
\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{wrapfig,amscd}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
%\addtolength{\textwidth}{35mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   06.05.2017
%version 2.0,\ \   20.05.2017 совместимых 
%                  регулярных координат для морфизма таки не бывает!


\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   20.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{13.05.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{12}{Комплексные пространства 12: ранг Реммерта}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Ранг Реммерта}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
(теорема о постоянном ранге) \\
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение,
причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \dim \im dF$ постоянный. Докажите, что у каждой
точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ --
гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)$ --
гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$.
\ез

\указание
Теоремой о неявной функции воспользуйтесь.
\еу

\определение
Комплексно-аналитическое многообразие {\бф равноразмерно}, если имеет 
одну и ту же размерность в каждой гладкой точке.
\ео

\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий, которое 
собственно и имеет конечные слои.
\енум
\итем 
Докажите, что существует гладкая точка 
$x\in X$, такая, что $F(x)$ -- гладкая
точка $Y$, а $dF\restrict {T_xX}$ инъективно.
\итем[!] Докажите, что $\dim X =\dim Y$,
если $Y$ равноразмерно.
\ее
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]\label{_interse_subspace_dim_Zadacha_}
Пусть $Z\subset \C^n$ -- равноразмерное
подмногообразие, которое пересекается
с каким-то $k$-мерным подпространством $V \subset \C^n$ 
по непустому комплексно-аналитическому
подмножеству размерности 0. Докажите, что
 $\dim Z \leq n-k$.
\ез

\указание
Докажите, что
$\dim Z \leq \dim (Z\cap W) +1$ 
для любой гиперплоскости $W\subset \C^n$,
и воспользуйтесь индукцией.
\еу

\задача\label{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_}
Пусть  $F:\; \C^n \arrow \C^m$ -- голоморфная субмерсия,
сохраняющая 0, а  $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подможество окрестности 0, такое, что
$F^{-1}(0)\cap Z=0$. Докажите, что 
\енум 
\итем существуют голоморфные
замены координат в окрестности нуля на $\C^n$, $\C^m$, в которых
$F$ -- комплексно-линейная проекция.
\итем[!] 
$F$ имеет конечные слои
\итем[*] $F$ собственно в окрестности нуля.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобу
убедиться, что $F$ имеет конечные слои,
а регулярными координатами - чтобы усмотреть, 
что $F\restrict Z$ собственно в небольшой окрестности 0.
\еу

\определение
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий. Определим {\бф ранг Реммерта $F$ в $x$}
как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$.
\ео

\задача[!]\label{_Remrank_estimate_via_interse_Zadacha_}
Пусть $Х\subset \C^n$ --
комплексно-аналитическое подмножество в какой-то окрестности 0,
содержащее $x\in \C$,
$V\subset \C^n$ -- аффинное подпространство коразмерности $k$, 
проходящее через $x$, а $F:\; Х \arrow Y$ -- 
голоморфное отображение. 
Предположим, что $\rk_x \left(F\restrict{X\cap V}\right)=0$.
Докажите, что $\rk_x F\geq k$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_interse_subspace_dim_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]\label{__Zadacha_}
В условиях предыдущей задачи,
докажите, что  $F^{-1}(F(x'))$
пересекается с $V$ по конечному множеству для
любого $x'$ в окрестности $x$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_}.
\еу


\задача\label{_rk_zero_neigh_Zadacha_}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- 
голоморфное отображение комплексных аналитических пространств,
причем $\rk_x F=0$ для какого-то $x\in X$.
Докажите, что ранг Реммерта $F$ зануляется в какой-то
окрестности $F$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_}.
\еу

\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- 
голоморфное отображение комплексных аналитических
пространств, причем $X\subset \C^n$, a $\rk_x F=k$. Докажите, 
что найдется аффинное подпространство $V\subset \C^n$
коразмерности $k$ такое, что $x\in V$ и 
$\rk_x F\restrict{X\cap V}=0$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что ранг Реммерта
$\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, задачей 
\ref{_rk_zero_neigh_Zadacha_} и
задачей \ref{_Remrank_estimate_via_interse_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- 
голоморфное отображение равноразмерных комплексных
пространств. Докажите, что ранг Реммерта
$\rk_x F$ достигает максимума на открытом,
плотном множестве $x\in X$.
\ез

\указание 
Сведите это утверждение к случаю
$\rk_x F=0$ и воспользуйтесь тем, что размерность
$X$ и $Y$ постоянна во всех гладких точках.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Конечные морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий одинаковой размерности.
Докажите, что прообраз общей точки $Y$
имеет размерность 0.
\ез

\указание Воспользуйтесь теоремой о постоянном ранге.
\еу

\задача[*]
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
на $X$, а $Y = X/G$. Докажите, что $Y$ окольцовано
пучком $G$-инвариантных голоморфных функций,
которые задают на $Y$ структуру комплексного
многообразия.
\ез

\определение
Напомню, что морфизм $F:\; X \arrow Y$ комплексных
многообразий называется {\бф конечным}, если
у каждой точки $x$ есть окрестность $U$ такая,
что $F(U)$ открыто, а $\calo_U$ -- конечно-порожденный
модуль над $\calo_{F(U)}$. Морфизм называется
{\бф собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт.
\ео

\задача[*]
Докажите, что любое собственное голоморфное отображение
с конечными слоями конечно.
\ез

\задача[*]
Докажите, что любой конечный морфизм комплексных многообразий
собственный и имеет конечные слои.
\ез

\задача[!]
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- конечное
отображение неприводимых комплексных многообразий.
Докажите, что для каждого комплексного
подмногообразия $X_1 \subset X$, его образ
$F(X_1)$ конечен в $Y$.
\ез

\указание
Если вы знаете "теорему о спуске идеалов
при конечных морфизмах", примените ее и воспользуйтесь 
теоремой Рюкерта о нулях.
Если не знаете, примените основную теорему
теории Галуа, и получите, что после
замены $X$ на его конечное накрытие,
$Y$ получается как фактор $X$ по конечной
группе, а $F(X_1)$-- фактор $X_1$ по
конечной группе.
\еу

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Множество, где ранг Реммерта не максимален}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное, бимероморфное, собственное отображение
комплексных многообразий. Докажите, что образ комплексно-аналитического
подмножества $Z\subset X$ комплексно-аналитический.
\ез

\указание
Докажите, что $F(Z)$ что задается
как множество общих нулей набора мероморфных функций.
\еу

\задача[!]
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм ростков $d$-мерных комплексных
многообразий.
Докажите, что существуют многообразия $X_1, Y_1$
бимероморфные $X$ и $Y$, и коммутативная диаграмма
\[
\begin{CD}
X @>>> X_1\\
@VFVV @V{F_1}VV\\
Y @>>> Y_1\\
\end{CD}
\]
такая, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы,
a $F_1$ конечно.
\ез

\указание
Постройте бимероморфные отображения $X\arrow X_u$ и 
$Y\arrow Y_u$ на разветвленные накрытия $\phi_X:\;  X_u\arrow C_d$, 
$\phi_Y:\; Y_u\arrow \C_d$
и возьмите в качестве $X_1$ образ графика $F$ в $X_u\times Y_u$.
Воспользуктесь предыдущей задачей, чтобы доказать, 
что этот образ комплексно-аналитичен.
\еу

\задача
В условиях предыдущей задачи, 
\енум
\итем Пусть $Z\subset X$ -- множество точек
$x\in X$ таких, что $F^{-1}(F(x))$ имеет положительную
размерность. Докажите, что $Z$ содержится
в множестве $X_e$, где у бимероморфного\footnote{Бимероморфное
значит: мероморфное и обратимое.} отображения
$X\arrow X_1$ полюс (оно называется "исключительным
множеством"). 
\итем[!] Докажите, что образ $X_e$ в $X_1$ комплексно-аналитичен.
\итем Докажите, что образ $X_e$ в $Y_1$ комплексно-аналитичен.
\итем[!] Выведите из этого что $F(X_e)$ комплексно-аналитично в $Y$.
\ее
\ез

\задача[!]\label{_r_Remmerta_jumps_on_subvariety_Zadacha_}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексно-аналитических многообразий,
а $Z\subset X$ -- объединение всех слоев $F$ ненулевой
размерности. Докажите, что $Z$ -- комплексно-аналити\-ческое подмножество
$X$.
\ез

\указание
В условиях предыдущей задачи, рассмотрим ограничение $F$ на $X_e$.
Либо размерность общего слоя положительна, в этой ситуации
докажите, что $X_e=X_1$. Либо общий слой нульмерен, и тогда можно
применить индукцию по размерности $X$, и убедиться,
что $X_1$ комплексно-аналитично в $X_e$.
\еу


\задача[!]
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм
ростков комп\-лексно-аналитических многообразий, а $k$
есть максимум ранга Реммерта $\rk_x(F)$ по всем $x\in X$.
Будем считать, что $X$ есть росток подмножества в $\C^n$.
Докажите, что существует линейная проекция $G:\; \C^n \arrow \C^k$
такая, что ранг Реммерта отображения
$F\times G:\; X \arrow Y \times \C^k$ в общей точке $X$ нулевой.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой о постоянном ранге.
\еу


\задача[!]
Пусть $F:\; X \arrow Y$ голоморфное отображение
комп\-лексно-аналитических многообразий, 
а $Z\subset X$ объединение всех слоев $F$ неминимальной
размерности. Докажите, что $Z$ -- комплексно-аналитичес\-кое подмножество
в $X$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей,
и примените задачу \ref{_r_Remmerta_jumps_on_subvariety_Zadacha_} 
к отображению $F\times G:\; X \arrow Y \times \C^k$.
\еу




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Реммерта о ранге}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $Z\subset \C^2$ -- множество нулей непостоянной голоморфной
функции. Докажите, что существует
линейная проекция $\pi:\; \C^2 \arrow \C$ такая,
что в какой-то окрестности нуля множество
$Z \cap \pi^{-1}(t)$ конечно для любого $t\in \C$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь подготовительной теоремой Вейерштрасса.
\еу

\задача[!]
Постройте голоморфное отображение
$F:\; \C \arrow \C^2$ такое, что его образ не содержится
ни в каком собственном комплексно-аналитическом подмножестве.
\ез

\указание
Постройте вещественно-аналитическую функцию $f:\; \R\arrow
\R^2$, переводящую прямую в "ромашку с бесконечным числом
лепестков" в $\R^2$, которая проходит через 0 бесконечное
количество раз. Потом продолжите эту функцию до
голоморфной функции на $\C$, и выведите из
предыдущей задачи, что на образе $f$ 
не зануляется никакая голоморфная функция.
\begin{center}{\epsfig{file=kalyamalya.eps,width=8em}}\\
бесконечная ромашка
\end{center}
\еу

\задача[*]
Постройте голоморфное отображение
$F:\; \C \arrow \C^2$ такое, что его образ плотен
(в обычной топологии).
\ез

\замечание
Из алгебраической геометрии, известно,
что образ алгебраического многообразия
размерности $d$ при морфизме комплексных
алгебраических многообразий содержится
в многообразии размерности $d$. 
В силу предыдущих контрпримеров, 
аналогичную оценку на "размерность
образа голоморфного отображения", вообще говоря,
дать нельзя. Теорема Реммерта о ранге
утверждает, что локально существует оценка,
аналогичная известной из алгебраической
геометрии: если $X$ $d$-мерно, образ 
$F(X)$ можно покрыть счетным объединением
$d$-мерных подмногообразий (думайте о них
как о лепестках ромашки на картинке выше).
\еза

\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное
отображение комп\-лекс\-но-аналитических многообразий,
а $X_0\subset X$ множество всех гладких точек $x\in X$,
где ранг $\rk_x F$ максимален. 
\енум
\итем Докажите, что $X_0$
открыто и плотно в $X$.
\итем Докажите, что его дополнение --
комплексно-аналитическое подмножество в $X$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм 
комплексных многообразий, причем 
$k = \sup_{x\in X} \rk_x F.$
\енум
\итем Пусть $X_0\subset X$ множество всех гладких точек $x\in X$,
где ранг $\rk_x F$ максимален. Докажите, что
$F(X_0)$ -- счетное объединение гладких $k$-мерных подмногообразий.

\итем[!] (теорема Реммерта о ранге)\\
Докажите, что $\im F$ лежит в счетном объединении
комплексных многообразий размерности $\leq k$,
по крайней мере одно из которых $k$-мерно.
\ее
\ез

\указание Воспользуйтесь индукцией и выведите утверждение из
теоремы Реммерта, примененной к отображению $F\restrict {X \backslash X_0}$.
\еу




\end{document}






