\documentclass[11pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   17.03.2017
%version 1.1,\ \   29.04.2017 непрерывно на границе
%version 1.2,\ \   06.05.2017 мелкие очепятки


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   06.05.2017}
\newcommand{\firstdate}{18.03.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{4}{Комплексные пространства 4: Tеорема Вейерштасса о делении.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Простейшие дроби}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f, g$ голоморфные функции на многообразии $M$.
{\бф Полюс} частного $\frac f g$ есть множество
точек, где $g=0$, a частное $\frac f g$ разрывно.
{\бф Мероморфная функция} на комплексном многообразии
есть частное двух голоморфных.
\ео


\задача Докажите, что непрерывная мероморфная функция голоморфна.
\ез

\задача[!]
Рассмотрим проекцию $\Pi:\; \C^n\arrow \C^{n-1}$,
и пусть  $\frac f g$ --  мероморфная функция, заданная в
каком-то открытом множестве $U\subset \C^n$ которая
голоморфна на слоях $\Pi$. Докажите, что $\frac f g$
голоморфна.
\ез

\определение
{\бф Рациональная функция} на $\C$ есть частное двух полиномов.
{\бф Простейшая дробь} есть рациональная функция вида 
$f(z)=\frac \lambda{(z-\mu)^k}$, где $k\in \Z^{>0}$, а $\lambda, \mu \in \C$.
\ео

\задача
(разложение рациональной функции на простейшие дроби)
Докажите, что каждая рациональная функция
есть сумма полинома и простейших дробей.
Докажите, что такое разложение единственно.
\ез

\задача
Докажите это утверждения для 
рациональных функций над любым алгебраически замкнутым полем.
\ез

\задача\label{_int_of_prost_drob_Zadacha_}
Пусть $a, b$ точки во внутренности единичного
диска $\Delta \subset \C$.
Докажите, что $\int_{\6\Delta} \frac 1 {(z-b)(z-a)^k}dz=0$
для любого $k\in \Z^{\geq 1}$.
\ез

\определение
Напомню, что {\бф $L^2$-топология} на окружности $S^1$
есть топология, заданная нормой $|f|= \left(\int_{S^1} |f|^2 dt\right)^{1/2}$
\ео

\задача
Пусть $f$ есть непрерывная комплекснозначная
функция на единичной окружности $\6\Delta$. 
\енум
\итем Докажите,
что $f_1(a):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta}
\frac{f(z)}{z-a}dz$ голоморфна в диске $\Delta$.

\итем Докажите, что $f_1(z)$
непрерывно продолжается до $f(z)$ на $\6\Delta$, или найдите контрпример.

\итем[*] Докажите, что пространство функций на 
окружности, для которых $f_1$ непрерывно продолжается
до $f$, замкнуто в $L^2$-топологии.

\итем[*] Докажите, что каждую вещественную функцию 
на $\6\Delta$ можно непрерывно продолжить до гармонической
в $\Delta$, и такое продолжение единственно. 
\ее
\ез

\задача
Пусть $f$ -- мероморфная функция на диске,
гладко продолжающаяся на границу.
\енум
\итем Докажите, что $f=f_0+ \sum \frac {b_i}{(z-a_i)^{k_i}}$,
где $f$ голоморфна на диске, а $|a_i|<1$ для всех $i$. Докажите, что
такое разложение единственно.
\итем Докажите, что функция
$a\mapsto \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta}
\frac{f(z)}{z-a}dz$ голоморфна в диске $\Delta$.
\итем
Докажите, что 
$f_0(a)= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta} \frac{f(z)}{z-a}dz$.
\ее
\ез
\указание
Воспользуйтесь задачей \ref{_int_of_prost_drob_Zadacha_}.
\еу


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Деление с остатком}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
(интерполяционный полином Лагранжа)\\
Пусть $z_1, ..., z_n, a_1, ..., a_n$ -- комплексные числа,
причем $z_i$ попарно различны.
Докажите, что существует единственный полином $P(z)$ 
степени $n-1$ такой, что $P(z_i)=a_i$.
\ез

\задача
Пусть $z_1, ..., z_n, a_1, ..., a_n$ -- комплексные числа,
причем $z_i$ попарно различны, а $k_1, ..., k_n\in \Z^{>0}$/
Докажите, что существует единственный полином $P(z)$ 
степени $\sum_{i=1}^n k_i -1$ такой, что $P(z)-a_i$
имеет в $z_i$ ноль порядка $k_i$.
\ез

\задача (деление с остатком голоморфной функции на
полином) \\
Пусть $f$ -- голоморфная функция, а $g$ -- полином степени $k$
Докажите, что существует единственная голоморфная
функция $h$ такая, что $f=gh+r$, где $r(z)$ -- полином
степени $<k$.
\ез
\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\замечание
Сейчас мы проделаем ту же самую операцию
с помощью интегралов Коши.
\еза


\задача
Пусть $f, g\in \C[z]$ полиномы, причем все нули $g$
лежат внутри единичного круга. 
\енум
\итем Докажите, что
$h(a):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta}
\frac{f(z)}{g(z)}\frac 1 {z-a}dz$ -- полином.
\итем Докажите, что $h(z)$ есть частное при делении
полиномов $f(z)$ на $g(z)$ с остатком.
\итем Верны ли эти утверждения для 
произвольного полинома $g$? Докажите или найдите контрпример.
\ее
\ез


\задача
Пусть $g(z)$, $f(z)$ голоморфные
функции на диске. Рассмотрим функцию
\[
r(z):= f(z) - g(z) \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta}
\frac{f(z)}{g(z)}\frac 1 {z-a}dz.
\]
\енум
\итем Докажите, что $r(z)$ голоморфна, и 
\[ 
 r(z) = \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta} 
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta -
z}d\zeta.
\]
\итем Докажите, чтп $f(z)= g(z)h(z) + r(z)$,
где $h(z)=\frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta}
\frac{f(z)}{g(z)}\frac 1 {z-a}dz$.
\ее
\ез

\задача[!]
Пусть $g(z)$ полином степени $k$, а $r(z)$ -- функция,
построенная в предыдущей задаче. Докажите, что
$r(z)$ -- полином степени, меньшей $k$.
\ез

\задача
Пусть $f, g$ голоморфные функции на $\C$, причем
все нули $g$ лежат в единичном диске. 
\енум
\итем[*] Докажите, что
\[ 
 r(z) = \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6 \Delta} 
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta -
z}d\zeta.
\]
продолжается до голоморфной функции на $\C$.

\итем[*] Пусть $\Delta_R$ обозначает диск радиуса
$\R$ с центром в 0. Докажите, что 
\[ \sup_{z\in \Delta_R}r(z) <
\frac{\sup_{z\in \Delta_R}g(z)}{R}\ \ \ \ \ \ \  (4.1)
\]
\итем[!] Пусть $g(z)$ -- полином, а $r(z)$ -- произвольная
голоморфная функция на $\C$, которая удовлетворяет 
неравенству (4.1). Докажите, что $r(z)$ -- тоже полином.
\ее
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Tеорема Вейерштрасса о делении}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\замечание
Как и в подготовительной теореме Вейерштрасса,
мы записываем $(z_1, ..., z_{n-1}, z_n)$ как $(z, z_n)$.
\еза

\задача
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$,
причем $P(0,z_n) = z_n ^k$. 
\енум
\итем[!] Докажите, что
существуют достаточно маленькие $r, r' >0$, такие, что
$P(z, z_n)$ определен в полидиске  $\Delta(n-1, 1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$, а
$P(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$, $|z|\leq r$.
\итем[!] Напишем 
\[ h(z,z_n)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{F(z,\zeta)}{P(z,\zeta)}\frac 1{\zeta-z_n} dz.
\]
Докажите, что $h(z, z_n)$ голоморфно в  $\Delta(n-1, 1)$.
\итем
Докажите, что $r:=F- Ph$ полином Вейерштрасса, голоморфный
на $\Delta(n-1, 1)$, и степени, меньшей, чем $\deg P$.
\итем Докажите, что  разложение $F= Ph +r$ 
единственно, если $r(z, z_n)$ -- полином
Вейерштрасса степени $\leq k-1$. 
\ее
\ез

\задача[!]
Рассмотрим функцию $f(z)= \sin(z^2+w^3)$ на $\C^2$ с координатами
$z, w$. Найдите ее полином Вейерштрасса из подготовительной теоремы
Вейерштрасса.
\ез

\задача[**]
Докажите теорему Вейерштрасса о делении для степенных рядов:
для любого $f\in \C[[t_1, ..., t_n]]$ и $g\in\C[[t_1, ..., t_{n-1}]][t_n]$
такого, что $g(0, 0, ..., 0, t_n)=t_n ^k$, существует разложение
$f=gh+r$, где $r\in \C[[t_1, ..., t_{n-1}]][t_n]$
и его степень по $t_n$ меньше $k$.
\ез







\end{document}
