\documentclass[12pt]{article}

\addtolength{\topmargin}{-5mm}
\addtolength{\textheight}{10mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-12mm}
%\addtolength{\textwidth}{24mm}

\input{defs-listki.tex}

%version 1.0,\ \   17.06.2017
%version 1.1,\ \   17.06.2017 ����� ������ ��������

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   17.06.2017}
\newcommand{\firstdate}{17.06.2017}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{0}{����������� ������������, �������.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


{\scriptsize
{\�� �������:} ��� ������������ ������ ����� 120 �����,
������� �������� $k+2$ ������, ��� $k=12-t$, ��� $t$ ���� �����
����� $n/10$, � $n$ -- ����� ������ �� ��������. ���������
����� ����� ���� $b:=n+10l$, ��� $l$ -- ����� �������
����� �� ��������, � ��������� ���� -- $\frac{b}{10}$
(����������� ����).  % ������ �� ���������� ��������� �� ���.
}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������ � ������������ (������ 1-2).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\������ 
����� $X_1, X_2$ -- ������ ����������� ������������. 
���������� ������ $X_1 \sim_Z X_2$, ���������� ���������������
���������� ����� � ������ �� ���. 
��������, ��� ��� ������ ������������
������������.
\��


\������
����� $f:\; \C^n \arrow \C^n$ ����������� �������,
������������ ������� � ����� ����� ����������.
��������, ��� $f$ ������ �������� �����������,
��� ������� �����������.
\��

\������
����� $G$ -- �������� ������.
��������� �����������
������������ $M$ � ��������������� ������� $G$.
\��

\������
���������� ��������� ��� $T:= \C/\Z^2$ � ������������ �����������
����������. ��������, ��� $T$ ��������� ������������
����������� �������.
\��


 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������� ������������ 
(������ 3-4).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\�����������
��������� ������ $R$ � ������������ 
������� $\goth m$ ���������� {\�� ������ ����������},
���� ��� ���� ������� ������������� ��������, � 
������ ��������� ������� $P\in R[t]$, �����, ��� ����� 
$P$ � $R/\goth m[t]$ �� ����� ������� ������, ����� ������ � $R$.
\��

\������
��������, ��� ������ ���������� ����� 
$\C[[t_1, ..., t_n]]$ ������ ���������.
\��

\������
��������, ��� ������ ������� $\calo_n$ ������ ���������.
\��

\������        
���������� ������� $f(z)= wz^2 + (1+w^2) z + w(1+w^2)$ �� $\C^2$ � ������������
$z, w$. ��������� �� ������� ������������.
\��

%\��������
%�������� $z$ ����� $w$, ����� ��������������� ���������� ���������.
%\��

\������
����� $f\in\calo_{n-1}[z_n]$ -- ������� ������������, 
��������������� $f=gh$, ��� $g, h\in \calo_n$.
��������, ��� ���������� ��������� $u\in \calo_n$
�����, ��� $gu$ � $hu^{-1}$ -- ���� �������� ������������.
\��


\������
����� $f$ ���� ������� �� �����, �����, ���
$\int_{\6 S} fdz=0$ ��� ������� ��������������
������������ $S$. ��������, ��� $f$ ����������,
��� ������� �����������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Nullstellensatz � ����������� (������ 5).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
��������, ��� ������ ��������� ����� $\C[[t_1,..., t_n]]$
��������, ��� ������� �����������.
\��

\������
����� $M$ ������ ������������ ������������,
� $D$ -- ��������������� ������������� 1. ��������, ��� �����
$V_D$ ������� � $\calo_M$,
���� $M$ ������, � ��������� ������, ����� ���
�� ���, ��� ����������.
\��

\������
����� $M$ -- ������� ����������� ������������,
����������� ������������ ����������� �������,
� $R$ -- ������ ����������� ������� �� $M$.
��������, ��� $R$ �� ��������.
\��

\������
����� $G$ -- ��������  ������, 
������� ����������� �� $\C^n$
� ����������� ������ ��������������� $Z$ � ����.
��������, ��� ����� $Z$ � ������ ������� ����������� �������
����������� $G$-�������������
���������, ��� ������� �����������.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{���������� ���������� (������ 8).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������
����� $V\subset \C^n$ -- ������ ����������-��������������
������������ � 0, ��������� $k <n$ �����������. ��������, ���
���� ������ ������������ ����������� $\C^n \arrow \C^k$,
������� ����������� ���������� $V$ �� ������ $\C^k$ � 0.
\��


\������
����� $f$ -- ����������� ������� �� �������
����������� ������������ $M$, � $V(f)$ -- �� ��������� 
�����. ��������, ��� ��� ������ ����� $z\in V(f)$ ����
����������� $U\ni z$ �����, ��� ����������� $V(f)\cap U$
������.
\��




\������
����� $Z\subset \C^n$ -- ���������������, ��������
��� ��������� ����� ������������� ����������� ��������.
��������, ��� ��� ������ � ���� ����������.
\��



\������
����� $P\in \calo_{n-1}[z_n]$ �������  ������������,
� $Z$ -- ��������� ��� �����. �����������, 
��� ��������� ������� ����� $Z$ ������. 
��������, ��� $P$ ���������� (�� ����
�� ������� �� ������������ ����
����������� ��������� ������������).
\��



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{����������� ����������� � ����������� (������ 9-10).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\������
����� $f$ -- ������������ ����������� ������� �� �������, ������� �����������
������������ $U$, � $V_f$ -- �� ��������� �����.
��������, ��� $U \backslash V_f$ ������, �� �� ����������.
\��

\������
��������� ����������� ����������� ������������ $M$ � ������
$m\in M$ �����, ��� ��������������� ������ ����������
$M \backslash \{m\}$ ���������� � ���������,
��� ��������, ��� ������ �� ����������.
\��


\������
����� $X,Y$ -- ���������� ����������� ������������,
$U\subset X, V\subset Y$ ��������, ������� ������������,
� $F:\; U \arrow V$ ����������� �����������, �������
������������ �� ������������ �� $X$. ��������, ��� ��������� ������� $F$
� $X\times Y$ ���������� ����������.
\��

\������
����� $X,Y$ -- ���������� ����������� ������������,
$U\subset X, V\subset Y$ ��������, ������� ������������,
� $F:\; U \arrow V$ ����������� �����������. ����� 
��������� ������� $F$ � $X\times Y$ ���������� ����������.
��������, ��� $F$ ������������ �� ������������ ����������� 
�� $X$ � $Y$.
\��

\������
����� $f:\; X \arrow Y$ 
����������� � ���������� ������� ������� ����������� ������������,
��� $Y$ ������. ��������, ��� $f$ �������, ��� ������� �����������.
\��


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{�������� �������� (������ 11).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
����� $X$ -- ����������� ������������,
� $R$ -- ������ �������� ������������ �����������
������� �� $X$. ��������, ��� ������ �������
$R$ �������� ������ ���������� ���������� ��� $\calo_X$.
\��

\������
����� $X$ -- ����������� ������������,
� $x$ -- ����������� ������� �� $X$,
������� ������������� ��������� $P(x)=0$,
��� $P(x)\in \calo_X[t]$ -- ��������� �������.
��������, ��� $x$ �������� �����������.
\��


\������
����� $Z\ni x$ -- ������ ������������� ��������\-��-�������\-�������
������������ $M$ � ����� $x\in M$, � $k$ -- �������������
$Z$ � ������� ������. ��������, ��� $Z$ -- ���� �� ������������
��������� ������ ����������-��������������
������������, ��������� $k$ ����������� (``������� �����������'').
\��

\������
����� $G$ -- �������� ������, �����������
�� ����������� ������������ $X$. ��������, ���
�� $X/G$ ���� ����������� ���������
�����, ��� ����������� $X \arrow X/G$
����������.
\��

\������
��������� ������ ������ ������������ $X$ ������,
��� $\calo_X$ ������������ � ����� ���� �������,
�� $X$ �����.
\��

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{������� ��������  (������ 12).}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\������
����� $A:\; \C^n \arrow \C^n$ -- ��������������� ��������
�����������, ����������� �������� �������� �������������
$|\alpha_i| >1$, a $I\subset\calo_n$ -- �����, ������� �����������
������������ �������� $A$. ��������, ��� $I$ �������� ����������.
\��


%\������
%����� $Y$ -- ���������� ����������� ������������,
%$B\subset \C^k$ -- ���,  � $X\subset Y \times B$ --
%����������� ���������������, ������� �������������
%� $V\subset Y$ ���������� � �������. �����������, ��� $V=Y \backslash D$,
%��� $D$ ���������� ���������� � $Y$.
%��������, ��� ��������� $X$ ���������� ����������.
%\��


\������
�����������, ��� $Z$ -- ������������
����������-������������� ������������. ��������, ���
$Z \backslash Z_{sing}$ ������� ������.
\��


\������
����� $Z\subset M$ -- ������������
����������-������������� ������������,
� $x,y$ -- ������� �����. ��������, ���
����������� $Z$ � ����������� $x$ �����
��, ��� ����������� � ����������� $y$.
\��

\������
���������� �����������
$\Phi:\; \C \arrow \C^2$, �����������
$z$ � $(z^2-z, z^3-z)$. ����� ��, ���
��������� ������ $\Phi$ ����������-����������
� ����������� (0,0)?
\��




%\������[�]
%������� �����������, ������������ �������
%� �������
%\[
%\{ (x,y)\in \C^2 \ \ |\ \ |x| <1, |y|<1, \Re(x)>0\}
%\]
%������� �� ������������ �� �� ����� ����������� ����� (0,0).
%\��





%\������[�]
 % ������� ������� ������!
%����� $F:\; \C^n \arrow \C^k$ �������������� �����������.
%��������, ��� ��������� ��� ������� ���������� ����������.
%\��






%\������[�]
% ������� ������� ������!
%����� $f,g\in \calo_{\C^{n-1}}[z_n]$ ��������� ��������
%��� ������� ����������� ������� �� $\C^{n-1}$
%������ ������� $\frac f g$ ���������� � ��������.
%��������, ��� $\frac f g$ ����� � $\calo_{\C^{n-1}}$.
%\��



\end{document}
