\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\sing}{{\text{\sf sing}}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 8\hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 8: мероморфные функции, гладкие точки, размерность} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 22 апреля 2017 } \end{center} \невпаге {\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)} Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат. \теорема Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$. {\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ в окрестности 0, такая, что}\\ \phantom{А} 1. $J_d=0$, где $J_k:= \calo_k\cap J$. \\ \phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} \замечание Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$ для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$ будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.} \невпаге {\бф \блуе Конечные расширения (повторение)} \следствие Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные в теореме о регулярной системе координат. {\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция $F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$ равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$ степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.} \следствие {\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\ Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для идеала $J\subset \calo_n$, а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от $z_1, ..., z_d$. Тогда {\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.} \доказательство Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф \теорема {\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)} Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал, такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$. {\бф \ред Тогда для почти всех линейных комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, функция $u$ порождает поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.} \доказательство Следует из теоремы Артина о примитивном элементе, примененной к $K=k(\calo_n/J)$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Реализация ростка гиперповерхностью (повторение)} \теорема Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$ регулярная система координат. Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$, заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$. {\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$ на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть график многозначной функции), а на полях частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм $k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$. {\бф\греен Доказательство. Шаг 1:} Возьмем регулярную систему координат, и рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$ координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный элемент, порождающий поле частных $k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный (имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей ${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$, $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\ {\бф \пурпле переводит $Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. } Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже зануляется в $(z_1, ..., z_n)$. {\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$ и теоремы Вейерштрасса о делении. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях (общая форма)} \определение Пусть $J$ -- идеал. Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение всех простых идеалов, содержащих $J$. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда $a^n \in J$ для какого-то $n>0$.} \теорема {\bf \блуе (R\"uckert's Nullstellensatz)}\\ Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал, а $Z_J$ множество общих нулей $J$. Тогда {\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда, когда $f\in \sqrt J$.} {\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} В силу предыдущего упражнения, $Z_J=Z_{\sqrt J}$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть ${\goth P}$ -- множество простых идеалов, содержащих $J$. В силу шага 1, имеем $Z_J =Z_{\sqrt J}=\bigcup_{J'\in \goth P}Z_{J'}$, так как $\sqrt J= \bigcap_{J'\in \goth P}J'$. {\бф \греен Шаг 3:} Если функция зануляется на $Z_J$, она лежит во всех $Z_{J'}$, и в силу ``теоремы Гильберта о нулях для простых идеалов'' принадлежит $\bigcap_{J'\in \goth P} J'$. \ендпрооф {\green \it Walther R\"uckert, "Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale", Math. Ann. 107 (1932), p. 259-281.} \невпаге {\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (повторение)} \определение Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином. {\бф\блуе Дискриминант} $P$ есть произведение вида $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$, которое выражается как полином от коэффициентов $P$. \лемма Пусть $Z$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического подмножества, $z_1, ..., z_n$ -- регулярные координаты, $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный многочлен, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант ${\cal P}_u(t)$. Тогда {\бф \ред $D({\cal P}_u)$ ненулевой.} \доказательство Если $D({\cal P}_u)$ равен нулю, то ${\cal P}_u(t)$ имеет общий делитель с его производной, что противоречит минимальности. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (продолжение)} \теорема Пусть $Z$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического подмножества, $z_1, ..., z_n$ регулярные координаты, $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный многочлен, степени $N$, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант ${\cal P}_u(t)$. Обозначим за $D_Z\subset \calo_d$ множество, где $D({\cal P}_u)=0$, и пусть $\Pi_d$ -- проекция на первые $d$ координат. Тогда {\бф \ред проекция $Z\backslash {\Pi_d}^{-1}(D_Z)\stackrel {\Pi_d} \arrow \C^d\backslash D_Z$ -- неразветвленное $N$-листное накрытие.} \доказательство Воспользовавшись отображением ${\goth u}$, построенным в доказательстве теоремы Гильберта о нулях, можно считать, что $n=d+1$. Тогда $Z$ есть множество нулей многочлена ${\cal P}_u(t)$ без кратных корней в $\C^d\backslash D_Z$. Применяя теорему об обратной функции, получаем, что {\бф \пурпле вне $D_Z$, отображение $Z\stackrel {\Pi_d} \arrow \C^d$ этально} (то есть локально является диффеоморфизмом). Наконец, {\бф \пурпле $N$-листность этого накрытия в некоторой окрестности 0 следует из аргумента, доказывающего подготовительную теорему Вейерштрасса.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Неособые точки (повторение)} \определение Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой}, если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие, и {\бф \блуе особой} в противном случае \теорема Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ -- комплексно-аналитическое подмножество, а его дополнение плотно и открыто в $Z$.} \доказательство Поскольку результат локальный, можно считать, что $Z$ -- росток комплексно-аналитического множества. Возьмем регулярные координаты, и пусть $D_Z$ -- множество нулей дискриминанта $Z$. {\bf \purple Вне $D_Z$, $Z$ неособо, что доказывает плотность и открытость множества гладких точек.} Пусть теперь $f_1, ..., f_n$ порождают идеал функций, зануляющихся в $Z$. Тогда {\бф \пурпле $Z_{sing}$ есть множество, где ранг $\langle df_1, ..., df_n\rangle$ меньше $\codim Z$,} значит, оно комплексно-аналитично. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Конечные отображения} \определение Напомню, что отображение $\phi:\; Z\arrow Z_1$ называется {\бф \блуе морфизмом ростков}, если оно задано комплексно-аналитическими функциями в локальных координатах. В этой ситуации, кольцо функций $\calo_Z$ является $\calo_{Z_1}$-модулем. Мы говорим, что {\бф \блуе $Z$ конечно над $Z_1$}, если $\calo_Z$ конечно порождено как $\calo_{Z_1}$-модуль, и {\бф \блуе морфизм $\phi$ доминантен}, если его образ не лежит в собственном комплексно-аналитическом подмногообразии. \теорема Пусть $\phi:\; Z\arrow Z_1$ -- конечный, доминантный морфизм. Тогда {\бф \ред $\phi$ является конечным накрытием вне собственного комплексно-аналитического множества}. \дшаг Выберем на $Z_1$ регулярные координаты \\ $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$. Поскольку $\phi$ доминантен, $\phi^*(\calo_d)\subset \calo_Z$ -- подкольцо, а поскольку $\calo_Z$ конечно над $\calo_d$, все функции на $Z$ выражаются как полиномы Вейерштрасса от $z_1, ..., z_d$. {\бф \пурпле Мы построили согласованные системы регулярных координат на $Z$ и $Z_1$.} {\бф \греен Шаг 2:} Вне дискриминантов $Z, Z_1$, проекции из $Z$ и $Z_1$ на $\C^d$ этальны. Значит, $\phi$ вне этих дискриминантов этально. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Размерность} \определение Определим {\бф \блуе размерность} ростка неприводимого комплексного множества как размерность его множества неособых точек. \замечание Через пару лекций будет доказана такая теорема. {\бф \ред Пусть $M$ неприводимо, а $Z\subsetneq M$ -- собственное подмногообразие. Тогда $M\backslash Z$ связно}. \упражнение Выведите из этого, что {\бф \пурпле размерность неприводимого подмногообразия постоянна.} \утверждение Пусть $\phi:\; X \arrow X_1$ конечно и доминантно. {\бф \ред Тогда $\dim X=\dim X_1$.} \доказательство Выше доказано, что $\phi$ этально в общей точке. \ендпрооф \определение Многообразие называется {\бф \блуе равноразмерным}, если размерность всех его неприводимых компонент одинакова. \невпаге {\бф \блуе Размерность дивизоров} \теорема Пусть $Z$ -- росток неприводимого многообразия, а $Z_f\subset Z$ -- росток дивизора нулей какой-то функции $f$. {\бф \ред Тогда $\dim Z_f= \dim Z-1$.} \дшаг Если $Z_f$ пересекает множество гладких точек $Z$, можно считать, что $Z=\C^n$, а $f$ просто (то есть все его делители обратимы, либо делят $f$). Представив $f$ в виде полинома Вейерштрасса, получаем, что {\бф \пурпле $f$ задает разветвленное накрытие над $\C^{n-1}$,} которое этально вне его дискриминанта, что и дает $\dim Z_f=n-1$. {\бф \греен Шаг 2:} Осталось убедиться, что $\dim Z_f= \dim Z-1$, когда $Z_f$ лежит в дискриминанте $D\subset Z$. Поскольку отображение $Z\arrow \C^d$, построенное по регулярным координатам, конечно, размерность $\Pi_d(D)$ равна размерности $D$. Но {\бф \пурпле поскольку $\Pi_d(D)$ есть дивизор в $\C^d$, его размерность равна $d-1$ в силу шага 1.} \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Размерность дивизоров: полезные следствия} \следствие Никакое неприводимое комплексно-аналитическое многообразие $X$ {\бф \ред не равно счетному объединению своих дивизоров.} \доказательство Действительно, в множестве гладких точек счетное объединение дивизоров имеет меру нуль. \ендпрооф \следствие Мероморфная функция {\бф \ред задает голоморфное отображение вне своего полюса,} который образует замкнутое, нигде не плотное множество. \следствие {\bf \red Если $X \subset Y$ комплексно-аналитические множества, то $\dim X \leq Y$} {\бф \пурпле (докажите это).} \следствие {\бф \ред $\dim X > \dim X_{\sing}$.} \невпаге {\бф \блуе ``Принцип максимума''} \теорема {\бф \блуе (``Принцип максимума для голоморфных функций'')} Пусть $f$ -- голоморфная функция на компактном, неприводимом комплексном многообразии $Z$, причем $|f|$ достигает максимума в какой-то точке $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ постоянна.} Немедленно вытекает из следующего утверждения. \утверждение Пусть $f$ -- непостоянная голоморфная функция на неприводимом комплексном многообразии $Z$. {\бф \ред Тогда $f$ открыто,} то есть переводит открытые множества в открытые. \доказательство Пусть $x \in Z$. Воспользовавшись регулярными координатами, найдем неприводимый росток гладкой кривой $C\arrow Z_x$, на которой $f$ непостоянно. {\bf \purple Тогда $f\restrict C$ содержит окрестность $f(x)$.} \ендпрооф \следствие Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное комплексное подмногообразие. {\бф \ред Тогда $Z$ -- конечное множество.} \доказательство Голоморфные функции разделяют точки $Z$. \ендпрооф \end{document}