\documentclass[12pt]{article}



%version 1.0,\ \   17.01.2013
%получено из листка ``алгебра 4'' (осень 2004) усекновением
% version 1.1, поправил задачу с теоремой Лиувилля, во избежание, 24.01.2013
% версион 1.2, 25.01.2013 конечномерность

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   25.01.2013}
\newcommand{\firstdate}{18.01.2013}


%\addtolength{\topmargin}{-5mm}
%\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}



\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Теория Галуа 1: алгебраические числа}


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или 1/3, или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 1/3, или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

Если сдана 1/3 задач с (*) и (!), студент получает
$2t$ баллов,
если 2/3 задач, $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Если сдана 1/3 задач без звездочек и с (!), 
студент получает $2t$ баллов, если 2/3 задач, 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) трех -- $10t$ баллов.


Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



\subsection{Алгебраические числа}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{opredelenie} Пусть $k \subset K$ -- поле, содержащееся в поле $K$
(в такой ситуации говорится, что $k$ {\bf подполе} в $K$, а $K$ {\bf
расширение} $k$). Элемент $x\in K$ называется {\bf алгебраическим
над $k$}, если $x$ -- корень ненулевого многочлена с коэффициентами
в $k$.
\end{opredelenie}

Довольно часто, когда говорят про алгебраические числа,
подразумевают комплексные числа, алгебраические над $\Q$, т.е. корни
многочленов с рациональными коэффициентами.

\задача Пусть $k$ -- подполе в $K$, а $x$ -- элемент в $K$.
Рассмотрим $K$ как линейное пространство над $k$. Пусть $K_x\subset
K$ -- линейное подпространство $K$, порожденное степенями $x$.
Докажите, что $K_x$ конечномерно тогда и только тогда, когда $x$
алгебраично.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Если $k\subset K$ подполе $K$, a $V$, $W$ - 
линейные пространства над $K$, мы можем рассмотреть
$V$, $W$ как линейные пространства $V_k$, $W_k$ над $k$.
В такой ситуации, линейное отображение $V_k\arrow W_k$
называется {\bf $k$-линейным отображением пространства
$V$ в $W$.} Линейные отображения векторных пространств
над полем $k$ часто называют {\bf $k$-линейными}, чтобы
обозначить зависимость от $k$.
\end{zamechanie}

\задача Пусть $k\subset K$ - подполе $K$.
Приведите пример отображения $K$-векторных пространств
$V\arrow W$, которое $k$-линейно, но не $K$-линейно.
\end{zadacha}

\задача Пусть $k$ -- подполе в $K$, $x$ -- алгебраический
элемент в $K$, а $K_x\subset K$ -- линейное подпространство,
порожденное степенями $x$. Для ненулевого вектора $v\in K_x$,
рассмотрим операцию $m_v$ домножения на $v$ в $K$. Докажите, что
$m_v$ -- $k$-линейное отображение, которое сохраняет подпространство
$K_x\subset K$.
\end{zadacha}

\задача В условиях предыдущей задачи, докажите, что
ограничение гомоморфизма $m_v$ на $K_x\subset K$ обратимо.
\end{zadacha}

\задача[!] 
Выведите из этого, что $K_x$ -- подполе в $K$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} {\bf Конечное расширение}
поля $k$ -- это поле $K\supset k$, которое конечномерно как
векторное пространство над $k$.
\end{opredelenie}

\задача Пусть $K_1 \supset K_2\supset K_3$
поля, такие, что $K_1$ конечномерно над $K_2$, которое конечномерно
над $K_3$. Докажите, что $K_1$ -- конечное расширение $K_3$.
\end{zadacha}

\задача[!] 
Выведите из этого следующее: сумма, произведение, частное
алгебраических над $k$ элементов снова алгебраично над $k$.
\end{zadacha}

\задача
Докажите, что любое конечное поле -- конечное расширение поля
остатков по модулю $p$ для какого-то простого числа $p$. Выведите из
этого, что конечное поле имеет $p^n$ элементов (для каких-то чисел
$p$, $n$, где $p$ простое).
\end{zadacha}

\задача[*] 
Докажите, что существует неалгебраическое комплексное число.
\end{zadacha}

\задача[**] 
\енум
\итем
Докажите, что вещественное число \\ $0,010000100000000000000001...$
(число нулей после $i$-й единицы равно $2^{2^i}$) неалгебраично.
\итем Докажите, что вещественное число число $0,0100100001000...$
(число нулей после $i$-й единицы равно $2^i$) неалгебраично.
\ее
\end{zadacha}

\задача[*] 
Пусть комплексное число $x$ алгебраично. Докажите, что его
комплексно-со\-пря\-жен\-ное $\bar x$ тоже алгебраично.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь тем, что комплексное сопряжение
есть автоморфизм $\C$, сохраняющий $\Q$.
\end{ukazanie}

\задача[*] 
Пусть комплексное число $x=a+b\1$ алгебраично.  Докажите, что
вещественные числа $a$ и $b$ алгебраичны.
\end{zadacha}


\задача[*] 
Докажите, что $\alpha:=\sin(\frac{n\pi}{m})$ алгебраично (над
  $\Q$) для всех 
целых $n,m$. 
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Алгоритм Евклида и его применения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача Пусть $P(t), Q(t)\in k[t]$ --
полиномы положительной степени над полем $k$, не имеющие общих
делителей. Докажите, что $1$ можно выразить как линейную комбинацию
$P$ и $Q$ над $k[t]$:
$$
1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t).
$$
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов
(делением в столбик с остатком и индукцией).
\end{ukazanie}

\задача Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином (не раскладывается
в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из
$k$), а произведение $Q(t) Q_1(t)$ делится на $P(t)$, где $Q(t)$,
$Q_1(t)$ -- ненулевые полиномы. Докажите, что $Q(t)$ или $Q_1(t)$
делится на $P(t)$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $Q(t)$ не делится на $P(t)$.
Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы выразить $1$ как линейную
комбинацию $Q(t)$ и $P(t)$:
$$
1 = Q(t) A(t) + P(t) B(t).
$$
Тогда $1\cdot Q_1(t) = Q(t)Q_1(t) A(t) + P(t) B(t)Q_1(t)$ очевидно
делится на $P(t)$.
\end{ukazanie}

\задача Пусть $P(t)$ -- многочлен над $k$.
Рассмотрим кольцо $k[t]$ полиномов от $t$ и факторпространство
$k[t]/Pk[t]$ всех полиномов по полиномам, которые делятся на
$P$. Докажите, что $k[t]/Pk[t]$ есть кольцо (относительно
естественных операций умножения и сложения).
\end{zadacha}

\задача Докажите, что умножение на полином
$Q(t)$ действует на $k[t]/Pk[t]$ как эндоморфизм (эндоморфизм это
гомоморфизм из пространства в себя).
\end{zadacha}

\задача Пусть умножение на полином $Q(t)$ действует на
$k[t]/Pk[t]$ нулем. Докажите, что $Q$ делится на $P$ в кольце
$k[t]$.
\end{zadacha}

\задача  Пусть $P(t)$ неприводим. Предположим, что $Q(t)$ --
полином, который не делится на $P(t)$. Докажите, что оператор
умножения $m_Q$ на $Q(t)$ на пространстве $k[t]/Pk[t]$ --
мономорфизм.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $v$ лежит в ядре $m_Q$, а $Q_1(t)$ -- полином,
представляющий $v$. Тогда $Q Q_1$ делится на $P$ в силу утверждения
предыдущей задачи. Воспользуйтесь алгоритмом Евклида для полиномов,
чтобы получить, что $Q$ делится на $P$ либо $Q_1$ делится на $P$.
\end{ukazanie}

\задача[*] Пусть $A:\; V \arrow V$ - линейный оператор на конечномерном
векторном пространстве.
Докажите, что есть такой полином $P(t)=t^n + a_n t^{n-1}+...$, что $P(A)=0$.
Всегда ли можно найти неприводимый полином $P(t)$ такой, что $P(A)=0$?
\end{zadacha}

\задача[!] Пусть $P(t)$ неприводим. Докажите, что
$k[t]/Pk[t]$ -- поле.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобы доказать,
что если $Q$ не делится на $P$, то умножение на $Q(t)$ задает на
$k[t]/Pk[t]$ обратимый линейный оператор.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $P(t)$ -- неприводимый полином. 
Говорится, что поле $k[t]/Pk[t]$ есть {\bf расширение, полученное
добавлением корня $P(t)$}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Алгебраическое расширение поля $k$ --
это такое поле $K\supset k$, что все элементы $K$ алгебраичны над
$k$.
\end{opredelenie}

\задача Докажите, что любое конечное расширение алгебраично.
\end{zadacha}

\задача[*] Докажите, что не любое алгебраическое расширение
конечно.
\end{zadacha}

\end{document}
