\documentclass[10pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-10mm}
\addtolength{\textheight}{20mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   17.03.2017
%version 1.1,\ \   06.05.2017, melkie ochepyatki


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   06.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{25.03.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{Комплексные пространства 5: 
Кольцо ростков (нетеровость, факториальность).}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Лемма Гаусса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф прост}, или {\бф необратим},
если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$,
либо частное $r/r'$ обратимо. 
\ео

\задача
Докажите, что в кольце $\calo_n$ ростков голоморфных
функций каждый элемент может быть разложен
в произведение простых.
\ез


\определение
Мы говорим, что в кольце $R$ {\бф однозначно разложение на простые сомножители,}
если для любых двух разложений $a=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$
на необратимые простые сомножители, эти разложения совпадают
с точностью до порядка и обратимых сомножителей.
Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители,
называется {\bf факториальным}.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- кольцо без делителей нуля.  Докажите, что
кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля.
\ез

\определение
Пусть $R$ -- факториальное кольцо.
Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф  примитивным},
если НОД ("наибольший общий делитель")
его коэффициентов равен 1.
\ео

\задача[!]
Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ -- примитивные полиномы,
а $R$ факториально.
Докажите, что их произведение тоже примитивно.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что $P_1 P_2$ ненулевое по модулю
$p$, если $p$ простое, а $P_1, P_2$ ненулевые $\mod p$.
\еу

\задача
Пусть $R$ -- факториальное кольцо,
$P\in R[t]$ примитивный полином, a $r P=r' P_1 P_2$ -- разложение полинома 
$rP$, где $r, r' \in R$, а $P_1, P_2\in R[t]$ примитивны.
Докажите, что частное $r/r'$ обратимо.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных.
Докажите, что каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$,
неприводим и в $K[t]$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[!]
Докажите {\бф лемму Гаусса:} для любого факторального
кольца $R$, кольцо полиномов $R[t]$
тоже факторально.
\ез


\задача
Пусть $f\in \calo_{n-1}[z_n]$ полином Вейерштрасса, который
неразложим (прост) в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$ полиномов Вейерштрасса,
a $f(0, ..., 0, z_n) = z^n$.
Докажите, что $f$ неразложим и в кольце ростков $\calo_{n}$.
\ез

\задача
Пусть $f=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$
два разложения в кольце ростков $\calo_{n}$.
Докажите, что в какой-то системе координат
все $s_i$ и $r_i$ получены как произведение
обратимой функции и полинома Вейерштрасса.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо ростков $\calo_1$ от одной
переменной факториально.
\ез

\задача
Положим, что $f=r_1r_2...r_n=s_1 s_2 ...s_m$
два разложения полинома Вейерштрасса $f\in \calo_{n-1}[z_n]$  в произведение
неразложимых, необратимых
полиномов Вейерштрасса, а $\calo_{n-1}$ факториально.
Докажите, что эти два разложения совпадают
с точностью до порядка и домножения на обратимый элемент.
\ез

\указание Воспользуйтесь леммой Гаусса.
\еу

\задача[!]
Докажите, что кольцо ростков $\calo_n$ факториально.
\ез

\задача[*]
Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ..., t_n]]$
формальных степенных рядов факториально.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Условия обрыва цепочек}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(S, \prec)$ -- частично упорядоченное множество.
Говорится, что в $S$ выполнено {\бф условие обрыва возрастающих
цепочек}, если для каждой последовательности элементов $S$
$a_1 \preceq a_2 \preceq a_3 \preceq a_4 \preceq ...$
все $a_i$, кроме конечного числа, равны друг другу. Аналогично,
выполнено {\бф условие обрыва убывающих
цепочек}, если в $b_1 \succeq b_2 \succeq b_3 \succeq b_4 \succeq ...$
равны друг другу все $b_i$, кроме конечного числа.
\ео


\определение
Пусть $R$ -- кольцо, а $S$ -- множество всех
идеалов в $R$, упорядоченное по вложению.
Кольцо $R$ называется {\бф нетеровым}, если
в $S$ выполнено условие обрыва возрастающих цепочек,
и {\бф артиновым}, если выполнено условие
обрыва убывающих цепочек.
\ео

\задача
Пусть $R$ -- кольцо, у которого есть всего один 
простой идеал. Всегда ли $R$ артиново?
\ез

\задача
Рассмотрим кольцо $R$ как модуль над собой.
Докажите, что подмодули $R$ суть в точности идеалы кольца $R$.
\ез

\определение
{\бф $M$ есть конечно порожденный модуль над $R$} если
существует конечный набор $r_1, ..., r_n \in M$ такой, что
$M=R\cdot r_1 +  R\cdot r_2 + R\cdot r_3 + ... R\cdot r_n$.
В такой ситуации, $\{r_i\}$ называются образующими.
Идеал в кольце $R$ 
называется {\бф конечно-порожденным}, если он конечно порожден
как $R$-модуль.
\ео

\задача
Докажите, что $\Z$ и $\C[t]$ нетеровы.
\ез

\задача
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, $F\in R$, а $R(F)$ -- локализация
$R$ по $F$ (кольцо, полученное из $R$ присоединением
к нему $F^{-1}$). Докажите, что $R(F)$ -- тоже нетерово.
\ез

\задача
Постройте кольцо, которое не нетерово и не артиново.
\ез

\задача[*]
Пусть $M$ -- окружность, а $C(M)$ -- кольцо непрерывных
функций на $M$. Докажите, что $C(M)$ -- не нетерово.
Является ли оно артиновым?
\ез

\задача[!]
Докажите, что кольцо $R$ нетерово тогда и только
тогда, когда любой его идеал конечно порожден.
\ез 



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Нетеровы модули}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Нетеров модуль} есть $R$-модуль, в котором 
выполнено условие обрыва возрастающих цепочек
для подмодулей.
\ео

\задача
Докажите, что любые подмодули и фактормодули нетерова 
$R$-модуля снова нетеровы.
\ез

\определение
{\бф Короткая точная последовательность модулей над
кольцом $R$}
есть последовательность $R$-модулей и гомоморфизмов
\[
0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e \arrow M_3 \arrow 0
\]
такая, что $i\circ e=0$, а ядро $e$ совпадает 
с образом $i$.
\ео

\задача[!]
\label{_exa_noethe_Zadacha_}
Пусть $0\arrow M_1 \stackrel i \arrow M_2 \stackrel e
\arrow M_3 \arrow 0$ -- точная последовательность
$R$-модулей, причем $M_1$ и $M_3$ нетеровы.
Докажите, что $M_2$ тоже нетерово.
\ез

\задача[*]
Пусть $u:\; M \arrow M$ -- сюрьективный эндоморфизм
нетерова $R$-модуля. Докажите, что он инъективен.
\ез

\указание Примените условие обрыва к цепочке
$\ker u \subset \ker u^2 \subset ...$.
\еу


\определение
$R$-модуль $M$ называется {\бф циклическим}, если 
он изоморфен $R/I$, где $I$ -- какой-то идеал.
\ео

\задача
Докажите, что $R$-модуль циклический тогда и только тогда,
когда он порожден над $R$ всего одним элементом $r\in M$, то есть имеет
вид $R\cdot r$.
\ез

\задача Пусть $R$ нетерово кольцо,
а $M$ -- циклический модуль над $R$. Докажите, что 
он нетеров.
\ез


\задача[!]
Пусть $M$ -- $R$-модуль. Докажите, что $M$ конечно
порожден тогда и только тогда, когда существует
фильтрация $0=M_0 \subset M_1 \subset ... \subset M_n =M$
$R$-подмодулями, причем все подфакторы вида
$M_i/M_{i-1}$ циклические, а $n$ есть минимальное
число образующих $M$.
\ез

\задача[!]
Пусть $R$ нетерово кольцо, а $M$ -- $R$-модуль.
Докажите, что $M$ конечно-порожденный тогда и только 
тогда, когда он нетеров.
\ез

\указание
Воспользуйтесь индукцией по числу образующих
и примените задачу \ref{_exa_noethe_Zadacha_}.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Теорема Ласкера о нетеровости кольца ростков}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Докажите, что кольцо голоморфных функций на диске $\Delta\subset \C$
не нетерово.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\calo_1$ ростков в нуле голоморфных функций
на $\C$ нетерово.
\ез

\задача
Пусть $P(z, z_n)\in \calo_{n-1}[z_n]$ --
полином Вейерштрасса степени $k$, 
$\lim\limits_{z_n \arrow 0}\frac{P(z,z_n)}{z_n^k}\neq 0$, 
a $(P)$ -- порожденный им идеал. Докажите, что $\calo_n/(P)$ 
порождено $\calo_{n-1}$ и $1, z_n, z_n^2, ..., z_n^{k-1}$.
\ез

\задача
Докажите, что $\calo_n/(P)$ конечно-порожден как
$\calo_{n-1}$-модуль
\ез

\задача
Пусть $I$ -- идеал в кольце ростков $\calo_{n}$.
Предположим, что  $\calo_{n-1}$ нетерово, а $P\in I$ -- полином Вейерштрасса,
$P\in \calo_{n-1}[z_n]$.
\енум
\итем
Докажите, что образ $I/(P)$
$I$ в $\calo_n/(P)$ конечно-порожден как
$\calo_{n-1}$-модуль.
\итем Пусть $\bar r_1, ..., \bar r_m$ элементы
$\calo_{n-1}$-модуля
$I/(P)$, порождающие его, а $r_1, ..., r_m$
их представители в $I$.
Докажите, что $I$ порожден над $\calo_n$
$P$ и $r_1, ... r_m$.
\итем Докажите, что $I$ конечно-порожден как $\calo_{n}$-модуль.
\ее
\ез

\задача[!]
Докажите, что $\calo_n$ нетерово.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача[*]
Пусть $A$ -- кольцо рациональных функций на $\C^n$,
голоморфных в нуле.
Найдите ненётерово локальное кольцо $R\subset \C[[t_1, ..., t_n]]$,
содержащее $A$, или докажите, что такого нет.
\ез

\end{document}

