\documentclass[10pt]{article} \usepackage{wrapfig} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} %\addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 22.04.2017 \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 22.04.2017} \newcommand{\firstdate}{22.04.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{9}{Комплексные пространства 9: гладкие точки и мероморфные отображения} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Мероморфные функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $f, g$ голоморфные функции на многообразии $M$. {\бф Дивизор нулей} $f$ есть множество, где $f=0$. {\бф Полюс} частного $\frac f g$ есть множество точек, где $g=0$, a частное $\frac f g$ разрывно. {\бф Мероморфная функция} на комплексном многообразии есть частное двух голоморфных. \ео \задача Пусть $f$ лежит в кольце $\calo_n$ ростков гладких функций, $(f)$ -- порожденный $f$ идеал, а $I \subset (f)$ -- идеал. Докажите, что $I$ -- главный идеал, или найдите контрпример. \ез \задача Пусть $f \in \calo_n$, причем разложение $f$ на простые множители свободно от квадратов. Докажите, что идеал $(f)$, порожденный $g$, радикален. \ез \задача Пусть $f, g \in \calo_n$, причем дивизор нулей $f$ лежит в дивизоре нулей $g$, а разложение $f$ на простые множители свободно от квадратов. Докажите, что $f$ делит $g$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей и примените теорему Гиль\-берта-Рюкерта о нулях. \еу \задача Пусть $f, g$ взаимно просты в $\calo_n$. Докажите, что дивизор нулей $f$ не лежит в дивизоре нулей $g$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите, что полюс мероморфной функции на гладком комплексном многообразии $M$ есть комплексно-аналитическое подмножество (то есть локально задается голоморфными уравнениями). \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Докажите, что ограниченная мероморфная функция на шаре голоморфна. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $f$ -- непрерывная мероморфная функция на особом комплексном многообразии. Докажите, что $f$ голоморфна, или найдите контропример. \ез \задача[*] Пусть $Z$ есть росток комплексно-аналитического множества, а $\tilde \calo_Z$ кольцо непрерывных мероморфных функций на $Z$. Докажите, что $\tilde \calo_Z$ есть кольцо функций на ростке комплексно-аналитического пространства $\tilde Z$. \ез \определение Пусть $X\subset \C^n, Y\subset \C^m$ комплексно-аналитические подмножества, а $\Psi:\; X \arrow \C^m$ -- отображение, заданное мероморфными функциями, полюса которых не содержат $X$. Если все точки $X$, не лежащие в полюсах $\Psi$, переводятся в $Y$, мы говорим, что $\Psi$ есть {\бф мероморфное отображение из $X$ в $Y$.} \ео \определение Два комплексно-аналитических множества $X\subset \C^n, Y\subset \C^m$ называются {\бф бимероморфными}, если существуют мероморфные отображения $X \arrow Y$, $Y\arrow X$, а их композиции тождественны на $X, Y$ везде, где определены. \ео \задача Пусть $\Psi:\; X \arrow Y$ мероморфное отображение неприводимых многообразий, индуцирующее изоморфизм на полях частных $\Psi^*:\; k(\calo_Y) \tilde\arrow k(\calo_X)$. Докажите, что $\Psi$ бимероморфно. \ез \определение Пусть $U\subset \C^n$ -- открытое подмножество. Комплексно-аналитическое подмножество $Z\subset U$ называется {\бф гиперповерхностью}, если его можно задать одним голоморфным уравнением \ео \задача[!]\label{_giperpo_Zadacha_} Докажите, что каждый росток комплексного подмножества бимероморфен ростку гиперповерхности в шаре $B\subset \C^n$. \ез \указание Воспользуйтесь регулярной системой координат, теоремой о примитивном элементе, и примените предыдущую задачу. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Дискриминант многочлена Вейерштрасса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином. {\бф Дискриминант} $P$ это произведение $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$. \ео \задача Докажите, что дискриминант $P$ полиномиально с целыми коэффициентами выражается как полином от коэффициентов $P$. \ез \задача Выразите дискриминант полинома $P(t)= t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0$ явно через его коэффициенты. \ез \задача Докажите, что дискриминант полинома $P(t)\in \calo_n[t]$ равен нулю тогда и только тогда, когда $P(t)$ не взаимно прост с его производной $P'(t)$. \ез \задача[!] Пусть $Z$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического подмножества, $z_1, ..., z_n$ -- регулярные координаты, $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный многочлен, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант ${\cal P}_u(t)$. Докажите, что $D({\cal P}_u)$ ненулевой. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $W(\alpha_1,..., \alpha_n) = (p_1, ..., p_n)$, где $p_k= \sum_{i=1}^n \alpha_i^k$. \енум \итем Докажите, что дифференциал $W$ обратим во всех точках, где $D:=\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)\neq 0$. \итем Докажите, что якобиан (детерминант дифференциала) отображения $W$ в точке $\alpha_1,..., \alpha_n$ равен $D(\alpha_1,..., \alpha_n)$. \ее \ез \задача[!]\label{_discri_via_eleme_Zadacha_} Пусть $E(\alpha_1,..., \alpha_n)= (e_0, ..., e_{n-1})$, где $e_i$ -- коэффициенты многочлена $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$. Докажите, что дифференциал $W$ обратим во всех точках, где $D:=\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)\neq 0$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \определение {\бф Группа кос от $k$ образующих} есть фундаментальная группа <<конфигурационного пространства>> $C_k:=\C^{k}\backslash \bigcup_{i\neq j} \{x_i= x_j\}$ где $i, j = 1, 2, ..., k$, а $x_1,..., x_{k}$ координаты на $\C^{k}$. {\бф Группа крашенных кос от $k$ образующих} есть фундаментальная группа фактора $C_k/S_{k}$ по симметрической группе. \ео \задача[*] Пусть $Z\subset \C^2$ задано уравнением $x^2=y^3$. Докажите, что фундаментальная группа $\C^2\backslash Z$ изоморфна группе крашенных кос от 3 образующих. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $R\subset S^3$ -- простейший неразвязываемый узел "трилистник". Докажите, что фундаментальная группа дополнения $S^3\backslash R$ изоморфна группе крашенных кос от 3 образующих. \ез \begin{center}{\epsfig{file=Trefoil_knot_left.png,width=8em}}\\ трилистник \end{center} \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!]\label{_giperpo_diskr_Zadacha_} Пусть $P(t) \in \calo_{n-1}(z_n)$ -- полином Вейерштрасса, причем $P(0, ..., 0, z_n) = z_n^k$, а $D(P)\in \calo_{n-1}$ -- его дискриминант. Обозначим за $Z\subset \C^n$ множество нулей $P$, а за $D\subset \C^{n-1}$ -- множество нулей $D$. Докажите, что в какой-то окрестности нуля, проекция $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$ вдоль последней координаты индуцирует накрытие $Z \cap \pi^{-1}(U\backslash D)\arrow U\backslash D$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_discri_via_eleme_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Гладкие точки} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф гладкой}, если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие, и {\бф особой} в противном случае. Комплексно-аналитическое подмножество $Z$ {\бф гладкое}, если все его точки гладкие. {\bf Размерность} $Z$ в гладкой точке $z$ есть размерность $Z$ как гладкого подмногообразия ее окрестности. \ео \задача Пусть $Z\subset \C^n$ задано голоморфными уравнениями $f_1, ..., f_k$. \енум \итем Пусть в точке $z\in Z$ дифференциалы $df_1, ..., df_k$ линейно независимы. Докажите, что $z$ -- гладкая точка. \итем[*] Пусть $df_1, ..., df_k$ линейно зависимы в $z\in Z$ и линейно независимы в точке $z'\in Z$. Следует ли из этого, что $z$ -- особая точка? Докажите или найдите контрпример. \ее \ез \задача\label{_gla_toch_uravne_Zadacha_} Пусть $z\in Z$ -- гладкая точка в комплексно-аналитическом множестве $Z\subset \C^n$, а размерность $Z$ равна $r$ в $z$. Докажите, что в окрестности $z$ можно задать множество $Z$ голоморфными уравнениями $f_1=...= f_{n-r}=0$, таким образом, что $df_1, ..., df_{n-r}$ линейно независимы в $z$. \ез \задача Найдите голоморфные функции $f, g$ такие, что $df$ и $dg$ линейно зависимы всюду на множестве $Z$ общих нулей $f, g$, но линейно независимы где-то вне $Z$. Может ли $Z$ быть гладким? \ез \задача Пусть $Z\subset \C^n$ -- гиперповерхность, заданная полиномом Вейерштрасса $P(t)\in \calo_{n-1}(z_n)$ причем $P(0, ..., 0, z_n) = z_n^k$, а $D(P)\in \calo_{n-1}$ -- его дискриминант. Обозначим за $Z\subset \C^n$ множество нулей $P$. Докажите, что множество гладких точек $Z$ плотно в $Z$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_giperpo_diskr_Zadacha_}. \еу \задача[!] Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество особых точек $Z$. Докажите, что дополнение к $Z_{\sing}$ плотно в $Z$. \ез \указание Примените задачу \ref{_giperpo_Zadacha_} и воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите, что множество $Z_{sing}$ -- комплексно-аналитическое подмножество в $Z$. \ез \указание Воспользуйтесь задачей \ref{_gla_toch_uravne_Zadacha_}. \еу \задача[*] Пусть $Z\subset \C^n$ -- неприводимая комплексно-аналитическая гиперповерхность, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество неособых точек $Z$. Докажите, что дополнение $Z\backslash Z_{\sing}$ связно. \ез \задача[*] Пусть $Z$ -- неприводимое комплексно-аналитическое многообразие, а $Z_{\sing}\subset Z$ -- множество неособых точек $Z$. Докажите, что дополнение $Z\backslash Z_{\sing}$ связно. \ез \end{document}