\documentclass[10pt]{article}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 25.03.2013

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
\addtolength{\textwidth}{30mm}

\def\F{{\Bbb F}}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   25.03.2013}
\newcommand{\firstdate}{29.03.2013}

\begin{document}

\listok{3}{Теория Галуа, задачи письменного экзамена}
\lhead{\small Теория Галуа, задачи письменного экзамена}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается список задач для решения,
по одной из каждого раздела, созданный заранее с помощью 
специального рандомайзера.
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$b=8\min(s,3)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Можно ссылаться на теоремы из сданного студентом
курса алгебры для ВШЭ и сданные задачи из листочков.
Все ответы должны быть снабжены доказательством,
по возможности полным и понятным (иначе баллы будут 
снижаться).

Письменный экзамен проходит
с 12:00 до 15:30, 29.03.2013. Вместе с решениями,
29 марта студенты должны сдать копии своих ведомостей, с отметками
о том, сколько баллов им причитается за листочки (и
объяснением, почему именно столько). Показ работ
и окончательная расстановка оценок -- среда, 3-го апреля
(первая половина дня).
Студенты, которые не сдадут свои ведомости 29-го, ничего за 
листочки не получат.

Окончательная оценка вычисляется по формуле $F=0.1B$,
где $B$ есть сумма баллов за все (округление вниз).
}

\subsection{Теория Галуа}

%\определение
%Подгруппа $G\subset S_n$ симметрической группы называется
%{\бф транзитивной}, если она действует транзитивно на множестве
%${1,2,3,..., n\}$.
%\ео
%
%\задача
%Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый 
%многочлен степени $n$ без кратных корней, а $G$ -- группа
%Галуа его поля разложения $K$. Докажите, что $G$ 
%действует перестановками на корнях $P(t)$, а 
%соответствующее отображение $G\arrow S_n$ -- вложение.
%Докажите, что $G$ -- транзитивная подгруппа в $S_n$.
%\ез

\задача
Пусть $K:=\F_p(x,y)$ -- поле рациональных функций от $x, y$,
а $k\subset K$ его подполе, порожденное $x^p, y^p$.
%Докажите, что степень $[K:k]$ равна $p^2$, а 
%каждый элемент $f\in K$ удовлетворяет $f^p\in k$.
Докажите, что расширение $[K:k]$ не примитивно.
\ез


\задача
Пусть $k$ поле конечной характеристики,
а $[K:k]$ -- примитивное расширение $k$. Докажите, что
любое промежуточное поле $K\supset K' \supset k$ примитивно.
\ез

\задача
Пусть $[K:\Q]$ -- расширение Галуа с группой Галуа 
$(\Z/2)^2$. Докажите, что $K=\Q[\sqrt a, \sqrt b]$, для каких-то $a, b\in \Q$.
\ез

\задача
Найдите неприводимый полином степени 3 над $\Q$ такой, что
группа Галуа его поля разложения изоморфна $S_3$ (симметрической
группе).
\ез



\задача
Найдите неприводимый полином степени 3 над $\Q$ такой, что
группа Галуа его поля разложения изоморфна $\Z/3\Z$.
\ез


\subsection{Неприводимые полиномы}

\задача
Пусть $k$ есть поле рациональных функций 
над $\C$: $k=\C(t)$.
Докажите, что для любого $n>0$ найдется неприводимый
полином $P(x)\in k[x]$ степени $n$.
\ез

\задача
Пусть $k$ есть конечное расширение $\Q$.
Докажите, что для любого $n>0$ найдется неприводимый
полином $P(x)\in k[x]$ степени $n$.
\ез

\задача
Пусть $k$ -- конечное поле. 
Докажите, что для любого $n>0$ найдется неприводимый
полином $P(x)\in k[x]$ степени $n$.
\ез


\задача
Пусть $k$ -- поле рациональных функций 
над $\C$: $k=\C(t)$. Докажите, что полином 
$x^n +t^n +1$ неприводим в $k[x]$.
\ез

\задача
Докажите, что полином $x^3 + y+ y^5$ неприводим в
$\Z[x,y]$.
\ез

\задача
Пусть $k$ есть поле рациональных функций 
над $\C$: $k=\C(t)$.
Докажите, что $x^7+t^3x+t$ неприводим в $k[x]$.
\ез 

\subsection{Расширения Галуа поля $k=\C(t)$}

В этом разделе, поле $k$ есть поле рациональных функций 
над $\C$: $k=\C(t)$.

\задача
Найдите расширение Галуа $[K:k]$ с группой Галуа
$(\Z/2\Z)^3$.
\ез

\задача
Пусть $[K:k]$ есть поле разложения 
многочлена $P(x)=x^4+2tx^2 +t^2 - t$.
Докажите, что он неприводим, и  
найдите группу Галуа $[K:k]$.
\ез

\задача
Пусть $P(x)=x^4+bx^2 +c$, а уравнение $0=x^2+bx +c$
не имеет решений в $k$. Докажите, что полином
$P(x)$ неприводим в $k[x]$, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Найдите расширение Галуа $[K:k]$ с группой Галуа
$(\Z/3\Z)^2$.
\ез

\задача
Пусть $P_1, P_2, P_3 \in \C[t]$ -- неприводимые полиномы
без кратных корней, не имеющие общих корней, а
$[K:k]$ -- расширение $k$, полученное добавлением
квадратных корней $\alpha_i:=\sqrt{P_i}$. Докажите, что
$\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$ линейно независимы в $K$ (над $k$).
\ез
 
\задача
В условиях предыдущей задачи, найдите группу
Галуа $[K:k]$ (в решении этой задачи,
линейную независимость корней $\alpha_i$ 
можно считать установленной). 
\ез


\subsection{Конечные поля и группы Галуа}

\задача Пусть $P(t)\in {\Bbb F}_p(t)$ -- неприводимый
полином степени $n$, а $K$ его поле разложения.
Докажите, что $\Aut_{{\Bbb F}_p}(K)=\Z/n\Z$, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $k={\Bbb F}_{41}(t)$ есть поле рациональных функций
над ${\Bbb F}_{41}$, а $P(x)=x^5-t\in k[x]$. Докажите, что этот
полином неприводим, и найдите порядок 
группы Галуа его поля разложения.
\ез

\задача
Пусть $k=\F_{p}(t)$ есть поле рациональных функций
над $\F_{p}$, а $[K:k]$ -- расширение Галуа. Докажите, что
группа Галуа $[K:k]$ абелева, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $k=\F_{13}(t)$ есть поле рациональных функций
над $\F_{13}$. Постройте расширение Галуа $[K:k]$
с группой Галуа $(\Z/2)^2$.
\ез

\задача
Пусть $k=\F_{83}(t)$ есть поле рациональных функций
над $\F_{83}$. Постройте расширение Галуа $[K:k]$ с группой Галуа 
$\Z/41\Z$.
\ез

\задача
Докажите, что полином $P(t)=t^4 +1$ неприводим над $\Q$.
Докажите, что он приводим над $\F_p$, для любого
$p$ вида $4k+1$.
\ез

\subsection{Расширения Галуа поля $\Q$}

\задача
Докажите, что $P(t)=t^4+1$ неприводим в $\Q[t]$,
но приводим в $\R[t]$. Найдите группу Галуа его
поля разложения.
\ез

\задача
Докажите, что $P(t)=t^4-24$ неприводим в $\Q[t]$.
Найдите группу Галуа его
поля разложения.
\ез

\задача Пусть $K:=\Q[\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}]$.
Докажите, что $[K:\Q]$ -- расширение Галуа, и найдите
его группу Галуа.
\ез

\задача
Пусть $K$ -- поле разложения полинома $P(t)=t^4-2$
над $\Q$. Найдите группу Галуа $[K:\Q]$ и перечислите
все подполя $K'\subset K$. Какие из 
этих подполей являются полями Галуа над $\Q$?
\ез


\задача
Докажите, что $\left[\Q\left[\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}\right]:\Q\right]$ --
расширение Галуа.
\ез


\задача
Докажите, что $x^n +x +3$ неприводим над $\Q$ для любого $n>1$.
\ез





\end{document}
