\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-5mm}
\addtolength{\textwidth}{10mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   31.03.2017
%version 1.1,\ \   06.05.2017


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   06.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{01.04.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{6}{Комплексные пространства 6: теория Галуа (1).}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Артиновы кольца}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
В этом и следующем листке, {\бф алгебра} над полем $k$
обозначает  векторное пространство над $k$, с $k$-линейным,
коммутативным умножением, но не обязательно с единицей, а {\бф 
кольцо} -- коммутативное кольцо с единицей. {\бф Конечное расширение}
$[K:k]$ поля $K$ над $k$ есть поле, содержащее $k$ и конечномерное
как векторное пространство над ним. 
\еза

\begin{opredelenie}
Пусть дана коммутативная алгебра $R$ с единицей над
полем $k$. Говорят, что $R$ {\bf артиново кольцо над полем $k$},
если $R$ конечномерна как векторное пространство.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть дан линейный оператор $A\in \End V$, где $V$
конечномерно.
Рассмотрим подалгебру в $\End V$, порожденную
$k$ и $A$. Докажите, что это артиново кольцо над $k$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R$ -- артиново кольцо без делителей нуля. Докажите, что это поле.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что любой инъективный
эндоморфизм конечномерного пространства сюрьективен.
\еу

\задача
Докажите, что любой простой идеал в артиновом кольце
максимален.
\end{zadacha}

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\begin{opredelenie}
Артиново кольцо $R$ называется {\bf полупростым},
если в нем нет ненулевых нильпотентов.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
Пусть $R_1,\dots,R_n$ -- алгебры над полем.
Возьмем прямую сумму $\oplus R_i$, с естественным
(почленным) умножением и сложением.
Получившаяся алгебра называется
{\bf прямой суммой $R_i$}, обозначается
 $\oplus R_i$.
\end{opredelenie}

\задача 
Докажите, что прямая сумма полупростых
артиновых колец полупроста.
\end{zadacha}


\задача
Пусть $v$ -- элемент конечномерной алгебры $R$ над $k$.
Рассмотрим подпространство $R$, порожденное
$1, v, v^2, v^3, \dots$ (для всех степеней $v$). 
Пусть оно $n$-мерно. Докажите, что $P(v)=0$ для 
некоторого полинома $P= t^{n} + a_{n-1} t^{n-1} + \dots$
с коэффициентами из $k$. Докажите, что
такой полином единственный.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Этот полином называется {\bf минимальным полиномом} элемента $v$. 
% и обозначается $\minpoly(v)$.
\end{opredelenie}


\задача
Пусть $v\in R$ -- элемент артинова кольца над $k$,
а $P(t)$ -- его минимальный полином. Рассмотрим подалгебру
$R_v$, порожденную $v$ и $k$. Докажите, что 
$R_v$ изоморфно кольцу $k[t]/P$ остатков
по модулю $P$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Идемпотенты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $v\in R$ -- такой элемент алгебры $R$, что $v^2=v$.
Тогда $v$ называется {\bf идемпотентом}.
\end{opredelenie}

\задача
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Докажите, что $1-e$ тоже идемпотент. Докажите, что
произведение идемпотентов -- идемпотент.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $e\in R$ -- идемпотент в кольце.
Рассмотрим пространствo $eR\subset R$
(образ умножения на $e$). Докажите, что $eR$ --
подалгебра в $R$, $e$ -- единичный элемент в $eR$, и $R=eR \oplus (1-e)R$.
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R = k[t]/P$, где $P$ -- полином, который разлагается
в произведение попарно взаимно простых полиномов,
$P = P_1 P_2 \dots P_n$. Докажите, что в $R$ есть
$n$ идемпотентов $e_1, \dots, e_n \subset R$, причем 
$e_i R \cong k[t]/P_i$.
\end{zadacha}

\задача
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо без неединичных идемпотентов.
Докажите, что это поле.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Пусть $R$ -- не поле. Рассмотрите подалгебру $k[x] \subset R$, порожденную
необратимым элементом $x \in R$, и примените к ней утверждение
предыдущей задачи.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
Говорят, что два идемпотента $e_1,e_2 \in R$ в коммутативной алгебре $R$ 
{\bf ортогональны}, если $e_1e_2=0$.
\end{opredelenie}

\задача Пусть $e_2,e_3 \in R$ -- идемпотенты, 
причем $e_1=e_2+e_3$, а $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
Докажите, что $e_1$ -- тоже идемпотент, причем
$e_2,e_3 \in e_1R$ и $e_1R=e_2R \oplus e_3R$.
\end{zadacha}

\задача 
Пусть $\Char k \neq 2$. Предположим, что $e_1, e_2, e_3$ --
идемпотенты в артиновом кольце $R$ над $k$, и $e_1 = e_2 + e_3$. 
Докажите, что $e_2$ и $e_3$ ортогональны.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie} Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Идемпотент $e$ в $R$ называется
{\bf неразложимым}, если нельзя найти такие ненулевые
ортогональные идемпотенты $e_2, e_3$, что $e = e_2 + e_3$.
\end{opredelenie}

\задача[!]
Пусть $R$ полупростое артиново кольцо,
а $e$ -- неразложимый идемпотент. Докажите, что
$eR$ -- поле. 
\end{zadacha}

\задача[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$.
Докажите, что $1$ разлагается в сумму неразложимых
ортогональных идемпотентов: $1 = \sum e_i$. Докажите, что это
разложение единственно.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Для существования, возьмите какой-нибудь идемпотент $e \in R$,
разложите $R=eR \oplus (1-e)R$, и воспользуйтесь индукцией.
Для единственности, перемножьте два возможных разложения $1$.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $R$ -- полупростое артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$.
Докажите, что $R$ изоморфно прямой сумме полей.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[*]
Верно ли это, когда $\Char k = 2$?
\ез

\задача[*]
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$, $\Char k \neq 2$,
а $1 = e_1+ \dots + e_n$ --
разложение 1 в сумму неразложимых ортогональных идемпотентов.
Докажите, что у $R$ есть ровно $n$ простых идеалов.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Форма следа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть $R$ -- алгебра над полем $k$,
а $g$ -- симметричная билинейная форма на $R$. Форма $g$ называется
{\bf инвариантной}, если $g(x, yz) = g(xy, z)$
для любых $x$, $y$, $z$.
\end{opredelenie}

\замечание
Если $R$ содержит единицу, то 
для любой инвариантной формы $g$, имеем
$g(x,y)=h(xy,1)$, то есть $g$ определяется
линейным функционалом.
\еза

\begin{zadacha} 
Пусть $R$ -- артиново кольцо, снабженное
билинейной инвариантной формой $g$, а ${\mathfrak m}$ -- идеал в $R$.
Докажите, что его ортогональное дополнение ${\mathfrak m}^\bot$ -- тоже идеал.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите артиново кольцо, не допускающее
невырожденной инвариантной билинейной формы.
\end{zadacha}

\определение
Пусть $R$ -- артиново кольцо над полем $k$.
Рассмотрим билинейную форму $a, b \arrow \Tr(ab)$,
где $\Tr(ab)$ -- след эндоморфизма 
$L_{ab}\in \End_k R$, $x \stackrel {L_{ab}}\arrow abx$.
Эта форма называется {\бф формой следа},
и обозначается $\Tr_k(ab)$.
\ео

\задача
Пусть $A$ -- линейный оператор на $n$-мерном
векторном пространстве характеристики 0,
такой, что $\Tr A= \Tr A^2 = ... = \Tr A^n=0$.
Докажите, что $A$ нильпотентный.
\ез

\задача[!]
Пусть $[K:k]$ -- расширение полей характеристики 0.
Докажите, что форма следа всегда невырождена.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\замечание
Расширения с невырожденной формой следа называются 
{\бф сепарабельными}.
\еза

\задача[*]
Приведите пример конечного расширения
$[K:k]$, которое несепарабельно.
\ез

\определение
Напомню, что {\бф полупростое артиново кольцо}
есть прямая сумма полей.
\ео

\begin{zadacha}[!] \label{_Tr_semisimple_Zadacha_}
Пусть $R$ -- артиново кольцо над $k$.
Докажите, что если  форма следа невырождена, то $R$ полупросто.
Докажите, что если $R$ полупросто, а $\Char k =0$,
то эта форма невырождена.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Тензорные произведения полей}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $A$ и $B$ -- кольца над полем $k$.
\енум
\итем
Докажите, что существует мультипликативная операция
$(A\otimes_k B)\times (A\otimes_k B) \arrow A\otimes_k B$,
переводящая $a\otimes b, a'\otimes b'$ в $aa'\otimes bb'$.
\итем Докажите, что эта операция задает структуру кольца над $A\otimes_k B$.
\ее
\ез

\определение
Это кольцо называется {\бф тензорным произведением колец $A$ и $B$},
и обозначается $A\otimes_k B$.
\ео
\begin{zadacha}
Пусть $R$, $R'$ -- артиновы кольца над $k$. Обозначим естественные
билинейные формы $a, b \arrow \Tr(ab)$ на них через $g$, $g'$.
Рассмотрим тензорное произведение $R \otimes R'$
с естественной структурой артинова кольца и 
форму $g\otimes g'$ на $R \otimes R'$.
Докажите, что $g\otimes g'$ равна форме $a, b \arrow \Tr(ab)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что тензорное произведение полупростых 
артиновых колец над полем $k$ характеристики $0$ полупросто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\задача[!]
Пусть $[K_1:k]$, $[K_2:k]$ -- расширения в характеристике 0.
Докажите, что алгебра $K_1\otimes_k K_2$ полупроста.
\ез

\begin{zadacha}
Пусть $P(t)$ и $Q(t)$ -- полиномы над полем k. Обозначим $K_1=k[t]/P(t)$
и $K_2=k[t]/Q(t)$. Докажите, что 
$K_1 \otimes K_2 \cong K_1[t]/Q(t) \cong K_2[t]/P(t)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $P(t)\in \Q[t]$ -- многочлен, у которого  есть ровно
$r$ вещественных корней и ровно $2s$ комплексных, но не вещественных,
причем все корни разные. Докажите,
что 
\[ (\Q[t]/P)\otimes_\Q \R = \bigoplus_s \C \oplus \bigoplus_r \R.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Найдите два нетривиальных
конечных расширения $K_1$, $K_2$
над $\Q$ таких, что $K_1\otimes_\Q K_2$ -- тоже поле.
\end{zadacha}

\задача[*]
Найдите два конечных расширения $K_1$ и $K_2$
поля $k$ характеристики $p$, что $K_1\otimes K_2$ не полупросто, или докажите,
что таких расширений нет.
\ез



\end{document}




