\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\��{\bf}
\def\��{\em}
\def\��{\it}
\def\����{\blue}
\def\������{\purple}
\def\���{\red}
\def\�����{\green}
\def\�������{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\��������{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small ����������� ������������� ������������, ������ 5 \hfil
  \tiny ���� ���������}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\�����}{%
     {\bf \green �����:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\�������}{%
     {\bf \green �������:\ }}
\newcommand{\��������}{%
     {\bf \green ��������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\�����������}{%
     {\bf \green �����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\���������}{%
     {\bf \green ���������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\����������}{%
     {\bf \green ����������:\ }}
\newcommand{\������}{%
     {\bf \green ������:\ }}
\newcommand{\��������������}{%
     {\bf \green ��������������:\ }}
\newcommand{\����}{%
     {\bf \green ��������������. ��� 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf ����������� ������������� ������������, \\[15mm]
\small ������ 5: ���������� ������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small ���� ��������� } 
\\[20mm]

{\tiny\bf ���/���, ������
\\[2mm] 1 ������ 2017
}
\end{center}

\newpage

{\�� \���� ������ ������� ����������� ������� (����������)}

\����� 
{\�� \���� (``������� �������������� �����������'')}\\
����� $f$ -- ����������� ������� �� ���� $B$, �������
���������� � �����-�� �������� ������������ $B$.
{\�� \��� ����� $f=0$.}

\���������� {\�� \������ �������� ���.}


\��������� 
����� $V\subset U$ -- ������� ����������� ������������,
� $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ ���������� ������
����������� ������� �� $U, V$. {\�� \��� ����� �����������
����������� $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
����������.}


\����������� 
{\�� \���� ������ ������� ����������� �������}  ����
��������� ������� ��������������� ����������� �������,
������������ � ����������� $x$, � ������������ ���������������
{\�� \���� "$f\sim g$, ���� $f=g$ � �����-�� ����������� $x$"}.



\newpage

{\�� \���� ���������������� ������� ������������ (����������)}

\�����������
����� $z_1, ..., z_n$ -- ���������� �� $\C^n$.
{\�� \���� ������� ������������} ����  
������� ���� $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
��� $A_i\in \calo_{n-1}$ -- ������������� �������, ���������
������ �� $z_1, ..., z_{n-1}$. ������� ������������
����� ������������ � ���� $P(z, z_n)$,
��� $z$ ���������� ������������ ���������
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\���������
��������� �� $\calo_{n-1}$ ������ ������� ����������� ������� 
�� $\C^{n-1}$ � ������������ $z_1, ..., z_{n-1}$.
����� {\�� \������ �������� ������������ ���� �������� ������ $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\������� {\�� \���� (���������������� ������� ������������)}\\
����� $F$ -- ������������� ������� � ����������� 0 � $\C^n$,
�����, ��� $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ ����� ��������� ������ � 0.
{\�� \��� ����� � �����-�� ����������� 0, ������� $F$ �����
��������� ��� $F=u(z)P(z, z_n)$, ��� $u$ ��������, � $P$ --
������� ������������ �� ������� ������������� 1.}
����� ����, ����� ���������� �����������.

\���������
��� ������ �������� ������ ����������� ������� $f_1, f_2, ...$,
{\�� \��� ���������� ������� ���������, � ������� ���������������� ������� ������������
��������� �� ���� $f_i$.}


\newpage

{\�� \���� T������ ������������ � ������� (����������)}

��� � � ���������������� ������� ������������, \\ {\��
\������ ��
���������� $(z_1, ..., z_{n-1}, z_n)$ ��� $(z, z_n)$.}

\������� {\�� \���� (T������ ������������ � �������)}
����� $P(z, z_n)$ -- ������� ������������ ������� $k$,
������ $P(0,z_n) = z_n ^k$. 
{\�� \red ����� ������ ������ �����������  ������� $F$ ����� ���� �����������
� ���� $F=hP +Q$,} ��� $Q(z,z_n)$ -- ������� ������������,
�������, ������� $k$.

\���� 
��������� $\frac{P(0, z_n)}{z_n^k}$ ����� ��������� ������
� 0, � ��������� ��������� $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
��������� $r, r'$, $P(z, z_n)\neq 0$, ����� $|z_n|=r'$.
� ���� ��������� �� �������� ���������� $F=hP +Q$.

{\�� \����� ��� 2:} 
������� 
\[ h(z,z_n)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{F(z,\zeta)}{P(z,\zeta)}\frac 1{\zeta-z_n} d\zeta.
\]
����� $Q:=F- Ph$ ����  ��������� �� $z_n$ ������� $<k$
� ��������������, ������� ���������� ������� �� $z=(z_1, .., z_{n-1})$,
�� ���� ��������� ������������. 
\��������

\�������

{\�� \���� ���������� ������� ��������� ��� ������}

��������� �� $\calo_k$ ������ ������� �����������
������� � 0, ��������� ������ �� ������ $d$ ���������.

\�������
����� $J$ -- ����� � $\calo_n$.
{\�� \��� ����� �������� ������� ��������� $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
� ����������� 0, �����, ���}\\
\phantom{�} 1.  $J_d=0$, ���
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{�} 2. {\�� \��� ����� $J$ �������� ������� 
��������� ������������ \\ \phantom{��} $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 

{\�� \����� ��������������. ��� 1:} \\
����� $P_1, ..., P_n$ -- ���������� $J$.
������� ������� ���������, � �������
��� ��� ���������� ��� �������� ������������:
$P_i\in \calo_{n-1}[z_n]$. ����������������
�������� ������������ � ������� � 
���������� �������, �������, ���
{\�� \������ $J$ �������� ���������� ����� ���������
����������� $P_i$ � ������������ $J\cap \calo_{n-1}$.}

{\�� \����� ��� 2:} �������� �������� �� $n$, �����
�������, ��� ��� $J\cap \calo_{n-1}$ ������� ��� ��������.
\endproof


\�������


{\�� \���� ���������� ����������: �������������� �����}

\�������
����� $J$ -- ����� � $\calo_n$.
{\�� \��� ����� �������� ������� ��������� $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
� ����������� 0, �����, ���}\\
\phantom{�} 1.  $J_d=0$, ���
$J_k:= \calo_k\cap J$. \\
\phantom{�} 2. {\�� \��� ����� $J$ �������� ������� 
��������� ������������ \\ $P_i \in \calo_{i-1}[z_i]$, $i=d+1, ..., n$.} 


\����������� � ����� ��������, $z_1, ..., z_n$ ����������
{\�� \���� ���������� �������� ���������} ��� ������ $J$. 

\���������
���� $J$ -- ����� �������, ������������ �� ������ 
�������������� ������������ $Z$,
������ ������� ������� ����������� ����������.
���������� �������� $\Pi_d$ �� ������ $d$ ���������.
{\�� \������ ����� $\Pi_d(Z)$ �� ���������� � �����������
������������� ������������ $Z' \subset \C^d$} (�������� ���).

\���������
� ���� ��������, ������ ������� -- �������������� ������
���������� ��������������� �����. 
���������� �������� �� ������ $d$ ���������, $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$.
{\�� \��� ����� �������� ������ ����� -- �������� ���������,
� ����� ����� ��������� �� $N:=\prod_{k=d+1}^ns^k$ �����}
(���� ������� � �����������).

\�������

{\�� \���� ������� ������ � ����������� ��������}

\����������
����� $[K:k]$ -- �������� ���������� 
�����, ���������� $\C$. {\�� \��� ��������, ��� ����� ������������� �����
$k\subsetneq K_i\subsetneq K$ �������.}

\�������
{\�� \���� (������� ������ � ����������� ��������)}\\
����� $[K:k]$ -- �������� ���������� 
�����, ���������� $\C$, 
� $x_1, ..., x_n\in K$ ���������������� ��������� $K$ ��� $k$.
{\�� \��� ����� ��� ����� �������� ����������
$u:=\sum \lambda_i x_i$, $\lambda_i \in \C$,
$u$ ��������� $K$} (����� $u$ ����������
{\�� \���� �����������}).

\��������������
����� $K_j\subsetneq K$ -- ��������� ����
������������� ��������, �� ������ $K$. �� ���������� 1 �������, ��� ��
 �������� �����.
��� ����� ��������, ��� ��� ����� $\lambda_j$,
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n):=\sum \lambda_i x_i$ �� ���������� �� � ����� ��
$K_j$.

���� $u(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ ����������
� $K_j$, �� $x_i$ �� ��������� $K$. {\�� \������ ������� ���
������� �� �������� $K_j$ �������� �����
$(\lambda_1, ..., \lambda_n)$ �����, ���
$u(\lambda_1, ..., \lambda_n)\notin K_j$.}

{\�� \������ ��������� $U_{K_j}$ ����� $(\lambda_1, ..., \lambda_n)$
-- ���������� � ����������������� �������������
�������������}. ���� ����� $(\lambda_1, ...,
\lambda_n)$ � �����������
$\bigcap_{K_j} U_{K_j}$, ������� �����������
�������� ���������� $x_i$.
\��������

\�������

{\�� \���� ���������� ������� ���������: �������� ����������}


\���������
����� $P_{d+1}, ..., P_{n}$ -- �������� ������������, �����������
� ������� � ���������� ������� ���������. 
{\�� \��� ����� ������ ����������� �������
$F\in \calo_n$ �� ������ $P_{d+1}, ..., P_{n}$
����� �������� ���������� ������� �� $z_{d+1}, ..., z_n$
������� ������ $(s_{d+1}, ..., s_n)$ � �������������� �� $\calo_d$.}

{\�� \����� ��������������. ��� 1:} 
���������������� ��������� �� $n$, ����� �������, ��� {\�� 
\������ �����������
��������� �������� ��� ������ �������, ������� �������
������ �� $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\�� \����� ��� 2:} �������� �������
������������ � �������, ������� $F=fP_n +Q$,
��� $Q$ -- ������� ������������,
�������, ������� $s_n$. {\�� \������ ������������ $Q$
������� ������ �� $z_1, ..., z_{n-1}$,
� � ���� ���� 1 ��� ��� �����������
��������� ��� ��������.}
\��������

\���������
� ���� ��������,
{\�� \��� ���� ������� $\calo_n/J$ -- �������� ���������� ���� ������� $\calo_d$.}

\���������
���������� ������� ��������� $z_1, ..., z_d, z_{d+1}, ..., z_n$
��� ������ ����� ���� ������� ����� �������, ��� {\�� \������
������� $\frac d {dz_i}\restrict 0$
����� ����� ������ ������ � ������ ��������� ������ � $T_0 \C^n$.}


\�������

{\�� \���� ������� � ����������}


\���������
{\�� \���� (T������ � ����������)}\\
����� $z_1, ..., z_n$ -- ���������� ������� ��������� ���
������ $J\subset \calo_n$,
� $\calo_d$ -- ����������� �������, ��������� ������ ��
$z_1, ..., z_d$. �����
{\�� \��� ������ $\calo_n/J$ ������� ��������� ��� $\calo_d$-������.}

\��������������
��� ��������� �������� ������ ������������ �������. \��������


\�������
{\�� \���� (������� � ����������� ��������)}
����� $J\subset \calo_n$ -- ������� �����,
�����, ��� $\calo_n/J$ ������� ��������� ��� $\calo_d$.
{\�� \��� ����� ��� ����� ���� ��������
���������� $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\in \calo_n/J$, 
������� $u$ ���������
���� ������� $k(\calo_n/J)$ ��� ����� ������� $k(\calo_d)$.}

\��������������
������� �� ������� ������, ����������� � $K=k(\calo_n/J)$.
\��������


\�������

{\�� \���� ���������� ���������� � �� ���������� �����������������}

\�������
����� $J$ -- ������� ����� � $\calo_n$, � $z_1, ..., z_d, ..., z_n$
���������� ������� ���������.
���������� ����������� ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
�������� �������� $(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow (z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i)$.
{\�� \��� ��� ������ ����������� ����������� �� ��������� $Z$ ����� ����� $J$ 
�� ���������������� $Z_u\subset\C^{d+1}$}. � ���� ��, �������� $Z_u$
�� ������ $d$ ��������� ������� (�� ���� $Z_u$ ����
������ ������������ �������), � �� �����
������� ${\goth u}$ ��������� ��� ����������
$k(\calo_n/J)\tilde \arrow k(\calo_{d+1}/(P_u))$.

{\��\����� ��������������. ��� 1:}
������� ���������� ������� ���������, �
���������� �������� $\Pi_d:\; Z \arrow \C^d$ �� ������ $d$
���������. ����� $u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i$ -- 
����������� �������, ����������� ���� ������� 
$k(\calo_n/J)$ ��� $k(\calo_d)$, � ${\cal P}_u(t)\in \calo_d[t]$ -- ���
����������� �������. ��������� $u$ �����, ${\cal P}_u(t)$ ���������
(����� ������� ������������� 1). {\bf \purple ��������� �� $Z_u$ ��������� �����
${\cal P}_u(t)$ � $(z_1, ..., z_d, t)$.}

{\�� \����� ��� 2:}
 ����������� ${\goth u}:\; \C^n \arrow \C^{d+1}$,
$(z_1, ..., z_n) \stackrel{\goth u}\arrow \left(z_1, ..., z_d, 
u=\sum_{i=d+1}^n \lambda_i z_i\right)$ \\
{\�� \������ ���������
$Z$ � ��������� $Z_{u}$ ����� ����� ${\cal P}_u(u)$. }
�������������, ���� � ����� $(z_1, ..., z_n)$ ����������
��� �������� $J$, �� ${\cal P}_u(u)\in J$ ����
���������� � $(z_1, ..., z_n)$.

{\�� \����� ��� 3:} ���������� ����� ������� �������
�� ����, ��� $k(\calo_n/J)= k(\calo_{d}[t]/(P_u(t)))$
� ������� ������������ � �������.
\��������





\end{document}



