\documentclass[10pt]{article}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 10.03.2013
% version 1.1, 15.03.2013
% version 1.2, 19.03.2013 okonchatel'naya

\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\textheight}{40mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   19.03.2013}
\newcommand{\firstdate}{22.03.2013}

\begin{document}

\listok{2}{Теория Галуа, задачи коллоквиума}
\lhead{\small Теория Галуа, задачи коллоквиума}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается список задач для решения,
по две из каждого раздела, созданный заранее с помощью 
специального рандомайзера.
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$b=4\max(s,8)$, где $s$ -- сумма баллов за задачи.
Можно ссылаться на теоремы из сданного студентом
курса алгебры для ВШЭ, но нужно привести точную 
формулировку теоремы, и сказать, какой именно курс ее
содержал. Кроме того, студент, ссылающийся на какую-то теорему.
берет на себя обязанность рассказать ее доказательство
по первому требованию экзаменатора. Также можно ссылаться на сданные
задачи из листочков, но нужно хорошо представлять себе доказательство.


Решение устное, сдается с 12:00 до 15:30, пятница, 22.03.2013.
Аналогичное задание для письменного решения будет выдаваться
в пятницу с 12:00 до 15:30, 29.03.2013. Вместе с решениями,
29 марта студенты должны сдать копии своих ведомостей, с отметками
о том, сколько баллов им причитается за листочки (и
объяснением, почему именно столько). Показ работ
и окончательная расстановка оценок -- среда, 3-го апреля
(первая половина дня).
Студенты, которые не сдадут свои ведомости 29-го, ничего за 
листочки не получат.

Окончательная оценка вычисляется по формуле $F=0.1B$,
где $B$ есть сумма баллов за все (округление вниз).
}

\subsection{Алгебраические числа и конечные расширения}

\определение
{\бф Степень} $\deg_k(x)$ алгебраического числа $x\in \bar k$ есть 
степень расширения $[k[x]:k]$, порожденного $x$.
\ео

\задача
Пусть $\alpha, \beta$ -- корни неприводимого
многочлена $P(t)\in k[t]$ степени $n$. Докажите, что 
$\deg(\alpha+\beta)\leq \frac{n(n-1)}{2}$.
\ез

\задача
Пусть $\alpha, \beta$ -- разные корни корни неприводимого
многочлена $P(t)\in k[t]$, $\Char k =0$. 
Докажите, что $\deg(\alpha-\beta)\geq 2$, 
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $\alpha, \beta$ -- разные корни корни неприводимого
многочлена $P(t)\in k[t]$, $\Char k =0$ степени $> 2$. Докажите, что
$\deg(\alpha+\beta)\geq 2$, или найдите контрпример.
\ез



\задача
Пусть $\alpha, \beta$ -- разные корни корни неприводимого
многочлена $P(t)\in k[t]$, $\Char k =0$. Докажите, что $\deg(\alpha\beta^{-1})\geq 2$,
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $\alpha, \beta$ -- разные корни корни неприводимого
многочлена $P(t)\in k[t]$, $\Char k =0$ степени $> 2$. Докажите, что
$\deg(\alpha\beta)\geq 2$, или найдите контрпример.
\ез

\subsection{Конечномерные кольца}

\newcommand{\F}{{\Bbb F}}

\задача
Докажите, что $\F_4\otimes_{\F_2}\F_8\cong \F_{64}$.
\ез

\задача
Докажите, что $\F_9\otimes_{\F_3}\F_{81}\cong \F_{81}\oplus \F_{81}$.
\ез

\задача
Докажите, что $\Q[\sqrt 2]\otimes_\Q \Q[\sqrt 3]$ -- поле.
\ез

\задача
Докажите, что $\F_p[t]\otimes_{\F_p[t^p]}\F_p[t]$ содержит
нильпотенты.
\ез

\задача[2 балла]
Докажите, что форма следа в расширении $[\F_{p^n}:\F_p]$
невырождена.
\ез

\задача
Найдите расширение $[K:k]$ степени 3, такое, что
$K\otimes_k K$ есть прямая сумма двух полей.
\ез


\subsection{Расширения Галуа}

\задача 
Пусть $K\subsetneq \R$ -- расширение $\Q$ степени 3.
Может ли $[K:\Q]$ быть расширением Галуа?
\ез

\задача
Пусть $[k:\Q]$ -- квадратичное расширение.
Докажите, что $[k[\sqrt[11]{3}]:k]$ -- не расширение Галуа.
\ез

\задача
Докажите, что $[\Q[\sqrt[n]5]:\Q]$ -- не расширение
Галуа для любого $n\geq 3$.
\ез

\задача
Пусть $k:=\F_p(t)$ -- поле рациональных функций над $\F_p$.
Постройте конечное расширение $[K:k]$, которое не является
расширением Галуа.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $G$ -- конечная группа, которая действует на поле
$K$ автоморфизмами. Докажите, что $[K:K^G]$ -- конечное расширение.
Докажите, что это расширение Галуа.
\ез

\subsection{Группы Галуа}

\задача[2 балла]
Найдите расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $\Z/15\Z$.
\ез

\задача[2 балла]
Найдите расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $\Z/9\Z$.
\ез

\задача[2 балла] 
Постройте расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $(\Z/3\Z)^2$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $k=\R(t)$ поле рациональных функций над $\R$, 
а $[K:k]$ расширение Галуа с абелевой группой Галуа $G$.
Предположим, что порядок $G$ нечетный.
Докажите, что $G$ циклическая, или найдите контрпример.
\ез

\задача[2 балла]
Постройте расширение Галуа $[K:\Q]$ с группой Галуа $\Z/20\Z$.
\ез

\subsection{Вычисление группы Галуа}

\задача[2 балла]
Пусть $P(t)=t^3+5t+5$. Докажите, что этот
полином неприводим над $\Q$. Найдите группу Галуа 
его поля разложения над $\Q$.
\ез


\задача[2 балла]
Пусть $P(t)=t^4-2$. Докажите, что этот
полином неприводим над $\Q$. Докажите, что группа
Галуа его поля разложения над $\Q$ изоморфна группе $D_4$
симметрий квадрата.
\ез

\задача[2 балла] Пусть $P(t)\in \F_p(t)$ -- неприводимый
полином степени $n$, а $K$ его поле разложения.
Докажите, что $\Aut_{\F_p}(K)=\Z/n\Z$, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $K$ -- циклотомическое поле, полученное
добавлением всех корней степени 17 из 1. 
Докажите, что все подполя $K'\subset K$ суть расширения Галуа $\Q$.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $k=\F_{13}(x)$ есть поле рациональных функций
над $\F_{13}$, а $P(t)=t^5-x$. Докажите, что этот
полином неприводим, и найдите порядок 
группы Галуа его поля разложения.
\ез




\end{document}
 
