\documentclass[10pt]{article} \usepackage{wrapfig} %\addtolength{\topmargin}{-10mm} %\addtolength{\textheight}{20mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} %\addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 28.04.2017 \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 28.04.2017} \newcommand{\firstdate}{29.04.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{10}{Комплексные пространства 10: дивизоры и принцип максимума} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дивизоры} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф гладкой}, если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие, и {\бф особой} в противном случае. Комплексно-аналитическое подмножество $Z$ {\бф гладкое}, если все его точки гладкие. {\bf Размерность} $Z$ в гладкой точке $z$ есть размерность $Z$ как гладкого подмногообразия ее окрестности. {\bf Размерность} $Z$ есть максимум размерностей во всех гладких точках. \ео \определение Напомню, что отображение $\phi:\; Z\arrow Z_1$ называется {\бф морфизмом ростков}, если оно задано комплексно-аналитическими функциями в локальных координатах. В этой ситуации, кольцо функций $\calo_Z$ является $\calo_{Z_1}$-модулем. Мы говорим, что {\бф $Z$ конечно над $Z_1$}, если $\calo_Z$ конечно порождено как $\calo_{Z_1}$-модуль, и {\бф морфизм $\phi$ доминантен}, если его образ не лежит в собственном комплексно-аналитическом подмногообразии. \ео \задача Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического множества, заданный идеалом $J$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ -- регулярная система координат, такая, что $J\cap \calo_d=0$, a $z_{d+1}, .... z_n$ -- полиномы Вейерштрасса от всех предыдущих переменных по модулю $J$. Докажите, что $Z$ $d$-мерно. \ез \задача Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- доминантный морфизм ростков комплексно-аналитических множеств. \енум \итем Докажите, что на $Z_1$ есть набор голоморфных функций $z_1, ..., z_d, ..., z_n$, задающий регулярную систему координат, такой, что ни одна ненулевая функция от $z_1, ..., z_d$ не зануляется на $Z$.\footnote{Мы рассматриваем функции на $Z_1$ как функции на $Z$, перенося их на $Z$ посредством $\phi^*$.} \итем[!] Докажите, что есть регулярная система координат $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ на $Z_1$ и набор голоморфных функций $z_{n+1}, ..., z_{n+k}$ на $Z$ таких, что $\phi^*(z_1), ..., \phi^*(z_d), ..., \phi^*(z_n), z_{n+1}, ..., z_{n+k}$ задают регулярные координаты на $Z$. \ее \ез \задача[!] Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- конечный, доминантный морфизм. Докажите, что $\dim Z=\dim Z_1$. \ез \определение {\бф Дивизор} (дивизор Картье) в комплексном многообразии $X$ есть подмногообразие $Z\subset X$, которое локально в окрестности каждой точки задано уравнением $f=0$ для какого-то ростка голоморфной функции $f$ в этой точке, но не содержит неприводимых компонент $X$. \ео \задача[!] Пусть $Z\subset \C^n$ -- дивизор. Докажите, что любая неприводимая компонента $Z$ -- тоже дивизор. \ез \задача \label{_divi_in_C^n_Zadacha_} Пусть $Z\subset \C^n$ -- дивизор. Докажите, что $\dim Z=n-1$. \ез \задача[*] Постройте росток особого многообразия $X$ и дивизор Картье $Y\subset X$ такой, что неприводимые компоненты $Y$ -- не дивизоры Картье. \ез \задача Пусть $Y\subset X$ -- дивизор. Докажите, что если $Y$ пересекает множество неособых точек $X$, то $\dim Y= \dim X-1$. \ез \задача[!] Докажите, что размерность множества $X_\sing$ особых точек $X$ строго меньше, чем $\dim X$. \ез \указание Постройте конечный, доминантный морфизм из $X$ в $\C^d$, и докажите, что его дифференциал обратим вне какого-то дивизора. \еу \задача Пусть $Y\subset X$ -- дивизор, а $\pi:\; X \arrow \C^d$ -- конечный, доминантный морфизм. Докажите, что $\pi(Y)$ содержится в дивизоре в $\C^d$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_pushfo_fu_Zadacha_}. \еу \задача[!] Пусть $Y\subset X$ -- дивизор. Докажите, что $\dim Y= \dim X-1$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и задачей \ref{_divi_in_C^n_Zadacha_}. \еу \задача[*] Пусть $Y\subset X$ -- дивизор. Докажите, что если $Y$ лежит в множестве $X_\sing$ особых точек $X$, то $Y$ -- объединение неприводимых компонент $X_\sing$. \ез \задача Докажите, что никакое комплексно-аналитическое многообразие не равно счетному объединению своих дивизоров. \ез \указание Сначала проверьте это для гладкого. \еу \задача[!] Докажите, что дополнение к дивизору открыто и плотно. \ез \задача Пусть $X \subset Y$ -- комплексно-аналитические множества. Докажите, что $\dim X \leq Y$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Принцип максимума} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Открытое отображение} есть отображение, переводящее открытые множества в открытые. \ео \задача Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на неособом комплексном многообразии $Z$ размерности 1. Докажите, что $f$ открыто. \ез \задача Пусть $P(z_n)\in \calo_{n-1}[z_n]$ --полином Вейерштрасса, \[ P(0, 0, ..., 0, z_n)=z_n^k,\] а $f\in\calo_n$ -- росток голоморфной функции. \енум \итем Рассмотрим окрестность нуля вида $\Delta_r(z_1,..., z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$, полученную как произведение полидисков радиуса $r, r'$. Докажите, что для подходящих $r, r'\ll 1$, проекция $\pi$ на первые $n-1$ координат задает разветвленное $k$-листное накрытие $Z\arrow \C^{n-1}$, где $Z$ есть множество нулей $P(z_n)$. \итем[!] Пусть $z=z_1, ..., z_{n-1}$, а \[ \pi_* f(z):= \frac 1 {2 \pi\1} \int_{\6\Delta_{r'}} \frac{P'(z_n)}{P(z_n)}f(z, z_n) dz_n. \] Докажите, что $\pi_* f(z):= \sum_{x\in \pi^{-1}(z)} f(x)$. \ее \ез \задача\label{_pushfo_fu_Zadacha_} Пусть $X \stackrel \pi \arrow \C^d$ -- конечный морфизм ростков многообразий, $f$ голоморфная функция, а $\pi_* f(z):= \sum_{x\in \pi^{-1}(z)} f(x)$. \енум \итем[!] Докажите, что $\pi_*(f)$ мероморфна. \итем[!] Докажите, что мероморфная, ограниченная функция на шаре голоморфна. \ее \ез \указание Для (1), униформизуйте $X$ комплексно-аналитической гиперповерхностью с регулярными координатами и примените предыдущую задачу. \еу \задача[!] Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом) комплексном многообразии $Z$ размерности 1. Докажите, что $f$ не достигает максимума нигде на $Z$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на ростке комплексного многообразия $Z$ размерности 1. Докажите, что число решений уравнения $f(z)=c$ постоянно в окрестности 0. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_pushfo_fu_Zadacha_}, применив ее к $f=\const$. \еу \задача[!] Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом) неприводимом комплексном многообразии $Z$ размерности 1. Докажите, что $f$ открыто. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического множества, a $x, y\in Z$ две точки. Докажите, что найдется связное подмногообразие $Z_1\subset Z$ размерности 1, содержащее $x$ и $y$. \ез \задача[!] Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом) неприводимом комплексном многообразии $Z$ любой размерности. Докажите, что $f$ открыто. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на (возможно, особом) неприводимом комплексном многообразии $Z$. Докажите, что $f$ не принимает максимума нигде в $Z$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $Z\subset \C^n$ компактное комплексное подмногообразие. Докажите, что $Z$ нульмерно. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $M\subset \C^n$ -- гладкое, комплексное многообразие. Докажите, что на $M$ есть мера и метрика такая, что среднее любой голоморфной функции $f$ по шару $B$ радиуса $r$ есть значение $f$ в центре $B$. \ез \end{document}