\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства,
          лекция 7\hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 7: применения теоремы Гильберта: дискриминант и гладкие точки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 15 апреля 2017
}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)}

\лемма 
{\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
{\бф \ред Тогда $f=0$.}

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\следствие 
Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия,
а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение
ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.}


\определение 
{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций}  есть
множество классов эквивалентности голоморфных функций,
определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности
{\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}.



\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (повторение)}

\замечание
Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций 
на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$.
Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

\замечание
Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$,
{\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса
применима ко всем $f_i$.}

\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$,
причем $P(0,z_n) = z_n ^k$. 
{\бф \red Тогда каждый росток голоморфной  функции $F$ может быть представлен
в виде $F=hP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $k$.


\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала (повторение)}

Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных
функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат.

\теорема
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$.
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}\\
\phantom{А} 1.  $J_d=0$, где
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором 
полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 


\замечание
Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}

\невпаге

{\бф \блуе Конечные расширения (повторение)}


\следствие
Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные
в теореме о регулярной системе координат. 
{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
$F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$
равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$
степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Воспользовавшись индукцией по $n$, можно считать, что {\бф 
\пурпле утверждение
следствия доказано для каждой функции, которая зависит
только от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему
Вейерштрасса о делении, запишем $F=fP_n +Q$,
где $Q$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $s_n$. {\бф \пурпле Коэффициенты $Q$
зависят только от $z_1, ..., z_{n-1}$,
и в силу шага 1 для них утверждение
следствия уже доказано.}
\ендпрооф

\следствие
В этой ситуации,
{\бф \ред поле частных $\calo_n/J$ -- конечное расширение поля частных $\calo_d$.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема о конечности (повторение)}


\следствие
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\доказательство
Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф


\теорема
{\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)}
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал,
такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$.
{\бф \ред Тогда для почти всех линейных
комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
функция $u$ порождает
поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.}

\доказательство
Следует из теоремы Артина о примитивном элементе,
примененной к $K=k(\calo_n/J)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Реализация ростка гиперповерхностью (повторение)}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
регулярная система координат.
Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$.
{\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ 
на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$
на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть
график многозначной функции), а на полях
частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм
$k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$.

{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный
(имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей
${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\
{\бф \пурпле переводит
$Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. }
Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются
все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже
зануляется в $(z_1, ..., z_n)$.

{\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует
из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$
и теоремы Вейерштрасса о делении.
\ендпрооф
\newpage


{\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки (повторение)}


\определение
{\бф \blue Комплексно-аналитическое подмножество}
(или же {\бф \блуе "комплексно-аналитическое подмногообразие"})
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, локально заданное как множество общих нулей
какого-то набора голоморфных функций.

\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмножества. Они называются {\бф \блуе эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два ростка комплексно-аналитических подмножества.
{\бф\блуе Неприводимая компонента} $Z$ есть неприводимое подмножество
$Z_1 \subset Z$ такое, что дополнение $Z \backslash Z_1$
содержится в комплексно-аналитическом подмножестве,
которое строго меньше $Z$.

\упражнение Пусть $I\subset \calo_n$ -- простой идеал.
Докажите, что {\бф \ред множество общих нулей $I$ -- неприводимый росток}.

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях, для простого идеала (повторение)}

\теорема 
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал, $Z$ -- множество
общих нулей $J$, а $J_Z$ -- множество всех функций, зануляющихся
в $Z$. {\бф \ред Тогда $J_Z = J$.}


{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином.
Поскольку ${\cal P}_u(u)$ -- полином
Вейерштрасса, проекция его нулей в $\C^d$ сюрьективна. 
Следовательно, проекция $Z$ на первые $d$ координат имеет
образ, который не лежит в собственном аналитическом подмножестве $\C^d$.
Мы получили, что
{\бф \ред ненулевая функция $f\in \calo_d$ не может 
зануляться на $Z$.} 

{\бф \греен Шаг 2:}
Понятно, что $J_Z \supset J$.
В силу теоремы о конечности, 
$\calo_n/J$ -- конечное расширение $\calo_d$.
Для каждого $f\in \calo_n/J$, {\бф \пурпле $f$ удовлетворяет 
уравнению вида $P(f)=0$, где 
$P= t^n + a_{n-1} t^{n-1} + ... + a_0\in \calo_d[t]$ --
неприводимый полином.} Пусть $f\in J_Z/J$.
Поскольку $f$ зануляется на $Z$,
и $P(f)$ зануляется на $Z$, $a_0$ также зануляется 
на $Z$. В силу шага 1, из этого
следует, что $a_0=0$. Но тогда $P$ не может быть неприводим.
\ендпрооф



\невпаге

{\бф \блуе Теорема Гильберта о нулях (общая форма)}

\определение
Пусть $J$ -- идеал.
Определим {\бф \блуе радикал} $\sqrt J$ как пересечение
всех простых идеалов, содержащих $J$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле $a\in \sqrt J$ тогда и только тогда, когда
$a^n \in J$ для какого-то $n>0$.}

\теорема {\bf \блуе (R\"uckert's Nullstellensatz)}\\
Пусть $J\subset \calo_n$ -- идеал,
а $Z_J$ множество общих нулей $J$. Тогда 
{\бф \ред $f$ зануляется на $Z_J$ тогда и только тогда,
когда $f\in \sqrt J$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:}
В силу предыдущего упражнения, $Z_J=Z_{\sqrt J}$.

{\бф \греен Шаг 2:}
Пусть ${\goth P}$ -- множество простых идеалов,
содержащих $J$. В силу шага 1, имеем
 $Z_J =Z_{\sqrt J}=\bigcup_{J'\in \goth P}Z_{J'}$, так как
$\sqrt J= \bigcap_{J'\in \goth P}J'$.


{\бф \греен Шаг 3:} Если функция зануляется на
$Z_J$, она лежит во всех $Z_{J'}$, и в силу
``теоремы Гильберта о нулях для простых идеалов''
принадлежит $\bigcap_{J'\in \goth P} J'$. \ендпрооф

{\green \it Walther R\"uckert,
  "Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale", Math.
Ann. 107 (1932), p. 259-281.}


\невпаге

{\бф\блуе Walther R\"uckert (1907-1984)}

\begin{center}
  \epsfig{file=Ruckert.jpg,width=0.65\linewidth}\\[3mm]
{\small  Verabschiedung des Oberschulamtspr\"asidenten Hermann Silber und Amtseinf\"uhrung des neuen Pr\"asidenten Dr. R\"uckert. 11. April 1964: Kultusminister Gerhard Storz (Mitte) beim H\"andedruck mit Dr. R\"uckert (rechts).}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Complex Analysis in the Golden Fifties:\\
R. Remmert}

...At bottom of the arguments needed for the
local theory of complex spaces is the WEIERSTRASS Preparation Theorem
(1860). This theorem marks the beginning of the algebraization of the
foundations of local function theory. The next important contribution towards
algebraization was made in 1905 by E. LASKER (world champion of chess
from 1894 till 1924). He showed that all rings $\calo_n$ are
noetherian and factorial. However this paper remained unknown. Even W. R\"UCKERT, a student
of KRULL, does not refer to it in his now classical Math. Annalen-paper from
1931 "Zum Eliminationsproblem der Potenzreihenideale''. R\"UCKERT'S proofs
for noetherian and factorial are the classroom proofs of today. RUCKERT
proudly writes:

{\em \small
  "In dieser Arbeit wird gezeigt,
  da\ss\ eine sachgem\"a\ss te Behandlung nur
  formale Methoden, also keine funktionentheoretischen Hilfsmittel ben\"otigt (In
this paper we show that an appropriate treatment only needs formal methods
and no function theoretic devices)."}

    R\"UCKERT'S paper also contains the analytic HILBERT Nullstellensatz.
The importance of R\"UCKERT'S work was not recognized in his time, the
paper fell into limbo. It was more then twenty years later that complex
analysts slowly became algebraically minded [W. R\"UCKERT, 1906 - 1984, his
father was Minister in Baden till 1933; from 1964 - 1970 W. R\"UCKERT was
Pr\"asident of the Oberschulamt Nordbaden].

\newpage


{\бф\блуе Разложение в неприводимые компоненты (повторение)}

\теорема 
Пусть $A$ -- росток комплексно-аналитического подмножества.
{\бф \ред Тогда $A$ есть объединение
  своих неприводимых компонент, которых конечное число.}

\дшаг Каждая точка $a\in A$ лежит в какой-то неприводимой
компоненте. В самом деле, если такой компоненты нет,
то для каждого разбиения $A=A_1\cup A_2$, подмножество
$A_i$, содержащее $a$, может быть снова разбито в
объединение замкнутых подмножеств, и так до бесконечности.
Это дает  строго убывающую бесконечную последовательность
аффинных подмножеств 
$A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $
Но {\бф \пурпле тогда соответствующая
последовательность идеалов не обрывается.}


{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A= \bigcup_i A_i$ -- разложение
$A$ в объединение  его неприводимых компонент, причем
$A_n \notin \bigcup_{i\neq n} A_i$, a $B_n:= \bigcup_{i\neq n} A_i$.
{\бф \пурпле
  По определению неприводимой компоненты, $B_n$ комплексно аналитическое.}

{\бф \греен Шаг 3:}
{\бф \пурпле Последовательность аналитических множеств
\[ B_1 \supset B_1 \cap B_2 \supset B_1 \cap B_2 \cap B_3\supset ...\]
строго убывает,} что дает  строго возрастающую
последовательность идеалов. Поэтому число $B_n$ конечно.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Дивизор полюсов}

\следствие
Пусть $Z$ -- неприводимый росток,
$f$ -- ненулевая функция на $Z$, а $D_f$ -- ее множество нулей
{\бф \блуе (``дивизор нулей'')}.
{\бф \ред Тогда $D_f\subsetneq Z$.}

\доказательство Если $D_f=Z$, то $f$ лежит в идеале 
функций, зануляющихся на $Z$. \ендпрооф


\определение
{\бф \блуе Мероморфная функция} на комплексно-аналитическом множестве
$Z$ есть частное $\frac f g$ двух голоморфных, где $g$
не равно нулю ни на одной неприводимой компоненте $Z$.

\определение
Пусть $f, g$ -- ростки функций на ростке $Z$ комплексного
многообразия в точке $x\in Z$. Мы говорим, что
$f, g$ {\бф \блуе взаимно просты}, если у них нет
общих делителей, зануляющихся в $x$.

\определение
Представим росток мероморфной функции на $Z$ как частное
$\frac f g$, где $f, g$ взаимно просты. {\бф \блуе Дивизор полюсов}
$\frac f g$ есть дивизор нулей $g$.

\невпаге

{\бф \блуе Мероморфные отображения}

\определение
    {\бф \блуе Мероморфное отображение}
    $\phi:\; Z\arrow Z_1$ комплексно-аналитических
    множеств есть отображение, которое задано мероморфными
    функциями.

\пример
Рассмотрим отображение $\phi:\; Z\arrow Z_u$, построенное
в теореме о примитивном элементе. Поскольку оно индуцирует
изоморфизм на полях частных, обратное отображение
$\phi^{-1}$ мероморфно: {\бф \пурпле координатные функции $z_{d+1}, ..., z_n$
  на $Z$ лежат в поле частных кольца $\calo_d[u]$,
  а функции $z_1, ..., z_d$ и $u$ задают координаты на $Z_u$.}

\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена}

\определение
Пусть $P(t)=\prod_i(t-\alpha_i)$ -- полином.
{\бф\блуе Дискриминант} $P$ есть произведение
вида $\prod_{i< j} (\alpha_i-\alpha_j)^2$,
которое выражается как полином от коэффициентов $P$.


\лемма
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ -- регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен,  а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Тогда {\бф \ред $D({\cal
P}_u)$ ненулевой.}


\доказательство
Если $D({\cal P}_u)$ равен нулю, то ${\cal P}_u(t)$
имеет общий делитель с его производной, что противоречит
минимальности. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Дискриминант минимального многочлена (продолжение)}

\теорема
Пусть $Z$ -- росток неприводимого
комплексно-аналитического подмножества, 
$z_1, ..., z_n$ регулярные координаты, 
$u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- примитивный
элемент, ${\cal P}_u(t)$ -- его минимальный
многочлен, степени $N$, а $D({\cal P}_u)\in \calo_d$ -- дискриминант
${\cal P}_u(t)$. Обозначим за $D_Z\subset \calo_d$ множество, где 
$D({\cal P}_u)=0$, и пусть $\Pi_d$ -- проекция на
первые $d$ координат. Тогда 
{\бф \ред  проекция  $Z\backslash {\Pi_d}^{-1}(D_Z)\stackrel {\Pi_d} 
\arrow \C^d\backslash D_Z$ -- неразветвленное
$N$-листное накрытие.}

\доказательство
Воспользовавшись отображением ${\goth u}$, построенным
в доказательстве теоремы Гильберта о нулях, можно
считать, что $n=d+1$. Тогда $Z$ есть множество нулей
многочлена ${\cal P}_u(t)$ без кратных корней в
$\C^d\backslash D_Z$.
Применяя теорему об обратной функции, получаем, что
{\бф \пурпле вне $D_Z$, отображение $Z\stackrel {\Pi_d} \arrow
\C^d$ этально} (то есть локально является 
диффеоморфизмом).  Наконец, {\бф \пурпле $N$-листность этого накрытия
в некоторой окрестности 0 следует из аргумента, 
доказывающего подготовительную теорему Вейерштрасса.}
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Неособые точки ростка комплексно-аналитического
множества}

\определение
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество. Назовем точку $z\in Z$ {\бф \блуе гладкой},
если в окрестности $z$, $Z$ -- гладкое подмногообразие,
и {\бф \блуе особой} в противном случае

\теорема
Пусть $Z\subset \C^n$ -- комплексно-аналитическое
подмножество, а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество
особых точек $Z$. {\бф \ред Тогда $Z_{sing}$ --
комплексно-аналитическое подмножество,
а его дополнение плотно и открыто в $Z$.}

\доказательство
Поскольку результат локальный, можно считать,
что $Z$ -- росток комплексно-аналитического
множества. Возьмем регулярные координаты,
и пусть $D_Z$ -- множество нулей дискриминанта
$Z$. {\bf \purple Вне $D_Z$, $Z$ неособо, что доказывает
плотность и открытость множества гладких точек.}

Пусть теперь $f_1, ..., f_n$ порождают идеал
функций, зануляющихся в $Z$. Тогда 
{\бф \пурпле $Z_{sing}$ есть множество, где ранг 
$\langle df_1, ..., df_n\rangle$ меньше $\codim Z$,}
значит, оно комплексно-аналитично. \ендпрооф


\end{document}
