
\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{wrapfig}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
%\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   22.04.2017


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   22.04.2017}
\newcommand{\firstdate}{22.04.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{Комплексные пространства 9: гладкие точки и
мероморфные отображения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Мероморфные функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f, g$ голоморфные функции на многообразии $M$.
{\бф Дивизор нулей} $f$ есть множество, где $f=0$.
{\бф Полюс} частного $\frac f g$ есть множество
точек, где $g=0$, a частное $\frac f g$ разрывно.
{\бф Мероморфная функция} на комплексном многообразии
есть частное двух голоморфных.
\ео

\задача
Пусть $f$ лежит в кольце $\calo_n$
ростков гладких функций, $(f)$ -- порожденный $f$ идеал,
а $I \subset (f)$ -- идеал.
Докажите, что $I$ -- главный идеал, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $f \in \calo_n$, причем разложение $f$
на простые множители свободно от квадратов.
Докажите, что идеал $(f)$, порожденный $g$,
радикален.
\ез

\задача
Пусть $f, g \in \calo_n$, причем дивизор нулей
$f$ лежит в дивизоре нулей $g$, а разложение $f$
на простые множители свободно от квадратов. 
Докажите, что $f$ делит $g$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените
теорему Гиль\-берта-Рюкерта о нулях.
\еу


\задача
Пусть $f, g$ взаимно просты в $\calo_n$. Докажите, что 
дивизор нулей $f$ не лежит в дивизоре нулей $g$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]
Докажите, что полюс мероморфной функции на гладком комплексном
многообразии $M$ есть комплексно-аналитическое подмножество
(то есть локально задается голоморфными уравнениями).
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача Докажите, что ограниченная 
мероморфная функция на шаре голоморфна.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[*]
Пусть $f$ -- непрерывная 
мероморфная функция на особом комплексном
многообразии. Докажите, что $f$ голоморфна,
или найдите контропример.
\ез

\задача[*]
Пусть $Z$ есть росток комплексно-аналитического
множества, а $\tilde \calo_Z$ кольцо непрерывных
мероморфных функций на $Z$. Докажите, что $\tilde \calo_Z$
есть кольцо функций на ростке комплексно-аналитического пространства
$\tilde Z$.
\ез


\определение
Пусть $X\subset \C^n, Y\subset \C^m$
комплексно-аналитические подмножества,
а $\Psi:\; X \arrow \C^m$ -- отображение, заданное
мероморфными функциями, полюса которых
не содержат $X$. Если все точки
$X$, не лежащие в полюсах $\Psi$, переводятся в $Y$,
мы говорим, что $\Psi$ есть {\бф мероморфное отображение
из $X$ в $Y$.}
\ео

\определение
Два комплексно-аналитических множества
$X\subset \C^n, Y\subset \C^m$
называются {\бф бимероморфными}, если
существуют мероморфные отображения
$X \arrow Y$, $Y\arrow X$, а их композиции
тождественны на $X, Y$ везде, где определены.
\ео

\задача
Пусть $\Psi:\; X \arrow Y$ мероморфное отображение
неприводимых многообразий, индуцирующее изоморфизм
на полях частных $\Psi^*:\; k(\calo_Y) \tilde\arrow k(\calo_X)$.
Докажите, что $\Psi$ бимероморфно.
\ез

\определение
Пусть $U\subset \C^n$ -- открытое подмножество.
Комплексно-аналитическое подмножество
$Z\subset U$ называется {\бф гиперповерхностью},
если его можно задать одним голоморфным уравнением
\ео

\задача[!]\label{_giperpo_Zadacha_}
Докажите, что каждый росток комплексного подмножества
бимероморфен ростку гиперповерхности в шаре $B\subset \C^n$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь 
регулярной системой координат,
теоремой о примитивном элементе,
и примените предыдущую задачу.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Дискриминант многочлена Вейерштрасса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином.
{\бф Дискриминант} $P$ это произведение
 $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$.
\ео

\задача
Докажите, что дискриминант $P$ полиномиально
с целыми коэффициентами выражается как полином
от коэффициентов $P$.
\ез

\задача
Выразите дискриминант полинома $P(t)= t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0$
явно через его коэффициенты.
\ез

\задача
Докажите, что дискриминант полинома $P(t)\in \calo_n[t]$
равен нулю тогда и только
тогда, когда $P(t)$ не взаимно прост с его производной
$P'(t)$.
\ез


\задача[!]
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ -- регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен,  а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Докажите, что  $D({\cal
P}_u)$ ненулевой.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $W(\alpha_1,..., \alpha_n) = (p_1, ..., p_n)$,
где $p_k= \sum_{i=1}^n \alpha_i^k$.
\енум
\итем Докажите, что дифференциал $W$ обратим во всех
точках, где $D:=\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)\neq 0$.
\итем
Докажите, что якобиан (детерминант дифференциала)
отображения $W$ в точке $\alpha_1,..., \alpha_n$ 
равен $D(\alpha_1,..., \alpha_n)$.
\ее
\ез

\задача[!]\label{_discri_via_eleme_Zadacha_}
Пусть $E(\alpha_1,..., \alpha_n)= (e_0, ..., e_{n-1})$,
где $e_i$ -- коэффициенты многочлена $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$.
Докажите, что дифференциал $W$ обратим во всех
точках, где $D:=\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)\neq 0$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\определение
{\бф Группа  кос от $k$ образующих} есть фундаментальная
группа <<конфигурационного пространства>>
 $C_k:=\C^{k}\backslash \bigcup_{i\neq j} \{x_i= x_j\}$
 где $i, j = 1, 2, ..., k$, а $x_1,..., x_{k}$
 координаты на $\C^{k}$. {\бф Группа крашенных 
кос от $k$ образующих} есть фундаментальная группа
фактора $C_k/S_{k}$ по симметрической группе.
\ео

\задача[*]
Пусть $Z\subset \C^2$ задано уравнением $x^2=y^3$.
Докажите, что фундаментальная группа $\C^2\backslash Z$
изоморфна группе крашенных кос от 3 образующих.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $R\subset S^3$ -- простейший неразвязываемый
узел "трилистник".  Докажите, что фундаментальная
группа дополнения $S^3\backslash R$ 
изоморфна группе крашенных кос от 3 образующих.
\ез

\begin{center}{\epsfig{file=Trefoil_knot_left.png,width=8em}}\\
трилистник
\end{center}

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]\label{_giperpo_diskr_Zadacha_}
Пусть $P(t) \in \calo_{n-1}(z_n)$ -- полином 
Вейерштрасса, причем $P(0, ..., 0, z_n) = z_n^k$,
а $D(P)\in \calo_{n-1}$ -- его дискриминант.
Обозначим за $Z\subset \C^n$ множество нулей $P$,
а за $D\subset \C^{n-1}$ -- множество нулей $D$.
Докажите, что в какой-то окрестности нуля,
проекция $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$
вдоль последней координаты индуцирует
накрытие 
$Z \cap \pi^{-1}(U\backslash D)\arrow U\backslash D$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_discri_via_eleme_Zadacha_}.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гладкие точки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф особой} в противном
случае. Комплексно-аналитическое подмножество $Z$
{\бф гладкое}, если все его точки гладкие. {\bf Размерность}
$Z$ в гладкой точке $z$ есть размерность $Z$ как гладкого подмногообразия
ее окрестности.
\ео

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ задано голоморфными уравнениями
$f_1, ..., f_k$.
\енум
\итем Пусть в точке $z\in Z$
дифференциалы $df_1, ..., df_k$ линейно независимы.
Докажите, что $z$ -- гладкая точка. 
\итем[*] Пусть $df_1, ..., df_k$ линейно 
зависимы в $z\in Z$ и линейно независимы в точке $z'\in
Z$. Следует ли из этого, что
$z$ -- особая точка? Докажите или найдите контрпример.
\ее
\ез

\задача\label{_gla_toch_uravne_Zadacha_}  
Пусть $z\in Z$ -- гладкая точка
в комплексно-аналитическом множестве $Z\subset \C^n$, а размерность
$Z$ равна $r$ в $z$. Докажите, что в окрестности
$z$ можно задать множество $Z$ голоморфными уравнениями
$f_1=...= f_{n-r}=0$, таким образом, что
$df_1, ..., df_{n-r}$ линейно независимы в $z$.
\ез

\задача
Найдите голоморфные функции $f, g$ такие, что
$df$ и $dg$ линейно зависимы всюду на множестве
$Z$ общих нулей $f, g$, но линейно независимы где-то вне
$Z$. Может ли $Z$ быть гладким?
\ез

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ -- гиперповерхность, 
заданная полиномом Вейерштрасса
$P(t)\in \calo_{n-1}(z_n)$ причем $P(0, ..., 0, z_n) = z_n^k$,
а $D(P)\in \calo_{n-1}$ -- его дискриминант.
Обозначим за $Z\subset \C^n$ множество нулей $P$.
Докажите, что множество гладких точек $Z$ плотно в $Z$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей
\ref{_giperpo_diskr_Zadacha_}.
\еу

\задача[!]
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. Докажите, что дополнение к 
$Z_{\sing}$ плотно в $Z$.
\ез

\указание
Примените задачу \ref{_giperpo_Zadacha_}
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите, что множество 
$Z_{sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество в $Z$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_gla_toch_uravne_Zadacha_}. 
\еу

\задача[*]
Пусть $Z\subset \C^n$ -- неприводимая комплексно-аналитическая
гиперповерхность, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество
неособых точек $Z$. Докажите, что дополнение 
$Z\backslash Z_{\sing}$ связно.
\ез

\задача[*]
Пусть $Z$ -- неприводимое комплексно-аналитическое
многообразие, а  $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество
неособых точек $Z$. Докажите, что дополнение 
$Z\backslash Z_{\sing}$ связно.
\ез


\end{document}






