\documentclass[11pt]{article}



%version 1.0,\ \   19.01.2013
%получено из листка ``алгебраическая геометрия 6'' (осень 2011) 
%версион 1.1, \ 21.01.2013, немного поправил
%версион 1.2, \ 22.01.2013, исправления от Лени Посицельского
%версион 1.3, \ 25.01.2013, zadachu ** pro vypuklost' popravil

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   25.01.2013}
\newcommand{\firstdate}{25.01.2013}


\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Теория Галуа 2: идеалы и идемпотенты}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Идеалы в кольцах}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\замечание
Все кольца в дальнейшем предполагаются 
коммутативные, с единицей, и $1\neq 0$.
Все гомоморфизмы сохраняют 1. 
Все идеалы в кольце $R$ по умолчанию
предполагаются {\бф нетривиальными},
то есть не равными $R$. Кольцо, содержащее
поле $k$, называется {\бф коммутативной $k$-алгеброй},
или {\бф кольцом над $k$}.
\еза


\определение
{\бф Максимальный идеал} в кольце есть идеал, который не содержится
ни в каком большем.
\ео

\задача
Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален
тогда и только тогда, когда $R/I$ -- поле.
\ез

\begin{opredelenie}
Элемент $r\in R$ в алгебре (или кольце) $R$ называется
{\bf нильпотентным}, или {\бф нильпотентом}, если $r^k=0$, для
какого-то $k\in \N$.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть $В$ -- конечномерное векторное
пространство, а $r, r'$ -- нильпотентные элементы в 
алгебре $\End(V)$. Всегда ли $r+r'$ нильпотентен?
\end{zadacha}


\задача
Рассмотрим множество всех нильпотентных элементов
в кольце $R$. Докажите, что это идеал.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Этот идеал называется {\bf нильрадикалом} кольца $R$.
\end{opredelenie}

\задача[!]
Рассмотрим фактор кольца $R/{\mathfrak n}$ по его нильрадикалу.
Докажите, что в $R/{\mathfrak n}$ нет ненулевых нильпотентов.
\end{zadacha}


\определение
{\бф Простой идеал} есть такой идеал,
что в факторе по нему нет делителей нуля.
\ео

\задача[*]
Пусть $A$ -- кольцо без нильпотентов. Докажите, что
пересечение всех простых идеалов $A$ равно 0.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Конечномерные кольца над полем}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над
полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$},
если $R$ конечномерна как векторное пространство.
\end{opredelenie}


\задача
Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$, где $V$
конечномерно.
Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную
$k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R$ -- артиново кольцо без делителей нуля. Докажите, что это поле.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что любой инъективный
эндоморфизм конечномерного пространства сюрьективен.
\еу

\задача
Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце
максимален.
\end{zadacha}

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\begin{opredelenie}
Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.
\end{opredelenie}


\begin{opredelenie}
Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем.
Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным
(почленным) умножением и сложением.
Получившаяся алгебра называется
{\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается
 $\oplus R_i$.
\end{opredelenie}

\задача 
Докажите, что прямая сумма полупростых
артиновых колец полупроста.
\end{zadacha}


\задача
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$.
Рассмотрим подпространство $R$, порожденное
$1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). 
Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для 
некоторого полинома $P= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$
с коэффициентами из $k$. Докажите, что
такой полином единственный.
\end{zadacha}

%\def\minpoly{\operatorname{\sf Minpoly}}

\begin{opredelenie}
Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$. 
% и обозначается $\minpoly(v)$.
\end{opredelenie}


\задача
Пусть $v\in R$ -- элемент артинова кольца над $k$,
а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру
$R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что 
$R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков
по модулю $P$.
\end{zadacha}

\определение
Пусть $I$ - идеал в кольце.
Рассмотрим идеал, порожденный мономами степени
$q$:  $x_1^{n_1}x_2^{n_2}...x_i^{n_i}$, $\sum_i n_i=q$,
где все $x_i$ лежат в $I$. Этот идеал обозначается
$I^q$.
\ео

\задача[**]
Пусть $R$ -- артиново кольцо с единственным
максимальным идеалом $\goth{m}$.
Рассмотрим функцию ${\Bbb N}\stackrel\phi\arrow {\Bbb N}$,
переводящую $i$ в $\dim ({\goth m}^i/{\goth m}^{i+1})$.
Число $d\in {\Bbb N}$ называется {\бф строгим локальным максимумом},
если $\phi(d) > \phi(d-1)$ и $\phi(d) > \phi(d+1)$.
Сколько строгих локальных максимумов может быть у $\phi$?

\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Идемпотенты}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$.
Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что
произведение идемпотентов -- идемпотент.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Рассмотрим пространствo $eR\subset R$
(образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ --
подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R = k[t]/P$, где $P$ -- полином, который разлагается
в произведение попарно взаимно простых полиномов,
$P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть
$n$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем 
$e_i R \cong k[t]/P_i$.
\end{zadacha}



\задача
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов.
Докажите, что это поле.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k[x] \subset R$, порожденную
необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение
предыдущей задачи.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ 
{\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$.
\end{opredelenie}

\задача Пусть $e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты, 
причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
Докажите, что $e_1$ -- тоже идемпотент, причем
$e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$.
\end{zadacha}

\NewVedomost

\задача 
Пусть $\Char k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ --
идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. 
Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Идемпотент $e$ в $R$ называется
{\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые
ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e = e_2 + e_3$.
\end{opredelenie}



\задача[!]
Пусть $R$ полупростое артиново кольцо,
а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что
$eR$ -- поле. 
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$.
Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых
ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это
разложение единственно.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$,
разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией.
Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$.
Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[**]
Верно ли это, когда $\Char k = 2$?
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$,
а $1 = e_1+ \dots + e_n$ --
разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов.
Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов.
\end{zadacha}

\определение
Пусть $I\subset R$ -- идеал в кольце, удовлетворяющий $I^2=I$.
Такой идеал называется {\бф идемпотентным}.
\ео

\задача[**]
Пусть $I$ -- идемпотентный идеал. Докажите, что
$I$ главный, или найдите контрпример.
\ез



\end{document}
