\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства,
          лекция 10\hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 10: теоремы Ремерта и Реммерта-Штейна}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 13 мая 2017
}
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)}

Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных
функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат.

\теорема
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$.
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}\\
\phantom{А} 1.  $J_d=0$, где
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором 
полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 


\замечание
Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечные расширения (повторение)}


\следствие
Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные
в теореме о регулярной системе координат. 
{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
$F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$
равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$
степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.}


\следствие
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\доказательство
Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф


\теорема
{\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)}
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал,
такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$.
{\бф \ред Тогда для почти всех линейных
комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
функция $u$ порождает
поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.}

\доказательство
Следует из теоремы Артина о примитивном элементе,
примененной к $K=k(\calo_n/J)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Реализация ростка гиперповерхностью (повторение)}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
регулярная система координат.
Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$.
{\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ 
на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$
на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть
график многозначной функции), а на полях
частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм
$k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$.

{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный
(имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей
${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\
{\бф \пурпле переводит
$Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. }
Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются
все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже
зануляется в $(z_1, ..., z_n)$.

{\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует
из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$
и теоремы Вейерштрасса о делении.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Гильберта-Рюкерта о нулях (повторение)}

\определение
Пусть $J$ -- идеал.
Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение
всех простых идеалов, содержащих $J$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда
$a^n \in J$ для какого-то $n>0$.}

\теорема {\bf \блуе (R\"uckert's Nullstellensatz)}\\
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал,
а $Z_J$ -- множество общих нулей $J$. Тогда 
{\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда,
когда $f\in \sqrt J$.}


\невпаге

{\бф \блуе Неособые точки и размерность (повторение)}

\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф \блуе особой} в противном случае

\теорема
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество,
а его дополнение плотно и открыто в $Z$.}

\определение
Определим {\бф \блуе размерность} ростка неприводимого комплексного
множества в $x$ как размерность его множества неособых точек
в достаточно маленькой окрестности $x$.

\определение
Многообразие называется {\бф \блуе равноразмерным}, если
размерность всех его неприводимых компонент одинакова.

\невпаге

{\бф \блуе Свойства размерности (повторение)}


\утверждение
    Пусть $\phi:\; X \arrow X_1$
      конечно и доминантно. {\бф \ред Тогда $\dim X=\dim X_1$.}


\теорема
Пусть $Z$ -- росток неприводимого многообразия,
а $Z_f\subset Z$ -- росток дивизора нулей какой-то функции $f$.
{\бф \ред Тогда $\dim Z_f= \dim Z-1$.}

\следствие
{\bf \red Если $X \subset Y$ комплексно-аналитические множества,
то $\dim X \leq Y$}

\следствие
{\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.}

\замечание
Пусть $\delta$ -- $\Z^{\geq 0}$-значная
функция на неприводимых многообразиях, которая 
удовлетворяет $\delta(Z)= \delta(Z_f)+1$ и $\delta(Z)=0$
когда $Z$ -- объединение точек. Тогда $\delta=\dim$.
Иначе говоря, {\бф \пурпле размерность можно определить
аксиоматически}.



\невпаге

{\бф \блуе Теорема о постоянном ранге (повторение)}


\теорема {\бф \блуе ("теорема о постоянном ранге")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение,
причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \dim \im dF$ постоянный. Тогда {\bf \red у каждой
точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ -
гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)$ --
гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$.}

\доказательство
Это теорема о неявной функции.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Ранг Реммерта}


\определение
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
комплексных многообразий. Определим {\бф \блуе ранг Реммерта $F$ в $x$}
 как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$.

{\бф \греен Теорема 1:}
{\бф \ред Ранг $\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$}.


\дшаг
Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного
отображения, причем $F^{-1}(y)$ имеет размерность $k$.
Будем считать, что $(X,x)$ вложено в $(\C^n,0)$.
Рассмотрим общее подпространство $V\subset \C^n$ размерности
$n-k$, которое проходит через $x$ и пересекается с $F^{-1}(y)$ по конечному
множеству. {\бф \пурпле Тогда $F\restrict V\cap X$ имеет
конечные слои в некоторой окрестности $x$, поэтому $F^{-1}(F(x'))$
пересекается с $V$ по конечному множеству для
любого $x'$ в окрестности $x$.} 
\endproof

Сейчас будет доказано такое утверждение

\теорема
Пусть  $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного
отображения, а $Z\subset X$ множество точек $x\in X$,
что $\rk_x(F)$ не максимальный. {\бф \ред Тогда $Z$ комплексно-аналитическое.}




\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы}



\определение
Напомню, что морфизм $F:\; X \arrow Y$ комплексных
многообразий называется {\бф \блуе конечным}, если
у каждой точки $x$ есть окрестность $U$ такая,
что $F(U)$ открыто, а $\calo_U$ -- конечно-порожденный
модуль над $\calo_{F(U)}$. Морфизм называется
{\бф \блуе собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт.

\теорема
{\бф \блуе (теорема о подъеме и спуске простых идеалов
при конечном морфизме)}
Пусть $A\subset B$ кольца без делителей нуля,
причем $B$ конечно порождено как $A$-модуль.
Тогда {\бф \ред каждый простой идеал $\goth p\subset A$
получается как $\goth q \cap A$,} где $\goth q\subset B$
простой идеал, и {\бф \ред число таких идеалов $\goth q$ конечно.}

\доказательство
См. листочки. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Конечные морфизмы комплексно-аналитических пространств}


\следствие
При конечном морфизме, {\бф \ред образ комплексно-аналитического
множество комплексно-аналитический.}

\доказательство
Следует из биекции между неприводимыми
подмногообразиями и простыми идеалами.
\ендпрооф

\замечание
Еще можно это утверждение вывести 
из того, что {\бф \пурпле конечный морфизм есть разветвленное накрытие.}

\следствие
Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ морфизм ростков комплексно-аналитических
пространств, причем $\calo_X$ конечно порождено
как модуль над $\calo_Y$. {\бф \ред Тогда $\phi$ собственный,
а число прообразов каждой точки конечно.}

\замечание
Для конечных морфизмов комплексных пространств,
{\бф \пурпле это утверждение доказывалось с применением
регулярных координат. }


%\невпаге
%
%{\бф \блуе Регулярные системы координат для морфизма}
%
%\замечание
%Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение
%комплексных многообразий одинаковой размерности, вложенных в
%шары $B^n\subset \C^n$, $B^m\subset \C^m$
%Тогда {\бф \пурпле можно голоморфно вложить $X$ в $\C^n$,
%$Y$ в $\C^m$ таким образом, что $F$ индуцируется проекцией.}
%Для этого достаточно отождествить $X$ с графиком $F$, и 
%спроектировать график.
%
%\утверждение
%Пусть $X\subset B^n$, $Y\subset B^m$, а 
%$F:\; X \arrow Y$ индуцировано линейной
%проекцией. {\бф \пурпле Тогда найдутся регулярные
%координаты $z_1,..., z_m$ для $Y$ 
%и линейные функции $z_{m+1}, ..., z_n$ на $X$
%такие, что $F^*(z_1), ..., F^*(z_m), z_{m+1}, ..., z_n$
%задают регулярную систему координат на $X$.}
%
%\доказательство
%Функции $z_i$ получаются той же процедурой,
%что и построение регулярной системы координат.
%\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Объединение положительномерных слоев морфизма}

\теорема
Пусть $F:\; X \arrow Y$ --
комплексно-аналическое отображение неприводимых $d$-мерных
многообразий, а общий слой $F$ 0-мерен. {\бф \ред
Тогда объединение всех слоев $F$ положительной
размерности комплексно-аналитично.}

\дшаг  
Воспользовавшись теоремой о примитивном элементе,
построим разветвленные накрытия $\phi_X:\;  X_u\arrow C_d$, 
$\phi_Y:\; Y_u\arrow \C_d$, бимероморфные $X$, $Y$.
Пусть $X_1$ есть образ графика $F$ в $X_u\times Y_u$, а $Y_1=Y_u$.
Образ комплексно-аналитического множества при бимероморфном
собственном отображении комплексно-аналитичен, потому что задается
как множество общих нулей набора мероморфных функций.
Мы построили коммутативную диаграмму
\[
\begin{CD}
X @>\phi >> X_1\\
@VFVV @V{F_1}VV\\
Y @>>> Y_1\\
\end{CD}
\]
такую, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы,
a $F_1$ конечно.

\невпаге

{\бф \блуе Объединение положительномерных слоев морфизма (2)}

\теорема
Пусть $F:\; X \arrow Y$ --
комплексно-аналическое отображение неприводимых $d$-мерных
многообразий, а общий слой $F$ 0-мерен. {\бф \ред
Тогда объединение всех слоев $F$ положительной
размерности комплексно-аналитично.}

{\бф \греен Шаг 1:} 
Мы построили коммутативную диаграмму
\[
\begin{CD}
X @>\phi >> X_1\\
@VFVV @V{F_1}VV\\
Y @>>> Y_1\\
\end{CD}
\]
такую, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы,
a $F_1$ конечно.

{\бф \греен Шаг 2:} 
{\бф \блуе Исключительное множество}
бимероморфного отображения есть множество,
где оно необратимо. Пусть $Z\subset X$ -- множество точек
$x\in X$ таких, что $F^{-1}(F(x))$ имеет положительную
размерность. Поскольку $F_1$ конечно, $Z$ содержится
в исключительном множестве $\phi$, обозначенном $X_e$.
Ограничение $F$ на $X_e$ либо конечно в общей точке
(и мы воспользуемся индукцией по размерности $X$,
применив утверждение теоремы к $X_e$),
либо положительномерно в общей точке $X_e$,
и в этом случае $Z=X_e$ в силу утверждения (*)
из прошлой лекции.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Множество, где ранг Реммерта не максимален}

\теорема
Пусть  $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного
отображения, а $Z\subset X$ множество точек $x\in X$,
что $\rk_x(F)$ не максимальный. {\бф \ред Тогда $Z$ комплексно-аналитическое.}

\дшаг Если для общей точки $x\in X$, размерность $F^{-1}(F(x))$
нульмерна, комплексно-аналитичность $Z$ следует из теоремы,
доказанной выше. 

{\бф \греен Шаг 2:} Если же для общей точки, 
размерность $F^{-1}(F(x))$ $k$-мерна, $k>0$,
возьмем линейную проекцию $G:\; X \arrow \C^k$, которая
имеет ранг $k$ на гладких точках $F^{-1}(F(x))$. Тогда общие слои 
$F\times G:\; X \arrow Y\times \C^k$ 0-мерны, 
и их размерность подскакивает в $Z$.
Применяя шаг 1 к $F\times G$, получаем,
что $Z$ комплексно-аналитично.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта о ранге}

\теорема
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм 
комплексных многообразий, причем 
$k = \sup_{x\in X} \rk_x F.$
{\bf \red Тогда $\im F$ лежит в объединение
комплексных многообразий размерности $\leq k$,
одно из которых $k$-мерно.}

\дшаг Воспользовавшись индукцией, можно считать, что
теорема Реммерта справедлива для любого отображения
$F_1:\; X_1 \arrow Y_1$, для которого $\dim X_1 < \dim X$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Ранг Реммерта $\rk(F, x)$ полунепрерывен по $x$, и 
достигает максимума на открытом, плотном множестве. По теореме
о постоянном ранге, $F$ есть гладкая субмерсия
на множестве $X_0$ гладких точек $x\in X$, на которых $\rk d
F\restrict{T_x X}$ максимален. По теореме о постоянном
ранге $F(X_0)$ есть комплексное 
многообразие размерности $k$.


{\бф \греен Шаг 3:} Дополнение $A:=X \backslash X_0$ 
комплексно-аналитично и имеет размерность
меньше, чем $\dim X$. По предположению индукции,
теорема Реммерта справедлива для $A$. Значит,
$F(A)$ лежит в многообразии размерности $\leq k$.
\endproof


\следствие {\бф \блуе ("теорема Реммерта о ранге")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное, сюрьективное
отображение комплексных многообразий. {\bf \red Тогда
$\dim Y = \sup_{x\in X} \rk_x F.$}
\ендпрооф

\невпаге

\begin{center}
\epsfig{file=Remmert-OW-1983.jpg,width=0.80\linewidth}\\[10mm]
{ \it \small\green 
Reinhold Remmert (22 June 1930 - 9 March 2016)\\
August 1983, Oberwolfach, photo by Paul Halmos.
} 
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Продолжение голоморфных функций}

{\бф \греен Лемма о продолжении:} Пусть
$D\subset B$ -- дивизор в шаре $B\subset \C^n$,
а $f\in \calo_{B \backslash D}$ -- ограниченная
голоморфная функция на дополнении. {\бф \ред Тогда
$f$ продолжается до голоморфной непрерывной функции на $B$.}

\дшаг
{\бф \пурпле Если $f$ непрерывна, то это следует из формулы Коши} и теоремы
Римана о продолжении в размерности 1.

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\lambda\in \calo_B$ есть
голоморфная функция, зануляющаяся в $D$. Тогда
$f\lambda$ непрерывна в $D$ и вне него, {\бф \пурпле значит,
$f$ мероморфна.}


{\бф \греен Шаг 3:} Если $f$ мероморфна, $f = \frac g h$.
Воспользуемся факториальностью кольца ростков, чтобы сократить
$f$ и $g$ на наибольший общий делитель. В силу теоремы Гильберта
о нулях и взаимной простоты $g$ и $h$, {\бф \пурпле если $h$ не обратима,
то существует точка $x\in B$, такая, что $h(x)=0$, а 
$g(x)\neq 0$.} В этой точке $f=\infty$, что невозможно.
\ендпрооф

\замечание
{\бф \пурпле Это утверждение также верно, если $D= A\cup Z$,
где $A$ -- один дивизор, а $Z\subset B\backslash A$ --
другой дивизор.} Действительно, в этой ситуации $f$ непрерывно
продолжается на $B\backslash A$, потому что $Z$ это дивизор,
а потом и на $B$, потому что $A$ это дивизор.
{\бф \ред В этой формулировке мы и будем применять лемму.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна (схема доказательства)}

\определение
{\бф \блуе Собственное отображение} есть такое отображение,
что прообраз любого компакта компактен.

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта-Штейна")}
Пусть $X$ -- комплексное многообразие, 
$A\subset X$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z$ -- неприводимое 
комплексно-аналитическое подмножество
в $X\backslash A$. Предположим, что 
$\dim Z> \dim A$. {\бф \ред Тогда замыкание $\bar Z$
комплексно-аналитично в $X$.}

\теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта о собственном отображении")}
Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм
комплексных многообразий. {\бф \ред Тогда $F(X)$ комплексно-аналитично
в $Y$.}

Доказательство этих теорем ведется индуктивно.\\
{\бф \блуе (РШ$_m$):}  утверждение теоремы Реммерта-Штейна
верно для  $\dim X\leq m$.\\
{\бф \блуе (Р$_m$):} утверждение теоремы Реммерта
верно для  $\dim X\leq m$.

Мы доказываем два утверждения:

{\бф \греен А.} (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) влечет
(Р$_m$). \\
{\бф \греен Б.} (Р$_{m-1}$) влечет (РШ$_m$).

\невпаге

\begin{center}
\epsfig{file=Karl_Stein.jpeg,width=0.30\linewidth}\\[10mm]
{ \it \small\green 
Karl Stein (1913-2000) \\
Eichst\"att, 1968
} 
\end{center}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение А.}

{\бф \греен Доказательство импликации А:
(РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (Р$_m$):}

{\бф \греен Шаг 1:}
Пусть $X_1$ -- множество всех точек $x\in X$, где ранг Реммерта $\rk_x(F)$ не максимальный,
а $X':= X \backslash (X_\sing\cup X_1)$.
По теореме о постоянном ранге, 
{\бф \пурпле $F(X')$ аналитическое в окрестности каждой точки, которая
не принадлежит $F(X_1) \cup F(X_\sing)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись (Р$_{m-1}$),
можно считать, что {\бф \пурпле $F(X_1)$ и $F(X_\sing)$ комплексно-аналитические.}

{\бф \греен Шаг 3:} По теореме Реммерта о ранге,
\begin{multline*} 
  \dim F(X_\sing) = \sup_{x\in X_\sing} \rk (F\restrict {X_\sing},x)=\\
  \dim X_\sing - \inf_{x\in X_\sing } \dim F^{-1}(F(x)) < 
  \rk\sup_{x\in X} \rk (F,x)= \dim F(X').
\end{multline*}
Аналогично, $\dim F(X_1) = \sup_{x\in X_1} 
\rk (F\restrict {X_1},x)< \sup_{x\in X}\rk (F,x)=\dim F(X')$.

{\бф \греен Шаг 4:} Теперь утверждение А
{\бф \пурпле 
получается применением РШ$_{m}$ к $Z=F(X')$ и $A=F(X_1) \cup F(X_\sing)$.}

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б.}


{\бф \греен Доказательство импликации Б:
 (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (РШ$_m$):}\\
{\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией по 
$\dim A$, {\бф \пурпле можно считать, что $A$ гладко,
а $Z$ неприводимо.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив подходящий голоморфный 
диффеоморфизм, можно считать, что $Z$ вложено
в диск $B\subset \C^n$, а $A\subset B$ -- линейное
подпространство там же. Рассмотрим линейную форму,
которая не равна тождественно нулю на $Z$.
Она высекает на $Z$ подмногообразие положительной
коразмерности. Воспользовавшись индукцией, мы {\бф \пурпле построим
линейную проекцию $F:\; B \arrow \C^{\dim Z}$ такую, что
$F^{-1}(0) \cap (Z\cup A)$ имеет размерность ноль.}

{\бф \греен Шаг 3:} Найдем полидиск $D\times D'\subset B$
такой, что проекция $F$ отображает $D\times D'$ в $D'$,
причем 
{\бф \пурпле $F\restrict {(Z\cup A)\cap  D \times D'}:\;(Z\cup A)\cap  D \times D\arrow D' $
собственно и с конечными слоями}. Это можно сделать
локально в окрестности каждой точки для любого 
комплексно-аналитического пространства,
в частности, для $Z$ и для $A$, а значит и для их объединения.
Заменим $Z$ на $Z\cap D \times D'$ и $A$ на $A\cap D \times D'$.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б (2).}

{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $A'$ -- объединение $A$ и множества
всех точек, где дифференциал
$d(F\restrict Z)$ не изоморфизм, а $Z':= Z \backslash F^{-1}(F(A'))$.
Тогда $F\restrict {Z'}$ -- конечное и неразветвленное накрытие. 
Множество $A'\cap Z$ есть множество $z\in Z$, 
где дифференциал $dF$ вырожден (на максимального ранга).
Поэтому оно комплексно-аналитическое и размерности $\leq m-1$.
{\бф \ред  В силу (Р$_{m-1}$),
образ $F(A'\cap Z)$ -- комплексно-аналитический.}  То же
верно и для $F(A)$, потому что оно линейно.
{\бф \пурпле Мы получаем, что $F(A')$ -- объединение комплексного
подмножества и линейного подпространства}
(ситуация, в которой применима лемма о продолжении).


{\бф \греен Шаг 5:} 
 В этой ситуации, $Z'$ есть график
$q$-листного отображения \[ D'\backslash F(A')\arrow \Sym^q(\C)^l,\ \ \ 
\zeta_1, ..., \zeta_q:\; D'\backslash F(A')\arrow \C^l.
\]
Коэффициенты элементарных симметрических полиномов
от коэффициентов $\zeta_1, ..., \zeta_q$ -- голоморфные функции
на $D'\backslash F(A')$, которые ограничены на $D'$.
По Лемме о продолжении,
они  {\бф \пурпле непрерывно 
продолжаются до голоморфных функций $e_0, ..., e_{q-1}$
на $D'$. }

{\бф \греен Шаг 6:} Мы получили, что замыкание $Z$ 
{\бф \ред задается как график отображения 
в $D \times \Sym^q(D')$,} значит, $Z'$ комплексно-аналитично.
\ендпрооф


\end{document}
