
\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{wrapfig}

%\addtolength{\topmargin}{-10mm}
%\addtolength{\textheight}{20mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   28.04.2017


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   28.04.2017}
\newcommand{\firstdate}{29.04.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{10}{Комплексные пространства 10: дивизоры и принцип  максимума}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дивизоры}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф особой} в противном
случае. Комплексно-аналитическое подмножество $Z$
{\бф гладкое}, если все его точки гладкие. {\bf Размерность}
$Z$ в гладкой точке $z$ есть размерность $Z$ как гладкого подмногообразия
ее окрестности. {\bf Размерность} $Z$ есть максимум размерностей
во всех гладких точках.
\ео

\определение
Напомню, что отображение $\phi:\; Z\arrow Z_1$ 
называется {\бф  морфизмом ростков}, если
оно задано комплексно-аналитическими функциями
в локальных координатах. В этой ситуации,
кольцо функций $\calo_Z$ является $\calo_{Z_1}$-модулем.
Мы говорим, что {\бф $Z$ конечно над $Z_1$},
если $\calo_Z$ конечно порождено как $\calo_{Z_1}$-модуль,
и {\бф морфизм $\phi$ доминантен}, если его образ
не лежит в собственном комплексно-аналитическом
подмногообразии.
\ео

\задача
Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического множества,
заданный идеалом $J$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ -- регулярная система координат,
такая, что $J\cap \calo_d=0$, a $z_{d+1}, .... z_n$ -- полиномы
Вейерштрасса от всех предыдущих переменных по модулю $J$.
Докажите, что $Z$ $d$-мерно.
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- доминантный морфизм
ростков комплексно-аналитических множеств.
\енум 
\итем Докажите, что на $Z_1$ есть набор голоморфных функций
$z_1, ..., z_d, ..., z_n$, задающий регулярную систему
координат, такой, что ни одна ненулевая функция от
$z_1, ..., z_d$ не зануляется на $Z$.\footnote{Мы рассматриваем
функции на $Z_1$ как функции на $Z$, перенося их на $Z$
посредством $\phi^*$.}
\итем[!] Докажите, что есть регулярная система координат
$z_1, ..., z_d, ..., z_n$ на $Z_1$ и набор голоморфных
функций $z_{n+1}, ..., z_{n+k}$ на $Z$ таких, что
$\phi^*(z_1), ..., \phi^*(z_d), ..., \phi^*(z_n), z_{n+1}, ..., z_{n+k}$ 
задают регулярные координаты на $Z$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- конечный, доминантный морфизм.
Докажите, что $\dim Z=\dim Z_1$.
\ез

\определение
{\бф Дивизор} (дивизор Картье) в комплексном многообразии $X$
есть подмногообразие $Z\subset X$, которое локально
в окрестности каждой точки задано уравнением $f=0$
для какого-то ростка голоморфной функции $f$ в этой точке, но не содержит
неприводимых компонент $X$.
\ео

\задача[!]
Пусть $Z\subset \C^n$ -- дивизор. Докажите, что
любая неприводимая компонента $Z$ -- тоже дивизор.
\ез

\задача \label{_divi_in_C^n_Zadacha_}
Пусть $Z\subset \C^n$ -- дивизор. Докажите, что
$\dim Z=n-1$.
\ез

\задача[*]
Постройте росток особого многообразия $X$ и 
дивизор Картье $Y\subset X$ такой, что неприводимые компоненты
$Y$ -- не дивизоры Картье.
\ез

\задача
Пусть $Y\subset X$ -- дивизор.
Докажите, что если $Y$ пересекает множество неособых
точек $X$, то $\dim Y= \dim X-1$.
\ез

\задача[!]
Докажите, что размерность множества $X_\sing$ особых точек $X$
строго меньше, чем $\dim X$.
\ез

\указание
Постройте конечный, доминантный морфизм из
$X$ в $\C^d$, и докажите, что его дифференциал
обратим вне какого-то дивизора.
\еу

\задача
Пусть $Y\subset X$ -- дивизор,
а $\pi:\; X \arrow \C^d$ -- конечный,
доминантный морфизм. Докажите, что
$\pi(Y)$ содержится в дивизоре в $\C^d$.
\ез

\указание Воспользуйтесь задачей \ref{_pushfo_fu_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $Y\subset X$ -- дивизор.
Докажите, что  $\dim Y= \dim X-1$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачей
\ref{_divi_in_C^n_Zadacha_}.
\еу

\задача[*] 
Пусть $Y\subset X$ -- дивизор.
Докажите, что если $Y$ лежит в множестве $X_\sing$ особых
точек $X$, то $Y$  -- объединение неприводимых компонент
$X_\sing$.
\ез

\задача
Докажите, что никакое комплексно-аналитическое многообразие
не равно счетному объединению своих дивизоров.
\ез

\указание
Сначала проверьте это для гладкого.
\еу

\задача[!]
Докажите, что дополнение к дивизору открыто и плотно.
\ез

\задача Пусть  $X \subset Y$ -- комплексно-аналитические множества.
Докажите, что $\dim X \leq Y$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Принцип максимума}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Открытое отображение}
есть отображение, переводящее открытые множества
в открытые.
\ео

\задача
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на неособом
комплексном многообразии $Z$ размерности 1. Докажите, что $f$
открыто.
\ез

\задача
Пусть $P(z_n)\in \calo_{n-1}[z_n]$ --полином Вейерштрасса, 
\[ P(0, 0, ..., 0, z_n)=z_n^k,\] а
$f\in\calo_n$ -- росток голоморфной функции.
\енум
\итем
Рассмотрим окрестность нуля вида 
$\Delta_r(z_1,..., z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$,
полученную как произведение полидисков радиуса $r, r'$. Докажите, что
для подходящих  $r, r'\ll 1$, проекция $\pi$ на первые $n-1$ координат
задает разветвленное $k$-листное накрытие $Z\arrow \C^{n-1}$,
где $Z$ есть множество нулей $P(z_n)$.
\итем[!] Пусть $z=z_1, ..., z_{n-1}$, а
\[ \pi_* f(z):= \frac 1 {2 \pi\1} \int_{\6\Delta_{r'}} \frac{P'(z_n)}{P(z_n)}f(z, z_n) dz_n.
\]
Докажите, что $\pi_* f(z):= \sum_{x\in \pi^{-1}(z)} f(x)$.
\ее
\ез

\задача\label{_pushfo_fu_Zadacha_}
Пусть $X \stackrel \pi \arrow \C^d$ -- конечный морфизм ростков многообразий,
$f$ голоморфная функция, а $\pi_* f(z):= \sum_{x\in \pi^{-1}(z)} f(x)$.
\енум \итем[!]
Докажите, что $\pi_*(f)$ мероморфна.
\итем[!] Докажите, что мероморфная, ограниченная
функция на шаре голоморфна.
\ее
\ез

\указание
Для (1), униформизуйте $X$ комплексно-аналитической
гиперповерхностью с регулярными
координатами и примените предыдущую задачу.
\еу

\задача[!]
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом)
комплексном многообразии $Z$ размерности 1. Докажите, что $f$
не достигает максимума нигде на $Z$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на ростке
комплексного многообразия $Z$ размерности 1. Докажите, что число
решений уравнения $f(z)=c$ постоянно в окрестности 0.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_pushfo_fu_Zadacha_}, применив ее к $f=\const$.
\еу

\задача[!]
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом)
неприводимом комплексном многообразии $Z$ размерности 1. 
Докажите, что $f$ открыто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического
множества, a $x, y\in Z$ две точки. Докажите, что
найдется связное подмногообразие $Z_1\subset Z$ размерности 1,
содержащее $x$ и $y$.
\ез

\задача[!]
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом)
неприводимом комплексном многообразии $Z$ любой размерности. 
Докажите, что $f$ открыто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $f$ --  непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом)
неприводимом комплексном многообразии $Z$. Докажите, что $f$
не принимает максимума нигде в $Z$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ компактное комплексное
подмногообразие. Докажите, что $Z$ нульмерно.
\ез


\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $M\subset \C^n$ -- гладкое, комплексное многообразие.
Докажите, что на $M$ есть мера и метрика такая,
что среднее любой голоморфной функции $f$ по шару
$B$ радиуса $r$ есть значение $f$ в центре $B$.
\ез


\end{document}






