\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{wrapfig}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-20mm}
%\addtolength{\textwidth}{35mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   06.05.2017


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   13.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{13.05.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{11}{Комплексные пространства 11: лемма Накаямы и конечные морфизмы}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Локализация}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $S\subset R$ -- подмножество кольца $R$,
замкнутое относительно умножения, и не содержащее 0.
{\бф Локализацией} кольца $R$ по $S$ называется
кольцо, формально порожденное элементами вида
$a/F$, где $a\in R$, $F\in S$ и с соотношениями
$a/F \cdot b/G= ab/FG$,
 $a/F + b/G= \frac {a G + bF}{FG}$
и $aF^k/F^{k+n}=a/F^n$.
\ео


\задача
Рассмотрим кольцо
$R[F^{-1}]$, полученное
из $R$ локализацией
по $F\in R$. Докажите, что оно ненулевое тогда и только тогда,
когда $F$ не нильпотент.
\ез



\указание
$R[F^{-1}]$ есть кольцо полиномов над $R$, профакторизованное
по соотношению $Ft=1$. Если оно нулевое, это значит, что
$1 = (1-Ft)P$ для какого-то полинома $P=\sum_i a_i t^i$
Раскрыв скобки, получите $Fa_{i-1} = a_i$, и $a_0=1$.
\еу



\определение
Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля, а $S$ -- множество
всех ненулевых элементов $R$.
{\бф Поле частных} $R$ есть локализация $R$ по $S$.
\ео

\задача
Докажите, что локализация кольца без делителей нуля по множеству
всех ненулевых элементов -- поле.
\ез

\определение
Кольцо $A$ называется {\бф локальным}, если в $A$ есть только
один максимальный идеал.
\ео



\задача
Пусть $\goth p$ -- простой идеал в кольце $A$.
Докажите, что локализация $A$ по всем $F\notin \goth p$
есть локальное кольцо. 
\ез

\задача[!] Постройте биекцию
между простыми идеалами в $A[F^{-1}]$ 
и простыми идеалами $A$, не содержащими $F$.
\ез


\задача[!]
Пусть $A$ -- кольцо без нильпотентов. Докажите, что
пересечение простых идеалов $A$ равно 0.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Накаямы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\chpoly{\operatorname{\sf Chpoly}}
\def\Tr{\operatorname{\sf Tr}}


\задача
Пусть $A$ -- нетерово кольцо, а $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль. Докажите, что $\End_A(M)$ -- конечно-порожденный 
$A$-модуль.
\ез

\задача
Пусть $A$ нетерово кольцо, $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, а $\Phi\in \End_A(M)$. Обозначим за $A[\Phi]$
подалгебру в $\End_A(M)$, порожденную $\Phi$.
Докажите, что $\Phi$ является корнем полинома
$P(t)=0$, который {\бф унитарен} 
(с коэффициентами в $A$ и старшим коэффициентом 1).
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Пусть $\Phi$ -- эндоморфизм конечно-порожденного
$A$-модуля, $e_i$ -- образующие $M$, а 
$\Phi(e_i)= \sum a_{ij}e_j$. 
{\бф Характеристический полином} $\chpoly_\Phi(t)\in A[t]$
есть определитель матрицы $\det(t\Id-A)$, где
$A=(a_{ij})$.
\ео

\задача[!]
Приведите пример конечно порожденного
$A$-модуля и эндоморфизма $\Phi$, такого 
что $\chpoly_\Phi(t)$ не единственный.
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\chpoly_\Phi(A)=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, любой конечно-порожденный
модуль является фактором свободного, и 
примените теорему Гамильтона-Кэли. 
\еу  

\задача
\label{_Nakayama_chpoli_Zadacha_}
Пусть  $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, $\Phi\in \End_A(M)$, а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $\Phi(M) \subset IM$. Докажите,
что для какого-то характеристического полинома
$\chpoly_\Phi(t)$, все коэффициенты $\chpoly_\Phi(t)$,
кроме старшего, лежат в $I$.
\ез

\задача
Пусть $P(t)$ -- характеристический
полином для тождественного 
эндоморфизма $\Id\in \End_A(M)$, а $S\in A$ есть
сумма всех коэффициентов $P$.
Докажите, что $S M=0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Гамильтона-Кэли.
\еу


\задача[!]\label{_Nakaya_main_Lemma_Zadacha_}
(Лемма Накаямы)\\
Пусть  $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль, а $I\subset A$ -- идеал.
Предположим, что $IM=M$. Докажите, что 
для какого-то $a\in I$, имеем $(1-a)M=0$.
\ез

\указание
Выведите из 
задачи \ref{_Nakayama_chpoli_Zadacha_}, что существует характеристический
полином $\chpoly_{\Id}(t)$, все коэффициенты которого,
кроме старшего, лежат в $I$, и примените предыдущую задачу.
\еу


\задача[*]
(теорема Крулля)
Пусть ${\goth a}\subset A$ -- идеал в нетеровом кольце.
Докажите, что $\bigcap {\goth a}^n=0$.
\ез

\определение
{\бф Кручение} в $A$-модуле
есть ядро естественного отображения
$M \arrow M \otimes_A k(A)$.
Модуль $M$ {\бф без кручения},
если $M$ вкладывается в $k(M)= M \otimes_A k(A)$.
\ео

\задача
Обозначим за $T(M)$ кручение
$M$, то есть ядро $M \arrow M \otimes_A k(M)$.
Докажите, что функтор кручения $M \mapsto T(M)$
переводит точную последовательность
$0\arrow M_1 \arrow M_2 \arrow M_3$
в точную \[ 0\arrow T(M_1) \arrow T(M_2) \arrow T(M_3).\]
\ез


\задача[!]
(Лемма Накаямы для модулей без кручения)
Пусть $A$ --  кольцо без делителей нуля, $M$ -- конечно-порожденный
$A$-модуль без кручения, а $I\subsetneq A$ -- идеал в $A$,
который удовлетворяет $IM=M$.
Докажите, что $M=0$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_Nakaya_main_Lemma_Zadacha_}.
\еу


\задача[*]
(лемма Накаямы для локальных колец)\\
Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над нетеровым
локальным кольцом $A$, ${\goth m}$ его максимальный
идеал, а $M' \subset M$ его подмодуль,
такой, что $M/{\goth m}M= M'/{\goth m}M'$.
Докажите, что $M=M'$.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- конечно-порожденный модуль над
нетеровым кольцом, а $\phi:\; M \arrow M$ эпиморфизм.
Докажите, что $\phi$ -- изоморфизм.
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Конечные морфизмы}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $A\stackrel \phi \arrow B$ -- гомоморфизм колец. 
Рассмотрим $B$ как $A$-модуль. Гомоморфизм $\phi$
называется {\бф конечным морфизмом}, или {\бф целым}, если $B$ 
конечно порождено как $A$-модуль.
\ео

 
\задача
Пусть $A\subset \C[x,y]$ -- подкольцо, порожденное
$x^{100}, y^{666}$ и $xy(x^2-1)$. Докажите, что морфизм
$A\arrow \C[x,y]$ целый.
\ез


\задача
Пусть $\C^2 \arrow \C^2$ морфизм, заданный
формулой $\phi(x) = x^{666}y^{18}$, $\phi(y)=x^{37}y$.
Будет ли этот морфизм целым?
\ез


\задача[!]
Пусть $A\subset B$ подкольцо, причем $B$ конечно
порождено как $A$-модуль и без делителей нуля.
Докажите, что для любого максимального идеала 
$I\subset A$, кольцо $B/IB= B\otimes_A (A/IA)$ конечномерно 
как векторное пространство над $A/IA$ и нетривиально.
\ез


\указание
Для нетривиальности, воспользуйтесь леммой Накаямы.
\еу

\задача[!]
(Теорема о подъеме и спуске простых идеалов при конечных морфизмах)\\
Пусть $A\subset B$ подкольцо, причем $B$ конечно
порождено как $A$-модуль и без делителей нуля.
\енум
\итем
Докажите, что каждый простой идеал $\goth p\subset A$
получается как $\goth q \cap A$, где $\goth q\subset B$
простой идеал.
\итем Докажите, что число таких идеалов $\goth q$ конечно.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
Для перехода от простого идеала $\goth p\subset A$ к максимальному
локализуйте $A$ и $B$ по всем $s\in A$, не лежащим в $\goth p$.
\еу

\задача
Пусть $X \arrow Y$ морфизм ростков комплексно-аналитических
пространств, причем $\calo_X$ конечно порождено
как модуль над $\calo_Y$. 
\енум
\итем Докажите, что прообраз
любой точки непуст и конечен, в предположении, что
$X$ неприводимо.
\итем[!] Докажите это без предположения о неприводимости.
\итем Докажите, что образ любого неприводимого комплексного
подмногообразия $X_1\subset X$ -- неприводимое комплексное
подмногообразия в $Y$.
\ее 
\ез

\указание
Для последнего утверждения, используйте Nullstellensatz.
\еу



\end{document}