\documentclass[12pt]{article} %version 1.0,\ \ 17.01.2013 %получено из листка ``алгебра 4'' (осень 2004) усекновением % version 1.1, поправил задачу с теоремой Лиувилля, во избежание, 24.01.2013 % версион 1.2, 25.01.2013 конечномерность \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 25.01.2013} \newcommand{\firstdate}{18.01.2013} %\addtolength{\topmargin}{-5mm} %\addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{Теория Галуа 1: алгебраические числа} {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем. Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) трех -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 20 дней после выдачи, 1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту, и ее надо хранить до получения окончательных оценок по курсу.} \subsection{Алгебраические числа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $k \subset K$ -- поле, содержащееся в поле $K$ (в такой ситуации говорится, что $k$ {\bf подполе} в $K$, а $K$ {\bf расширение} $k$). Элемент $x\in K$ называется {\bf алгебраическим над $k$}, если $x$ -- корень ненулевого многочлена с коэффициентами в $k$. \end{opredelenie} Довольно часто, когда говорят про алгебраические числа, подразумевают комплексные числа, алгебраические над $\Q$, т.е. корни многочленов с рациональными коэффициентами. \задача Пусть $k$ -- подполе в $K$, а $x$ -- элемент в $K$. Рассмотрим $K$ как линейное пространство над $k$. Пусть $K_x\subset K$ -- линейное подпространство $K$, порожденное степенями $x$. Докажите, что $K_x$ конечномерно тогда и только тогда, когда $x$ алгебраично. \end{zadacha} \begin{zamechanie} Если $k\subset K$ подполе $K$, a $V$, $W$ - линейные пространства над $K$, мы можем рассмотреть $V$, $W$ как линейные пространства $V_k$, $W_k$ над $k$. В такой ситуации, линейное отображение $V_k\arrow W_k$ называется {\bf $k$-линейным отображением пространства $V$ в $W$.} Линейные отображения векторных пространств над полем $k$ часто называют {\bf $k$-линейными}, чтобы обозначить зависимость от $k$. \end{zamechanie} \задача Пусть $k\subset K$ - подполе $K$. Приведите пример отображения $K$-векторных пространств $V\arrow W$, которое $k$-линейно, но не $K$-линейно. \end{zadacha} \задача Пусть $k$ -- подполе в $K$, $x$ -- алгебраический элемент в $K$, а $K_x\subset K$ -- линейное подпространство, порожденное степенями $x$. Для ненулевого вектора $v\in K_x$, рассмотрим операцию $m_v$ домножения на $v$ в $K$. Докажите, что $m_v$ -- $k$-линейное отображение, которое сохраняет подпространство $K_x\subset K$. \end{zadacha} \задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что ограничение гомоморфизма $m_v$ на $K_x\subset K$ обратимо. \end{zadacha} \задача[!] Выведите из этого, что $K_x$ -- подполе в $K$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} {\bf Конечное расширение} поля $k$ -- это поле $K\supset k$, которое конечномерно как векторное пространство над $k$. \end{opredelenie} \задача Пусть $K_1 \supset K_2\supset K_3$ поля, такие, что $K_1$ конечномерно над $K_2$, которое конечномерно над $K_3$. Докажите, что $K_1$ -- конечное расширение $K_3$. \end{zadacha} \задача[!] Выведите из этого следующее: сумма, произведение, частное алгебраических над $k$ элементов снова алгебраично над $k$. \end{zadacha} \задача Докажите, что любое конечное поле -- конечное расширение поля остатков по модулю $p$ для какого-то простого числа $p$. Выведите из этого, что конечное поле имеет $p^n$ элементов (для каких-то чисел $p$, $n$, где $p$ простое). \end{zadacha} \задача[*] Докажите, что существует неалгебраическое комплексное число. \end{zadacha} \задача[**] \енум \итем Докажите, что вещественное число \\ $0,010000100000000000000001...$ (число нулей после $i$-й единицы равно $2^{2^i}$) неалгебраично. \итем Докажите, что вещественное число число $0,0100100001000...$ (число нулей после $i$-й единицы равно $2^i$) неалгебраично. \ее \end{zadacha} \задача[*] Пусть комплексное число $x$ алгебраично. Докажите, что его комплексно-со\-пря\-жен\-ное $\bar x$ тоже алгебраично. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь тем, что комплексное сопряжение есть автоморфизм $\C$, сохраняющий $\Q$. \end{ukazanie} \задача[*] Пусть комплексное число $x=a+b\1$ алгебраично. Докажите, что вещественные числа $a$ и $b$ алгебраичны. \end{zadacha} \задача[*] Докажите, что $\alpha:=\sin(\frac{n\pi}{m})$ алгебраично (над $\Q$) для всех целых $n,m$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subs{Алгоритм Евклида и его применения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $P(t), Q(t)\in k[t]$ -- полиномы положительной степени над полем $k$, не имеющие общих делителей. Докажите, что $1$ можно выразить как линейную комбинацию $P$ и $Q$ над $k[t]$: $$ 1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t). $$ \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов (делением в столбик с остатком и индукцией). \end{ukazanie} \задача Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином (не раскладывается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из $k$), а произведение $Q(t) Q_1(t)$ делится на $P(t)$, где $Q(t)$, $Q_1(t)$ -- ненулевые полиномы. Докажите, что $Q(t)$ или $Q_1(t)$ делится на $P(t)$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $Q(t)$ не делится на $P(t)$. Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы выразить $1$ как линейную комбинацию $Q(t)$ и $P(t)$: $$ 1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t). $$ Тогда $1\cdot Q_1(t) = Q(t)Q_1(t) A(t) + P(t) B(t)Q_1(t)$ очевидно делится на $P(t)$. \end{ukazanie} \задача Пусть $P(t)$ -- многочлен над $k$. Рассмотрим кольцо $k[t]$ полиномов от $t$ и факторпространство $k[t]/Pk[t]$ всех полиномов по полиномам, которые делятся на $P$. Докажите, что $k[t]/Pk[t]$ есть кольцо (относительно естественных операций умножения и сложения). \end{zadacha} \задача Докажите, что умножение на полином $Q(t)$ действует на $k[t]/Pk[t]$ как эндоморфизм (эндоморфизм это гомоморфизм из пространства в себя). \end{zadacha} \задача Пусть умножение на полином $Q(t)$ действует на $k[t]/Pk[t]$ нулем. Докажите, что $Q$ делится на $P$ в кольце $k[t]$. \end{zadacha} \задача Пусть $P(t)$ неприводим. Предположим, что $Q(t)$ -- полином, который не делится на $P(t)$. Докажите, что оператор умножения $m_Q$ на $Q(t)$ на пространстве $k[t]/Pk[t]$ -- мономорфизм. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $v$ лежит в ядре $m_Q$, а $Q_1(t)$ -- полином, представляющий $v$. Тогда $Q Q_1$ делится на $P$ в силу утверждения предыдущей задачи. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов, чтобы получить, что $Q$ делится на $P$ либо $Q_1$ делится на $P$. \end{ukazanie} \задача[*] Пусть $A:\; V \arrow V$ - линейный оператор на конечномерном векторном пространстве. Докажите, что есть такой полином $P(t)=t^n + a_n t^{n-1}+...$, что $P(A)=0$. Всегда ли можно найти неприводимый полином $P(t)$ такой, что $P(A)=0$? \end{zadacha} \задача[!] Пусть $P(t)$ неприводим. Докажите, что $k[t]/Pk[t]$ -- поле. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы доказать, что если $Q$ не делится на $P$, то умножение на $Q(t)$ задает на $k[t]/Pk[t]$ обратимый линейный оператор. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином. Говорится, что поле $k[t]/Pk[t]$ есть {\bf расширение, полученное добавлением корня $P(t)$}. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Алгебраическое расширение поля $k$ -- это такое поле $K\supset k$, что все элементы $K$ алгебраичны над $k$. \end{opredelenie} \задача Докажите, что любое конечное расширение алгебраично. \end{zadacha} \задача[*] Докажите, что не любое алгебраическое расширение конечно. \end{zadacha} \end{document}