\documentclass[11pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-5mm} \addtolength{\textheight}{10mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 31.03.2017 \newcommand{\version}{version 1.0,\ \ 31.03.2017} \newcommand{\firstdate}{08.04.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{7}{Комплексные пространства 7: теория Галуа (2)} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Расширения Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% При сдаче задач (кроме тех, где это специально оговорено), можно предполагать, что $\Char k=0$. \задача\label{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_} Пусть задан полином $P(t)\in K[t]$ степени $n$ с коэффициентами в поле $K$, у которого $n$ попарно различных корней в $K$. Докажите, что кольцо $K[t]/P$ остатков по модулю $P$ изоморфно прямой сумме $n$ копий $K$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $[K:k]$ -- алгебраическое расширение поля $k$. Говорят, что $[K:k]$ {\bf расширение Галуа}, если $K\otimes_k K$ изоморфно (как кольцо) прямой сумме нескольких копий $K$. \ео \задача Пусть $[K:\Q]$ -- расширение степени 2 (т.е. $K$ двумерно как векторное пространство над $\Q$). Докажите, что это расширение Галуа. \end{zadacha} \задача[*] Пусть $p$ простое. Докажите, что для любого корня из единицы $\zeta$ степени $p$, $[\Q[\zeta]:\Q]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \задача Пусть $P\in k[t]$ -- полином степени $n$ над полем $k$. Положим $K_1= k$, и рассмотрим последовательность расширений, $K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$, полученных индуктивно следующим образом. Пусть $K_j$ построено. Разложим $P$ на неприводимые сомножители $P= \prod P_i$ в $K_j$. Если все $P_i$ линейны, мы закончили. В противном случае, пусть $P_0$ -- неприводимый сомножитель $P$ степени $>1$. Возьмем $K_{j+1}=K_j[t]/P_0$. Докажите, что этот процесс закончится через конечное число шагов и даст некоторое поле $K \supset k$. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Это поле называется {\bf полем разложения} (splitting field) многочлена $P$. \end{opredelenie} \задача Пусть $K$ -- поле разложения для многочлена $P(t)\in k[t]$. Докажите, что $K$ изоморфно подполю в алгебраическом замыкании $\bar k$, порожденному всеми корнями $P$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть все корни $P(t)$ разные. Докажите, что поле разложения $P(t)$ есть минимальное расширение Галуа, содержащее $k[t]/(P)$. \ез \задача Пусть $P(t)$ -- многочлен степени $n$. Докажите, что степень его поля разложения не больше $n!$ \end{zadacha} \задача Пусть $P\in k[t]$ -- многочлен степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом замыкании $k$, и пусть $[K:k]$ -- его поле разложения, а $K_l\supset K_{l-1} \supset \dots \supset K_1$ соответствующая цепочка расширений. Докажите, что $K\otimes_{K_{i-1}}K_i$ изоморфно прямой сумме нескольких копий $K$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Это сразу следует из Задачи \ref{_pryamaya_summa_polinom_Zadacha_}. \end{ukazanie} \задача Пусть $P(t)\in k[t]$ -- неприводимый полином степени $n$, имеющий $n$ попарно различных корней в алгебраическом замыкании $k$ (такой полином называется {\bf не имеющим кратных корней}), а $K$ -- его поле разложения. Докажите, что $[K:k]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $a_1, ..., a_n$ -- целые числа. Докажите, что $\Q[\sqrt{a_1}, ..., \sqrt{a_n}]$ -- расширение Галуа (или прямая сумма расширений Галуа). \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Группы Галуа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. {\bf Группой Галуа $[K:k]$} называется группа $k$-линейных автоморфизмов поля $K$. Мы обозначаем группу Галуа через $\Gal([K:k])$ или через $\Aut_k(K)$. \end{opredelenie} В дальнейшем мы будем рассматривать $K\otimes_k K$ как $K$-алгебру, с действием $K^*$, заданным формулой $a(v_1\otimes v_2)= av_1 \otimes v_2$. Такое действие $K^*$ называется {\bf левым}. Оно отличается от ``правого действия'' $\mu_r:\; K^*\times K\otimes_k K\arrow K\otimes_k K$, заданного формулой $a(v_1\otimes v_2)= v_1 \otimes av_2$. \задача[!]\label{_idempo_avtomo_Zadacha_} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Постройте биекцию между множеством $K$-линейных гомоморфизмов $K\otimes_k K\arrow K$ и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$. \end{zadacha} \указание Докажите, что каждый такой гомоморфизм переводит все неразложимые идемотенты, кроме одного, в нуль. \еу \задача Пусть $\mu:\; K\otimes_k K\arrow K$ -- ненулевой $K$-линейный гомоморфизм, а $k\otimes_k K\subset K\otimes_k K$ -- $k$-подалгебра, естественно изоморфная $K$. Докажите, что $\mu\mid_{k\otimes_k K}$ задает $k$-линейный автоморфизм $K\arrow K$. \end{zadacha} \задача Докажите, что всякий $k$-линейный автоморфизм $\nu\in \Aut_k(K)$ получается таким образом. \end{zadacha} \указание Домножьте $К$ на себя, и убедитесь, что $\nu$ продолжается до $K$-линейного автоморфизма $K\otimes_k K$, заданного формулой $v_1 \otimes v_2 \arrow v_1 \nu(v_2)$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Постройте естественную биекцию между $\Gal([K:k])$ и множеством неразложимых идемпотентов в $K\otimes_k K$. Докажите, что порядок группы Галуа равен размерности $K$ как векторного пространства над $k$. \end{zadacha} \указание Разложите $K\otimes_k K$ в прямую сумму полей, изоморфных $K$, и воспользуйтесь задачей \ref{_idempo_avtomo_Zadacha_}. \еу \задача \label{_right_left_ide_Zadacha_} Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, $\nu\in \Gal([K:k])$ -- элемент группы Галуа, а $e_\nu$ -- соответствующий идемпотент в $K\otimes_k K$. Обозначим через $\mu_l$ стандартное (левое) действие $K^*$ на $K\otimes_k K$, а за $\mu_r$ правое действие. Докажите, что $\mu_l(a) e_\nu = \mu_r(\nu(a)) e_\nu$. \end{zadacha} \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Gal([K:k])$. Докажите, что $a\otimes 1 = 1 \otimes a$ в $K\otimes_k K$. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь задачей \ref{_right_left_ide_Zadacha_}. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $a\in K$ -- элемент, инвариантный относительно $\Gal([K:k])$. Докажите, что $a \in k$. \end{zadacha} \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа, а $K'$ -- промежуточное поле, $K\supset K' \supset k$. Докажите, что $K' = K^{G'}$, где $G'\subset \Gal([K:k])$ -- группа $K'$-линейных автоморфизмов $K$, а $K^{G'}$ обозначает множество $G'$-инвариантов. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Докажите, что $[K:K']$ -- расширение Галуа, и воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача[!] Докажите {\bf основную теорему теории Галуа:} пусть $[K:k]$ -- расширение Галуа. Тогда $G' \arrow K^{G'}$ устанавливает биекцию между множеством подгрупп $G' \subset \Gal([K:k])$ и множеством промежуточных подполей $K\supset K' \supset k$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение степени $n$. \енум \итем Докажите, что $\Aut_kK\leq n$. \итем Докажите, что $K$ -- расширение Галуа тогда и только тогда, когда $|\Aut_kK|=n$. \ее \ез \указание Разложите $K\otimes_k K$ в прямую сумму полей, и воспользуйтесь $\Aut_kK=\Aut_k(K\otimes_k K)$. \еу \определение Пусть $[K:k]$ -- расширение полей. Элемент $\alpha \in K$ называется {\бф примитивным}, если он порождает $K$. \ео \задача[!] (теорема Артина о примитивном элементе)\\ Докажите, что каждое конечное расширение $[K:k]$ в характеристике 0 порождено примитивным элементом. \ез \указание Воспользуйтесь основной теоремой теории Галуа. \еу \задача[*] Найдите конечное расширение в характеристике $p$, которое не может быть порождено примитивным элементом. \ез \задача Пусть $a_1, \dots, a_n\in \Z$ -- взаимно простые числа, не являющиеся квадратами. Докажите, что $[\Q[\sqrt {a_1}, \sqrt {a_2}, \dots, \sqrt {a_n}]:\Q]$ -- расширение Галуа. \end{zadacha} \задача Найдите группу Галуа этого расширения. \end{zadacha} \задача[!] В условиях предыдущей задачи, докажите, что $\sqrt {a_1},$ $\sqrt {a_2},$ $\dots, \sqrt {a_n}$ линейно независимы над $\Q$. \end{zadacha} \задача Докажите, что $\Aut_\Q(\Q[\sqrt[3]2])=\{1\}$. \ез \задача Пусть $P(t)=x^3-2$. \енум \итем Докажите, что поле разложения $P$ над $\Q$ имеет степень 6. \итем[!] Найдите его группу Галуа. \ее \ез \задача[*] Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- неприводимый полином, у которого есть вещественные и комплексные корни. Докажите, что группа Галуа поля разложения $P(t)$ неабелева. \ез \end{document}