\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 4 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 4: Нетеровость кольца ростков} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 18 марта 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)} \лемма {\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\ Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$. {\бф \ред Тогда $f=0$.} \упражнение {\бф \пурпле Докажите это.} \следствие Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия, а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ инъективно.} \определение {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций} есть множество классов эквивалентности голоморфных функций, определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности {\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}. \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (повторение)} \определение Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$. {\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$, где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса часто записывается в виде $P(z, z_n)$, где $z$ обозначает совокупность координат $z_1, ..., z_{n-1}$. \замечание Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$. Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. \замечание Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$, {\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса применима ко всем $f_i$.} \newpage {\бф \блуе Нули логарифмической производной (повторение)} \упражнение Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, не зануляющаяся на его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac {f'}f z^k dz$. {\бф \пурпле Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где $\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.} {\бф \греен Указание:}\ Формула Коши. \упражнение Воспользуйтесь этим, чтобы доказать {\бф \блуе теорему Руше:} если $f_t$ -- семейство голоморфных функций на диске $\Delta$, непрерывно зависящих от параметра $t\in \R$ и не зануляющихся на $\6\Delta$, то число нулей $f_t$ в $\Delta$ постоянно. \newpage {\бф \блуе ПТВ (повторение доказательства)} {\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса:}\\ Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1, ... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$. В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$. {\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$. где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac {f'}f z^k dz$. В силу упражнения выше, {\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$ на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$ непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей, обозначенных за $\alpha_i(z)$. В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней $\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$. {\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона, мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$, получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$. Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$, и с теми же кратностями, их частное -- гладкая функция $u$, которая не зануляется нигде в $\Delta(n-1,1)$, и голоморфна вне множества нулей $F$. Поскольку $u$ дифференцируема, она голоморфна и обратима в $\Delta(n-1,1)$. Мы получили $F= Pu$. \endproof \невпаге {\бф \блуе Лемма Гаусса (повторение)} \определение Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф \блуе прост} если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$, либо частное $r/r'$ обратимо. \определение Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители, называется {\bf \blue факториальным}. \теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\ Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$ тоже факториально.} {\бф \греен Доказательство будет дальше.} \упражнение Пусть $R$ кольцо без делителей нуля. {\бф \пурпле Докажите, что кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля.} \невпаге {\бф \блуе Примитивные полиномы (повторение)} \определение Пусть $R$ -- факториальное кольцо. Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф \блуе примитивным}, если НОД его коэффициентов равен 1. {\бф \греен Лемма 1:} Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ примитивные полиномы. {\бф \ред Тогда их произведение тоже примитивно.} \доказательство Пусть $p\in R$ простое. Поскольку $P_1, P_2$ примитивны, они ненулевые по модулю $p$. Поскольку факторкольцо $R/(p)$ не имеет делителей нуля, {\бф \пурпле произведение $P_11P_2$ ненулевое в $R/(p)$, значит, НОД коэффициентов $P_1P_2$ не делит $p$.} \ендпрооф {\бф \греен Лемма 2:} Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных. {\бф \ред Тогда каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$, неприводим в $K[t]$.} \доказательство Разложим $P$ в произведение двух полиномов из $K[t]$. Приведя общие знаменатели, получим $rP= P_1 P_2$, где $P_1, P_2\in R[t]$. Поделив на НОД коэффициентов $P_i$, получим $rP= r' P_1' P_2'$, где полиномы $P_1'$, $P_2'$ примитивны. Но в этом случае $P_1'P_2'$ примитивный (Лемма 1). Получаем, что НОД коэффициентов полинома $rP$ это $r$, а НОД коэффициентов $r' P_1' P_2'$ это $r'$; сократив на $r, r'$, получим разложение $P$ на множители в $R[t]$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Лемма Гаусса (доказательство)} \теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\ Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$ тоже факториально.} \доказательство Обозначим за $K$ поле частных $R$. Разложение на множители единственно в кольце $K[t]$, потому что там действует алгоритм Евклида. В силу Леммы 2, для любого примитивного многочлена $P(t)$, у него столько же разложений на неприводимые в $K[t]$, сколько в $R[t]$. Непримитивный многочлен разлагается в произведение примитивного и НОДа его коэффициентов. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ (повторение)} \утверждение Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков голоморфных функций он $n$ переменных. {\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в произведение $f=f_1 ... f_N$ неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое разложение единственно.} \доказательство Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение неприводимых полиномов, получим искомое разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать единственность. {\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией, {\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.} Из этого, по лемме Гаусса, следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который делит произведение неразложимых элементов $ff_1$. Воспользовавшись подготовительной теоремой Вейерштрасса, можно считать, что $f,f_1,g$ -- полиномы Вейерштрасса в одной и той же системе координат. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит $ff_1$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.} Поскольку это кольцо факториально, из этого следует, что $f$ либо $f_1$ делит $g$. \ендпрооф %\newpage % %{\бф \блуе Неравенство неархимеда} % %\лемма %Пусть $a, b , c \in \calo_n$ ростки голоморфных функций в нуле, %а $k, l , m$ их порядки нулей. Пусть $a+b =c$. Тогда верно {\бф \блуе %неравенство неархимеда}: $k \geq \min(l, m)$. % %\доказательство %Выбрав общую прямую $(0, 0, ..., 0, z_n)$, %получим, что %$a= u(z_n)^k$, $b=v(z_n)^l$, $c=w(z_n)^m$, %где $u, v, w$ -- ростки обратимых функций, %Если $l, m \leq N$, то и $k \leq N$, %что следует из $a+b =c$. %\newpage % %\замечание %Иначе говоря, {\бф \пурпле треугольник со сторонами $k, l, m$ %равнобедренный, и его основание не короче двух %остальных сторон.} %\ез %\упражнение %Пусть $f(t), g(t)\in \C[t]$, а %$\gamma(t):=\frac{f(t)}{g(t)}$ -- их частное. {\бф \ред Докажите, что $\gamma(t)$ %можно разложить в сумму простейших дробей:} %$\gamma(t)=\sum\frac{c_i}{(t-\alpha_i)^k_i}$, где %$c_i\in \C$, $\alpha_i$ -- корни $g$, а $k_i$ их кратноси. % \newpage {\бф \блуе Деление многочленов с остатком и формула Коши} \упражнение \упражнение Пусть $f, g$ -- многочлены, причем корни $g$ лежат в диске $\Delta$. Докажите, что {\бф \пурпле интеграл \[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \ (*) \] равен частному $f$ на $g$ при делении многочленов с остатком. } \предложение Пусть $f(t), g(t)$ -- голоморфные функции на диске $\Delta\subset \C$, причем $g$ -- многочлен, который не зануляется на границе $\6\Delta$). Тогда функция \[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \ (*) \] голоморфна в диске $\Delta$. {\бф \ред Кроме того, $r(z):= f(z)-g(z)h(z)$ -- многочлен степени меньше, чем $\deg g$.} \дшаг Голоморфность функции $h(z)$ очевидна, потому что (*) зависит только от значений $\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}$ на границе диска, а там эта функция непрерывна, и значит, {\бф \пурпле (*) раскладывается в ряд по $z$}, обычным образом. \newpage {\бф \блуе Деление многочленов с остатком (продолжение)} \предложение Пусть $f(t), g(t)$ -- голоморфные функции на диске $\Delta\subset \C$, причем $g$ -- многочлен, который не зануляется на границе $\6\Delta$). Тогда функция \[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \ (*) \] голоморфна в диске $\Delta$. {\бф \ред Кроме того, $r(z):= f(z)-g(z)h(z)$ -- многочлен степени меньше, чем $\deg g$.} {\бф\green Шаг 2:} \begin{multline*} f(z)-h(z) g(z)=f(z) -\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta} \left[g(z) \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} \right] d\zeta = \\ =\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta} \left[\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}-g(z) \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} \right] d\zeta = \frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta} \frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta-z}d\zeta. \end{multline*} Поскольку функция $\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta-z}$ -- полином степени $\deg g -1$ по $z$, получаем, что $r(z)=f(z)-h(z) g(z)\in \C[z]$, причем степень $r(z)$ не больше, чем $\deg g -1$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении} Как и в подготовительной теореме Вейерштрасса, \\ {\бф \пурпле мы записываем $(z_1, ..., z_{n-1}, z_n)$ как $(z, z_n)$.} \теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)} Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$, причем $P(0,z_n) = z_n ^k$. {\бф \red Тогда каждый росток голоморфной функции $F$ может быть представлен в виде $F=hP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса, степени, меньшей $k$. \дшаг Поскольку $\frac{P(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1, ... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ бирадиуса $r, r'$, $P(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$. В этом полидиске мы построим разложение $F=hP +Q$. {\бф \греен Шаг 2:} Напишем \[ h(z,z_n)=\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta}\frac{F(z,\zeta)}{P(z,\zeta)}\frac 1{\zeta-z_n} d\zeta. \] Тогда $Q:=F- Ph$ есть многочлен по $z_n$ степени $