\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   04.03.2017
%version 1.1,\ \   05.03.2017, исправления от М. Зубова
%version 1.2,\ \   08.03.2017, уточнил про прямой предел (Папаянов просит)

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   08.03.2017}
\newcommand{\firstdate}{04.03.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Комплексные пространства 2: Ростки пучка.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Прямой предел}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Коммутативная диаграмма} векторных пространств
есть направленный граф (граф со стрелочками), где 
каждой вершине соответствует векторное пространство,
каждой стрелочке линейный гомоморфизм, причем если
из $A$ в $B$ можно придти по стрелочкам двумя
способами, композиции соответствующих стрелочек равны.
\ео

\замечание
Под "окрестностью" $X$ всегда понимается
открытое множество, содержащее $X$.
\еза

\задача
Пусть $(M, {\cal F})$ - пространство, окольцованное пучком функций,
$x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ -- множество всех окрестностей 
$x$. Нарисуем диаграмму, где вершины соответствуют
всем $U_i$, а стрелочки из $U_i$ в $U_j$ соответствуют
вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$. Докажите, что
пространства сечений ${\cal F}(U_i)$ со стрелочками,
которые соответствуют ограничениям функций, образуют
коммутативную диаграмму.
\ез

\определение
Пусть ${\cal C}$ - коммутативная диаграмма векторных
пространств, $A, B$ - векторные пространства, соответствующие
 двум вершинам диаграммы, а $a\in A, b\in B$ - элементы.
Напишем $a\sim b$, если $a$ и $b$ переводятся
в один и тот же элемент $d\in D$ композицией стрелочек
из ${\cal C}$ (в частности, каждый элемент
эквивалентен своему образу). Пусть $\sim$ - соотношение эквивалентности,
порожденное такими $a\sim b$.
\ео

\задача
\енум
\итем  $A\stackrel \phi \arrow B$ диаграмма из двух 
пространств, и одной стрелочки. Докажите, что $b\sim b'$
равносильно $b=b'$ для любых $b, b' \in B$.
\итем
Пусть $A\stackrel \phi \arrow B$, $A\arrow 0$ - диаграмма из трех
пространств, и двух стрелочек, одно из которых нулевое,
а $\phi$ - вложение. Докажите, что для каждого $b, b'\in
B$, $b\sim b'$ равносильно $b- b' \in {\rm im} \phi$.
\ее
\ез


\определение
Пусть $\{C_i\}$ - множество пространств, сопоставленных
вершинам коммутативной диаграммы ${\cal C}$,
а $E\subset \bigoplus_i C_i$ - подпространство,
порожденное векторами вида $(x-y)$, где $x\sim y$.
Фактор $\bigoplus_i C_i/E$ называется
{\бф прямым пределом} диаграммы $\{C_i\}$,
и еще {\бф индуктивным пределом}, и еще
{\бф копределом} и {\бф колимитом}, и обозначается
$\lim\limits_\rightarrow$.
\ео

\задача
Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3
\arrow ...$, где все стрелочки инъективны.
Докажите, что $\lim\limits_\rightarrow C_i$ это
объединение всех $C_i$.
\ез

\задача
Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3
\arrow ... \arrow C_n$. Докажите, что
$\lim\limits_\rightarrow C_i= C_n$.
\ез

\задача
Приведите пример диаграммы вида
$C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$
где все пространства $C_i$ ненулевые, а копредел
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой.
\ез

\задача[*]
Приведите пример диаграммы вида
$C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$
где все пространства $C_i$ ненулевые, все морфизмы
тоже ненулевые, а копредел
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой.
\ез

\задача
Пусть ${\cal C}$ коммутативная диаграмма пространств $C_i$, причем
на каждом $C_i$ введена структура кольца, а все стрелки
являются гомоморфизмами. Предположим также, что для
любых двух вершин $C_i, C_j$ диаграммы, найдутся стрелки
диаграммы, ведущие из $C_i, C_j$ в третью вершину $C_k$. Докажите, что 
$\lim\limits_\rightarrow C_i$ -- тоже кольцо.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо ростков пучка функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M, {\cal F}$ - окольцованное пространство,
$x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ множество всех ее
окрестностей. Рассмотрим коммутативную диаграмму,
вершины которой пронумерованы $\{U_i\}$, а  стрелочки 
$U_i$ в $U_j$ соответствуют
вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$
(в обратном направлении), каждой вершине
$U_i$ соответствует ее пространство сечений
${\cal F}(U_i)$, а стрелочкам - отображения
ограничений. Прямой предел этой диаграммы
называется {\бф пространством ростков
пучка ${\cal F}$ в точке $x$}.
\ео

\замечание
Поскольку гладкие функции, вещественно
аналитические, непрерывные, $C^i$ и так далее - пучки,
кольца ростков гладких, вещественно аналитических и т. д.
функций являются частными случаями вышеописанного.
\еза

\задача
Пусть на многообразии задан пучок
функций, такой, что все его ростки равны нулю.
Докажите, что это нулевой пучок.
\ез

\определение
{\бф Постоянный пучок} $\R_M$ есть пучок функций,
пространство сечений которого на каждом связном
подмножестве $U\subset M$ равно $\R$.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо ростков постоянного
пучка в каждой точке равно $\R$.
\ез

\задача[*]
Пусть на многообразии $M$ задан пучок $\R$-значных
функций, такой, что все его ростки изоморфны $\R$.
Докажите, что это постоянный пучок.
\ез

\определение
{\бф Идеал} в кольце $R$ есть абелева подгруппа $I\subsetneq R$,
что для каждого $x\in R, a\in I$, произведение $xa$ лежит в $I$.
\ео

\замечание
Факторпространство $R/I$ тоже является
кольцом (докажите это).
\еза

\определение
{\бф Максимальный идеал} есть 
такой идеал $I\subset R$, что для любого
другого идеала $I'\supset I$, имеем $I=I'$.
\ео

\задача
Докажите, что любой идеал содержится в максимальном
(воспользуйтесь леммой Цорна).
\ез


\задача
Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален тогда и 
только тогда, когда фактор $R/I$ -- поле.
\ез

\задача[*] Найдите все максимальные идеалы
в кольце гладких функций на компактном многообразии.
\ез

\определение
Кольцо называется {\бф локальным}, если у него только один
максимальный идеал.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо
рациональных чисел вида $\frac m n$, где
$m, n $ целые, а $n$ нечетно, является локальным. Чему будет равен
его фактор по максимальному идеалу?
\ез

\задача
Пусть $F$ - кольцо рациональных функций
(функций вида $\frac P Q$, где $P$ и $Q$ - полиномы),
не имеющих полюса в нуле.  Докажите, что это
кольцо локально. Найдите фактор по максимальному
идеалу.
\ез

\задача
Являются ли следующие кольца локальными?
\енум
\итем Кольцо ростков гладких функций.
\итем Кольцо ростков полиномиальных функций на $\R^n$
\итем Кольцо ростков функций класса $C^i$, $i>0$.
\итем Кольцо ростков непрерывных функций.
\итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций.
\ее
\ез

\задача
Докажите, что кольцо с максимальым идеалом $I$
локально тогда и только тогда, когда 
каждый элемент, не принадлежащий $I$, обратим.
\ез

\определение
{\бф Делители нуля} в кольце есть такие ненулевые элементы
$r_1, r_2$, что произведение $r_1 r_2$ равно нулю.
{\бф Нильпотент} есть элемент $r\in R$ такой
что $r^n=0$ для какого-то $n$. 
\ео

\задача
Определите, если ли в следующих кольцах
делители нуля и нильпотенты.
\енум
\итем Кольцо ростков гладких функций.
\итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций.
\итем Кольцо ростков непрерывных функций.
\ее
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Кольцо ростков голоморфных функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
{\бф Кольцо ростков голоморфных функций на $\C^n$} есть кольцо ростков голоморфных
функций в 0. Оно обозначается $\calo_n$. Голоморфные функции также называются
{\бф аналитическими}, или {\бф комплексно-аналитическими}.
\ео

\задача
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
Докажите, что $f=0$.
\ез

\задача
Пусть $U\subset V$ -- связные открытые подмножества
комплексного многообразия, а $H^0(\calo_U)$, $H^0(\calo_V)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. Докажите, что отображение
ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.
\ез


\определение
Кольцо называется {\бф конечно-порожденным над кольцом $R$}, если
оно изоморфно факторкольцу кольца $R[t_1, ..., t_n]$, для какого-то $n\in \Z^{>0}$.
\ео

\задача[*]
Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций не
конечно порождено над $\C$ для любого $n>0$.
\ез

\определение
{\бф Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$
есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где
$P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных
степенных рядах определяется покомпонентно, произведение
по формуле
\[
\left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n
)\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n)
\]
где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n)  Q_j(t_1, ..., t_n)$.
\ео

\задача
Докажите, что формальные степенные ряды образуют кольцо. Кольцо формальных степенных рядов
над полем $k$ обозначается $k[[t_1, ..., t_n]]$.
\ез



\задача[!]
Постройте естественное вложение из кольца ростков $\calo_n$ 
в $\C[[t_1, ..., t_n]]$.
\ез

\задача
Докажите, что в $\calo_n$
нет делителей нуля.
\ез

\задача
Докажите, что 
кольцо формальных степенных рядов
локально.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций локально.
\ез

\задача[*]
Докажите, что кольцо формальных степенных рядов
$\C[[t_1, ..., t_n]]$ не конечно порождено над кольцом $\calo_n$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Главная часть голоморфной функции}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $f$ -- голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$.
Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$,
где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф у $f$ есть нуль кратности
$k$ в 0,} (или {\бф порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. 
В такой ситуации {\бф главная часть} функции $f$ есть однородный полином $P_k$.
\ео

\задача
Докажите, что кратность нуля не меняется при голоморфной замене координат.
\ез

\задача[!]
Пусть  $\Phi(t_1, ..., t_n) = F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n)$ --
голоморфная замена координат в $0\in \C^n$, а $A:=\left (\frac{dF_i}{dt_j}\right)$ -- ее дифференциал.
Докажите, что \енум
\итем для любой голоморфной функции $f$ в окрестности 0, 
такой, что $f(0)=0$, функция $\Phi^*(f)$
имеет в нуле нуль той же кратности, 
\итем а ее главная часть получена из главной части $f$
действием $A$.
\ее
\ез

\указание
Запишите $\Phi$ как композицию $A$ и отображения вида
\[ (t_1, ..., t_n) \arrow G_1(t_1, ..., t_n), ..., G_n(t_1, ..., t_n),\]
где $G_i=t_i + P_i(t_1, ..., t_n)$, и $P_i$ зануляются в нуле с порядком $\geq 2$.
\еу

\задача[!]
Пусть $f\in \calo_n$ -- росток голоморфной функции, имеющий нуль порядка $k$ в 0.
Докажите, что предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.
Здесь и дальше $F(0, z_n)$ обозначает $F(0,0,0...,0, z_n)$.
\ез

\задача[!]
Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$.
Сделаем линейную замену координат таким образом, что 
полином $Q(z_1, ..., z_n)$ ненулевой при $z_1, ..., z_{n-1}=0$. 
Докажите, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$.
\ез




\end{document}
