\documentclass[8pt]{article} \addtolength{\topmargin}{-17mm} \addtolength{\textheight}{35mm} \addtolength{\oddsidemargin}{-12mm} \addtolength{\textwidth}{24mm} \input{defs-listki.tex} %version 1.0,\ \ 25.02.2017 %version 1.1,\ \ 27.02.2017, добавил определение интегрируемой % почти комплексной структуры %version 1.2,\ \ 29.02.2017, n>2 в задаче про вращение %version 1.3,\ \ 04.03.2017, переформулировал задачу про структуры Яно %version 1.4,\ \ 11.03.2017, опечатка в определении пучка \newcommand{\version}{version 1.4,\ \ 11.03.2017} \newcommand{\firstdate}{25.02.2017} \begin{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \listok{1}{Комплексные пространства 1: комплексные структуры и пучки.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\scriptsize {\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов: когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками, либо все (или 2/3) задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать и тем и другим. Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) одной -- $10t$ баллов. Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), студент получает $6t$ баллов, если все, кроме (максимум) двух -- $10t$ баллов. Эти виды оценок не складываются, то есть больше $10t$ за листочек получить нельзя. Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы не позже, чем через 31 день после выдачи, 1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже. Результаты сдачи записываются на листке ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять ее, больше нигде результаты храниться не будут.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Комплексные структуры на векторном пространстве.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $V$ -- векторное пространство над полем $k$. Линейный оператор $a\in \End V$ {\бф полупрост}, если он диагонализуется над алгебраическим замыканием $k$. \ео \задача Докажите, что любой обратимый оператор конечного порядка над полем характеристики 0 полупрост. \ез \задача Пусть $k$ -- поле положительной характеристики. Постройте обратимый линейный оператор конечного порядка на векторном пространстве над $k$, который не полупрост. \ез \определение {\бф Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \ео Отныне мы считаем $V$ по умолчанию вещественным векторным пространством. \задача Пусть $F:\; V \arrow V$ -- оператор, который удовлетворяет $F^3=-F$. Докажите, что в какой-то системе координат $F$ записывается матрицей {\small \[ \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ & & \ddots \\ & & & \ddots \\ & & & & 0 & -1 \\ & & & & 1 & 0 \\ & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & \ddots \\ & & & & & & & & 0 & -1 \\ & & & & & & & & 1 & 0 \end{pmatrix} \]} (проекция на подпространство, на котором $F$ действует как оператор комплексной структуры). \ез \задача Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство, снабженное действием группы $G=\Z/n\Z$, $n>2$, причем нетривиальные элементы $G$ действуют на $V$ линейными автоморфизмами без ненулевых неподвижных векторов. Докажите, что $V$ допускает $G$-инвариантный оператор комплексной структуры. \ез \задача Докажите, что пространство всех комплексных структур $I:\; V \arrow V$ гомотопически эквивалентно пространству всех невырожденных кососимметрических 2-форм $\omega \in \Lambda^2 V$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Пучки} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение Пусть $M$ -- топологическое пространство. {\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$ это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями ограничения} -- гомоморфизмами ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$, заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие следующим свойствам. \begin{description} \item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение: если $U_1\supset U_2 \supset U_3$ вложенные открытые множества, а \[ {\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3) \] соответствующие им отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. \item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$. \item[(в)] Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию \[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j}, \] для любой пары элементов покрытия. Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$. \end{description} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}. Отображение ограничения na $U$ часто обозначается $f \arrow f\restrict U$. {\бф Морфизм пучков} $\phi:\; {\cal F} \arrow {\cal F'}$ есть набор гомоморфизмов $\phi_{U}:\; {\cal F}(U) \arrow {\cal F'}(U)$, заданных для каждого открытого множества $U\subset M$, и перестановочных с ограничениями. \ео \замечание Пусть $C(U)$ -- пространство неперывных функций на $U$. легко видеть, что отображения ограничения задают на $C(U)$ структуру пучка. Аналогичная структура определена и на пространстве всех $\C$-значных или $\R$-значных функций. \еза \определение {\бф Точная последовательность} есть последовательность абелевых групп и гомоморфизмов \[ ... \arrow A_1\arrow A_2\arrow A_3 \arrow ... \] такая, что ядро каждой стрелки совпадает с образом предыдущей стрелки. \ео \задача[!] Докажите, что условия (б) и (в) равносильны точности такой последовательности \[ 0 \arrow {\cal F}(U) \stackrel \alpha \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i) \stackrel \beta \arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) \] для любого набора $\{U_i\}$ открытых подмножеств таких, что $U= \bigcup U_i$ (напишите гомоморфизмы $\alpha$ и $\beta$ явно). \ез \определение {\бф Подпучок} пучка ${\cal F}$ на $M$ есть пучок ${\cal F}_1$ такой, что для любого $U \subset M$, задано вложение ${\cal F}_1\restrict U \hookrightarrow {\cal F}\restrict U$, и оно перестановочно с гомоморфизмами ограничения. {\бф Пучок функций} на $M$ есть подпучок в пучке всех функций на $M$. \ео \задача Докажите, что следующие пространства функций на $\R^n$ являются кольцами и задают пучки функций. \енум \итем Пространство непрерывных функций \итем Пространство бесконечно гладких функций. \итем Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций \итем Пространство функций, которые равны нулю вне множества нулевой меры. \ее \ез \задача Докажите, что на $\R^n$ следующие пространства функций являются предпучками, но не являются пучками. \енум \итем Пространство постоянных функций \итем Пространство ограниченных функций \итем Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного подмножества \итем[*] Пространство функций $f$, удовлетворяющих $|f| \leq |P|$ для какой-то полиномиальной функции $P$. \ее \ез \определение {\бф Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. {\бф Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N, {\cal F}')$ окольцованных пространств есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ такое, что для каждого открытого множества $U\subset N$ задан гомоморфизм колец ${\cal F}'(U)\stackrel{\Psi_U}\arrow {\cal F}(\Psi^{-1}(U))$, согласованный с морфизмами ограничения. {\бф Изоморфизм} окольцованных пространств есть гомеоморфизм $\Psi$ такой, что $\Psi_U$ задает изоморфизм колец ${\cal F}'(U)\tilde{\arrow}{\cal F}(\Psi^{-1}(U))$, для каждого $U\subset M$. {\бф Морфизм пучков колец} есть морфизм пучков, согласованный со структурой кольца на каждом ${\cal F}(U)$. \ео \задача Пусть $M, N$ -- открытые подмножества в $\R^n$, а $\Psi:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Докажите, что оно задает морфизм пространств, окольцованных гладкими функциями. \ез \определение Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие с заданным на нем пучком функций. Оно называется {\бф гладким многообразием класса $C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$ есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству $(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. \ео \определение {\бф Система координат} на открытом подмножестве $U$ многообразия $(M, {\cal F})$ есть изоморфизм между $(U, {\cal F})$ и открытым подмножеством в $(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$. \ео \задача Пусть $(M, C^\infty M)$ гладкое многообразие, $C^0(M)$ -- пучок непрерывных функций, а $\phi:\; C^\infty M \arrow C^0M$ -- морфизм пучков колец. Докажите, что прообраз функции, зануляющейся в $x\in M$, тоже зануляет в $x$. \ез \указание Воспользуйтесь тем, что функция $f\in C^0M$ обратима в окрестности $x$ тогда и только тогда, когда $f(x)\neq 0$. \еу \задача[!] Пусть $(M, C^\infty M)$ -- гладкое многообразие, а $C^0(M)$ -- пучок непрерывных функций. Докажите, что существует единственный $\R$-линейный морфизм пучков колец $C^\infty M \arrow C^0M$. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущей задачей. \еу \задача[!] Пусть $(M,{\cal F})$, $(N,{\cal F}')$ гладкие многообразия, а $\Psi:M\to N$ -- непрерывное отображение. Докажите, что $\Psi$ задано гладким отображением в локальных координатах тогда и только тогда, когда оно задает морфизм окольцованных пространств. \ез \указание Воспользуйтесь предыдущим упражнением. \еу \задача[*] Рассмотрим окольцованное пространство $(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно дифференцируемы. Опишите все морфизмы из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$. \ез %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Почти комплексные многообразия.} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \определение {\бф Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. {\бф Разложение Ходжа} на кокасательном расслоении к почти комплексному многообразию $(M,I)$ есть разложение $\Lambda^1(M)\otimes_\R \C= \Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{0,1}(M)$, где $I\restrict{\Lambda^{1,0}(M)}= \1$, а $I\restrict{\Lambda^{0,1}(M)}= -\1$. Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \ео \noindent {\бф Пример:} Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \задача Пусть $f$ -- функция на $\C^n$, ограничение которой на любую прямую $\C\subset \C^n$ голоморфно. Докажите, что $f$ голоморфна. \ез \определение Подмножество $X\subset M$ называется {\бф комплексно-\-ана\-ли\-тическим}, если оно локально получено как множество общих нулей набора голоморфных функций. \ео \задача Пусть $f:\; \C \arrow \C$ функция. Докажите, что $f$ голоморфна тогда и только тогда, когда ее график -- комплексно-аналитическое подмножество в $\C^2$. \ез \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$. \ео \задача Докажите, что композиция голоморфных отображений голоморфна. \ез \указание Отождествим $T^{1,0}(M)$ с касательным расслоением $TM$ посредством проекции $TM$ в $T^{1,0}M$ вдоль $T^{0,1}M$. Это задаст комплексную структуру на расслоении $TM=(\Lambda^1(M))^*$. Докажите, что отображение $f:\; M \arrow N$ голоморфно титтк его дифференциал комплексно линеен по отношению к этой комплексной структуре на $TM$, $TN$. \еу \задача Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- любая функция. Докажите, что $f$ -- голоморфная функция тогда и только тогда, когда $f$ голоморфно как отображение почти комплексных птостранств. \ез \задача Пусть заданы открытые подмножества $M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Предположим, что для любой голоморфной функции на $N$, соответствующая функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$. Докажите, что $f$ -- голоморфное отображение. \ез \задача[*] Постройте на $S^6$ почти комплексную структуру такую, что $S^6$ не допускает непостоянных голоморфных функций. \ез \определение Почти комплексная структура на $M$ называется {\бф интергрируемой}, если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является комплексным многообразием (определение комплексного многообразия см. в лекциях и в следующем листке). \ео \задача[*] Пусть $(M,I)$ почти комплексное многообразие такое, что у каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U$ и в ней набор голоморфных функций $f_1, ..., f_n$ таких, что $df_1, ..., df_n$ порождает $\Lambda^{1,0}(M)$. Докажите, что почти комплексная структура $I$ интегрируема. \ез \задача[*] Докажите, что у голоморфной функции на почти комплексном многообразии не может быть строгого максимума. \ез \end{document}