\documentclass[10pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-15mm}
%\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   04.03.2017
%version 1.1,\ \   11.03.2017, жуткий бред в задаче про
%первообразные (Зубов нашел)
%version 1.2,\ \   18.03.2017, perenumeroval polinomy e_i

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   18.03.2017}
\newcommand{\firstdate}{11.03.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{Комплексные пространства 3: Подготовительная теорема Вейерштасса.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Главная часть ростка голоморфной функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
(см. также листок 2) \\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$.
Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$,
где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф у $f$ есть нуль кратности
$k$ в 0,} (или {\бф порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. 
В такой ситуации {\бф главная часть} функции $f$ есть однородный полином $P_k$.
\ео

\задача
Пусть $f\in \calo_n$ -- росток голоморфной функции, имеющий нуль порядка $k$ в 0.
\енум
\итем Докажите, что предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.
\итем Докажите, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$, если
$Q(0, ..., 0, z_n)\neq 0$, где $Q(z_1, ..., z_n)$ -- главная часть $F$.
\ее
\ез

\задача
Пусть $Q$ -- ненулевой однородный полином от $t_0, ..., t_n$,
а $V(Q)$ -- множество его нулей, которое мы рассматриваем
как подмножество в $\C P^n$. 
\енум
\итем Докажите, что $\C P^n \backslash V(Q)$ непусто.
\итем Докажите, что $V(Q)$ -- множество меры нуль в $\C P^n$.
\ее\ез


\задача
Пусть $Q_1, ..., Q_n, ...\in \C[z_1, ..., z_{n+1}]$ -- 
счетный набор ненулевых однородных полиномов, а
$Z_1, ..., Z_n, ...\subset \C P^n$ -- их множества нулей. Докажите, что
$\C P^n  \backslash \bigcup Z_i$ непусто.
\ез

\задача[!]
Пусть $f_1, ..., f_n, ...\in \calo_n$ -- набор ростков голоморфных функций,
зануляющихся в нуле с порядком $k_1, k_2, ...$. Докажите, что 
есть такая система координат $z_1, ..., z_n$, что
$\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{f_i(0, z_n)}{z_n^{k_i}}\neq 0$ для всех $i$.
\ез

\задача[*]
Пусть $f$ -- росток голоморфной функции с нулем порядка 2 и 
главной частью -- невырожденной квадратичной формой.
Докажите "лемму Морса": в какой-то системе координат $z_1, ..., z_n$, функция 
$f$ записывается как $f= \sum z_i^2$.
\ез

\задача[**]
Пусть $f\in \calo_2$ -- росток голоморфной функции на $\C^2$.
Доажите, что существует голоморфная замена координат, 
которая переводит $f$ в полином,
или найдите контрпример.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Формула Ньютона}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $\alpha_1, ..., \alpha_n$ -- набор независимых
переменных, а $e_i$ -- коэффициенты многочлена
$t^n+ e_{1}t^{n-1}+ ... + e_{n-1} t + e_n:= \prod_{i=1}^n (t+\alpha_i)$.
Тогда $e_j$ называются {\бф элементарными
симметрическими полиномами} от $\alpha_i$.
{\бф Полиномы Ньютона}  $p_j:= \sum_{i=1}^n \alpha^j_i$.
{\бф Полный однородный симметрический полином} степени $k$
это $h_k$, полученный как сумма всех мономов от $\alpha_i$ степени $k$.
Соответствующие {\бф производящие функции} это формальные ряды
$E(t):=\sum_{i=0}^n e_i t^i$, $P(t):=\sum_{i=1}^\infty p_i t^i$,
$H(t):=\sum_{i=0}^\infty h_i t^i$. 
\ео

\задача
Докажите, что $H(t)= \prod_{i=1}^n \frac{1}{1-t\alpha_i}$.
\ез


\задача
Докажите, что $E(t)=\prod_{i=1}^n (1+t\alpha_i)$. 
\ез

\задача
Докажите, что $H(t)E(-t)=1$.
\ез

\задача
Докажите, что $\frac{E'(-t)}{E(-t)}= -\sum_{i=1}^n \frac{\alpha_i}{1-t\alpha_i}$.
\ез

\задача
Докажите, что $P(t)=- t\frac{E'(-t)}{E(-t)}$.
\ез

\задача
Докажите, что $p_i$ выражаются как полиномы от $e_i$ с целыми
коэффициентами.
\ез

\задача
Докажите, что $h_i$ выражаются  полиномы от $e_i$ с целыми
коэффициентами. Докажите, что $e_i$ выражаются  полиномы от $h_i$ с целыми
коэффициентами.
\ез

\задача (формула Ньютона) \\
Докажите, что   $k e_k = \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}p_i$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь формулой $P(t)=- t\frac{E'(-t)}{E(-t)}$.
\еу

\задача[!]
Докажите, что $e_i$ выражаются как полиномы от $p_i$ с рациональными
коэффициентами.
\ез


\задача[*]
Докажите, что $kh_k=\sum^k_{i=1} h_{k-i} p_i$.
\ез

\задача[*]
Пусть $P(t)\in \C[t]$ многочлен степени $d$, а
$f_1, ..., f_d$ ростки функций от $z$ такие, что 
значения $f_1(0), ..., f_d(0)$ все различны, а 
$P(f_i(z))=z$ для всех $i$. Обозначим за $g_i$ ростки функций
такие, что $g_i(0)=0$, а $g'_i=f_i$ ("первообразные" $f_i$).
Докажите, что функция $\prod_{i=1}^d(u-g_i(z))$ от двух переменных
$u, z$ продолжается до полиномиальной функции на $\C^2$.
\ез




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Логарифмическая производная и теорема Руше}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача[!]
Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, не зануляющаяся на
его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. Докажите, что $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где
$\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.
\ез

\задача (теорема Руше)\\
Пусть $f_t$ -- семейство голоморфных функций на диске $\Delta$, непрерывно зависящих
от параметра $t\in \R$ и не зануляющихся на $\6\Delta$. Докажите, что число нулей
$f_t$ в $\Delta$ постоянно.
\ез

\указание Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу

\задача
Докажите, что все нули полинома $f(z)=z^5 +3 z^3+7$ лежат в круге $|z|\leq 2$.
\ез

\задача
Докажите, что уравнение $z+ e^{-z}-10=0$ имеет ровно одно решение с $\Re z >0$.
\ез

\задача[!]
Пусть $F(x,y)$ -- голоморфная функция от двух переменных, не имеющая нулей
на множестве $|x|=1$, а $\phi(x)$ -- голоморфная функция на диске.
Рассмотрим функцию $\Phi$, переводящую точку $y_0$ в
$\sum \phi(\alpha_i)$, где $\alpha_i$ -- все нули функции
$F(x, y_0)$ в диске $|x|\leq 1$ с кратностями. 
Докажите, что $\Phi$ голоморфна.
\ез

\задача[*]
Пусть $f_t$ -- непрерывное семейство непостоянных
голоморфных функций на диске, где $t\in [0, 1]$.
Докажите, что множество всех $t$, для которых $f_t$ инъективно, замкнуто.
\ез

\указание
Воспользуйтесь теоремой Руше.
\еу



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Подготовительная теорема Вейерштрасса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Обозначим диск радиуса $r$ в подпространстве
$\C^{k}$ с координатами $z_1, ..., z_k$ за
$B_r(z_1,... z_{n-1})$. 
\ео

\задача
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0,
z_n)}{z_n^k}\neq 0, \infty$. 
Рассмотрим проекцию $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$
на первые $n-1$ переменных. 
\енум
\итем[!] Докажите, что 
для подходящей пары $r, r'$, ограничение
$F$ на полидиск $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
..., z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ не зануляется на 
$\Pi^{-1}(\6\Delta_{r'}(z_n)$, где $\6\Delta_{r'}(z_n)$ --
граница диска. 
\итем[!] Докажите, что в этом случае ограничение $F$ на этот полидиск
 имеет ровно $k$ нулей $\alpha_1, ..., \alpha_k$ на каждом слое $\Pi$.
\итем[!] Докажите, что $\sum_{i=1}^k \alpha_i^d$ --
голоморфная функция на $B_r(z_1, ..., z_{n-1})$.
\итем[!] Докажите, что любой элементарный симметрический полином
от $\alpha_i$ -- голоморфная функция на $B_r(z_1, ..., z_{n-1})$.
\ее
\ез

\указание
Для последнего пункта, примените тождество Ньютона,
чтобы выразить элементарные симметрические полиномы через $p_i$.
\еу

\определение
{\бф Полином Вейерштрасса} есть функция $f\in
\calo_{n-1}[z_n]$, то есть полиномиальная по последней
переменной, с коэффициентами, которые аналитичны
и зависят только от первых $n-1$ переменных.
\ео

\задача[!]
Пусть $F$ -- росток аналитической функции в окрестности 0 в $\C^n$,
такой, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0,
z_n)}{z_n^k}\neq 0, \infty$.
Рассмотрим проекцию $\Pi:\; \C^n \arrow \C^{n-1}$
на первые $n-1$ переменных, и пусть
$P(z_n)\in\calo_{n-1}[z_n]$ -- 
полином Вейерштрасса, который выражается
как $P(z_n) = \sum_{i=0}^k e_i z_n^i$, где
$e_i$ -- элементарные симметрические полиномы
от нулей $\alpha_1, ..., \alpha_k$ из предыдущей задачи.
Докажите, что $F=P(z_n) u$, где $u$ -- росток обратимой функции.
\ез


\задача[!]
Пусть $F$ -- росток аналитической функции в окрестности 0 в $\C^n$.
Докажите, что в подходящей системе координат,
$F=uP(z_n)$, где $P(z_n)$ полином Вейерштрасса степени $k$,
такой, что $P(0,..., 0, z_n) = z_n^k$, 
а $u$ обратима. Докажите, что степень полинома $P(z_n)$
не зависит от выбора системы координат.
\ез



\задача[!]
Пусть $F_1$, ..., $F_i$, ...,  
счетный набор ростков аналитических функций в окрестности 0 в $\C^n$.
Докажите, что в подходящей системе координат, все
$F_i=u_iP_i(z_n)$, где $P_i(z_n)$ полином Вейерштрасса степени $k$,
такй, что $P_i(0,..., 0, z_n) = z_n^k$, 
а $u_i$ обратимы. Докажите, что степень полинома $P_i(z_n)$
не зависит от выбора системы координат.
\ез



\end{document}