\documentclass[8pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-15mm} \addtolength{\textheight}{30mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-10mm} \addtolength{\textwidth}{20mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 04.03.2017 %version 1.1,\ \ 05.03.2017, исправления от М. Зубова %version 1.2,\ \ 08.03.2017, уточнил про прямой предел (Папаянов просит) \newcommand{\version}{version 1.2,\ \ 08.03.2017} \newcommand{\firstdate}{04.03.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{2}{Комплексные пространства 2: Ростки пучка.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Прямой предел} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Коммутативная диаграмма} векторных пространств есть направленный граф (граф со стрелочками), где каждой вершине соответствует векторное пространство, каждой стрелочке линейный гомоморфизм, причем если из $A$ в $B$ можно придти по стрелочкам двумя способами, композиции соответствующих стрелочек равны. \ео \замечание Под "окрестностью" $X$ всегда понимается открытое множество, содержащее $X$. \еза \задача Пусть $(M, {\cal F})$ - пространство, окольцованное пучком функций, $x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ -- множество всех окрестностей $x$. Нарисуем диаграмму, где вершины соответствуют всем $U_i$, а стрелочки из $U_i$ в $U_j$ соответствуют вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$. Докажите, что пространства сечений ${\cal F}(U_i)$ со стрелочками, которые соответствуют ограничениям функций, образуют коммутативную диаграмму. \ез \определение Пусть ${\cal C}$ - коммутативная диаграмма векторных пространств, $A, B$ - векторные пространства, соответствующие двум вершинам диаграммы, а $a\in A, b\in B$ - элементы. Напишем $a\sim b$, если $a$ и $b$ переводятся в один и тот же элемент $d\in D$ композицией стрелочек из ${\cal C}$ (в частности, каждый элемент эквивалентен своему образу). Пусть $\sim$ - соотношение эквивалентности, порожденное такими $a\sim b$. \ео \задача \енум \итем $A\stackrel \phi \arrow B$ диаграмма из двух пространств, и одной стрелочки. Докажите, что $b\sim b'$ равносильно $b=b'$ для любых $b, b' \in B$. \итем Пусть $A\stackrel \phi \arrow B$, $A\arrow 0$ - диаграмма из трех пространств, и двух стрелочек, одно из которых нулевое, а $\phi$ - вложение. Докажите, что для каждого $b, b'\in B$, $b\sim b'$ равносильно $b- b' \in {\rm im} \phi$. \ее \ез \определение Пусть $\{C_i\}$ - множество пространств, сопоставленных вершинам коммутативной диаграммы ${\cal C}$, а $E\subset \bigoplus_i C_i$ - подпространство, порожденное векторами вида $(x-y)$, где $x\sim y$. Фактор $\bigoplus_i C_i/E$ называется {\бф прямым пределом} диаграммы $\{C_i\}$, и еще {\бф индуктивным пределом}, и еще {\бф копределом} и {\бф колимитом}, и обозначается $\lim\limits_\rightarrow$. \ео \задача Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$, где все стрелочки инъективны. Докажите, что $\lim\limits_\rightarrow C_i$ это объединение всех $C_i$. \ез \задача Пусть дана диаграмма вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ... \arrow C_n$. Докажите, что $\lim\limits_\rightarrow C_i= C_n$. \ез \задача Приведите пример диаграммы вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$ где все пространства $C_i$ ненулевые, а копредел $\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой. \ез \задача[*] Приведите пример диаграммы вида $C_1 \arrow C_2 \arrow C_3 \arrow ...$ где все пространства $C_i$ ненулевые, все морфизмы тоже ненулевые, а копредел $\lim\limits_\rightarrow C_i$ нулевой. \ез \задача Пусть ${\cal C}$ коммутативная диаграмма пространств $C_i$, причем на каждом $C_i$ введена структура кольца, а все стрелки являются гомоморфизмами. Предположим также, что для любых двух вершин $C_i, C_j$ диаграммы, найдутся стрелки диаграммы, ведущие из $C_i, C_j$ в третью вершину $C_k$. Докажите, что $\lim\limits_\rightarrow C_i$ -- тоже кольцо. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо ростков пучка функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M, {\cal F}$ - окольцованное пространство, $x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ множество всех ее окрестностей. Рассмотрим коммутативную диаграмму, вершины которой пронумерованы $\{U_i\}$, а стрелочки $U_i$ в $U_j$ соответствуют вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$ (в обратном направлении), каждой вершине $U_i$ соответствует ее пространство сечений ${\cal F}(U_i)$, а стрелочкам - отображения ограничений. Прямой предел этой диаграммы называется {\бф пространством ростков пучка ${\cal F}$ в точке $x$}. \ео \замечание Поскольку гладкие функции, вещественно аналитические, непрерывные, $C^i$ и так далее - пучки, кольца ростков гладких, вещественно аналитических и т. д. функций являются частными случаями вышеописанного. \еза \задача Пусть на многообразии задан пучок функций, такой, что все его ростки равны нулю. Докажите, что это нулевой пучок. \ез \определение {\бф Постоянный пучок} $\R_M$ есть пучок функций, пространство сечений которого на каждом связном подмножестве $U\subset M$ равно $\R$. \ео \задача Докажите, что кольцо ростков постоянного пучка в каждой точке равно $\R$. \ез \задача[*] Пусть на многообразии $M$ задан пучок $\R$-значных функций, такой, что все его ростки изоморфны $\R$. Докажите, что это постоянный пучок. \ез \определение {\бф Идеал} в кольце $R$ есть абелева подгруппа $I\subsetneq R$, что для каждого $x\in R, a\in I$, произведение $xa$ лежит в $I$. \ео \замечание Факторпространство $R/I$ тоже является кольцом (докажите это). \еза \определение {\бф Максимальный идеал} есть такой идеал $I\subset R$, что для любого другого идеала $I'\supset I$, имеем $I=I'$. \ео \задача Докажите, что любой идеал содержится в максимальном (воспользуйтесь леммой Цорна). \ез \задача Докажите, что идеал $I\subset R$ максимален тогда и только тогда, когда фактор $R/I$ -- поле. \ез \задача[*] Найдите все максимальные идеалы в кольце гладких функций на компактном многообразии. \ез \определение Кольцо называется {\бф локальным}, если у него только один максимальный идеал. \ео \задача Докажите, что кольцо рациональных чисел вида $\frac m n$, где $m, n $ целые, а $n$ нечетно, является локальным. Чему будет равен его фактор по максимальному идеалу? \ез \задача Пусть $F$ - кольцо рациональных функций (функций вида $\frac P Q$, где $P$ и $Q$ - полиномы), не имеющих полюса в нуле. Докажите, что это кольцо локально. Найдите фактор по максимальному идеалу. \ез \задача Являются ли следующие кольца локальными? \енум \итем Кольцо ростков гладких функций. \итем Кольцо ростков полиномиальных функций на $\R^n$ \итем Кольцо ростков функций класса $C^i$, $i>0$. \итем Кольцо ростков непрерывных функций. \итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций. \ее \ез \задача Докажите, что кольцо с максимальым идеалом $I$ локально тогда и только тогда, когда каждый элемент, не принадлежащий $I$, обратим. \ез \определение {\бф Делители нуля} в кольце есть такие ненулевые элементы $r_1, r_2$, что произведение $r_1 r_2$ равно нулю. {\бф Нильпотент} есть элемент $r\in R$ такой что $r^n=0$ для какого-то $n$. \ео \задача Определите, если ли в следующих кольцах делители нуля и нильпотенты. \енум \итем Кольцо ростков гладких функций. \итем Кольцо ростков вещественно аналитических функций. \итем Кольцо ростков непрерывных функций. \ее \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Кольцо ростков голоморфных функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Кольцо ростков голоморфных функций на $\C^n$} есть кольцо ростков голоморфных функций в 0. Оно обозначается $\calo_n$. Голоморфные функции также называются {\бф аналитическими}, или {\бф комплексно-аналитическими}. \ео \задача Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$. Докажите, что $f=0$. \ез \задача Пусть $U\subset V$ -- связные открытые подмножества комплексного многообразия, а $H^0(\calo_U)$, $H^0(\calo_V)$ обозначает кольца голоморфных функций на $U, V$. Докажите, что отображение ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ инъективно. \ез \определение Кольцо называется {\бф конечно-порожденным над кольцом $R$}, если оно изоморфно факторкольцу кольца $R[t_1, ..., t_n]$, для какого-то $n\in \Z^{>0}$. \ео \задача[*] Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций не конечно порождено над $\C$ для любого $n>0$. \ез \определение {\бф Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$ есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных степенных рядах определяется покомпонентно, произведение по формуле \[ \left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n )\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n) \] где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n) Q_j(t_1, ..., t_n)$. \ео \задача Докажите, что формальные степенные ряды образуют кольцо. Кольцо формальных степенных рядов над полем $k$ обозначается $k[[t_1, ..., t_n]]$. \ез \задача[!] Постройте естественное вложение из кольца ростков $\calo_n$ в $\C[[t_1, ..., t_n]]$. \ез \задача Докажите, что в $\calo_n$ нет делителей нуля. \ез \задача Докажите, что кольцо формальных степенных рядов локально. \ез \задача Докажите, что кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций локально. \ез \задача[*] Докажите, что кольцо формальных степенных рядов $\C[[t_1, ..., t_n]]$ не конечно порождено над кольцом $\calo_n$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Главная часть голоморфной функции} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $f$ -- голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$. Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф у $f$ есть нуль кратности $k$ в 0,} (или {\бф порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. В такой ситуации {\бф главная часть} функции $f$ есть однородный полином $P_k$. \ео \задача Докажите, что кратность нуля не меняется при голоморфной замене координат. \ез \задача[!] Пусть $\Phi(t_1, ..., t_n) = F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n)$ -- голоморфная замена координат в $0\in \C^n$, а $A:=\left (\frac{dF_i}{dt_j}\right)$ -- ее дифференциал. Докажите, что \енум \итем для любой голоморфной функции $f$ в окрестности 0, такой, что $f(0)=0$, функция $\Phi^*(f)$ имеет в нуле нуль той же кратности, \итем а ее главная часть получена из главной части $f$ действием $A$. \ее \ез \указание Запишите $\Phi$ как композицию $A$ и отображения вида \[ (t_1, ..., t_n) \arrow G_1(t_1, ..., t_n), ..., G_n(t_1, ..., t_n),\] где $G_i=t_i + P_i(t_1, ..., t_n)$, и $P_i$ зануляются в нуле с порядком $\geq 2$. \еу \задача[!] Пусть $f\in \calo_n$ -- росток голоморфной функции, имеющий нуль порядка $k$ в 0. Докажите, что предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен. Здесь и дальше $F(0, z_n)$ обозначает $F(0,0,0...,0, z_n)$. \ез \задача[!] Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$. Сделаем линейную замену координат таким образом, что полином $Q(z_1, ..., z_n)$ ненулевой при $z_1, ..., z_{n-1}=0$. Докажите, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$. \ез \end{document}