\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства,
          лекция 8\hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 8: мероморфные функции, гладкие точки, размерность}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 22 апреля 2017
}
\end{center}


\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)}

Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных
функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат.

\теорема
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$.
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}\\
\phantom{А} 1.  $J_d=0$, где
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором 
полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 


\замечание
Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечные расширения (повторение)}


\следствие
Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные
в теореме о регулярной системе координат. 
{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
$F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$
равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$
степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.}


\следствие
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\доказательство
Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф


\теорема
{\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)}
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал,
такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$.
{\бф \ред Тогда для почти всех линейных
комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
функция $u$ порождает
поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.}

\доказательство
Следует из теоремы Артина о примитивном элементе,
примененной к $K=k(\calo_n/J)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Реализация ростка гиперповерхностью (повторение)}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
регулярная система координат.
Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$.
{\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ 
на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$
на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть
график многозначной функции), а на полях
частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм
$k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$.

{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный
(имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей
${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\
{\бф \пурпле переводит
$Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. }
Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются
все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже
зануляется в $(z_1, ..., z_n)$.

{\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует
из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$
и теоремы Вейерштрасса о делении.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях (общая форма)}

\определение
Пусть $J$ -- идеал.
Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение
всех простых идеалов, содержащих $J$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда
$a^n \in J$ для какого-то $n>0$.}

\теорема {\bf \блуе (R\"uckert's Nullstellensatz)}\\
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал,
а $Z_J$ множество общих нулей $J$. Тогда 
{\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда,
когда $f\in \sqrt J$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
В силу предыдущего упражнения, $Z_J=Z_{\sqrt J}$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть ${\goth P}$ -- множество простых идеалов,
содержащих $J$. В силу шага 1, имеем
 $Z_J =Z_{\sqrt J}=\bigcup_{J'\in \goth P}Z_{J'}$, так как
$\sqrt J= \bigcap_{J'\in \goth P}J'$.


{\бф \греен Шаг 3:} Если функция зануляется на
$Z_J$, она лежит во всех $Z_{J'}$, и в силу
``теоремы Гильберта о нулях для простых идеалов''
принадлежит $\bigcap_{J'\in \goth P} J'$. \ендпрооф

{\green \it Walther R\"uckert,
  "Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale", Math.
Ann. 107 (1932), p. 259-281.}


\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (повторение)}

\определение
Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином.
{\бф\блуе Дискриминант} $P$ есть произведение
вида $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$,
которое выражается как полином от коэффициентов $P$.


\лемма
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ -- регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен,  а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Тогда {\бф \ред $D({\cal
P}_u)$ ненулевой.}


\доказательство
Если $D({\cal P}_u)$ равен нулю, то ${\cal P}_u(t)$
имеет общий делитель с его производной, что противоречит
минимальности. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (продолжение)}

\теорема
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен, степени $N$, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Обозначим за $D_Z\subset \calo_d$ множество, где 
$D({\cal P}_u)=0$, и пусть $\Pi_d$ -- проекция на
первые $d$ координат. Тогда 
{\бф \ред  проекция  $Z\backslash {\Pi_d}^{-1}(D_Z)\stackrel {\Pi_d} 
\arrow \C^d\backslash D_Z$ -- неразветвленное
$N$-листное накрытие.}

\доказательство
Воспользовавшись отображением ${\goth u}$, построенным
в доказательстве теоремы Гильберта о нулях, можно
считать, что $n=d+1$. Тогда $Z$ есть множество нулей
многочлена ${\cal P}_u(t)$ без кратных корней в
$\C^d\backslash D_Z$.
Применяя теорему об обратной функции, получаем, что
{\бф \пурпле вне $D_Z$, отображение $Z\stackrel {\Pi_d} \arrow
\C^d$ этально} (то есть локально является 
диффеоморфизмом).  Наконец, {\бф \пурпле $N$-листность этого накрытия
в некоторой окрестности 0 следует из аргумента, 
доказывающего подготовительную теорему Вейерштрасса.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Неособые точки  (повторение)}

\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф \блуе особой} в противном случае

\теорема
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество,
а его дополнение плотно и открыто в $Z$.}

\доказательство
Поскольку результат локальный, можно считать,
что $Z$ -- росток комплексно-аналитического
множества. Возьмем регулярные координаты,
и пусть $D_Z$ -- множество нулей дискриминанта
$Z$. {\bf \purple Вне $D_Z$, $Z$ неособо, что доказывает
плотность и открытость множества гладких точек.}

Пусть теперь $f_1, ..., f_n$ порождают идеал
функций, зануляющихся в $Z$. Тогда 
{\бф \пурпле $Z_{sing}$ есть множество, где ранг 
$\langle df_1, ..., df_n\rangle$ меньше $\codim Z$,}
значит, оно комплексно-аналитично. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Конечные отображения}

\определение
Напомню, что отображение $\phi:\; Z\arrow Z_1$ 
называется {\бф \блуе морфизмом ростков}, если
оно задано комплексно-аналитическими функциями
в локальных координатах. В этой ситуации,
кольцо функций $\calo_Z$ является $\calo_{Z_1}$-модулем.
Мы говорим, что {\бф \блуе $Z$ конечно над $Z_1$},
если $\calo_Z$ конечно порождено как $\calo_{Z_1}$-модуль,
и {\бф \блуе морфизм $\phi$ доминантен}, если его образ
не лежит в собственном комплексно-аналитическом
подмногообразии.

\теорема
Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- конечный, доминантный морфизм.
Тогда {\бф \ред $\phi$ является конечным накрытием
  вне собственного комплексно-аналитического множества}.

\дшаг
Выберем на $Z_1$ регулярные координаты \\ $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$.
Поскольку $\phi$ доминантен, $\phi^*(\calo_d)\subset \calo_Z$ -- подкольцо,
а поскольку $\calo_Z$ конечно над $\calo_d$, все функции
на $Z$ выражаются как полиномы Вейерштрасса от $z_1, ..., z_d$.
{\бф \пурпле
  Мы построили согласованные системы регулярных координат на $Z$ и $Z_1$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Вне дискриминантов $Z, Z_1$, проекции из
$Z$ и $Z_1$ на $\C^d$ этальны. Значит,
$\phi$ вне этих дискриминантов этально.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Размерность}

\определение
Определим {\бф \блуе размерность} ростка неприводимого комплексного
множества как размерность его множества неособых точек.

\замечание Через пару лекций будет доказана такая теорема.
{\бф \ред Пусть $M$ неприводимо, а $Z\subsetneq M$ -- собственное подмногообразие.
Тогда $M\backslash Z$ связно}.

\упражнение 
Выведите из этого, 
что {\бф \пурпле размерность неприводимого подмногообразия постоянна.}

\утверждение
    Пусть $\phi:\; X \arrow X_1$
      конечно и доминантно. {\бф \ред Тогда $\dim X=\dim X_1$.}

      \доказательство Выше доказано, что
      $\phi$ этально в общей точке. \ендпрооф

\определение
Многообразие называется {\бф \блуе равноразмерным}, если
размерность всех его неприводимых компонент одинакова.

\невпаге

{\бф \блуе Размерность дивизоров}

\теорема
Пусть $Z$ -- росток неприводимого многообразия,
а $Z_f\subset Z$ -- росток дивизора нулей какой-то функции $f$.
{\бф \ред Тогда $\dim Z_f= \dim Z-1$.}

\дшаг
Если $Z_f$ пересекает множество гладких точек $Z$,
можно считать, что $Z=\C^n$, а $f$ просто (то есть
все его делители обратимы, либо делят $f$). 
Представив
$f$ в виде полинома Вейерштрасса, получаем, что
{\бф \пурпле $f$ задает разветвленное накрытие над $\C^{n-1}$,}
которое этально вне его дискриминанта, что и дает
$\dim Z_f=n-1$.

{\бф \греен Шаг 2:} Осталось убедиться, что
$\dim Z_f= \dim Z-1$, когда $Z_f$ лежит в дискриминанте $D\subset Z$.
Поскольку отображение $Z\arrow \C^d$, построенное
по регулярным координатам, конечно, размерность
$\Pi_d(D)$ равна размерности $D$. Но {\бф \пурпле поскольку
$\Pi_d(D)$ есть дивизор в $\C^d$, его размерность
равна $d-1$ в силу шага 1.} \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Размерность дивизоров: полезные следствия}

\следствие
Никакое неприводимое комплексно-аналитическое многообразие $X$
{\бф \ред не равно счетному объединению своих дивизоров.}

\доказательство Действительно, в множестве гладких точек
счетное объединение дивизоров имеет меру нуль.
\ендпрооф

\следствие
Мероморфная функция {\бф \ред задает голоморфное отображение
вне своего полюса,}
который образует замкнутое, нигде не плотное множество.

\следствие
{\bf \red Если $X \subset Y$ комплексно-аналитические множества,
то $\dim X \leq Y$} {\бф \пурпле (докажите это).}

\следствие
{\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.}


\невпаге

{\бф \блуе ``Принцип максимума''}

\теорема {\бф \блуе (``Принцип максимума для голоморфных функций'')}
Пусть $f$ -- голоморфная функция на компактном, неприводимом
комплексном многообразии $Z$, причем $|f|$ достигает
максимума в какой-то точке $Z$. {\бф \ред Тогда  $f$ постоянна.}

Немедленно вытекает из следующего утверждения.

\утверждение
Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на неприводимом
комплексном многообразии $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ открыто,}
то есть переводит открытые множества в открытые.

\доказательство
Пусть $x \in Z$.
Воспользовавшись регулярными координатами, найдем
неприводимый росток гладкой кривой $C\arrow Z_x$, на которой $f$
непостоянно. {\bf \purple Тогда $f\restrict C$ содержит окрестность $f(x)$.}
\ендпрооф

\следствие
Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное комплексное
подмногообразие. {\бф \ред Тогда $Z$ -- конечное множество.}

\доказательство
Голоморфные функции разделяют точки $Z$. \ендпрооф




\end{document}
