
\documentclass[11pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   31.03.2017


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   31.03.2017}
\newcommand{\firstdate}{08.04.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{Комплексные пространства 7: теория Галуа (2)}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Расширения Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

При сдаче задач (кроме тех, где это специально 
оговорено), можно предполагать, что $\Char k=0$.

\задача\label{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}
Пусть задан полином $P(t)\in K[t]$ степени $n$ с коэффициентами
в поле $K$, 
у которого $n$ попарно различных корней в $K$. Докажите, что
кольцо $K[t]/P$ остатков по модулю $P$ 
изоморфно прямой сумме $n$ копий $K$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пусть $[K:k]$ -- алгебраическое расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$
{\bf расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно
(как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$.
\ео

\задача
Пусть $[K:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно
как векторное пространство над $\Q$). 
Докажите, что это расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача[*]
Пусть $p$ простое.
Докажите, что для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$,
$[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. 
\end{zadacha}


\задача
Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$ над полем $k$. Положим
$K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений,
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$,
полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено.
Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$
в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили.
В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый
сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем 
$K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. Докажите, что
этот процесс закончится через конечное
число шагов и даст некоторое поле $K \supset k$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Это поле называется {\bf полем разложения} (splitting field)
многочлена $P$.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть $K$ -- поле разложения для многочлена $P(t)\in k[t]$.
Докажите, что $K$ изоморфно подполю в алгебраическом
замыкании $\bar k$, порожденному всеми корнями $P$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть все корни $P(t)$ разные.
Докажите, что поле разложения $P(t)$ есть минимальное
расширение Галуа, содержащее $k[t]/(P)$.
\ез

\задача
Пусть $P(t)$ -- многочлен степени $n$.
Докажите, что степень его поля разложения
не больше $n!$
\end{zadacha}

\задача
Пусть $P\in k[t]$ -- многочлен степени $n$,
имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$, и пусть $[K:k]$ -- его поле разложения, а
$K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$
соответствующая цепочка расширений. Докажите, 
что  $K\otimes_{K_{i-1}}K_i$ изоморфно 
прямой сумме нескольких копий $K$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Это сразу следует из Задачи 
\ref{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}.
\end{ukazanie}
\задача
Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени
$n$, имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом
замыкании $k$ (такой полином называется {\bf не имеющим
кратных корней}), а $K$ -- его поле разложения. 
Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $a_1, ..., a_n$ -- целые числа.
Докажите, что $\Q[\sqrt{a_1}, ..., \sqrt{a_n}]$ --
расширение Галуа (или прямая сумма расширений Галуа).
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Группы Галуа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf Группой Галуа $[K:k]$}
называется  группа $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. Мы обозначаем
группу Галуа через $\Gal([K:k])$ или через $\Aut_k(K)$.
\end{opredelenie}


В дальнейшем мы будем рассматривать 
$K\otimes_k K$ как $K$-алгебру, с действием $K^*$,
заданным формулой $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$.
Такое действие $K^*$ называется {\bf левым}.
Оно отличается от ``правого действия''
$\mu_r:\; K^*\times K\otimes_k K\arrow  K\otimes_k K$,
заданного формулой $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$.

\задача[!]\label{_idempo_avtomo_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте биекцию между множеством $K$-линейных
гомоморфизмов $K\otimes_k K\arrow K$ и множеством
неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}

\указание Докажите, что каждый такой  гомоморфизм
переводит все неразложимые идемотенты, кроме одного, в нуль.
\еу

\задача
Пусть $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ненулевой
$K$-линейный гомоморфизм, а $k\otimes_k K\subset
K\otimes_k K$ -- $k$-подалгебра, естественно изоморфная $K$.
Докажите, что $\mu\mid_{k\otimes_k K}$
задает $k$-линейный автоморфизм $K\arrow K$.
\end{zadacha}

\задача 
Докажите, что всякий $k$-линейный автоморфизм $\nu\in \Aut_k(K)$ получается
таким образом.
\end{zadacha}

\указание
Домножьте $К$ на себя, и убедитесь, что $\nu$ продолжается
до $K$-линейного автоморфизма $K\otimes_k K$, заданного формулой
$v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. 
\end{ukazanie}

\задача[!] 
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа.
Постройте естественную биекцию между $\Gal([K:k])$
и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$.
Докажите, что порядок группы Галуа равен размерности
$K$ как векторного пространства над $k$.
\end{zadacha}

\указание
Разложите $K\otimes_k K$ в прямую сумму полей, изоморфных $K$,
и воспользуйтесь задачей \ref{_idempo_avtomo_Zadacha_}.
\еу


\задача \label{_right_left_ide_Zadacha_}
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа,
$\nu\in \Gal([K:k])$ -- элемент группы Галуа, а $e_\nu$ -- соответствующий
идемпотент в $K\otimes_k K$. Обозначим через $\mu_l$
стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$,
а за $\mu_r$ правое действие. Докажите, что
$\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a\otimes 1 = 1 \otimes a$
в $K\otimes_k K$.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей
\ref{_right_left_ide_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а
$a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно
$\Gal([K:k])$. Докажите, что $a \in k$.
\end{zadacha}

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное
поле,  $K\supset K' \supset k$. Докажите, что
$K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Gal([K:k])$ -- группа
$K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает
множество $G'$-инвариантов.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что $[K:K']$ -- расширение Галуа,
и воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Докажите {\bf основную теорему теории Галуа:}
пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда
$G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию
между множеством подгрупп $G' \subset \Gal([K:k])$
и множеством промежуточных подполей 
$K\supset K' \supset k$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение степени $n$.
\енум
\итем Докажите, что $\Aut_kK\leq n$.
\итем
Докажите, что $K$ -- расширение Галуа
тогда и только тогда, когда $|\Aut_kK|=n$.
\ее
\ез

\указание Разложите $K\otimes_k K$ в прямую сумму полей,
и воспользуйтесь $\Aut_kK=\Aut_k(K\otimes_k K)$.
\еу

\определение
Пусть $[K:k]$ -- расширение полей.
Элемент $\alpha \in K$ называется {\бф примитивным}, если он порождает $K$.
\ео

\задача[!]
(теорема Артина о примитивном элементе)\\
Докажите, что каждое конечное расширение $[K:k]$
в характеристике 0 порождено примитивным элементом.
\ез

\указание
Воспользуйтесь основной теоремой теории Галуа.
\еу

\задача[*]
Найдите конечное  расширение в характеристике $p$, которое не может быть
порождено примитивным элементом.
\ез

\задача 
Пусть $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- взаимно простые числа,
не являющиеся квадратами. 
Докажите, что 
$[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ --
расширение Галуа.
\end{zadacha}

\задача 
Найдите группу Галуа этого расширения.
\end{zadacha}

\задача[!]
В условиях предыдущей задачи, докажите, 
что $\sqrt {a_1},$ $\sqrt {a_2},$ $\dots, \sqrt {a_n}$
линейно независимы над $\Q$.
\end{zadacha}



\задача
Докажите, что $\Aut_\Q(\Q[\sqrt[3]2])=\{1\}$.
\ез


\задача
Пусть $P(t)=x^3-2$. 
\енум
\итем Докажите, что поле разложения $P$ 
над $\Q$ имеет степень 6.
\итем[!] Найдите его группу Галуа.
\ее
\ез


\задача[*]
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- неприводимый полином,
у которого есть вещественные и комплексные корни.
Докажите, что группа Галуа поля разложения $P(t)$
неабелева.
\ез


\end{document}




