\documentclass[8pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-17mm}
\addtolength{\textheight}{35mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-12mm}
\addtolength{\textwidth}{24mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   25.02.2017
%version 1.1,\ \   27.02.2017, добавил определение интегрируемой
% почти комплексной структуры
%version 1.2,\ \   29.02.2017, n>2 в задаче про вращение
%version 1.3,\ \   04.03.2017, переформулировал задачу про структуры Яно
%version 1.4,\ \   11.03.2017, опечатка в определении пучка

\newcommand{\version}{version 1.4,\ \   11.03.2017}
\newcommand{\firstdate}{25.02.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Комплексные пространства 1: комплексные структуры и пучки.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Зачеты по листкам бывают двух типов:
когда сданы все (или или 2/3) задачи со звездочками,
либо все (или 2/3) задачи без звездочек.
Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками или
факториалом из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать и тем и другим.

Если сданы 2/3 задач со звездочками и (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) одной -- $10t$ баллов.

Если сданы 2/3 задач без звездочки и с (!), 
студент получает $6t$ баллов, если все, кроме 
(максимум) двух -- $10t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 31 день после выдачи,
1, если между 31 и 50 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту; просьба не терять
ее, больше нигде результаты храниться не будут.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Комплексные структуры на векторном пространстве.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $V$ -- векторное пространство над полем $k$.
Линейный оператор $a\in \End V$ {\бф полупрост},
если он диагонализуется над алгебраическим замыканием $k$.
\ео

\задача
Докажите, что любой обратимый оператор 
конечного порядка над полем характеристики 0 полупрост.
\ез

\задача
Пусть $k$ -- поле положительной характеристики.
Постройте обратимый линейный оператор конечного
порядка на векторном пространстве над $k$, который не полупрост.
\ез

\определение
{\бф Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 
\ео

Отныне мы считаем $V$ по умолчанию вещественным векторным
пространством.

\задача
Пусть $F:\; V \arrow V$ -- оператор, который удовлетворяет
$F^3=-F$. Докажите, что в какой-то системе координат $F$ записывается
матрицей  {\small \[ \begin{pmatrix}
0 &  0 \\
0 &  0  \\
&   & \ddots   \\
& &   & \ddots   \\
  &    &  &    & 0 & -1 \\
  &    &  &    & 1 &  0 \\
  &    &  &    &   &   & \ddots   \\
  &    &  &    &   &   & & \ddots \\
  &    &  &    &   &   & &       & 0 & -1 \\
  &    &  &    &   &   & &       & 1 &  0
\end{pmatrix}
\]}
(проекция на подпространство, на котором $F$ действует как 
оператор комплексной структуры).
\ез

\задача
Пусть $V$ -- вещественное векторное пространство,
снабженное действием группы $G=\Z/n\Z$, $n>2$, причем
нетривиальные элементы $G$ действуют на $V$
линейными автоморфизмами без ненулевых неподвижных векторов.
Докажите, что $V$ допускает $G$-инвариантный
оператор комплексной структуры.
\ез

\задача
Докажите, что пространство всех комплексных структур
$I:\; V \arrow V$ гомотопически эквивалентно
пространству всех невырожденных кососимметрических 2-форм
$\omega \in \Lambda^2 V$.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Пучки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
{\бф Пучок} ${\cal F}$ на $M$  это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф отображениями
ограничения} -- гомоморфизмами 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$,
заданными для каждого $U'\subset U$, и удовлетворяющие
следующим свойствам.
\begin{description}
\item[(а)] Композиция ограничений -- снова ограничение:
если $U_1\supset U_2 \supset U_3$ вложенные открытые
множества, а 
\[
{\cal F}(U_1) \stackrel{\phi_{U_1,U_2}}\arrow {\cal
F}(U_2) \stackrel{\phi_{U_2,U_3}}\arrow {\cal F}(U_3)
\]
соответствующие им отображения ограничений, то 
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

\item[(б)] Если $U\subset M$ есть объединение
открытых множеств $U_i\subset U$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.

\item[(в)]  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
\[ f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},
\]
для любой пары элементов покрытия. Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.
\end{description}
Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф 
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}.
Отображение ограничения na $U$ часто обозначается
$f \arrow f\restrict U$. {\бф  Морфизм пучков}
$\phi:\; {\cal F} \arrow {\cal F'}$ есть набор гомоморфизмов
$\phi_{U}:\; {\cal F}(U) \arrow {\cal F'}(U)$, заданных
для каждого открытого множества $U\subset M$, и 
перестановочных с ограничениями. 
\ео



\замечание
Пусть $C(U)$ -- пространство неперывных функций на $U$.
легко видеть, что отображения ограничения задают на
$C(U)$ структуру пучка. Аналогичная структура
определена и на пространстве всех $\C$-значных
или $\R$-значных функций.
\еза


\определение
{\бф Точная последовательность}
есть последовательность абелевых групп и гомоморфизмов
\[
... \arrow A_1\arrow A_2\arrow A_3 \arrow ...
\]
такая, что ядро каждой стрелки совпадает с образом
предыдущей стрелки.
\ео


\задача[!]
Докажите, что 
условия (б) и (в) равносильны точности такой
последовательности
\[
0 \arrow {\cal F}(U) \stackrel \alpha \arrow \prod_{i} {\cal F}(U_i)
\stackrel \beta \arrow \prod_{i\neq j} {\cal F}(U_i\cap U_j) 
\]
для любого набора $\{U_i\}$ открытых подмножеств 
таких, что $U= \bigcup U_i$ (напишите гомоморфизмы $\alpha$ и $\beta$
явно). 
\ез

\определение
{\бф Подпучок} пучка ${\cal F}$ на $M$
есть пучок ${\cal F}_1$ такой, что
для любого $U \subset M$, задано вложение
${\cal F}_1\restrict U \hookrightarrow {\cal F}\restrict U$,
и оно перестановочно с гомоморфизмами ограничения.
{\бф Пучок функций} на $M$ есть подпучок в пучке всех
функций на $M$.
\ео


\задача 
Докажите, что следующие пространства функций на $\R^n$
являются кольцами и задают пучки функций.
\енум 
\итем
Пространство непрерывных функций
\итем
Пространство  бесконечно гладких функций.
\итем
Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций 
\итем  Пространство функций, которые равны нулю вне
множества нулевой меры. 
\ее
\ез

\задача
Докажите, что на $\R^n$ следующие пространства функций
являются предпучками, но не являются пучками.
\енум
\итем Пространство постоянных функций
\итем Пространство ограниченных функций
\итем Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного
подмножества
\итем[*] Пространство функций $f$, удовлетворяющих
$|f| \leq |P|$ для какой-то полиномиальной функции $P$.
\ее
\ез

\определение
{\бф Окольцованное пространство} $(M, {\cal F})$ есть топологическое
пространство с заданным на нем пучком колец.
{\бф Морфизм} $(M, {\cal F}) \stackrel \Psi\arrow (N,
{\cal F}')$  окольцованных пространств
есть непрерывное отображение $M \stackrel \Psi\arrow N$ 
такое, что для каждого открытого множества
$U\subset N$ задан гомоморфизм 
колец ${\cal F}'(U)\stackrel{\Psi_U}\arrow {\cal F}(\Psi^{-1}(U))$,
согласованный с морфизмами ограничения.
{\бф Изоморфизм}
окольцованных пространств есть гомеоморфизм
$\Psi$ такой, что $\Psi_U$ задает изоморфизм
колец ${\cal F}'(U)\tilde{\arrow}{\cal F}(\Psi^{-1}(U))$,
для каждого $U\subset M$. {\бф Морфизм пучков колец}
есть морфизм пучков, согласованный со структурой кольца
на каждом ${\cal F}(U)$.
\ео

\задача
Пусть $M, N$ -- открытые подмножества в $\R^n$,
а $\Psi:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение.
Докажите, что оно задает морфизм пространств,
окольцованных гладкими функциями.
\ез



\определение
Пусть $(M, {\cal F})$ -- топологическое многообразие
с заданным на нем пучком функций.
Оно называется {\бф гладким многообразием класса
$C^i$ или $C^\infty$}, если у каждой точки $(M, {\cal F})$
есть окрестность, изоморфная окольцованному пространству
$(\R^n, {\cal F}')$, где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости
на $\R^n$.
\ео


\определение
{\бф Система координат}  на открытом подмножестве $U$
многообразия $(M, {\cal F})$ есть изоморфизм между 
$(U, {\cal F})$ и открытым подмножеством в $(\R^n, {\cal F}')$, 
где ${\cal F}'$ -- функции той же гладкости на $\R^n$.
\ео



\задача
Пусть $(M, C^\infty M)$ гладкое многообразие,
$C^0(M)$ -- пучок непрерывных функций, а 
$\phi:\; C^\infty M \arrow C^0M$ -- морфизм пучков колец.
Докажите, что прообраз функции, зануляющейся
в $x\in M$, тоже зануляет в $x$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь тем, что функция $f\in C^0M$ обратима в окрестности $x$
тогда и только тогда, когда $f(x)\neq 0$.
\еу

\задача[!]
Пусть $(M, C^\infty M)$ -- гладкое многообразие,
а $C^0(M)$ -- пучок непрерывных функций.
Докажите, что существует единственный $\R$-линейный 
морфизм пучков колец
$C^\infty M \arrow C^0M$.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача[!]
Пусть $(M,{\cal F})$,  $(N,{\cal F}')$ гладкие многообразия, а
$\Psi:M\to N$ -- непрерывное отображение. Докажите, что $\Psi$
задано гладким отображением в локальных координатах
тогда и только тогда, когда оно задает морфизм
окольцованных пространств.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущим упражнением.
\еу


\задача[*]
Рассмотрим окольцованное пространство
$(\R^n, C^i)$, с функциями, которые $i$-кратно
дифференцируемы. Опишите все морфизмы
из $(\R^n, C^{i+1})$ в $(\R^n, C^{i})$.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Почти комплексные многообразия.}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
{\бф Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 
{\бф Разложение Ходжа} на кокасательном расслоении
к почти комплексному многообразию
$(M,I)$ есть разложение $\Lambda^1(M)\otimes_\R \C= 
\Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{0,1}(M)$, где
$I\restrict{\Lambda^{1,0}(M)}= \1$, а 
$I\restrict{\Lambda^{0,1}(M)}= -\1$.
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.
\ео

\noindent
{\бф Пример:}
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.



\задача
Пусть $f$ -- функция на $\C^n$, ограничение которой
на любую прямую $\C\subset \C^n$ голоморфно. Докажите, что $f$ голоморфна.
\ез

\определение
Подмножество $X\subset M$ называется {\бф комплексно-\-ана\-ли\-тическим},
если оно локально получено как множество общих нулей набора
голоморфных функций.
\ео

\задача
Пусть $f:\; \C \arrow \C$ функция.
Докажите, что $f$ голоморфна тогда и только тогда,
когда ее график -- комплексно-аналитическое подмножество
в $\C^2$.
\ез

\определение
Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные
многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое
отображение. Оно называется {\бф голоморфным},
если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$.
\ео

\задача
Докажите, что композиция голоморфных отображений голоморфна.
\ез

\указание
Отождествим $T^{1,0}(M)$ с касательным расслоением $TM$
посредством проекции $TM$ в  $T^{1,0}M$ 
вдоль  $T^{0,1}M$. Это задаст комплексную структуру
на расслоении $TM=(\Lambda^1(M))^*$. Докажите, что отображение
$f:\; M \arrow N$ голоморфно титтк его дифференциал комплексно линеен
по отношению к этой комплексной структуре
на $TM$, $TN$.
\еу



\задача
Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- любая функция.
Докажите, что $f$ -- голоморфная функция тогда и только тогда,
когда $f$ голоморфно как отображение почти комплексных
птостранств.
\ез

\задача
Пусть заданы открытые подмножества
$M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ --
гладкое отображение. Предположим, что для любой
голоморфной функции на $N$, соответствующая
функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$.
Докажите, что $f$ -- голоморфное отображение.
\ез

\задача[*]
Постройте на $S^6$ почти комплексную структуру
такую, что $S^6$ не допускает непостоянных голоморфных функций.
\ез


\определение
Почти комплексная структура на $M$ называется {\бф интергрируемой},
если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является
комплексным многообразием (определение комплексного многообразия
см. в лекциях и в следующем листке).
\ео 


\задача[*]
Пусть $(M,I)$ почти комплексное многообразие такое, что у
каждой точки $m\in M$ есть окрестность $U$ и в ней
набор голоморфных функций $f_1, ..., f_n$ таких,
что $df_1, ..., df_n$ порождает $\Lambda^{1,0}(M)$.
Докажите, что почти комплексная структура $I$
интегрируема.
\ез

\задача[*]
Докажите, что у голоморфной функции
на почти комплексном многообразии не может быть 
строгого максимума.
\ез







\end{document}
