\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-5mm} \addtolength{\textwidth}{10mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 31.03.2017 %version 1.1,\ \ 06.05.2017 \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 06.05.2017} \newcommand{\firstdate}{01.04.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{6}{Комплексные пространства 6: теория Галуа (1).} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Артиновы кольца} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \замечание В этом и следующем листке, {\бф алгебра} над полем $k$ обозначает векторное пространство над $k$, с $k$-линейным, коммутативным умножением, но не обязательно с единицей, а {\бф кольцо} -- коммутативное кольцо с единицей. {\бф Конечное расширение} $[K:k]$ поля $K$ над $k$ есть поле, содержащее $k$ и конечномерное как векторное пространство над ним. \еза \begin{opredelenie} Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$}, если $R$ конечномерна как векторное пространство. \end{opredelenie} \задача Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$, где $V$ конечномерно. Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную $k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $R$ -- артиново кольцо без делителей нуля. Докажите, что это поле. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что любой инъективный эндоморфизм конечномерного пространства сюрьективен. \еу \задача Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце максимален. \end{zadacha} \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \begin{opredelenie} Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым}, если в нем нет ненулевых нильпотентов. \end{opredelenie} \begin{opredelenie} Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем. Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным (почленным) умножением и сложением. Получившаяся алгебра называется {\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается $\oplus R_i$. \end{opredelenie} \задача Докажите, что прямая сумма полупростых артиновых колец полупроста. \end{zadacha} \задача Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$. Рассмотрим подпространство $R$, порожденное $1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для некоторого полинома $P= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$ с коэффициентами из $k$. Докажите, что такой полином единственный. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$. % и обозначается $\minpoly(v)$. \end{opredelenie} \задача Пусть $v\in R$ -- элемент артинова кольца над $k$, а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру $R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что $R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков по модулю $P$. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Идемпотенты} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$. Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}. \end{opredelenie} \задача Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что произведение идемпотентов -- идемпотент. \end{zadacha} \задача Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце. Рассмотрим пространствo $eR\subset R$ (образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ -- подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $R = k[t]/P$, где $P$ -- полином, который разлагается в произведение попарно взаимно простых полиномов, $P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть $n$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем $e_i R \cong k[t]/P_i$. \end{zadacha} \задача Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов. Докажите, что это поле. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k[x] \subset R$, порожденную необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение предыдущей задачи. \end{ukazanie} \begin{opredelenie} Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ {\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$. \end{opredelenie} \задача Пусть $e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты, причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны. Докажите, что $e_1$ -- тоже идемпотент, причем $e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$. \end{zadacha} \задача Пусть $\Char k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ -- идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны. \end{zadacha} \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Идемпотент $e$ в $R$ называется {\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e = e_2 + e_3$. \end{opredelenie} \задача[!] Пусть $R$ полупростое артиново кольцо, а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что $eR$ -- поле. \end{zadacha} \задача[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$. Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это разложение единственно. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$, разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией. Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$. Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача[*] Верно ли это, когда $\Char k = 2$? \ез \задача[*] Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$, а $1 = e_1+ \dots + e_n$ -- разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов. Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Форма следа} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{opredelenie} Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$, а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется {\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$ для любых $x$, $y$, $z$. \end{opredelenie} \замечание Если $R$ содержит единицу, то для любой инвариантной формы $g$, имеем $g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется линейным функционалом. \еза \begin{zadacha} Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное билинейной инвариантной формой $g$, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$. Докажите, что его ортогональное дополнение ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал. \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите артиново кольцо, не допускающее невырожденной инвариантной билинейной формы. \end{zadacha} \определение Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$. Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \Tr(ab)$, где $\Tr(ab)$ -- след эндоморфизма $L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$. Эта форма называется {\бф формой следа}, и обозначается $\Tr_k(ab)$. \ео \задача Пусть $A$ -- линейный оператор на $n$-мерном векторном пространстве характеристики 0, такой, что $\Tr A= \Tr A^2 = ... = \Tr A^n=0$. Докажите, что $A$ нильпотентный. \ез \задача[!] Пусть $[K:k]$ -- расширение полей характеристики 0. Докажите, что форма следа всегда невырождена. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \замечание Расширения с невырожденной формой следа называются {\бф сепарабельными}. \еза \задача[*] Приведите пример конечного расширения $[K:k]$, которое несепарабельно. \ез \определение Напомню, что {\бф полупростое артиново кольцо} есть прямая сумма полей. \ео \begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_} Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$. Докажите, что если форма следа невырождена, то $R$ полупросто. Докажите, что если $R$ полупросто, а $\Char k =0$, то эта форма невырождена. \end{zadacha} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Тензорные произведения полей} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$. \енум \итем Докажите, что существует мультипликативная операция $(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$, переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$. \итем Докажите, что эта операция задает структуру кольца над $A\otimes_k B$. \ее \ез \определение Это кольцо называется {\бф тензорным произведением колец $A$ и $B$}, и обозначается $A\otimes_k B$. \ео \begin{zadacha} Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные билинейные формы $a, b \arrow \Tr(ab)$ на них через $g$, $g'$. Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$ с естественной структурой артинова кольца и форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$. Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \Tr(ab)$. \end{zadacha} \begin{zadacha}[!] Докажите, что тензорное произведение полупростых артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто. \end{zadacha} \begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей. \end{ukazanie} \задача[!] Пусть $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- расширения в характеристике 0. Докажите, что алгебра $K_1\otimes_k K_2$ полупроста. \ез \begin{zadacha} Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$ и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что $K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$. \end{zadacha} \begin{zadacha} Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого есть ровно $r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных, причем все корни разные. Докажите, что \[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R. \] \end{zadacha} \begin{zadacha}[*] Найдите два нетривиальных конечных расширения $K_1$, $K_2$ над $\Q$ таких, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле. \end{zadacha} \задача[*] Найдите два конечных расширения $K_1$ и $K_2$ поля $k$ характеристики $p$, что $K_1\otimes K_2$ не полупросто, или докажите, что таких расширений нет. \ез \end{document}