\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 4 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексная аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 4: Нетеровость кольца ростков}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 18 марта 2017
}
\end{center}




\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)}

\лемма 
{\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
{\бф \ред Тогда $f=0$.}

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\следствие 
Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия,
а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение
ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.}


\определение 
{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций}  есть
множество классов эквивалентности голоморфных функций,
определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности
{\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}.



\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (повторение)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\замечание
Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций 
на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$.
Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

\замечание
Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$,
{\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса
применима ко всем $f_i$.}


\newpage

{\бф \блуе Нули логарифмической производной (повторение)}

\упражнение
Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, не зануляющаяся на
его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. {\бф \пурпле Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где
$\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.}

{\бф \греен Указание:}\  
Формула Коши.

\упражнение
Воспользуйтесь этим, чтобы доказать {\бф \блуе теорему Руше:}
если $f_t$ -- семейство голоморфных функций на диске $\Delta$, непрерывно зависящих
от параметра $t\in \R$ и не зануляющихся на $\6\Delta$, то число нулей
$f_t$ в $\Delta$ постоянно.


\newpage

{\бф \блуе ПТВ
(повторение доказательства)}


{\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса:}\\
Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.
В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$.

{\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$.
где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$.  В силу упражнения выше,
{\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$
на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$
непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.}

{\бф \греен Шаг 2:} Пусть
$e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей,
обозначенных за $\alpha_i(z)$.
В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней
$\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$.
{\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона,
мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$,
получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$.
Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$,
и с теми же кратностями, их частное -- гладкая функция $u$,
которая не зануляется нигде в $\Delta(n-1,1)$, и голоморфна
вне множества нулей $F$. Поскольку $u$ дифференцируема, она
голоморфна и обратима в $\Delta(n-1,1)$. Мы получили $F= Pu$.
\endproof




\невпаге

{\бф \блуе Лемма Гаусса (повторение)}

\определение
Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф \блуе прост}
если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$,
либо частное $r/r'$ обратимо. 

\определение
Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители,
называется {\bf \blue факториальным}.

\теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\
Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$
тоже факториально.}


{\бф \греен Доказательство будет дальше.}

\упражнение
Пусть $R$ кольцо без делителей нуля. {\бф \пурпле Докажите, что
кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля.}

\невпаге

{\бф \блуе Примитивные полиномы (повторение)}

\определение Пусть $R$ -- факториальное кольцо.
Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф \блуе примитивным},
если НОД его коэффициентов равен 1.

{\бф \греен Лемма 1:}
Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ примитивные полиномы.
{\бф \ред Тогда их произведение тоже примитивно.}

\доказательство
Пусть $p\in R$ простое. Поскольку $P_1, P_2$ примитивны,
они ненулевые по модулю $p$. Поскольку факторкольцо $R/(p)$
не имеет делителей нуля, {\бф \пурпле произведение $P_11P_2$ ненулевое 
в $R/(p)$, значит, НОД коэффициентов $P_1P_2$ не делит $p$.}
\ендпрооф


{\бф \греен Лемма 2:}
Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных.
{\бф \ред Тогда каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$,
неприводим в $K[t]$.}

\доказательство
Разложим $P$ в произведение двух полиномов из $K[t]$. 
Приведя общие знаменатели, получим $rP= P_1 P_2$, где $P_1, P_2\in R[t]$.
Поделив на НОД коэффициентов $P_i$, получим
$rP= r' P_1' P_2'$, где полиномы $P_1'$, $P_2'$ примитивны.
Но в этом случае $P_1'P_2'$ примитивный (Лемма 1). Получаем,
что НОД коэффициентов полинома $rP$ это $r$, а НОД
коэффициентов $r' P_1' P_2'$ это $r'$; сократив на $r, r'$, получим
разложение $P$ на множители в $R[t]$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Лемма Гаусса (доказательство)}

\теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\
Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$
тоже факториально.}

\доказательство 
Обозначим за $K$ поле частных $R$.
Разложение на множители единственно в кольце $K[t]$, потому что там действует алгоритм Евклида.
В силу Леммы 2, для любого примитивного многочлена $P(t)$,
у него столько же разложений на неприводимые в $K[t]$, сколько в $R[t]$. Непримитивный
многочлен разлагается в произведение примитивного и НОДа его коэффициентов. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ (повторение)}

\утверждение
Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков
голоморфных функций он $n$ переменных. 
{\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в 
произведение $f=f_1 ... f_N$
неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое
разложение единственно.}


\доказательство
Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином
Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение
неприводимых полиномов, получим искомое
разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать
единственность. 

{\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией,
{\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.}
Из этого, по лемме Гаусса, 
следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который
делит произведение неразложимых элементов $ff_1$.
Воспользовавшись подготовительной теоремой
Вейерштрасса, можно считать, что $f,f_1,g$ --
полиномы Вейерштрасса в одной и той же системе координат. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит
$ff_1$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.}
Поскольку это кольцо факториально,
из этого следует, что $f$ либо $f_1$ делит $g$.
\ендпрооф

%\newpage
%
%{\бф \блуе Неравенство неархимеда}
%
%\лемма
%Пусть $a, b , c \in \calo_n$ ростки голоморфных функций в нуле,
%а $k, l , m$ их порядки нулей. Пусть $a+b =c$. Тогда верно {\бф \блуе
%неравенство неархимеда}: $k \geq \min(l, m)$.
%
%\доказательство
%Выбрав общую прямую $(0, 0, ..., 0, z_n)$,
%получим, что 
%$a= u(z_n)^k$, $b=v(z_n)^l$, $c=w(z_n)^m$,
%где $u, v, w$ -- ростки обратимых функций,
%Если $l, m \leq N$, то и $k \leq N$,
%что следует из $a+b =c$.
%\newpage
%
%\замечание
%Иначе говоря, {\бф \пурпле треугольник со сторонами $k, l, m$
%равнобедренный, и его основание не короче двух
%остальных сторон.}
%\ез


%\упражнение
%Пусть $f(t), g(t)\in \C[t]$, а 
%$\gamma(t):=\frac{f(t)}{g(t)}$ -- их частное. {\бф \ред Докажите, что $\gamma(t)$
%можно разложить в сумму простейших дробей:}
%$\gamma(t)=\sum\frac{c_i}{(t-\alpha_i)^k_i}$, где
%$c_i\in \C$,  $\alpha_i$ -- корни $g$, а $k_i$ их кратноси.
%

\newpage

{\бф \блуе Деление многочленов с остатком и формула Коши}

\упражнение

\упражнение
Пусть $f, g$ -- многочлены, причем корни $g$ лежат в диске $\Delta$.
Докажите, что {\бф \пурпле интеграл
\[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \  (*)
\]
равен частному $f$ на $g$ при делении многочленов с остатком.
}

\предложение
Пусть $f(t), g(t)$ -- голоморфные функции на диске 
$\Delta\subset \C$, причем $g$ -- многочлен, который
не зануляется на границе $\6\Delta$).   Тогда 
функция \[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \  (*)
\]
голоморфна в диске $\Delta$. {\бф \ред Кроме того,
$r(z):= f(z)-g(z)h(z)$ -- многочлен степени меньше, чем $\deg g$.}

\дшаг
Голоморфность функции $h(z)$ очевидна, потому что (*) 
зависит только от значений $\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}$ на границе диска,
а там эта функция непрерывна, и значит, {\бф \пурпле (*) раскладывается в ряд по $z$},
обычным образом.

\newpage

{\бф \блуе Деление многочленов с остатком (продолжение)}

\предложение
Пусть $f(t), g(t)$ -- голоморфные функции на диске 
$\Delta\subset \C$, причем $g$ -- многочлен, который
не зануляется на границе $\6\Delta$).   Тогда 
функция \[ h(z)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} d\zeta. \ \  (*)
\]
голоморфна в диске $\Delta$. {\бф \ред Кроме того,
$r(z):= f(z)-g(z)h(z)$ -- многочлен степени меньше, чем $\deg g$.}

{\бф\green Шаг 2:} 
\begin{multline*}
f(z)-h(z) g(z)=f(z) -\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta} \left[g(z)
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} \right] d\zeta =
\\
=\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta} \left[\frac{f(\zeta)}{\zeta-z}-g(z)
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac 1{\zeta-z} \right] d\zeta =
\frac{1}{2\pi\1} \int_{\6 \Delta}
\frac{f(\zeta)}{g(\zeta)}\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta-z}d\zeta.
\end{multline*}
Поскольку функция $\frac{g(\zeta)-g(z)}{\zeta-z}$ --
полином степени $\deg g -1$ по $z$, получаем,
что $r(z)=f(z)-h(z) g(z)\in \C[z]$, причем степень $r(z)$ не
больше, чем $\deg g -1$.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении}

Как и в подготовительной теореме Вейерштрасса, \\ {\бф
\пурпле мы
записываем $(z_1, ..., z_{n-1}, z_n)$ как $(z, z_n)$.}

\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}
Пусть $P(z, z_n)$ -- полином Вейерштрасса степени $k$,
причем $P(0,z_n) = z_n ^k$. 
{\бф \red Тогда каждый росток голоморфной  функции $F$ может быть представлен
в виде $F=hP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
степени, меньшей $k$.

\дшаг 
Поскольку $\frac{P(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, $P(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.
В этом полидиске мы построим разложение $F=hP +Q$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Напишем 
\[ h(z,z_n)=\frac{1}{2\pi\1}
\int_{\6 \Delta}\frac{F(z,\zeta)}{P(z,\zeta)}\frac 1{\zeta-z_n} d\zeta.
\]
Тогда $Q:=F- Ph$ есть  многочлен по $z_n$ степени $<k$
с коэффициентами, которые голоморфно зависят от $z=(z_1, .., z_{n-1})$,
то есть многочлен Вейерштрасса. 
\ендпрооф



\newpage

{\бф \блуе Нетеровы кольца}


\определение
Мы говорим, что $R$-модуль $A$ {\бф \блуе конечно-порожден,}
если есть набор элементов $a_1, ..., a_n\in A$,
таких, что любой $a\in A$ выражается в виде линейной
комбинации $\sum_{i=1}^n r_i a_i$, где $r_i \in R$.


\определение
Коммутативное кольцо $R$ называется {\бф \блуе нетеровым},
если каждый идеал в $R$ конечно порожден.

\упражнение
Пусть $R$ -- нетерово кольцо, а $M$ -- конечно-порожденный
$R$-модуль. {\бф \пурпле Докажите, что любой подмнодуль $M$
конечно порожден.}

\newpage

{\бф \блуе Теорема Ласкера}

\теорема {\бф \блуе (Emanuel Lasker, 1905)}
{\бф \ред Кольцо $\calo_n$ ростков голоморфных функций 
нетерово.}


{\bf \green Доказательство. Шаг 1:}
Пусть $I\subset \R$ -- идеал, а $P\in I$ -- ненулевой
элемент. По подготовительной теореме Вейерштрасса,
$P$ есть полином Вейерштрасса, с точностью до обратимой
функции; поэтому можно считать, что $P=P(z,z_n)$ есть
полином Вейерштрасса, степени $k$. По теореме о делении, 
{\бф \пурпле кольцо $\calo_n/(P)$
порождено $1, z_n, z_n^2, ..., z_n^{k-1}$ над 
$\calo_{n-1}$. }

{\бф \греен Шаг 2:} Значит, {\бф \пурпле $\calo_n/(P)$
конечно-порожден как модуль над $\calo_{n-1}$.}

{\бф \греен Шаг 3:} Воспользовавшись индукцией, можно
считать, что $\calo_{n-1}$ нетерово. Поэтому 
{\бф \пурпле образ $\pi(I)$ в $\calo_n/(P)$ конечно порожден
над $\calo_{n-1}$. }


{\бф \греен Шаг 4:} Пусть $\xi_1, ..., \xi_N$
образующие $\pi(I)$, а $\tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$
их прообразы в $I$. Тогда $P,  \tilde \xi_1, ..., \tilde \xi_N$
{\бф \ред порождает $I$.} \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Emanuel Lasker}

\begin{center}
\epsfig{file=cambodia-stamp-emanuel-lasker.jpg,width=0.75\linewidth}\\
{Emanuel Lasker\\
(December 24, 1868 -- January 11, 1941)}
\end{center}



\newpage

{\бф \блуе Комплексно-аналитические множества и их ростки}


\определение
{\бф \blue Комплексно-аналитическое подмножество}
(или же {\бф \блуе "комплексно-аналитическое подмногообразие"})
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, локально заданное как множество общих нулей
какого-то набора голоморфных функций.


\определение
Пусть $Z_1, Z_2\subset M$ комплесно-аналитические
подмножества. Они называются {\бф \блуе эквивалентными
в $x$}, если $Z_1 \cap U = Z_2 \cap U$ для какой-то окрестности
$U\ni x$. {\бф \блуе Росток комплексно-аналитического подмножества}
в $x\in M$ есть класс эквивалентности комплексно-анали\-тических
подмножеств $Z\subset U\ni x$ по отношению к  "эквивалентности в $x$."

\определение
Росток комплексно-аналитического подмножества $Z$
в $x\in M$ называется {\бф \блуе неприводимым}, если
не существует нетривиального разложения $Z= A_1 \cup A_2$
на два ростка комплексно-аналитических подмножества.
{\бф\блуе Неприводимая компонента} $Z$ есть неприводимое подмножество
$Z_1 \subset Z$ такое, что дополнение $Z \backslash Z_1$
содержится в комплексно-аналитическом подмножестве,
которое строго меньше $Z$.

\newpage

{\бф \блуе Ростки и идеалы}

\определение
Идеал $I\subset R$ называется {\бф\блуе радикальным},
если $R/I$ не имеет нильпотентов.

\пример
Пусть  $Z$ -- росток  комплексно-аналитического
подмножества, а $\Ann(Z)$ идеал, состоящий из всех
голоморфных функций, которые в нем зануляются.
{\бф \пурпле Тогда $\Ann(Z)$ -- радикальный идеал.}

\теорема 
{\бф \блуе (Рюкерт)}\\ {\бф \греен "комплексно-аналитическая теорема
Гильберта о нулях":} \\
Пусть $Z$ -- росток  комплексно-аналитического
подмножества, а $\Ann(Z)$ идеал, состоящий из всех
голоморфных функций, которые в нем зануляются.
{\бф \ред Соответствие $Z \mapsto \Ann(Z)$ задает биекцию между множеством
ростков комплексных подмножеств и множеством радикальных
идеалов в $\calo_n$.}

{\бф \греен Доказательство будет на следующих лекциях}


\newpage


{\бф \блуе Неприводимые компоненты и нетеровость}

\теорема 
Пусть $A$ -- росток комплексно-аналитического подмножества.
{\бф \ред Тогда $A$ есть объединение
  своих неприводимых компонент, которых конечное число.}

\дшаг Каждая точка $a\in A$ лежит в какой-то неприводимой
компоненте. В самом деле, если такой компоненты нет,
то для каждого разбиения $A=A_1\cup A_2$, подмножество
$A_i$, содержащее $a$, может быть снова разбито в
объединение замкнутых подмножеств, и так до бесконечности.
Это дает  строго убывающую бесконечную последовательность
аффинных подмножеств 
$A_1 \supset A_2 \supset ... \supset A_n \supset ... $
Но {\бф \пурпле тогда соответствующая
последовательность идеалов не обрывается.}


{\бф \греен Шаг 2:} Пусть $A= \bigcup_i A_i$ -- разложение
$A$ в объединение  его неприводимых компонент, причем
$A_n \notin \bigcup_{i\neq n} A_i$, a $B_n:= \bigcup_{i\neq n} A_i$.
Поскольку  $A_n$ -- неприводимая компонента $A$, в нем есть точка, которая
не содержится ни в одном $A_i$, $i\neq n$, значит,
$B_n \neq A$.

{\бф \греен Шаг 3:}
{\бф \пурпле Последовательность аналитических множеств
\[ B_1 \supset B_1 \cap B_2 \supset B_1 \cap B_2 \cap B_3\supset ...\]
строго убывает,} что дает  строго возрастающую
последовательность идеалов. Поэтому число $B_n$ конечно.
\ендпрооф

%\замечание
%На языке колец, разложение аналитического множества в объединение
%неприводимых называется {\бф \блуе примарным разложением}.
%Кольца, допускающие примарное разложение, называются
%{\бф \блуе ласкеровыми}. Теорема, доказанная выше, называется
%{\бф \блуе теорема Ласкера-Нетер:} каждое нетерово кольцо -- ласкерово.




\end{document}


