\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 10\hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 10: теоремы Ремерта и Реммерта-Штейна} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 13 мая 2017 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)} Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат. \теорема Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$. {\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ в окрестности 0, такая, что}\\ \phantom{А} 1. $J_d=0$, где $J_k:= \calo_k\cap J$. \\ \phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} \замечание Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$ будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.} \невпаге {\бф \блуе Конечные расширения (повторение)} \следствие Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные в теореме о регулярной системе координат. {\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция $F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$ равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$ степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.} \следствие {\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\ Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для идеала $J\subset \calo_n$, а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от $z_1, ..., z_d$. Тогда {\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.} \доказательство Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)} Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал, такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$. {\бф \ред Тогда для почти всех линейных комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, функция $u$ порождает поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.} \доказательство Следует из теоремы Артина о примитивном элементе, примененной к $K=k(\calo_n/J)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Реализация ростка гиперповерхностью (повторение)} \теорема Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ регулярная система координат. Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$, заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$. {\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$ на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть график многозначной функции), а на полях частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм $k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$. {\бф\греен Доказательство. Шаг 1:} Возьмем регулярную систему координат, и рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$ координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный элемент, порождающий поле частных $k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный (имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей ${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$, $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\ {\бф \пурпле переводит $Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. } Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже зануляется в $(z_1, ..., z_n)$. {\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$ и теоремы Вейерштрасса о делении. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Гильберта-Рюкерта о нулях (повторение)} \определение Пусть $J$ -- идеал. Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение всех простых идеалов, содержащих $J$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда $a^n \in J$ для какого-то $n>0$.} \теорема {\bf \блуе (R\"uckert's Nullstellensatz)}\\ Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал, а $Z_J$ -- множество общих нулей $J$. Тогда {\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда, когда $f\in \sqrt J$.} \невпаге {\бф \блуе Неособые точки и размерность (повторение)} \определение Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой}, если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие, и {\бф \блуе особой} в противном случае \теорема Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а его дополнение плотно и открыто в $Z$.} \определение Определим {\бф \блуе размерность} ростка неприводимого комплексного множества в $x$ как размерность его множества неособых точек в достаточно маленькой окрестности $x$. \определение Многообразие называется {\бф \блуе равноразмерным}, если размерность всех его неприводимых компонент одинакова. \невпаге {\бф \блуе Свойства размерности (повторение)} \утверждение Пусть $\phi:\; X \arrow X_1$ конечно и доминантно. {\бф \ред Тогда $\dim X=\dim X_1$.} \теорема Пусть $Z$ -- росток неприводимого многообразия, а $Z_f\subset Z$ -- росток дивизора нулей какой-то функции $f$. {\бф \ред Тогда $\dim Z_f= \dim Z-1$.} \следствие {\bf \red Если $X \subset Y$ комплексно-аналитические множества, то $\dim X \leq Y$} \следствие {\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.} \замечание Пусть $\delta$ -- $\Z^{\geq 0}$-значная функция на неприводимых многообразиях, которая удовлетворяет $\delta(Z)= \delta(Z_f)+1$ и $\delta(Z)=0$ когда $Z$ -- объединение точек. Тогда $\delta=\dim$. Иначе говоря, {\бф \пурпле размерность можно определить аксиоматически}. \невпаге {\бф \блуе Теорема о постоянном ранге (повторение)} \теорема {\бф \блуе ("теорема о постоянном ранге")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение, причем $X$ гладко, а ранг $\rk F:= \dim \im dF$ постоянный. Тогда {\bf \red у каждой точки $x\in X$ есть окрестность $U\ni x$, такая, что $F(U)$ - гладкое многообразие размерности $\rk F$, а слои $F^{-1}(z)$ -- гладкие подмногообразия размерности $\ker dF$.} \доказательство Это теорема о неявной функции. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Ранг Реммерта} \определение Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение комплексных многообразий. Определим {\бф \блуе ранг Реммерта $F$ в $x$} как $\rk_x F:=\dim (X,x) - \dim (F^{-1}(F(x)),x)$. {\бф \греен Теорема 1:} {\бф \ред Ранг $\rk_x F$ полунепрерывен сверху как функция $x$}. \дшаг Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного отображения, причем $F^{-1}(y)$ имеет размерность $k$. Будем считать, что $(X,x)$ вложено в $(\C^n,0)$. Рассмотрим общее подпространство $V\subset \C^n$ размерности $n-k$, которое проходит через $x$ и пересекается с $F^{-1}(y)$ по конечному множеству. {\бф \пурпле Тогда $F\restrict V\cap X$ имеет конечные слои в некоторой окрестности $x$, поэтому $F^{-1}(F(x'))$ пересекается с $V$ по конечному множеству для любого $x'$ в окрестности $x$.} \endproof Сейчас будет доказано такое утверждение \теорема Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного отображения, а $Z\subset X$ множество точек $x\in X$, что $\rk_x(F)$ не максимальный. {\бф \ред Тогда $Z$ комплексно-аналитическое.} \невпаге {\бф \блуе Конечные морфизмы} \определение Напомню, что морфизм $F:\; X \arrow Y$ комплексных многообразий называется {\бф \блуе конечным}, если у каждой точки $x$ есть окрестность $U$ такая, что $F(U)$ открыто, а $\calo_U$ -- конечно-порожденный модуль над $\calo_{F(U)}$. Морфизм называется {\бф \блуе собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт. \теорема {\бф \блуе (теорема о подъеме и спуске простых идеалов при конечном морфизме)} Пусть $A\subset B$ кольца без делителей нуля, причем $B$ конечно порождено как $A$-модуль. Тогда {\бф \ред каждый простой идеал $\goth p\subset A$ получается как $\goth q \cap A$,} где $\goth q\subset B$ простой идеал, и {\бф \ред число таких идеалов $\goth q$ конечно.} \доказательство См. листочки. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечные морфизмы комплексно-аналитических пространств} \следствие При конечном морфизме, {\бф \ред образ комплексно-аналитического множество комплексно-аналитический.} \доказательство Следует из биекции между неприводимыми подмногообразиями и простыми идеалами. \ендпрооф \замечание Еще можно это утверждение вывести из того, что {\бф \пурпле конечный морфизм есть разветвленное накрытие.} \следствие Пусть $\phi:\; X \arrow Y$ морфизм ростков комплексно-аналитических пространств, причем $\calo_X$ конечно порождено как модуль над $\calo_Y$. {\бф \ред Тогда $\phi$ собственный, а число прообразов каждой точки конечно.} \замечание Для конечных морфизмов комплексных пространств, {\бф \пурпле это утверждение доказывалось с применением регулярных координат. } %\невпаге % %{\бф \блуе Регулярные системы координат для морфизма} % %\замечание %Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное отображение %комплексных многообразий одинаковой размерности, вложенных в %шары $B^n\subset \C^n$, $B^m\subset \C^m$ %Тогда {\бф \пурпле можно голоморфно вложить $X$ в $\C^n$, %$Y$ в $\C^m$ таким образом, что $F$ индуцируется проекцией.} %Для этого достаточно отождествить $X$ с графиком $F$, и %спроектировать график. % %\утверждение %Пусть $X\subset B^n$, $Y\subset B^m$, а %$F:\; X \arrow Y$ индуцировано линейной %проекцией. {\бф \пурпле Тогда найдутся регулярные %координаты $z_1,..., z_m$ для $Y$ %и линейные функции $z_{m+1}, ..., z_n$ на $X$ %такие, что $F^*(z_1), ..., F^*(z_m), z_{m+1}, ..., z_n$ %задают регулярную систему координат на $X$.} % %\доказательство %Функции $z_i$ получаются той же процедурой, %что и построение регулярной системы координат. %\ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Объединение положительномерных слоев морфизма} \теорема Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- комплексно-аналическое отображение неприводимых $d$-мерных многообразий, а общий слой $F$ 0-мерен. {\бф \ред Тогда объединение всех слоев $F$ положительной размерности комплексно-аналитично.} \дшаг Воспользовавшись теоремой о примитивном элементе, построим разветвленные накрытия $\phi_X:\; X_u\arrow C_d$, $\phi_Y:\; Y_u\arrow \C_d$, бимероморфные $X$, $Y$. Пусть $X_1$ есть образ графика $F$ в $X_u\times Y_u$, а $Y_1=Y_u$. Образ комплексно-аналитического множества при бимероморфном собственном отображении комплексно-аналитичен, потому что задается как множество общих нулей набора мероморфных функций. Мы построили коммутативную диаграмму \[ \begin{CD} X @>\phi >> X_1\\ @VFVV @V{F_1}VV\\ Y @>>> Y_1\\ \end{CD} \] такую, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы, a $F_1$ конечно. \невпаге {\бф \блуе Объединение положительномерных слоев морфизма (2)} \теорема Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- комплексно-аналическое отображение неприводимых $d$-мерных многообразий, а общий слой $F$ 0-мерен. {\бф \ред Тогда объединение всех слоев $F$ положительной размерности комплексно-аналитично.} {\бф \греен Шаг 1:} Мы построили коммутативную диаграмму \[ \begin{CD} X @>\phi >> X_1\\ @VFVV @V{F_1}VV\\ Y @>>> Y_1\\ \end{CD} \] такую, что горизонтальные стрелки - бимероморфизмы, a $F_1$ конечно. {\бф \греен Шаг 2:} {\бф \блуе Исключительное множество} бимероморфного отображения есть множество, где оно необратимо. Пусть $Z\subset X$ -- множество точек $x\in X$ таких, что $F^{-1}(F(x))$ имеет положительную размерность. Поскольку $F_1$ конечно, $Z$ содержится в исключительном множестве $\phi$, обозначенном $X_e$. Ограничение $F$ на $X_e$ либо конечно в общей точке (и мы воспользуемся индукцией по размерности $X$, применив утверждение теоремы к $X_e$), либо положительномерно в общей точке $X_e$, и в этом случае $Z=X_e$ в силу утверждения (*) из прошлой лекции. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Множество, где ранг Реммерта не максимален} \теорема Пусть $F:\; (X,x) \arrow (Y,y)$ -- росток голоморфного отображения, а $Z\subset X$ множество точек $x\in X$, что $\rk_x(F)$ не максимальный. {\бф \ред Тогда $Z$ комплексно-аналитическое.} \дшаг Если для общей точки $x\in X$, размерность $F^{-1}(F(x))$ нульмерна, комплексно-аналитичность $Z$ следует из теоремы, доказанной выше. {\бф \греен Шаг 2:} Если же для общей точки, размерность $F^{-1}(F(x))$ $k$-мерна, $k>0$, возьмем линейную проекцию $G:\; X \arrow \C^k$, которая имеет ранг $k$ на гладких точках $F^{-1}(F(x))$. Тогда общие слои $F\times G:\; X \arrow Y\times \C^k$ 0-мерны, и их размерность подскакивает в $Z$. Применяя шаг 1 к $F\times G$, получаем, что $Z$ комплексно-аналитично. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта о ранге} \теорема Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- морфизм комплексных многообразий, причем $k = \sup_{x\in X} \rk_x F.$ {\bf \red Тогда $\im F$ лежит в объединение комплексных многообразий размерности $\leq k$, одно из которых $k$-мерно.} \дшаг Воспользовавшись индукцией, можно считать, что теорема Реммерта справедлива для любого отображения $F_1:\; X_1 \arrow Y_1$, для которого $\dim X_1 < \dim X$. {\бф \греен Шаг 2:} Ранг Реммерта $\rk(F, x)$ полунепрерывен по $x$, и достигает максимума на открытом, плотном множестве. По теореме о постоянном ранге, $F$ есть гладкая субмерсия на множестве $X_0$ гладких точек $x\in X$, на которых $\rk d F\restrict{T_x X}$ максимален. По теореме о постоянном ранге $F(X_0)$ есть комплексное многообразие размерности $k$. {\бф \греен Шаг 3:} Дополнение $A:=X \backslash X_0$ комплексно-аналитично и имеет размерность меньше, чем $\dim X$. По предположению индукции, теорема Реммерта справедлива для $A$. Значит, $F(A)$ лежит в многообразии размерности $\leq k$. \endproof \следствие {\бф \блуе ("теорема Реммерта о ранге")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- голоморфное, сюрьективное отображение комплексных многообразий. {\bf \red Тогда $\dim Y = \sup_{x\in X} \rk_x F.$} \ендпрооф \невпаге \begin{center} \epsfig{file=Remmert-OW-1983.jpg,width=0.80\linewidth}\\[10mm] { \it \small\green Reinhold Remmert (22 June 1930 - 9 March 2016)\\ August 1983, Oberwolfach, photo by Paul Halmos. } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Продолжение голоморфных функций} {\бф \греен Лемма о продолжении:} Пусть $D\subset B$ -- дивизор в шаре $B\subset \C^n$, а $f\in \calo_{B \backslash D}$ -- ограниченная голоморфная функция на дополнении. {\бф \ред Тогда $f$ продолжается до голоморфной непрерывной функции на $B$.} \дшаг {\бф \пурпле Если $f$ непрерывна, то это следует из формулы Коши} и теоремы Римана о продолжении в размерности 1. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $\lambda\in \calo_B$ есть голоморфная функция, зануляющаяся в $D$. Тогда $f\lambda$ непрерывна в $D$ и вне него, {\бф \пурпле значит, $f$ мероморфна.} {\бф \греен Шаг 3:} Если $f$ мероморфна, $f = \frac g h$. Воспользуемся факториальностью кольца ростков, чтобы сократить $f$ и $g$ на наибольший общий делитель. В силу теоремы Гильберта о нулях и взаимной простоты $g$ и $h$, {\бф \пурпле если $h$ не обратима, то существует точка $x\in B$, такая, что $h(x)=0$, а $g(x)\neq 0$.} В этой точке $f=\infty$, что невозможно. \ендпрооф \замечание {\бф \пурпле Это утверждение также верно, если $D= A\cup Z$, где $A$ -- один дивизор, а $Z\subset B\backslash A$ -- другой дивизор.} Действительно, в этой ситуации $f$ непрерывно продолжается на $B\backslash A$, потому что $Z$ это дивизор, а потом и на $B$, потому что $A$ это дивизор. {\бф \ред В этой формулировке мы и будем применять лемму.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна (схема доказательства)} \определение {\бф \блуе Собственное отображение} есть такое отображение, что прообраз любого компакта компактен. \теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта-Штейна")} Пусть $X$ -- комплексное многообразие, $A\subset X$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z$ -- неприводимое комплексно-аналитическое подмножество в $X\backslash A$. Предположим, что $\dim Z> \dim A$. {\бф \ред Тогда замыкание $\bar Z$ комплексно-аналитично в $X$.} \теорема {\бф \блуе ("Теорема Реммерта о собственном отображении")} Пусть $F:\; X \arrow Y$ -- собственный морфизм комплексных многообразий. {\бф \ред Тогда $F(X)$ комплексно-аналитично в $Y$.} Доказательство этих теорем ведется индуктивно.\\ {\бф \блуе (РШ$_m$):} утверждение теоремы Реммерта-Штейна верно для $\dim X\leq m$.\\ {\бф \блуе (Р$_m$):} утверждение теоремы Реммерта верно для $\dim X\leq m$. Мы доказываем два утверждения: {\бф \греен А.} (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) влечет (Р$_m$). \\ {\бф \греен Б.} (Р$_{m-1}$) влечет (РШ$_m$). \невпаге \begin{center} \epsfig{file=Karl_Stein.jpeg,width=0.30\linewidth}\\[10mm] { \it \small\green Karl Stein (1913-2000) \\ Eichst\"att, 1968 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение А.} {\бф \греен Доказательство импликации А: (РШ$_m$) и (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (Р$_m$):} {\бф \греен Шаг 1:} Пусть $X_1$ -- множество всех точек $x\in X$, где ранг Реммерта $\rk_x(F)$ не максимальный, а $X':= X \backslash (X_\sing\cup X_1)$. По теореме о постоянном ранге, {\бф \пурпле $F(X')$ аналитическое в окрестности каждой точки, которая не принадлежит $F(X_1) \cup F(X_\sing)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Воспользовавшись (Р$_{m-1}$), можно считать, что {\бф \пурпле $F(X_1)$ и $F(X_\sing)$ комплексно-аналитические.} {\бф \греен Шаг 3:} По теореме Реммерта о ранге, \begin{multline*} \dim F(X_\sing) = \sup_{x\in X_\sing} \rk (F\restrict {X_\sing},x)=\\ \dim X_\sing - \inf_{x\in X_\sing } \dim F^{-1}(F(x)) < \rk\sup_{x\in X} \rk (F,x)= \dim F(X'). \end{multline*} Аналогично, $\dim F(X_1) = \sup_{x\in X_1} \rk (F\restrict {X_1},x)< \sup_{x\in X}\rk (F,x)=\dim F(X')$. {\бф \греен Шаг 4:} Теперь утверждение А {\бф \пурпле получается применением РШ$_{m}$ к $Z=F(X')$ и $A=F(X_1) \cup F(X_\sing)$.} \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б.} {\бф \греен Доказательство импликации Б: (Р$_{m-1}$) $\Rightarrow$ (РШ$_m$):}\\ {\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией по $\dim A$, {\бф \пурпле можно считать, что $A$ гладко, а $Z$ неприводимо.} {\бф \греен Шаг 2:} Применив подходящий голоморфный диффеоморфизм, можно считать, что $Z$ вложено в диск $B\subset \C^n$, а $A\subset B$ -- линейное подпространство там же. Рассмотрим линейную форму, которая не равна тождественно нулю на $Z$. Она высекает на $Z$ подмногообразие положительной коразмерности. Воспользовавшись индукцией, мы {\бф \пурпле построим линейную проекцию $F:\; B \arrow \C^{\dim Z}$ такую, что $F^{-1}(0) \cap (Z\cup A)$ имеет размерность ноль.} {\бф \греен Шаг 3:} Найдем полидиск $D\times D'\subset B$ такой, что проекция $F$ отображает $D\times D'$ в $D'$, причем {\бф \пурпле $F\restrict {(Z\cup A)\cap D \times D'}:\;(Z\cup A)\cap D \times D\arrow D' $ собственно и с конечными слоями}. Это можно сделать локально в окрестности каждой точки для любого комплексно-аналитического пространства, в частности, для $Z$ и для $A$, а значит и для их объединения. Заменим $Z$ на $Z\cap D \times D'$ и $A$ на $A\cap D \times D'$. \невпаге {\бф \блуе Теорема Реммерта и Реммерта-Штейна: утверждение Б (2).} {\бф \греен Шаг 4:} Пусть $A'$ -- объединение $A$ и множества всех точек, где дифференциал $d(F\restrict Z)$ не изоморфизм, а $Z':= Z \backslash F^{-1}(F(A'))$. Тогда $F\restrict {Z'}$ -- конечное и неразветвленное накрытие. Множество $A'\cap Z$ есть множество $z\in Z$, где дифференциал $dF$ вырожден (на максимального ранга). Поэтому оно комплексно-аналитическое и размерности $\leq m-1$. {\бф \ред В силу (Р$_{m-1}$), образ $F(A'\cap Z)$ -- комплексно-аналитический.} То же верно и для $F(A)$, потому что оно линейно. {\бф \пурпле Мы получаем, что $F(A')$ -- объединение комплексного подмножества и линейного подпространства} (ситуация, в которой применима лемма о продолжении). {\бф \греен Шаг 5:} В этой ситуации, $Z'$ есть график $q$-листного отображения \[ D'\backslash F(A')\arrow \Sym^q(\C)^l,\ \ \ \zeta_1, ..., \zeta_q:\; D'\backslash F(A')\arrow \C^l. \] Коэффициенты элементарных симметрических полиномов от коэффициентов $\zeta_1, ..., \zeta_q$ -- голоморфные функции на $D'\backslash F(A')$, которые ограничены на $D'$. По Лемме о продолжении, они {\бф \пурпле непрерывно продолжаются до голоморфных функций $e_0, ..., e_{q-1}$ на $D'$. } {\бф \греен Шаг 6:} Мы получили, что замыкание $Z$ {\бф \ред задается как график отображения в $D \times \Sym^q(D')$,} значит, $Z'$ комплексно-аналитично. \ендпрооф \end{document}