которые неизоморфны.
\ез 




\end{document}





