\documentclass[10pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-15mm}
%\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   04.03.2017
%version 1.1,\ \   11.03.2017, ������ ���� � ������ ���
%������������� (����� �����)
%version 1.2,\ \   18.03.2017, perenumeroval polinomy e_i

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   18.03.2017}
\newcommand{\firstdate}{11.03.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{����������� ������������ 3: ���������������� ������� �����������.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\�� �������:} ������ �� ������� ������ ���� �����:
����� ����� ��� (��� ��� 2/3) ������ �� �����������,
���� ��� (��� 2/3) ������ ��� ���������.
������ � ����� �����������
����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� ���
����������� �� ���� �� ��������. ������, ������������ (!),
������� ������� � ��� � ������.

���� ����� 2/3 ����� �� ����������� � (!), 
������� �������� $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ����� -- $10t$ ������.

���� ����� 2/3 ����� ��� ��������� � � (!), 
������� �������� $6t$ ������, ���� ���, ����� 
(��������) ���� -- $10t$ ������.

��� ���� ������ �� ������������, �� ����
������ $10t$ �� �������� �������� ������.

����������� $t$ ����� 1.5, ���� ������ �����
�� �����, ��� ����� 31 ���� ����� ������,
1, ���� ����� 31 � 50 �����, � 0.7, ���� �����.

���������� ����� ������������ �� ������
���������, ������� �������� ��������; ������� �� ������
��, ������ ����� ���������� ��������� �� �����.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� ����� ������ ����������� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\�����������
(��. ����� ������ 2) \\
����� $f$ -- ����������� ������� �� $M$, ������������ � $0\in B\subset \C^n$.
������� �� ��� ������� $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$,
��� $P_i$ -- ���������� ��������. ���������, ��� {\�� � $f$ ���� ���� ���������
$k$ � 0,} (��� {\�� ������� $k$}), ���� $P_0=...=P_{k-1}=0$. 
� ����� �������� {\�� ������� �����} ������� $f$ ���� ���������� ������� $P_k$.
\��

\������
����� $f\in \calo_n$ -- ������ ����������� �������, ������� ���� ������� $k$ � 0.
\����
\���� ��������, ��� ������ $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ �������.
\���� ��������, ��� $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$, ����
$Q(0, ..., 0, z_n)\neq 0$, ��� $Q(z_1, ..., z_n)$ -- ������� ����� $F$.
\��
\��

\������
����� $Q$ -- ��������� ���������� ������� �� $t_0, ..., t_n$,
� $V(Q)$ -- ��������� ��� �����, ������� �� �������������
��� ������������ � $\C P^n$. 
\����
\���� ��������, ��� $\C P^n \backslash V(Q)$ �������.
\���� ��������, ��� $V(Q)$ -- ��������� ���� ���� � $\C P^n$.
\��\��


\������
����� $Q_1, ..., Q_n, ...\in \C[z_1, ..., z_{n+1}]$ -- 
������� ����� ��������� ���������� ���������, �
$Z_1, ..., Z_n, ...\subset \C P^n$ -- �� ��������� �����. ��������, ���
$\C P^n  \backslash \bigcup Z_i$ �������.
\��

\������[!]
����� $f_1, ..., f_n, ...\in \calo_n$ -- ����� ������� ����������� �������,
������������ � ���� � �������� $k_1, k_2, ...$. ��������, ��� 
���� ����� ������� ��������� $z_1, ..., z_n$, ���
$\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{f_i(0, z_n)}{z_n^{k_i}}\neq 0$ ��� ���� $i$.
\��

\������[*]
����� $f$ -- ������ ����������� ������� � ����� ������� 2 � 
������� ������ -- ������������� ������������ ������.
�������� "����� �����": � �����-�� ������� ��������� $z_1, ..., z_n$, ������� 
$f$ ������������ ��� $f= \sum z_i^2$.
\��

\������[**]
����� $f\in \calo_2$ -- ������ ����������� ������� �� $\C^2$.
�������, ��� ���������� ����������� ������ ���������, 
������� ��������� $f$ � �������,
��� ������� �����������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{������� �������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
����� $\alpha_1, ..., \alpha_n$ -- ����� �����������
����������, � $e_i$ -- ������������ ����������
$t^n+ e_{1}t^{n-1}+ ... + e_{n-1} t + e_n:= \prod_{i=1}^n (t+\alpha_i)$.
����� $e_j$ ���������� {\�� �������������
��������������� ����������} �� $\alpha_i$.
{\�� �������� �������}  $p_j:= \sum_{i=1}^n \alpha^j_i$.
{\�� ������ ���������� �������������� �������} ������� $k$
��� $h_k$, ���������� ��� ����� ���� ������� �� $\alpha_i$ ������� $k$.
��������������� {\�� ������������ �������} ��� ���������� ����
$E(t):=\sum_{i=0}^n e_i t^i$, $P(t):=\sum_{i=1}^\infty p_i t^i$,
$H(t):=\sum_{i=0}^\infty h_i t^i$. 
\��

\������
��������, ��� $H(t)= \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-t\alpha_i}$.
\��


\������
��������, ��� $E(t)=\prod_{i=1}^n (1+t\alpha_i)$. 
\��

\������
��������, ��� $H(t)E(-t)=1$.
\��

\������
��������, ��� $\frac{E'(-t)}{E(-t)}= -\sum_{i=1}^n \frac{\alpha_i}{1-t\alpha_i}$.
\��

\������
��������, ��� $P(t)=- t\frac{E'(-t)}{E(-t)}$.
\��

\������
��������, ��� $p_i$ ���������� ��� �������� �� $e_i$ � ������
��������������.
\��

\������
��������, ��� $h_i$ ����������  �������� �� $e_i$ � ������
��������������. ��������, ��� $e_i$ ����������  �������� �� $h_i$ � ������
��������������.
\��

\������ (������� �������) \\
��������, ���   $k e_k = \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}p_i$.
\��

\��������
�������������� �������� $P(t)=- t\frac{E'(-t)}{E(-t)}$.
\��

\������[!]
��������, ��� $e_i$ ���������� ��� �������� �� $p_i$ � �������������
��������������.
\��


\������[*]
��������, ��� $kh_k=\sum^k_{i=1} h_{k-i} p_i$.
\��

\������[*]
����� $P(t)\in \C[t]$ ��������� ������� $d$, �
$f_1, ..., f_d$ ������ ������� �� $z$ �����, ��� 
�������� $f_1(0), ..., f_d(0)$ ��� ��������, � 
$P(f_i(z))=z$ ��� ���� $i$. ��������� �� $g_i$ ������ �������
�����, ��� $g_i(0)=0$, � $g'_i=f_i$ ("�������������" $f_i$).
��������, ��� ������� $\prod_{i=1}^d(u-g_i(z))$ �� ���� ����������
$u, z$ ������������ �� �������������� ������� �� $\C^2$.
\��




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{��������������� ����������� � ������� ����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������[!]
����� $f$ -- ����������� ������� �� �����, �� ������������ ��
��� ������� $\6\Delta$, � $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. ��������, ��� $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, ���
$\alpha_i$ -- ��� ���� $f$, ������ � �����������.
\��

\������ (������� ����)\\
����� $f_t$ -- ��������� ����������� ������� �� ����� $\Delta$, ���������� ���������
�� ��������� $t\in \R$ � �� ������������ �� $\6\Delta$. ��������, ��� ����� �����
$f_t$ � $\Delta$ ���������.
\��

\�������� �������������� ���������� �������.
\��

\������
��������, ��� ��� ���� �������� $f(z)=z^5 +3 z^3+7$ ����� � ����� $|z|\leq 2$.
\��

\������
��������, ��� ��������� $z+ e^{-z}-10=0$ ����� ����� ���� ������� � $\Re z >0$.
\��

\������[!]
����� $F(x,y)$ -- ����������� ������� �� ���� ����������, �� ������� �����
�� ��������� $|x|=1$, � $\phi(x)$ -- ����������� ������� �� �����.
���������� ������� $\Phi$, ����������� ����� $y_0$ �
$\sum \phi(\alpha_i)$, ��� $\alpha_i$ -- ��� ���� �������
$F(x, y_0)$ � ����� $|x|\leq 1$ � �����������. 
��������, ��� $\Phi$ ����������.
\��

\������[*]
����� $f_t$ -- ����������� ��������� ������������
����������� ������� �� �����, ��� $t\in [0, 1]$.
��������, ��� ��������� ���� $t$, ��� ������� $f_t$ ����������, ��������.
\��

\��������
�������������� �������� ����.
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{���������������� ������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\�����������
��������� ���� ������� $r$ � ���������������
$\C^{k}$ � ������������ $z_1, ..., z_k$ ��
$B_r(z_1,... z_{n-1})$. 
\��

\������
����� $F$ -- ������������� ������� � ����������� 0 � $\C^n$,
�����, ��� $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0,
z_n)}{z_n^k}\neq 0, \infty$. 
���������� �������� $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$
�� ������ $n-1$ ����������. 
\����
\����[!] ��������, ��� 
��� ���������� ���� $r, r'$, �����������
$F$ �� �������� $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
..., z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ �� ���������� �� 
$\Pi^{-1}(\6\Delta_{r'}(z_n)$, ��� $\6\Delta_{r'}(z_n)$ --
������� �����. 
\����[!] ��������, ��� � ���� ������ ����������� $F$ �� ���� ��������
 ����� ����� $k$ ����� $\alpha_1, ..., \alpha_k$ �� ������ ���� $\Pi$.
\����[!] ��������, ��� $\sum_{i=1}^k \alpha_i^d$ --
����������� ������� �� $B_r(z_1, ..., z_{n-1})$.
\����[!] ��������, ��� ����� ������������ �������������� �������
�� $\alpha_i$ -- ����������� ������� �� $B_r(z_1, ..., z_{n-1})$.
\��
\��

\��������
��� ���������� ������, ��������� ��������� �������,
����� �������� ������������ �������������� �������� ����� $p_i$.
\��

\�����������
{\�� ������� ������������} ���� ������� $f\in
\calo_{n-1}[z_n]$, �� ���� �������������� �� ���������
����������, � ��������������, ������� ����������
� ������� ������ �� ������ $n-1$ ����������.
\��

\������[!]
����� $F$ -- ������ ������������� ������� � ����������� 0 � $\C^n$,
�����, ��� $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0,
z_n)}{z_n^k}\neq 0, \infty$.
���������� �������� $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$
�� ������ $n-1$ ����������, � �����
$P(z_n)\in\calo_{n-1}[z_n]$ -- 
������� ������������, ������� ����������
��� $P(z_n) = \sum_{i=0}^k e_i z_n^i$, ���
$e_i$ -- ������������ �������������� ��������
�� ����� $\alpha_1, ..., \alpha_k$ �� ���������� ������.
��������, ��� $F=P(z_n) u$, ��� $u$ -- ������ ��������� �������.
\��


\������[!]
����� $F$ -- ������ ������������� ������� � ����������� 0 � $\C^n$.
��������, ��� � ���������� ������� ���������,
$F=uP(z_n)$, ��� $P(z_n)$ ������� ������������ ������� $k$,
�����, ��� $P(0,..., 0, z_n) = z_n^k$, 
� $u$ ��������. ��������, ��� ������� �������� $P(z_n)$
�� ������� �� ������ ������� ���������.
\��



\������[!]
����� $F_1$, ..., $F_i$, ...,  
������� ����� ������� ������������� ������� � ����������� 0 � $\C^n$.
��������, ��� � ���������� ������� ���������, ���
$F_i=u_iP_i(z_n)$, ��� $P_i(z_n)$ ������� ������������ ������� $k$,
����, ��� $P_i(0,..., 0, z_n) = z_n^k$, 
� $u_i$ ��������. ��������, ��� ������� �������� $P_i(z_n)$
�� ������� �� ������ ������� ���������.
\��



\end{document}
