\documentclass[10pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-10mm} \addtolength{\textheight}{20mm} %\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} %\addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 17.03.2017 %version 1.1,\ \ 06.05.2017, melkie ochepyatki \newcommand{\version}{version 1.1,\ \ 06.05.2017} \newcommand{\firstdate}{25.03.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{5}{Комплексные пространства 5: Кольцо ростков (нетеровость, факториальность).} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Лемма Гаусса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф прост}, или {\бф необратим}, если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$, либо частное $r/r'$ обратимо. \ео \задача Докажите, что в кольце $\calo_n$ ростков голоморфных функций каждый элемент может быть разложен в произведение простых. \ез \определение Мы говорим, что в кольце $R$ {\бф однозначно разложение на простые сомножители,} если для любых двух разложений $a=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$ на необратимые простые сомножители, эти разложения совпадают с точностью до порядка и обратимых сомножителей. Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители, называется {\bf факториальным}. \ео \задача Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля. Докажите, что кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля. \ез \определение Пусть $R$ -- факториальное кольцо. Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф примитивным}, если НОД ("наибольший общий делитель") его коэффициентов равен 1. \ео \задача[!] Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ -- примитивные полиномы, а $R$ факториально. Докажите, что их произведение тоже примитивно. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что $P_1 P_2$ ненулевое по модулю $p$, если $p$ простое, а $P_1, P_2$ ненулевые $\mod p$. \еу \задача Пусть $R$ -- факториальное кольцо, $P\in R[t]$ примитивный полином, a $r P=r' P_1 P_2$ -- разложение полинома $rP$, где $r, r' \in R$, а $P_1, P_2\in R[t]$ примитивны. Докажите, что частное $r/r'$ обратимо. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных. Докажите, что каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$, неприводим и в $K[t]$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Докажите {\бф лемму Гаусса:} для любого факторального кольца $R$, кольцо полиномов $R[t]$ тоже факторально. \ез \задача Пусть $f\in \calo_{n-1}[z_n]$ полином Вейерштрасса, который неразложим (прост) в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$ полиномов Вейерштрасса, a $f(0, ..., 0, z_n) = z^n$. Докажите, что $f$ неразложим и в кольце ростков $\calo_{n}$. \ез \задача Пусть $f=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$ два разложения в кольце ростков $\calo_{n}$. Докажите, что в какой-то системе координат все $s_i$ и $r_i$ получены как произведение обратимой функции и полинома Вейерштрасса. \ез \задача Докажите, что кольцо ростков $\calo_1$ от одной переменной факториально. \ез \задача Положим, что $f=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$ два разложения полинома Вейерштрасса $f\in \calo_{n-1}[z_n]$ в произведение неразложимых, необратимых полиномов Вейерштрасса, а $\calo_{n-1}$ факториально. Докажите, что эти два разложения совпадают с точностью до порядка и домножения на обратимый элемент. \ез \указание Воспользуйтесь леммой Гаусса. \еу \задача[!] Докажите, что кольцо ростков $\calo_n$ факториально. \ез \задача[*] Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ..., t_n]]$ формальных степенных рядов факториально. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Условия обрыва цепочек} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество. Говорится, что в $S$ выполнено {\бф условие обрыва возрастающих цепочек}, если для каждой последовательности элементов $S$ $a_1 \preceq a_2 \preceq a_3 \preceq a_4 \preceq ...$ все $a_i$, кроме конечного числа, равны друг другу. Аналогично, выполнено {\бф условие обрыва убывающих цепочек}, если в $b_1 \succeq b_2 \succeq b_3 \succeq b_4 \succeq ...$ равны друг другу все $b_i$, кроме конечного числа. \ео \определение Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех идеалов в $R$, упорядоченное по вложению. Кольцо $R$ называется {\бф нетеровым}, если в $S$ выполнено условие обрыва возрастающих цепочек, и {\бф артиновым}, если выполнено условие обрыва убывающих цепочек. \ео \задача Пусть $R$ -- кольцо, у которого есть всего один простой идеал. Всегда ли $R$ артиново? \ез \задача Рассмотрим кольцо $R$ как модуль над собой. Докажите, что подмодули $R$ суть в точности идеалы кольца $R$. \ез \определение {\бф $M$ есть конечно порожденный модуль над $R$} если существует конечный набор $r_1, ..., r_n \in M$ такой, что $M=R\cdot r_1 + R\cdot r_2 + R\cdot r_3 + ... R\cdot r_n$. В такой ситуации, $\{r_i\}$ называются образующими. Идеал в кольце $R$ называется {\бф конечно-порожденным}, если он конечно порожден как $R$-модуль. \ео \задача Докажите, что $\Z$ и $\C[t]$ нетеровы. \ез \задача Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $F\in R$, а $R(F)$ -- локализация $R$ по $F$ (кольцо, полученное из $R$ присоединением к нему $F^{-1}$). Докажите, что $R(F)$ -- тоже нетерово. \ез \задача Постройте кольцо, которое не нетерово и не артиново. \ез \задача[*] Пусть $M$ -- окружность, а $C(M)$ -- кольцо непрерывных функций на $M$. Докажите, что $C(M)$ -- не нетерово. Является ли оно артиновым? \ез \задача[!] Докажите, что кольцо $R$ нетерово тогда и только тогда, когда любой его идеал конечно порожден. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Нетеровы модули} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Нетеров модуль} есть $R$-модуль, в котором выполнено условие обрыва возрастающих цепочек для подмодулей. \ео \задача Докажите, что любые подмодули и фактормодули нетерова $R$-модуля снова нетеровы. \ез \определение {\бф Короткая точная последовательность модулей над кольцом $R$} есть последовательность $R$-модулей и гомоморфизмов \[ 0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0 \] такая, что $i\circ e=0$, а ядро $e$ совпадает с образом $i$. \ео \задача[!] \label{_exa_noethe_Zadacha_} Пусть $0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0$ -- точная последовательность $R$-модулей, причем $M_1$ и $M_3$ нетеровы. Докажите, что $M_2$ тоже нетерово. \ез \задача[*] Пусть $u:\; M \arrow M$ -- сюрьективный эндоморфизм нетерова $R$-модуля. Докажите, что он инъективен. \ез \указание Примените условие обрыва к цепочке $\ker u \subset \ker u^2 \subset ...$. \еу \определение $R$-модуль $M$ называется {\бф циклическим}, если он изоморфен $R/I$, где $I$ -- какой-то идеал. \ео \задача Докажите, что $R$-модуль циклический тогда и только тогда, когда он порожден над $R$ всего одним элементом $r\in M$, то есть имеет вид $R\cdot r$. \ез \задача Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- циклический модуль над $R$. Докажите, что он нетеров. \ез \задача[!] Пусть $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно порожден тогда и только тогда, когда существует фильтрация $0=M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n =M$ $R$-подмодулями, причем все подфакторы вида $M_i/M_{i-1}$ циклические, а $n$ есть минимальное число образующих $M$. \ез \задача[!] Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно-порожденный тогда и только тогда, когда он нетеров. \ез \указание Воспользуйтесь индукцией по числу образующих и примените задачу \ref{_exa_noethe_Zadacha_}. \еу %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Теорема Ласкера о нетеровости кольца ростков} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \задача Докажите, что кольцо голоморфных функций на диске $\Delta\subset \C$ не нетерово. \ез \задача Докажите, что кольцо $\calo_1$ ростков в нуле голоморфных функций на $\C$ нетерово. \ез \задача Пусть $P(z, z_n)\in \calo_{n-1}[z_n]$ -- полином Вейерштрасса степени $k$, $\lim\limits_{z_n \arrow 0}\frac{P(z,z_n)}{z_n^k}\neq 0$, a $(P)$ -- порожденный им идеал. Докажите, что $\calo_n/(P)$ порождено $\calo_{n-1}$ и $1, z_n, z_n^2, ..., z_n^{k-1}$. \ез \задача Докажите, что $\calo_n/(P)$ конечно-порожден как $\calo_{n-1}$-модуль \ез \задача Пусть $I$ -- идеал в кольце ростков $\calo_{n}$. Предположим, что $\calo_{n-1}$ нетерово, а $P\in I$ -- полином Вейерштрасса, $P\in \calo_{n-1}[z_n]$. \енум \итем Докажите, что образ $I/(P)$ $I$ в $\calo_n/(P)$ конечно-порожден как $\calo_{n-1}$-модуль. \итем Пусть $\bar r_1, ..., \bar r_m$ элементы $\calo_{n-1}$-модуля $I/(P)$, порождающие его, а $r_1, ..., r_m$ их представители в $I$. Докажите, что $I$ порожден над $\calo_n$ $P$ и $r_1, ... r_m$. \итем Докажите, что $I$ конечно-порожден как $\calo_{n}$-модуль. \ее \ез \задача[!] Докажите, что $\calo_n$ нетерово. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[*] Пусть $A$ -- кольцо рациональных функций на $\C^n$, голоморфных в нуле. Найдите ненётерово локальное кольцо $R\subset \C[[t_1, ..., t_n]]$, содержащее $A$, или докажите, что такого нет. \ез \end{document}