\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 5 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 5: Регулярные системы координат}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 1 апреля 2017
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)}

\лемма 
{\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
{\бф \ред Тогда $f=0$.}

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\следствие 
Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия,
а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение
ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.}


\определение 
{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций}  есть
множество классов эквивалентности голоморфных функций,
определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности
{\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}.



\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (повторение)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\замечание
Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций 
на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$.
Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

\замечание
Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$,
{\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса
применима ко всем $f_i$.}


\newpage

{\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении (повторение)}

Как и в подготовительной теореме Вейерштрасса, \\ {\бф
\пурпле мы
записываем $(z_1, ..., z_{n-1}, z_n)$ как $(z, z_n)$.}

\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$,
причем $P(0,z_n) = z_n ^k$. 
{\бф \red Тогда каждый росток голоморфной  функции $F$ может быть представлен
в виде $F=hP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $k$.

\дшаг 
Поскольку $\frac{P(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, $P(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.
В этом полидиске мы построим разложение $F=hP +Q$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Напишем 
\[ h(z,z_n)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{F(z,\zeta)}{P(z,\zeta)}\frac 1{\zeta-z_n} d\zeta.
\]
Тогда $Q:=F- Ph$ есть  многочлен по $z_n$ степени $<k$
с коэффициентами, которые голоморфно зависят от $z=(z_1, .., z_{n-1})$,
то есть многочлен Вейерштрасса. 
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат для идеала}

Обозначим за $\calo_k$ кольцо ростков голоморфных
функций в 0, зависящих только от первых $d$ координат.

\теорема
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$.
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}\\
\phantom{А} 1.  $J_d=0$, где
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором 
полиномов Вейерштрасса \\ \phantom{АА} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} \\
Пусть $P_1, ..., P_n$ -- образующие $J$.
Выберем систему координат, в которой
они все выражаются как полиномы Вейерштрасса:
$P_i\in \calo_{n-1}[z_n]$. Воспользовавшись
теоремой Вейерштрасса о делении и 
алгоритмом Евклида, получим, что
{\бф \пурпле $J$ порожден наибольшим общим делителем
многочленов $P_i$ и пересечением $J\cap \calo_{n-1}$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Применив индукцию по $n$, можно
считать, что для $J\cap \calo_{n-1}$ теорема уже доказана.
\endproof


\невпаге


{\бф \блуе Регулярные координаты: геометрический смысл}

\теорема
Пусть $J$ -- идеал в $\calo_n$.
{\бф \ред Тогда найдется система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
в окрестности 0, такая, что}\\
\phantom{А} 1.  $J_d=0$, где
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{А} 2. {\бф \ред Идеал $J$ порожден набором 
полиномов Вейерштрасса \\ $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 


\определение В такой ситуации, $z_1, ..., z_n$ называется
{\бф \блуе регулярной системой координат} для идеала $J$. 

\замечание
Если $J$ -- идеал функций, зануляющихся на ростке 
аналитического подмножества $Z$,
первое условие теоремы равносильно следующему.
Рассмотрим проекцию $\Pi_d$ на первые $d$ координат.
{\бф \пурпле Тогда $\Pi_d(Z)$ не содержится в собственном
аналитическом подмножестве $Z' \subset \C^d$} (докажите это).

\замечание
В этой ситуации, второе условие -- алгебраическая версия
следующего геометрического факта. 
Рассмотрим проекцию на первые $d$ координат, $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$.
{\бф \ред Тогда прообраз каждой точки -- конечное множество,
в общей точке состоящее из $N:=\prod_{k=d+1}^ns^k$ точек}
(если считать с кратностями).

\невпаге

{\бф \блуе Теорема Артина о примитивном элементе}

\упражнение
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение 
полей, содержащих $\C$. {\бф \ред Докажите, что число промежуточных полей
$k\subsetneq K_i\subsetneq K$ конечно.}

\теорема
{\бф \блуе (теорема Артина о примитивном элементе)}\\
Пусть $[K:k]$ -- конечное расширение 
полей, содержащих $\C$, 
а $x_1, ..., x_n\in K$ мультипликативно порождают $K$ над $k$.
{\бф \ред Тогда для общей линейной комбинации
$u:=\sum \lambda_i x_i$, $\lambda_i \in \C$,
$u$ порождает $K$} (такой $u$ называется
{\бф \блуе примитивным}).

\доказательство
Пусть $K_j\subsetneq K$ -- множество всех
промежуточных подполей, не равных $K$. Из Упражнения 1 следует, что их
 конечное число.
Нам нужно доказать, что для общих $\lambda_j$,
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n):=\sum \lambda_i x_i$ не содержится ни в одном из
$K_j$.

Если $u(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ содержится
в $K_j$, то $x_i$ не порождают $K$. {\бф \пурпле Поэтому для
каждого из подполей $K_j$ найдется набор
$(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ такой, что
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n)\notin K_j$.}

{\бф \пурпле Множество $U_{K_j}$ таких $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$
-- дополнение к гиперпространству положительной
коразмерности}. Взяв точку $(\lambda_1, ...,
\lambda_n)$ в пересечении
$\bigcap_{K_j} U_{K_j}$, получим примитивную
линейную комбинацию $x_i$.
\ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Регулярная система координат: конечные расширения}


\следствие
Пусть $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- полиномы Вейерштрасса, построенные
в теореме о регулярной системе координат. 
{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
$F\in \calo_n$ по модулю $P_{d+1}, ..., P_{n}$
равна линейной комбинации мономов от $z_{d+1}, ..., z_n$
степени меньше $(s_{d+1}, ..., s_n)$ с коэффициентами из $\calo_d$.}

{\бф \греен Доказательство. Шаг 1:} 
Воспользовавшись индукцией по $n$, можно считать, что {\бф 
\пурпле утверждение
следствия доказано для каждой функции, которая зависит
только от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 2:} Применив теорему
Вейерштрасса о делении, запишем $F=fP_n +Q$,
где $Q$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $s_n$. {\бф \пурпле Коэффициенты $Q$
зависят только от $z_1, ..., z_{n-1}$,
и в силу шага 1 для них утверждение
следствия уже доказано.}
\ендпрооф

\следствие
В этой ситуации,
{\бф \ред поле частных $\calo_n/J$ -- конечное расширение поля частных $\calo_d$.}

\замечание
Регулярная система координат $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
для идеала может быть выбрана таким образом, что {\бф \пурпле
векторы $\frac d {dz_i}\restrict 0$
будут сколь угодно близки к любому заданному базису в $T_0 \C^n$.}


\невпаге

{\бф \блуе Теорема о конечности}


\следствие
{\бф \блуе (Tеорема о конечности)}\\
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- регулярная система координат для
идеала $J\subset \calo_n$,
а $\calo_d$ -- голоморфные функции, зависящие только от
$z_1, ..., z_d$. Тогда
{\бф \ред кольцо $\calo_n/J$ конечно порождено как $\calo_d$-модуль.}

\доказательство
Оно порождено конечным числом координатных мономов. \ендпрооф


\теорема
{\бф \блуе (теорема о примитивном элементе)}
Пусть $J\subset \calo_n$ -- простой идеал,
такой, что $\calo_n/J$ конечно порождено над $\calo_d$.
{\бф \ред Тогда для почти всех линейных
комбинаций $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
функция $u$ порождает
поле частных $k(\calo_n/J)$ над полем частных $k(\calo_d)$.}

\доказательство
Следует из теоремы Артина, примененной к $K=k(\calo_n/J)$.
\ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Регулярные координаты и их реализация гиперповерхностью}

\теорема
Пусть $J$ -- простой идеал в $\calo_n$, а $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
регулярная система координат.
Рассмотрим отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
заданное формулой $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$.
{\бф \ред Оно задает голоморфное отображение из множества $Z$ общих нулей $J$ 
на гиперповерхность $Z_u\subset\C^{d+1}$}. К тому же, проекция $Z_u$
на первые $d$ координат конечна (то есть $Z_u$ есть
график многозначной функции), а на полях
частных ${\goth u}$ действует как изоморфизм
$k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$.

{\бф\греен Доказательство. Шаг 1:}
Возьмем регулярную систему координат, и
рассмотрим проекцию $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ на первые $d$
координат. Пусть $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
примитивный элемент, порождающий поле частных 
$k(\calo_n/J)$ над $k(\calo_d)$, а ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- его
минимальный полином. Поскольку $u$ целый, ${\cal P}_u(t)$ унитарный
(имеет старшим коэффициентом 1). {\bf \purple Обозначим за $Z_u$ множество нулей
${\cal P}_u(t)$ в $(z_1, ..., z_d, t)$.}

{\бф \греен Шаг 2:}
 Отображение ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\
{\бф \пурпле переводит
$Z$ в множество $Z_{u}$ общих нулей ${\cal P}_u(u)$. }
Действительно, если в точке $(z_1, ..., z_n)$ зануляются
все элементы $J$, то ${\cal P}_u(u)\in J$ тоже
зануляется в $(z_1, ..., z_n)$.

{\бф \греен Шаг 3:} Изоморфизм полей частных следует
из того, что $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$
и теоремы Вейерштрасса о делении.
\ендпрооф





\end{document}