\documentclass[12pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-12mm}
%\addtolength{\textwidth}{24mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   17.06.2017
%version 1.1,\ \   17.06.2017 много мелких опечаток

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   17.06.2017}
\newcommand{\firstdate}{17.06.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{0}{Комплексные пространства, экзамен.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\бф Правила:} Для максимальной оценки нужно 120 очков,
студент получает $k+2$ задачи, где $k=12-t$, где $t$ есть целая
часть $n/10$, а $n$ -- число баллов за листочки. Суммарное
число очков есть $b:=n+10l$, где $l$ -- число сданных
задач на экзамене, а суммарный балл -- $\frac{b}{10}$
(округленный вниз).  % Задачи со звездочкой считаются за две.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Ростки и многообразия (листки 1-2).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\задача 
Пусть $X_1, X_2$ -- ростки комплексных многообразий. 
Рассмотрим фактор $X_1 \sim_Z X_2$, полученный отождествлением
отмеченных точек в каждом из них. 
Докажите, что это росток комплексного
многообразия.
\ез


\задача
Пусть $f:\; \C^n \arrow \C^n$ голоморфная функция,
дифференциал которой в общей точке невырожден.
Докажите, что $f$ задает открытое отображение,
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- конечная группа.
Постройте комплексное
многообразие $M$ с фундаментальной группой $G$.
\ез

\задача
Рассмотрим двумерный тор $T:= \C/\Z^2$ с естественной комплексной
структурой. Докажите, что $T$ допускает непостоянные
мероморфные функции.
\ез


 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Полиномы Вейерштрасса 
(листки 3-4).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\определение
Локальное кольцо $R$ с максимальным 
идеалом $\goth m$ называется {\бф строго гензелевым},
если его поле вычетов алгебраически замкнуто, а 
каждый унитарный полином $P\in R[t]$, такой, что образ 
$P$ в $R/\goth m[t]$ не имеет кратных корней, имеет корень в $R$.
\ео

\задача
Докажите, что кольцо формальных рядов 
$\C[[t_1, ..., t_n]]$ строго гензелево.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо ростков $\calo_n$ строго гензелево.
\ез

\задача        
Рассмотрим функцию $f(z)= wz^2 + (1+w^2) z + w(1+w^2)$ на $\C^2$ с координатами
$z, w$. Вычислите ее полином Вейерштрасса.
\ез

%\указание
%Выразите $z$ через $w$, решив соответствующее квадратное уравнение.
%\еу

\задача
Пусть $f\in\calo_{n-1}[z_n]$ -- полином Вейерштрасса, 
удовлетворяющий $f=gh$, где $g, h\in \calo_n$.
Докажите, что существует обратимое $u\in \calo_n$
такое, что $gu$ и $hu^{-1}$ -- тоже полиномы Вейерштрасса.
\ез


\задача
Пусть $f$ есть функция на диске, такая, что
$\int_{\6 S} fdz=0$ для каждого прямоугольного
треугольника $S$. Докажите, что $f$ голоморфна,
или найдите контрпример.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Nullstellensatz и нетеровость (листок 5).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Докажите, что кольцо степенных рядов $\C[[t_1,..., t_n]]$
нетерово, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $M$ росток комплексного многообразия,
а $D$ -- подмногообразие коразмерности 1. Докажите, что идеал
$V_D$ главный в $\calo_M$,
если $M$ гладко, и приведите пример, когда это
не так, для негладкого.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- связное комплексное многообразие,
допускающее непостоянную голоморфную функцию,
а $R$ -- кольцо голоморфных функций на $M$.
Докажите, что $R$ не нетерово.
\ез

\задача
Пусть $G$ -- конечная  группа, 
линейно действующая на $\C^n$
и сохраняющая росток подмногообразия $Z$ в нуле.
Докажите, что идеал $Z$ в кольце ростков голоморфных функций
порождается $G$-инвариантными
функциями, или найдите контрпример.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Регулярные координаты (листок 8).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $V\subset \C^n$ -- росток комплексно-аналитического
подмножества в 0, заданного $k <n$ уравнениями. Докажите, что
есть росток голоморфного отображения $\C^n \arrow \C^k$,
которое сюрьективно отображает $V$ на росток $\C^k$ в 0.
\ез


\задача
Пусть $f$ -- голоморфная функция на гладком
комплексном многообразии $M$, а $V(f)$ -- ее множество 
нулей. Докажите, что для каждой точки $z\in V(f)$ есть
окрестность $U\ni z$ такая, что пересечение $V(f)\cap U$
связно.
\ез




\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ -- подмногообразие, заданное
как множество нулей неприводимого однородного полинома.
Докажите, что его росток в нуле неприводим.
\ез



\задача
Пусть $P\in \calo_{n-1}[z_n]$ полином  Вейерштрасса,
а $Z$ -- множество его нулей. Предположим, 
что множество гладких точек $Z$ связно. 
Докажите, что $P$ неприводим (то есть
не делится на произведение двух
необратимых полиномов Вейерштрасса).
\ез



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Мероморфные отображения и размерность (листки 9-10).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\задача
Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на связном, гладком комплексном
многообразии $U$, а $V_f$ -- ее множество нулей.
Докажите, что $U \backslash V_f$ связно, но не односвязно.
\ез

\задача
Постройте односвязное комплексное многообразие $M$ с точкой
$m\in M$ такое, что фундаментальная группа дополнения
$M \backslash \{m\}$ бесконечна и неабелева,
или докажите, что такого не существует.
\ез


\задача
Пусть $X,Y$ -- компактные комплексные многообразия,
$U\subset X, V\subset Y$ открытые, плотные подмножества,
а $F:\; U \arrow V$ голоморфное отображение, которое
продолжается до мероморфного на $X$. Докажите, что замыкание графика $F$
в $X\times Y$ комплексно аналитично.
\ез

\задача
Пусть $X,Y$ -- компактные комплексные многообразия,
$U\subset X, V\subset Y$ открытые, плотные подмножества,
а $F:\; U \arrow V$ голоморфное отображение. Пусть 
замыкание графика $F$ в $X\times Y$ комплексно аналитично.
Докажите, что $F$ продолжается до мероморфного отображения 
из $X$ в $Y$.
\ез

\задача
Пусть $f:\; X \arrow Y$ 
голоморфный и биективный морфизм ростков комплексных многообразий,
где $Y$ гладко. Докажите, что $f$ обратим, или найдите контрпример.
\ез


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Конечные морфизмы (листок 11).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $X$ -- комплексное многообразие,
а $R$ -- кольцо локально ограниченных мероморфных
функций на $X$. Докажите, что каждый элемент
$R$ является корнем унитарного многочлена над $\calo_X$.
\ез

\задача
Пусть $X$ -- комплексное многообразие,
а $x$ -- мероморфная функция на $X$,
которая удовлетворяет уравнению $P(x)=0$,
где $P(x)\in \calo_X[t]$ -- унитарный полином.
Докажите, что $x$ локально ограниченна.
\ез


\задача
Пусть $Z\ni x$ -- росток неприводимого комплекс\-но-аналити\-ческого
подмножества $M$ в точке $x\in M$, а $k$ -- коразмерность
$Z$ в гладких точках. Докажите, что $Z$ -- одна из неприводимых
компонент ростка комплексно-аналитического
подмножества, заданного $k$ уравнениями (``полного пересечения'').
\ез

\задача
Пусть $G$ -- конечная группа, действующая
на комплексном многообразии $X$. Докажите, что
на $X/G$ есть комплексная структура
такая, что отображение $X \arrow X/G$
голоморфно.
\ез

\задача
Приведите пример ростка многообразия $X$ такого,
что $\calo_X$ целозамкнуто в своем поле частных,
но $X$ особо.
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Теорема Реммерта  (листок 12).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $A:\; \C^n \arrow \C^n$ -- диагонализуемое линейное
отображение, собственные значения которого удовлетворяют
$|\alpha_i| >1$, a $I\subset\calo_n$ -- идеал, который инвариантен
относительно действия $A$. Докажите, что $I$ порожден полиномами.
\ез


%\задача
%Пусть $Y$ -- компактное комплексное многообразия,
%$B\subset \C^k$ -- шар,  а $X\subset Y \times B$ --
%комплексное подмногообразие, которое проектируется
%в $V\subset Y$ собственно и конечно. Предположим, что $V=Y \backslash D$,
%где $D$ комплексно аналитично в $Y$.
%Докажите, что замыкание $X$ комплексно аналитично.
%\ез


\задача
Предположим, что $Z$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое многообразие. Докажите, что
$Z \backslash Z_{sing}$ линейно связно.
\ез


\задача
Пусть $Z\subset M$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое подмножество,
а $x,y$ -- гладкие точки. Докажите, что
размерность $Z$ в окрестности $x$ такая
же, как размерность в окрестности $y$.
\ез

\задача
Рассмотрим отображение
$\Phi:\; \C \arrow \C^2$, переводящее
$z$ в $(z^2-z, z^3-z)$. Верно ли, что
замыкание образа $\Phi$ комплексно-аналитично
в окрестности (0,0)?
\ез




%\задача[А]
%Найдите голоморфную, ограниченную функцию
%в области
%\[
%\{ (x,y)\in \C^2 \ \ |\ \ |x| <1, |y|<1, \Re(x)>0\}
%\]
%которая не продолжается ни на какую окрестность точки (0,0).
%\ез





%\задача[А]
 % СЛИШКОМ ПРОСТАЯ ЗАДАЧА!
%Пусть $F:\; \C^n \arrow \C^k$ полиномиальное отображение.
%Докажите, что замыкание его графика комплексно аналитично.
%\ез






%\задача[А]
% СЛИШКОМ ПРОСТАЯ ЗАДАЧА!
%Пусть $f,g\in \calo_{\C^{n-1}}[z_n]$ унитарные полиномы
%над кольцом голоморфных функций на $\C^{n-1}$
%причем функция $\frac f g$ голоморфна и обратима.
%Докажите, что $\frac f g$ лежит в $\calo_{\C^{n-1}}$.
%\ез



\end{document}