\documentclass[11pt]{article} \usepackage{wrapfig,amscd} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm} %\addtolength{\textwidth}{35mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 06.05.2017 %version 2.0,\ \ 20.05.2017 совместимых % регулярных координат для морфизма таки не бывает! \newcommand{\version}{version 2.0,\ \ 20.05.2017} \newcommand{\firstdate}{13.05.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{12}{Комплексные пространства 12: ранг Реммерта} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Ранг Реммерта} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача (теорема о постоянном ранге) \\ Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение, причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \dim \im dF$ постоянный. Докажите, что у каждой точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ -- гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)$ -- гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$. \ез \указание Теоремой о неявной функции воспользуйтесь. \еу \определение Комплексно-аналитическое многообразие {\бф равноразмерно}, если имеет одну и ту же размерность в каждой гладкой точке. \ео \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий, которое собственно и имеет конечные слои. \енум \итем Докажите, что существует гладкая точка $x\in X$, такая, что $F(x)$ -- гладкая точка $Y$, а $dF\restrict {T_xX}$ инъективно. \итем[!] Докажите, что $\dim X =\dim Y$, если $Y$ равноразмерно. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!]\label{_interse_subspace_dim_Zadacha_} Пусть $Z\subset \C^n$ -- равноразмерное подмногообразие, которое пересекается с каким-то $k$-мерным подпространством $V \subset \C^n$ по непустому комплексно-аналитическому подмножеству размерности 0. Докажите, что $\dim Z \leq n-k$. \ез \указание Докажите, что $\dim Z \leq \dim (Z\cap W) +1$ для любой гиперплоскости $W\subset \C^n$, и воспользуйтесь индукцией. \еу \задача\label{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_} Пусть $F:\; \C^n \arrow \C^m$ -- голоморфная субмерсия, сохраняющая 0, а $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подможество окрестности 0, такое, что $F^{-1}(0)\cap Z=0$. Докажите, что \енум \итем существуют голоморфные замены координат в окрестности нуля на $\C^n$, $\C^m$, в которых $F$ -- комплексно-линейная проекция. \итем[!] $F$ имеет конечные слои \итем[*] $F$ собственно в окрестности нуля. \ее \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, чтобу убедиться, что $F$ имеет конечные слои, а регулярными координатами - чтобы усмотреть, что $F\restrict Z$ собственно в небольшой окрестности 0. \еу \определение Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий. Определим {\бф ранг Реммерта $F$ в $x$} как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$. \ео \задача[!]\label{_Remrank_estimate_via_interse_Zadacha_} Пусть $Х\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество в какой-то окрестности 0, содержащее $x\in \C$, $V\subset \C^n$ -- аффинное подпространство коразмерности $k$, проходящее через $x$, а $F:\; Х \arrow Y$ -- голоморфное отображение. Предположим, что $\rk_x \left(F\restrict{X\cap V}\right)=0$. Докажите, что $\rk_x F\geq k$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_interse_subspace_dim_Zadacha_}. \еу \задача[!]\label{__Zadacha_} В условиях предыдущей задачи, докажите, что $F^{-1}(F(x'))$ пересекается с $V$ по конечному множеству для любого $x'$ в окрестности $x$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_}. \еу \задача\label{_rk_zero_neigh_Zadacha_} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных аналитических пространств, причем $\rk_x F=0$ для какого-то $x\in X$. Докажите, что ранг Реммерта $F$ зануляется в какой-то окрестности $F$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_preimage_0_0_then_finite_Zadacha_}. \еу \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных аналитических пространств, причем $X\subset \C^n$, a $\rk_x F=k$. Докажите, что найдется аффинное подпространство $V\subset \C^n$ коразмерности $k$ такое, что $x\in V$ и $\rk_x F\restrict{X\cap V}=0$. \ез \задача[!] Докажите, что ранг Реммерта $\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, задачей \ref{_rk_zero_neigh_Zadacha_} и задачей \ref{_Remrank_estimate_via_interse_Zadacha_}. \еу \задача[!] Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение равноразмерных комплексных пространств. Докажите, что ранг Реммерта $\rk_x F$ достигает максимума на открытом, плотном множестве $x\in X$. \ез \указание Сведите это утверждение к случаю $\rk_x F=0$ и воспользуйтесь тем, что размерность $X$ и $Y$ постоянна во всех гладких точках. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Конечные морфизмы} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий одинаковой размерности. Докажите, что прообраз общей точки $Y$ имеет размерность 0. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой о постоянном ранге. \еу \задача[*] Пусть $G$ -- конечная группа, действующая на $X$, а $Y = X/G$. Докажите, что $Y$ окольцовано пучком $G$-инвариантных голоморфных функций, которые задают на $Y$ структуру комплексного многообразия. \ез \определение Напомню, что морфизм $F:\; X \arrow Y$ комплексных многообразий называется {\бф конечным}, если у каждой точки $x$ есть окрестность $U$ такая, что $F(U)$ открыто, а $\calo_U$ -- конечно-порожденный модуль над $\calo_{F(U)}$. Морфизм называется {\бф собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт. \ео \задача[*] Докажите, что любое собственное голоморфное отображение с конечными слоями конечно. \ез \задача[*] Докажите, что любой конечный морфизм комплексных многообразий собственный и имеет конечные слои. \ез \задача[!] Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- конечное отображение неприводимых комплексных многообразий. Докажите, что для каждого комплексного подмногообразия $X_1 \subset X$, его образ $F(X_1)$ конечен в $Y$. \ез \указание Если вы знаете "теорему о спуске идеалов при конечных морфизмах", примените ее и воспользуйтесь теоремой Рюкерта о нулях. Если не знаете, примените основную теорему теории Галуа, и получите, что после замены $X$ на его конечное накрытие, $Y$ получается как фактор $X$ по конечной группе, а $F(X_1)$-- фактор $X_1$ по конечной группе. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Множество, где ранг Реммерта не максимален} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное, бимероморфное, собственное отображение комплексных многообразий. Докажите, что образ комплексно-аналитического подмножества $Z\subset X$ комплексно-аналитический. \ез \указание Докажите, что $F(Z)$ что задается как множество общих нулей набора мероморфных функций. \еу \задача[!] Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- доминантный морфизм ростков $d$-мерных комплексных многообразий. Докажите, что существуют многообразия $X_1, Y_1$ бимероморфные $X$ и $Y$, и коммутативная диаграмма \[ \begin{CD} X @>>> X_1\\ @VFVV @V{F_1}VV\\ Y @>>> Y_1\\ \end{CD} \] такая, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы, a $F_1$ конечно. \ез \указание Постройте бимероморфные отображения $X\arrow X_u$ и $Y\arrow Y_u$ на разветвленные накрытия $\phi_X:\; X_u\arrow C_d$, $\phi_Y:\; Y_u\arrow \C_d$ и возьмите в качестве $X_1$ образ графика $F$ в $X_u\times Y_u$. Воспользуктесь предыдущей задачей, чтобы доказать, что этот образ комплексно-аналитичен. \еу \задача В условиях предыдущей задачи, \енум \итем Пусть $Z\subset X$ -- множество точек $x\in X$ таких, что $F^{-1}(F(x))$ имеет положительную размерность. Докажите, что $Z$ содержится в множестве $X_e$, где у бимероморфного\footnote{Бимероморфное значит: мероморфное и обратимое.} отображения $X\arrow X_1$ полюс (оно называется "исключительным множеством"). \итем[!] Докажите, что образ $X_e$ в $X_1$ комплексно-аналитичен. \итем Докажите, что образ $X_e$ в $Y_1$ комплексно-аналитичен. \итем[!] Выведите из этого что $F(X_e)$ комплексно-аналитично в $Y$. \ее \ез \задача[!]\label{_r_Remmerta_jumps_on_subvariety_Zadacha_} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексно-аналитических многообразий, а $Z\subset X$ -- объединение всех слоев $F$ ненулевой размерности. Докажите, что $Z$ -- комплексно-аналити\-ческое подмножество $X$. \ез \указание В условиях предыдущей задачи, рассмотрим ограничение $F$ на $X_e$. Либо размерность общего слоя положительна, в этой ситуации докажите, что $X_e=X_1$. Либо общий слой нульмерен, и тогда можно применить индукцию по размерности $X$, и убедиться, что $X_1$ комплексно-аналитично в $X_e$. \еу \задача[!] Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм ростков комп\-лексно-аналитических многообразий, а $k$ есть максимум ранга Реммерта $\rk_x(F)$ по всем $x\in X$. Будем считать, что $X$ есть росток подмножества в $\C^n$. Докажите, что существует линейная проекция $G:\; \C^n \arrow \C^k$ такая, что ранг Реммерта отображения $F\times G:\; X \arrow Y \times \C^k$ в общей точке $X$ нулевой. \ез \указание Воспользуйтесь теоремой о постоянном ранге. \еу \задача[!] Пусть $F:\; X \arrow Y$ голоморфное отображение комп\-лексно-аналитических многообразий, а $Z\subset X$ объединение всех слоев $F$ неминимальной размерности. Докажите, что $Z$ -- комплексно-аналитичес\-кое подмножество в $X$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей, и примените задачу \ref{_r_Remmerta_jumps_on_subvariety_Zadacha_} к отображению $F\times G:\; X \arrow Y \times \C^k$. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Реммерта о ранге} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $Z\subset \C^2$ -- множество нулей непостоянной голоморфной функции. Докажите, что существует линейная проекция $\pi:\; \C^2 \arrow \C$ такая, что в какой-то окрестности нуля множество $Z \cap \pi^{-1}(t)$ конечно для любого $t\in \C$. \ез \указание Воспользуйтесь подготовительной теоремой Вейерштрасса. \еу \задача[!] Постройте голоморфное отображение $F:\; \C \arrow \C^2$ такое, что его образ не содержится ни в каком собственном комплексно-аналитическом подмножестве. \ез \указание Постройте вещественно-аналитическую функцию $f:\; \R\arrow \R^2$, переводящую прямую в "ромашку с бесконечным числом лепестков" в $\R^2$, которая проходит через 0 бесконечное количество раз. Потом продолжите эту функцию до голоморфной функции на $\C$, и выведите из предыдущей задачи, что на образе $f$ не зануляется никакая голоморфная функция. \begin{center}{\epsfig{file=kalyamalya.eps,width=8em}}\\ бесконечная ромашка \end{center} \еу \задача[*] Постройте голоморфное отображение $F:\; \C \arrow \C^2$ такое, что его образ плотен (в обычной топологии). \ез \замечание Из алгебраической геометрии, известно, что образ алгебраического многообразия размерности $d$ при морфизме комплексных алгебраических многообразий содержится в многообразии размерности $d$. В силу предыдущих контрпримеров, аналогичную оценку на "размерность образа голоморфного отображения", вообще говоря, дать нельзя. Теорема Реммерта о ранге утверждает, что локально существует оценка, аналогичная известной из алгебраической геометрии: если $X$ $d$-мерно, образ $F(X)$ можно покрыть счетным объединением $d$-мерных подмногообразий (думайте о них как о лепестках ромашки на картинке выше). \еза \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комп\-лекс\-но-аналитических многообразий, а $X_0\subset X$ множество всех гладких точек $x\in X$, где ранг $\rk_x F$ максимален. \енум \итем Докажите, что $X_0$ открыто и плотно в $X$. \итем Докажите, что его дополнение -- комплексно-аналитическое подмножество в $X$. \ее \ез \задача Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм комплексных многообразий, причем $k = \sup_{x\in X} \rk_x F.$ \енум \итем Пусть $X_0\subset X$ множество всех гладких точек $x\in X$, где ранг $\rk_x F$ максимален. Докажите, что $F(X_0)$ -- счетное объединение гладких $k$-мерных подмногообразий. \итем[!] (теорема Реммерта о ранге)\\ Докажите, что $\im F$ лежит в счетном объединении комплексных многообразий размерности $\leq k$, по крайней мере одно из которых $k$-мерно. \ее \ез \указание Воспользуйтесь индукцией и выведите утверждение из теоремы Реммерта, примененной к отображению $F\restrict {X \backslash X_0}$. \еу \end{document}