\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 3 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 3: подготовительная теорема Веерштрасса} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 4 марта 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Формула Коши в размерности 1} Напомню, что {\бф \блуе голоморфной функцией} на $M\subset \C$ с комплексной координатой $z$ называется функция $f$ такая, что $df\in \Lambda ^{1,0}(M)$, что эквивалентно замкнутости формы $fdz$. {\бф \греен Формула Коши:} \[ \int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a}= 2\pi\1 f(a), \] для функции $f$, голоморфной в диске $\Delta\subset \C$ и интегрируемой на его границе. \дшаг Пусть $S_\epsilon$ есть окружность радиуса $\epsilon$ с центром в $a\in \Delta$, $B_\epsilon(a)$ внутренность диска, а $\Delta_0:=\Delta \backslash B_\epsilon(a)$. Теорема Стокса и замкнутость $fdz$ дает \[ 0= \int_{\Delta_0} d\left(\frac{f(z)dz}{z-a}\right)= -\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a} + \int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a}, \] значит, {\бф \пурпле формула Коши следует, если мы докажем $\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a}=2\pi\1 f(a).$} \newpage {\бф \блуе Формула Коши в размерности 1 (продолжение)} {\бф \греен Формула Коши:} \[ \int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a}= 2\pi\1 f(a), \] для функции $f$, голоморфной в диске $\Delta\subset \C$ и интегрируемой на его границе. \дшаг Пусть $S_\epsilon$ есть окружность радиуса $\epsilon$ с центром в $a\in \Delta$. {\бф \пурпле Формула Коши следует, если мы докажем $\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a}=2\pi\1 f(a).$} {\бф \греен Шаг 2:} Предполагая для упрощения $a=0$ и параметризуя окружность $S_\epsilon$ кривой $t\arrow \epsilon e^{\1 t}$, мы получаем \begin{multline*} \int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z}= \int_0^{2\pi} \frac{f(\epsilon e^{\1t})}{\epsilon e^{\1t}} d(\epsilon e^{\1t})=\\ =\int_0^{2\pi} \frac{f(\epsilon e^{\1t})}{\epsilon e^{\1t}} \1 \epsilon e^{\1t}dt =\int_0^{2\pi}f(\epsilon e^{\1t})\1 dt \end{multline*} при $\epsilon$, стремящемся к 0, $f(\epsilon e^{\1t})$ стремится к $f(0)$, и этот интеграл стремится к $2\pi\1f(0)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Формула Коши в произвольной размерности} \замечание Пусть $M\subset \C^n$ открытое подмножество, а $z_1, ..., z_n$ комплексные координаты. Голоморфность функции $f$ равносильна $df\in \Lambda ^{1,0}(M)$, что эквивалентно $df\wedge dz_1 \wedge dz_1 \wedge ... \wedge dz_n=0$. Обозначим $dz_1 \wedge dz_1 \wedge ... \wedge dz_n$ за $\Phi$. Получаем, что $f$ голоморфно $\Leftrightarrow$ форма $f\Phi$ замкнута. \теорема {\бф \блуе (формул Коши в размерности $n$)}\\ Пусть $\Delta \subset \C^n$ полидиск полирадиуса $(1,1,..., 1)$, то есть $\Delta= B_1(z_1) \times B_1(z_2) \times ... \times B_1(z_n)$, а $\alpha_1, ..., \alpha_n\in \Delta$ комплексные числа с $|\alpha_i|\leq 1$. Обозначим за $S$ произведение окружностей радиуса 1, $S= S_1(z_1) \times S_1(z_2) \times ... \times S_1(z_n)$. Пусть $f$ функция, голоморфная в полидиске. {\бф \ред Тогда $\int_S V= (2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$, где \[ V=\frac{f\Phi}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)}. \]} \phantom{.\hspace{-30pt}} \дшаг Пусть $Z=\bigcup_{i=1}^n z_i=\alpha_i$, а $S_\epsilon$ -- произведение окружностей радиуса $\epsilon$ с центром в $\alpha_1, ..., \alpha_n$. Легко видеть, что $S, S_\epsilon\subset \C^n \backslash Z$, и оба тора гомотопны в области $\C^n \backslash Z$, где форма $V$ замкнута. $dV=0$ и формула Стокса дает $\int_S V= \int_{S_\epsilon} V$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{S_\epsilon} V= (2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$.} \newpage {\бф \блуе Формула Коши в произвольной размерности (продолжение)} \теорема Пусть $\Delta \subset \C^n$ полидиск полирадиуса $(1,1,..., 1)$, то есть $\Delta= B_1(z_1) \times B_1(z_2) \times ... \times B_1(z_n)$, а $\alpha_1, ..., \alpha_n\in \Delta$ комплексные числа с $|\alpha_i|\leq 1$. Обозначим за $S$ произведение окружностей радиуса 1, $S= S_1(z_1) \times S_1(z_2) \times ... \times S_1(z_n)$. Пусть $f$ функция, голоморфная в полидиске. {\бф \ред Тогда $\int_S V= (2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$, где $ V=\frac{fdz_1 \wedge ... \wedge dz_n}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)}$.} \дшаг Пусть $S_\epsilon$ -- произведение окружностей радиуса $\epsilon$ с центром в $\alpha_1, ..., \alpha_n$. {\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{S_\epsilon} V= (2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$.} {\бф \греен Шаг 2:} Для упрощения обозначений мы положим $\alpha_i=0$, и параметризуем $S_\epsilon$ кубом $[0, 2\pi]^n$ при посредстве отображения $t_1, ..., t_n\arrow \epsilon e^{\1 t_1}, ..., e^{\1 t_n}$. Это дает \begin{multline*} \int_{S_\epsilon} V= \int_{S_\epsilon}f(z) \frac{dz_1}{z_1}\wedge ... \wedge\frac{dz_n}{z_n} =\\ =\int_0^{2\pi} ... \int_0^{2\pi} \frac{f(\epsilon e^{\1t_1 })}{\epsilon e^{\1t_1}} ... \frac{f(\epsilon e^{\1t_n })}{\epsilon e^{\1t_n}}(\1\epsilon)^n e^{\1t}dt_1dt_2...dt_n =\\ =(\1)^n\int_0^{2\pi}...\int_0^{2\pi}f(\epsilon e^{\1t})dt_1dt_2...dt_n, \end{multline*} и это сходится к $(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Разложение в ряд Тэйлора} \замечание Из формулы Коши легко следует, что {\бф \ред голоморфные функции, определенные в полидиске, раскладываются в этом полидиске в ряд Тэйлора.} Действительно, \[ f(\alpha_1, ... \alpha_n)= \frac1{(2\pi\1)^n} \int_S \frac{fdz_1 \wedge ... \wedge dz_n}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)} \] Раскладывая $(z_i-\alpha_i)^{-1}$ в ряд по формуле \[ \frac 1 {(z_i-\alpha_i)}= \frac {z_i^{-1}} {(1-\alpha_i z_i^{-1})} = \sum_{l=0}^\infty \alpha_i^l z_i^{-l-1}, \] получаем \[ f(\alpha_1, ... \alpha_n)= \sum_{i_1=0}^\infty ... \sum_{i_n=0}^\infty \alpha_1^{i_1} .... \alpha_{i_n}^{i_n} \int_{S_\epsilon} f(z_1,..., z_n)z_1^{-i_1-1} ... z_n^{-i_n-1} dz_1 \wedge ... \wedge dz_n. \] \newpage {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)} \лемма {\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\ Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$. {\бф \ред Тогда $f=0$.} \упражнение {\бф \пурпле Докажите это.} \следствие Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия, а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ инъективно.} \определение {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций} есть множество классов эквивалентности голоморфных функций, определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности {\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}. \невпаге {\бф \блуе Формальные степенные ряды (повторение)} \определение {\бф \блуе Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$ есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных степенных рядах определяется покомпонентно, произведение по формуле \[ \left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n)\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n) \] где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n) Q_j(t_1, ..., t_n)$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред формальные степенные ряды образуют кольцо.} \определение Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$ обратим. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле кольцо формальных степенных рядов локально.} \невпаге {\бф \блуе Ряды Тэйлора и ростки голоморфных функций (повторение)} \определение Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $x\in M$ -- точка, а $t_1, ..., t_n$ -- комплексные координаты в некоторой окрестности $x$ с нулем в $x$. С ростком голоморфной функции $f$ в $x$ свяжем формальный ряд \[ \sum_{i_1+ i_2+ ...+ i_n=r} \frac {d^r f}{dt_1^{i_1}dt_2^{i_2}... dt_n^{i_n}}\cdot \frac {t_1^{i_1} t_2^{i_2} ... t_n^{i_n}}{i_1!i_2!...i_n!} \] Этот формальный ряд называется {\бф\блуе ряд Тэйлора функции $f$}. \утверждение {\бф \ред Ряд Тэйлора голоморфной функции $f$ сходится к $f$ в небольшой окрестности $x$.} \следствие Взятие ряда Тэйлора {\бф \ред задает вложение кольца ростков $\calo_{x,M}$ в кольцо формальных рядов в $x$.} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле кольцо ростков голоморфных функций локально.} \замечание В дальнейшем, {\бф \блуе голоморфная функция} это то же самое, что {\бф \блуе аналитическая функция} и {\бф \блуе комплексно-аналитическая функция.} \newpage {\бф \блуе Порядок нуля голоморфной функции (повторение)} \определение Пусть $f$ голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$. Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф \блуе у $f$ есть нуль кратности $k$ в 0,} (или {\бф \блуе порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. \определение {\бф \блуе Главная часть} голоморфной функции $f(t_1, ..., t_n)$ есть ненулевой однородный полином $Q(t_1, ..., t_n)$ степени $d$ такой, что $f-Q$ имеет нуль кратности $\geq d+1$. \замечание {\бф \пурпле Главная часть, с точностью до действия линейного оператора, не зависит от замены координат.} Иначе говоря, {\бф \ред главная часть голоморфной функции в $x$ однозначно определена как однородный полином на касательном пространстве $T_x M$.} {\бф \греен Упражнение 1:} Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности нуля в $\C^n$, которая имеет в 0 нуль порядка $k$. Докажите, что {\бф \пурпле для любого выбора координат, предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.} {\бф \греен Упражнение 2:} Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$. Сделаем линейную замену координат таким образом, что полином $Q(0, z_n)$ ненулевой. {\бф \пурпле Проверьте, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$. } \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)} \определение Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$. {\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$, где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса часто записывается в виде $P(z, z_n)$, где $z$ обозначает совокупность координат $z_1, ..., z_{n-1}$. \замечание Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$. Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. {\бф \греен Доказательство потом} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Weierstrass.jpg,width=0.45\linewidth}\\ {Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\ (1815 - 1897)} \end{center} \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (применимость)} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. \замечание Из упражнений 1-2 следует, что {\бф \пурпле подготовительная теорема Вейерштрасса применима к любой комплексно-аналитической функции $f$, для которой $Q(z_n)\neq 0$, где $Q$ есть главная часть $f$}. В частности, она становится применима после линейной замены координат $z_1, ..., z_n \arrow A(z_1),..., A(z_n)$, вне множества $A\in GL(n)$, имеющего меру 0. \следствие Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$, {\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса применима ко всем $f_i$.} \newpage {\бф \блуе Формула Ньютона} \определение Пусть $\alpha_1, ..., \alpha_l$ -- набор независимых переменных, а $e_i$ -- коэффициенты многочлена $t^l+ e_{l-1}t^{l-1}+ ... + e_1 t + e_0:= \prod_{i=1}^l (t+\alpha_i)$. Тогда $e_j$ называются {\бф \блуе элементарными симметрическими полиномами} от $\alpha_i$. \теорема {\бф \блуе (Тождества Ньютона)}\\ Пусть $Q_j:= \sum_i \alpha^j$. {\бф \ред Тогда элементарные симметрические полиномы $e_0, ..., e_{l-1}$ полиномиально выражаются через $Q_1, ..., Q_l$,} с рациональными коэффициентами. \доказательство Имеет место {\бф \блуе тождество Ньютона}: \[ k e_k = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}Q_i.\] Чтобы это усмотреть, напишем производящую функцию $E(t):= \prod_i (1-t \alpha_i) = \sum_i (-1)^i t^i e_i$. Дифференцируя по $t$, получаем \[ \frac{E'(t)}{E(t)}=\sum_i\frac{-\alpha_i}{1-t\alpha_it}= -\sum_i\sum_{j=1}^\infty \alpha_i^j t^{j-1}. \] Пусть $Q(t):= \sum_{j=1}^\infty Q_j t^j$. Из предыдущей формулы получаем $tE'= -EQ$, что доказывает тождество Ньютона. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Нули логарифмической производной} \упражнение Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, не зануляющаяся на его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac {f'}f z^k dz$. {\бф \пурпле Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где $\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.} {\бф \греен Указание:}\ Формула Коши. \упражнение Воспользуйтесь этим, чтобы доказать {\бф \блуе теорему Руше:} если $f_t$ -- семейство голоморфных функций на диске $\Delta$, непрерывно зависящих от параметра $t\in \R$ и не зануляющихся на $\6\Delta$, то число нулей $f_t$ в $\Delta$ постоянно. \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (объяснение)} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. Для доказательства подготовительной теоремы Вейерштрасса, {\бф \пурпле мы рассматриваем множество нулей $F$ как особое подмногообразие $\C^n$, которое снабжено $k$-листным разветвленным накрытием над $\C^{n-1}$}, и строим полином Вейерштрасса {\бф \пурпле с тем же множеством нулей.} Это делается так: мы выписываем полиномы Ньютона от нулей функции $\tilde F_{z_1, ..., z_{n-1}}(z_n)= F(z_1, ..., z_n)$ как голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$, и выражаем элементарные симметрические полиномы от этих нулей через полиномы Ньютона, получая, что существует функция $P(z, z_n)$, полиномиальная по $z_n$, и зануляющаяся там же, где $F$, и с теми же кратностями. \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (доказательство)} {\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса:}\\ Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1, ... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$ бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$. В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$. {\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$. где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac {f'}f z^k dz$. В силу упражнения выше, {\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$ на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$ непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.} {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей, обозначенных за $\alpha_i(z)$. В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней $\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$. {\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона, мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$, получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.} {\бф \греен Шаг 3:} Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$. Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$, и с теми же кратностями, их частное -- гладкая функция $u$, которая не зануляется нигде в $\Delta(n-1,1)$, и голоморфна вне множества нулей $F$. Поскольку $u$ дифференцируема, она голоморфна и обратима в $\Delta(n-1,1)$. Мы получили $F= Pu$. \endproof %\newpage % %{\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении} % %\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}\\ %Пусть $P$ -- голоморфная функция в окрестности 0, %зануляющаяся с кратностью $k$. %{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция %$F$, заданная в окрестности 0, может быть представлена %в виде $F=fP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса, %степени, меньшей $k$. % %\доказательство %Выбрав подходящую систему координат, можно %считать, что $F= u F'$, и $P=v P'$, где %$F'(z, z_n)$ и $P'(z, z_n)$ -- полиномы %Вейерштрасса. Деление $F$ в столбик на $P'$ дает %$F=v^{-1}PR+Q'$, где $Q'(z, z_n)$ -- полином %Вейерштрасса степени, меньшей $k$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Лемма Гаусса} \определение Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф \блуе прост} если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$, либо частное $r/r'$ обратимо. \определение Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители, называется {\bf \blue факториальным}. \теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\ Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$ тоже факториально.} {\бф \греен Доказательство будет дальше.} \упражнение Пусть $R$ кольцо без делителей нуля. {\бф \пурпле Докажите, что кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля.} \невпаге {\бф \блуе Примитивные полиномы} \определение Пусть $R$ -- факториальное кольцо. Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф \блуе примитивным}, если НОД его коэффициентов равен 1. {\бф \греен Лемма 1:} Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ примитивные полиномы. {\бф \ред Тогда их произведение тоже примитивно.} \доказательство Пусть $p\in R$ простое. Поскольку $P_1, P_2$ примитивны, они ненулевые по модулю $p$. Поскольку факторкольцо $R/(p)$ не имеет делителей нуля, {\бф \пурпле произведение $P_11P_2$ ненулевое в $R/(p)$, значит, НОД коэффициентов $P_1P_2$ не делит $p$.} \ендпрооф {\бф \греен Лемма 2:} Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных. {\бф \ред Тогда каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$, неприводим в $K[t]$.} \доказательство Разложим $P$ в произведение двух полиномов из $K[t]$. Приведя общие знаменатели, получим $rP= P_1 P_2$, где $P_1, P_2\in R[t]$. Поделив на НОД коэффициентов $P_i$, получим $rP= r' P_1' P_2'$, где полиномы $P_1'$, $P_2'$ примитивны. Но в этом случае $P_1'P_2'$ примитивный (Лемма 1). Получаем, что НОД коэффициентов полинома $rP$ это $r$, а НОД коэффициентов $r' P_1' P_2'$ это $r'$; сократив на $r, r'$, получим разложение $P$ на множители в $R[t]$. \ендпрооф \невпаге {\бф \блуе Лемма Гаусса (доказательство)} \теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\ Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$ тоже факториально.} \доказательство Обозначим за $K$ поле частных $R$. Разложение на множители единственно в кольце $K[t]$, потому что там действует алгоритм Евклида. В силу Леммы 2, для любого примитивного многочлена $P(t)$, у него столько же разложений на неприводимые в $K[t]$, сколько в $R[t]$. Непримитивный многочлен разлагается в произведение примитивного и НОДа его коэффициентов. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ } \утверждение Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков голоморфных функций он $n$ переменных. {\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в произведение $f=f_1 ... f_N$ неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое разложение единственно.} \доказательство Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение неприводимых полиномов, получим искомое разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать единственность. {\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией, {\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.} Из этого, по лемме Гаусса, следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$. {\бф \греен Шаг 2:} Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который делит произведение неразложимых элементов $ff_1$. Воспользовавшись подготовительной теоремой Вейерштрасса, можно считать, что $f,f_1,g$ -- полиномы Вейерштрасса в одной и той же системе координат. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит $ff_1$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.} Поскольку это кольцо факториально, из этого следует, что $f$ либо $f_1$ делит $g$. \ендпрооф \end{document}