\documentclass[11pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   31.03.2017
%version 2.0,\ \   20.05.2017, бредятина в 
%                  первых неск. задачах (то же было и в лекциях)
%version 2.1,\ \   20.05.2017, zadacha 8.14, 8.15 bred (Klemyatin nashel)


\newcommand{\version}{version 2.1\ \   20.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{15.04.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{Комплексные пространства 8: регулярные системы координат}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Идеалы в кольце ростков}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Кольцо ростков в нуле голоморфных функций на $\C^n$ обозначается
$\calo_n$. Мы считаем, что это функции от координат $z_1, ..., z_n$.
Мы считаем, что кольцо $\calo_d$ вложено в $\calo_n$ как кольцо
ростков функций от координат $z_1, ..., z_d$.
\ео

\задача[!]
Пусть $J\in \calo_n$ -- неглавный идеал, а $A_1, A_2$
его образующие, которые взаимно просты. Докажите, что
для любой системы координат $z_1, ..., z_n$, в которой
$A_1, A_2$ выражаются через полиномы Вейерштрасса,
$A_i= u_i P_i$, $P_i\in \calo_{n-1}[z_n]$,
идеал $J\cap \calo_{n-1}$ ненулевой.
\ез


\задача
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал. 
\енум
\итем Докажите, что в какой-то системе координат $J$ порожден полиномами
Вейерштрасса $P_i \in \calo_{n-1}[z_n]$.
\итем[!] Докажите, что в такой системе координат $J$ порожден
$J\cap \calo_{n-1}$ и полиномом Вейерштрасса $P\in
\calo_{n-1}[z_n]\cap J$ минимальной возможной степени.
\ее
\ез

\задача
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал, а $J_k= J\cap \calo_k$.
\енум
\итем[!]
Докажите, что при подходящем выборе координатных
функций $z_1, ..., z_n$, каждый идеал $J_k$ порожден
$J_{k-1}$ и полиномами Вейерштрасса $P_k(z_k)\in \calo_{k-1}[z_k]$.
\итем[!] Докажите, что каждый из полиномов
$P_k(z_k)$ определен единственным образом с точностью
до обратимого элемента.
\ее
\ез

\определение
Такая система координат называется {\бф регулярной системой координат}.
Обыкновенно она записывается как $z_1, ..., z_d, z_{d+1},..., z_n$,
где $d$ -- минимальное число, для которого $J\cap \calo_d=0$.
В этом случае, $J$ порожден $P_{d+i}(z_{d+i})$, где $i=1, 2, ..., n-d$.
\ео


\определение
{\бф Комплексно-аналитическое подмножество}
(или же {\бф  "комплексно-аналитическое подмногообразие"})
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, локально заданное как множество общих нулей
какого-то набора голоморфных функций.
\ео


\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмножества. Они называются {\бф эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф  Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."
\ео

\замечание Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал в кольне ростков.
Тогда можно рассмотреть множество общих нулей $J$
как росток комплексно-аналитического подмногообразия.
\еза

\задача
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал, а $Z$ -- росток множества
общих нулей $J$. Предположим, что $J \cap \calo_d=0$.
Обозначим за $\Pi_d:\; \C^n\arrow \C^d$ проекцию
на первые $d$ координат.
\енум
\итем[*] Докажите, что
$\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ сюрьективно как отображение
ростков (то есть сюрьективно в какой-то окрестности 0).
\итем Предположим, что $z_1, ..., z_n$ -- регулярная
система координат, причем $J_d=0$, a $J_{d+1}\neq 0$.
Докажите, что прообраз каждой точки при отображении
$\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ конечен.
\ее
\ез

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два ростка комплексно-аналитических подмножества.
{\бф  Неприводимая компонента} $Z$ есть неприводимое подмножество
$Z_1 \subset Z$ такое, что дополнение $Z \backslash Z_1$
содержится в комплексно-аналитическом подмножестве,
которое строго меньше $Z$.
\ео

\задача
Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического подмножества,
а $J_Z\subset \calo_n$ -- идеал функций, которые в нем
зануляются.
\енум
\итем Докажите, что $Z$ неприводимо $\Leftrightarrow$
$J_Z$ простой идеал.
\итем[!] Докажите, что каждая точка $Z$ содержится в неприводимой
компоненте $Z$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь нетеровостью $\calo_n$.
\еу

\задача[!]
Найдите неприводимое комплексное подмногообразие
$S\subset \C^2$ такое, что его росток в 0 приводим.
\ез

\задача[*]
Пусть $S\subset \C^2$ задано уравнением
$x^n = y ^m$, где $m, n$ взаимно просты.
Докажите, что росток $S$ в нуле неприводим,
или найдите контрпример.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема о конечности}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ гомоморфизм колец,
такой, что $B$ конечно-порождено как $A$-модуль.
Тогда $\phi$ называется {\бф конечным морфизмом}.
\ео

\задача
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- конечный морфизм,
а ${\goth p}\subset A$ -- простой идеал.
\енум
\итем[*] Докажите, что в $B$ есть простой идеал ${\goth p}'$
такох, что ${\goth p}=\phi^{-1}({\goth p})$.
\итем[*] Докажите, что таких идеалов конечное число.
\ее
\ез

\задача
Пусть $\phi:\; A \arrow B$ -- конечный морфизм,
а $x\in B$. Докажите, что  $x$ является
корнем унитарного полинома с коэффициентами из
$A$.
\ез

\задача
Пусть $A_0 \subset A_1 \subset ... $ -- последовательность
колец такая, что каждое $A_i$ конечно порождено как $A_{i-1}$-модуль.
Докажите, что $A_n$ конечно порождено как $A_0$-модуль.
\ез

\задача[!] (теорема о конечности)
Пусть $J\subset\calo_n$ -- идеал, а
$z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат,
причем $J_d=0$, a $J_{d+1}\neq 0$. Докажите, что
$\calo_n/J$ конечно-порождено как $\calo_d$-модуль.
\ез

\указание
Используя теорему Вейерштрасса о делении, убедитесь, что $\calo_{k}/J_{k}$
конечно порождено как $\calo_{k-1}$-модуль,
и примените индукцию по $k$.
\еу


\задача
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
-- регулярная система координат, где $J_d=0$, a $J_{d+1}\neq 0$.
Докажите, что поле частных $k(\calo_n/J)$ -- конечное
расширение поля частных $k(\calo_d)$.
\ез


\задача
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
-- регулярная система координат, где $J_d=0$, a $J_{d+1}\neq 0$.
Обозначим за росток $Z$ множества общих нулей $J$.
\енум
\итем Докажите, что для любого $u:=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$,
$u$ удовлетворяет полиномиальному уравнению $P_u(u)=0$,
где $P_u[t]\subset \calo_d[t]$ -- унитарный полином.
\итем Докажите, что для каждой линейной функции
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$, отображение
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, u)$
переводит $Z$ в росток гиперповерхности $Z_u\subset \C^{d+1}$,
заданной уравнением $P_u(u)=0$.
\итем[!]
Докажите, что для общего $u$, проекция $Z \arrow Z_u$
индуцирует изоморфизм на полях частных $k(\calo_{Z_u})\arrow
k(\calo_{Z})$.
\ее
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой о конечности и 
примените теорему Артина о примитивном элементе.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Гильберта о нулях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $Z$ -- множество общих нулей идеала
$J\subset \calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
-- регулярная система координат для $J$. Обозначим за $\calo_d$
голоморфные функции от $z_1, ..., z_d$. Докажите, что
ненулевая функция $f\in \calo_d$ не может 
зануляться на $Z$.
\ез

\задача
Пусть $J\subset \calo_n$ идеал в кольце ростков,
$z_1, ..., z_d, ..., z_n$ -- регулярная система координат для $J$,
а $f\in \calo_n/J$.
\енум
\итем Докажите, что $P(f)=0$, где $P\in \calo_d[t]$ -- унитарный
полином.
\итем Пусть $J$ прост, а $f\in \calo_n/J$ ненулевой
на $Z$, где $Z$ -- множество
общих нулей $J$. Возьмем полином
минимальной степени 
$P= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0\in \calo_d[t]$, такой, что
$P(f)=0$. Докажите, что $a_0\neq 0$ на $Z$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $J\subset \calo_n$  -- простой идеал, а $f\in \calo_n/J$
зануляется на множестве $Z$ общих нулей $J$.
Докажите, что $f=0$.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Постройте биекцию между множеством простых идеалов в кольце ростков
и множеством неприводимых ростков подмножеств.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\определение
Пусть $J$ -- идеал.
Определим {\бф радикал} $\sqrt J$ как пересечение
всех простых идеалов, содержащих $J$.
\ео

\задача
Докажите, что $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда
$a^n \in J$ для какого-то $n>0$.
\ез

\задача
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал,
а $Z_J$ его множество общих нулей.
\енум
\итем Докажите, что $Z_J=Z_{\sqrt J}$
\итем $Z_J =Z_{\sqrt J}=\bigcup_{J'\in \goth P}Z_{J'}$,
где ${\goth P}$ -- множество простых идеалов в $\calo_n$,
содержащих $J$.
\итем[!] Докажите ``теорему Рюкерта о нулях'':
$f\in \calo_n$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда,
когда $f\in \sqrt J$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $Z$ -- росток комплексно-аналитического множества.
Докажите, что $Z$ равно объединению всех своих
неприводимых компонент, и их конечное число.
\ез



\end{document}