\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства,
          лекция 11\hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 11: теорема Чжоу}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 20 мая 2017
}
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Собственное отображение} есть такое отображение,
что прообраз любого компакта компактен.

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта-Штейна")}
Пусть $X$ -- комплексное многообразие, 
$A\subset X$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z$ -- неприводимое 
комплексно-аналитическое подмножество
в $X\backslash A$. Предположим, что 
$\dim Z> \dim A$. {\бф \ред Тогда замыкание $\bar Z$
комплексно-аналитично в $X$.}

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта о собственном отображении")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм
комплексных многообразий. {\бф \ред Тогда $F(X)$ комплексно-аналитично
в $Y$.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Чжоу.}

\определение
Подмножество $\C P^n$ называется
{\бф \блуе проективным подмногообразием}, если это
множество общих нулей однородного идеала в кольце
однородных полиномов на $\C^{n+1}$.

\теорема
Пусть $Z\subset \C P^n$ -- замкнутое комплексно-аналитическое
подмножество. {\бф \ред Тогда $Z$ проективно.}


{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Рассмотрим естественную проекцию \\ $\C^{n+1}\backslash 0 \arrow \C P^n$,
и пусть $C_0(Z)$ -- прообраз $Z$. {\бф \ред Применив Реммерта-Штейна,
получим, что его замыкание $C(Z)$ -- комплексное подмногообразие.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $I_Z$ -- идеал $C(Z)$ в кольце ростков.
Рассмотрим действие $\C^*$ на $\C^{n+1}$ растяжениями.
Поскольку $Z$ $\C^*$-инвариантно, {\бф \пурпле идеал $I_Z$ $\C^*$-инвариантен.}


{\бф \греен Шаг 3:} Пусть $f\in I_Z$, а $f= \sum P_i$
ее разложение в ряд Тэйлора, где $P_i$ -- однородные полиномы
степени $i$ на $\C^{n+1}$. Тогда $\C^*$ действует на $f$
по формуле $\rho_\lambda(f) = \sum \lambda^i P_i$.
Поскольку $I_Z$ $\C^*$-инвариантно,
{\бф \пурпле функции 
$\frac {d^s}{d\lambda^s}\rho_\lambda(f)= \sum_{r=s}^\infty\binom r s \lambda^{r-s}P_r$
лежат в $I_Z$.}

{\бф \греен Шаг 4:}
Положив $\lambda=0$, получим, что {\бф \ред $P_r\in I_Z$ для любого $r\geq 0$.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Chow Wei-Liang }

Chow Wei-Liang: October 1, 1911, Shanghai - August 10, 1995, Baltimore

\begin{center}
\epsfig{file=Chow.jpg,width=0.60\linewidth}\\[10mm]
{ \it \small\green 
Family portrait in Shanghai, in an undated photo (prior 1949), standing: Zhou Wei Liang and his wife Margot Victor. Seating from L: Weiliang's Mom Wanjun Yu, his daughters Marian (1937 Shanghai -) and Margaret (1940 Shanghai -), and his Dad MD Chow. 
} 
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Гладкие точки неприводимых многообразий}

\теорема
Пусть $M$ -- неприводимое комплексное многообразие,
а $M_0$ -- его множество гладких точек. {\бф \ред Тогда
$M_0$ связно.}

\дшаг Обозначим за $M_\sing$ множество особых
точек $M$. Тогда $\dim M_\sing < \dim M$.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $M_1$ -- одна из связных
компонент $M_0$, а $\bar M_1$ ее замыкание.
Поскольку $\bar M_1 \backslash M_1\subset M_\sing$,
это множество содержится в комплексном многообразии размерности
$< \dim M$. Мы получили, что  $M_1$ комплексно аналитично
в дополнении до многообразия размерности $< \dim M$.я
{\бф \пурпле По теореме Реммерта-Штейна, $\bar M_1$ комплексно аналитично.}

{\бф \греен Шаг 3:} Если у $M_0$ есть 2 или больше связных
компонент, замыкание каждой из них комплексно-аналитично,
а значит, у $M$ есть нетривиальное разложение в объединение
многообразий, что невозможно. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Дальнейшие темы}


4* Когерентные пучки в аналитической категории. Теорема Ока.

5* Нормальные комплексно-аналитические пространства.
Нормализация.

6* Пучки Монтеля. Конечномерность когомологий когерентных
пучков на компакте по Гротендику.


\end{document}