\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 3 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 3: подготовительная теорема Веерштрасса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 4 марта 2017
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Формула Коши в размерности 1}

Напомню, что {\бф \блуе голоморфной функцией} на $M\subset \C$
с комплексной координатой $z$ называется функция
$f$ такая, что $df\in \Lambda ^{1,0}(M)$, что эквивалентно
замкнутости формы $fdz$.

{\бф \греен Формула Коши:}
\[
\int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a}= 2\pi\1 f(a),
\]
для функции $f$, голоморфной в диске $\Delta\subset \C$ и интегрируемой
на его границе. 

\дшаг
Пусть $S_\epsilon$ есть окружность радиуса $\epsilon$ с центром в
$a\in \Delta$, $B_\epsilon(a)$ внутренность диска, а 
$\Delta_0:=\Delta \backslash B_\epsilon(a)$.
Теорема Стокса и замкнутость $fdz$ дает
\[
0= \int_{\Delta_0} d\left(\frac{f(z)dz}{z-a}\right)=
-\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a} + 
\int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a},
\]
значит, {\бф \пурпле формула Коши следует, если мы докажем
$\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a}=2\pi\1 f(a).$}

\newpage

{\бф \блуе Формула Коши в размерности 1 (продолжение)}


{\бф \греен Формула Коши:}
\[
\int_{\6 \Delta} \frac{f(z)dz}{z-a}= 2\pi\1 f(a),
\]
для функции $f$, голоморфной в диске $\Delta\subset \C$ и интегрируемой
на его границе. 

\дшаг Пусть $S_\epsilon$ есть окружность радиуса $\epsilon$ с центром в
$a\in \Delta$. {\бф \пурпле Формула Коши следует, если мы докажем
$\lim\limits_{\epsilon\rightarrow 0}\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z-a}=2\pi\1 f(a).$}

{\бф \греен Шаг 2:}
Предполагая для упрощения $a=0$ и параметризуя окружность
$S_\epsilon$ кривой $t\arrow \epsilon e^{\1 t}$, мы получаем
\begin{multline*}
\int_{S_\epsilon}\frac{f(z)dz}{z}=
\int_0^{2\pi} \frac{f(\epsilon e^{\1t})}{\epsilon e^{\1t}} d(\epsilon e^{\1t})=\\
=\int_0^{2\pi} \frac{f(\epsilon e^{\1t})}{\epsilon e^{\1t}} \1 \epsilon e^{\1t}dt 
=\int_0^{2\pi}f(\epsilon e^{\1t})\1 dt
\end{multline*}
при $\epsilon$, стремящемся к 0, $f(\epsilon e^{\1t})$ стремится к $f(0)$,
и этот интеграл стремится к $2\pi\1f(0)$.
\ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Формула Коши в произвольной размерности}

\замечание
Пусть $M\subset \C^n$ открытое подмножество, а 
$z_1, ..., z_n$ комплексные координаты. Голоморфность
функции $f$ равносильна $df\in \Lambda ^{1,0}(M)$,
что эквивалентно $df\wedge dz_1 \wedge dz_1 \wedge ... \wedge dz_n=0$.
Обозначим $dz_1 \wedge dz_1 \wedge ... \wedge dz_n$ за $\Phi$.
Получаем, что $f$ голоморфно $\Leftrightarrow$ форма $f\Phi$ замкнута.

\теорема {\бф \блуе (формул Коши в размерности $n$)}\\
Пусть $\Delta \subset \C^n$ полидиск полирадиуса $(1,1,..., 1)$,
то есть $\Delta= B_1(z_1) \times B_1(z_2) \times ... \times B_1(z_n)$,
а $\alpha_1, ..., \alpha_n\in \Delta$ комплексные числа с $|\alpha_i|\leq 1$.
Обозначим за $S$ произведение окружностей радиуса 1, 
$S= S_1(z_1) \times S_1(z_2) \times ... \times S_1(z_n)$.
Пусть $f$ функция, голоморфная в полидиске. {\бф \ред Тогда
$\int_S V=
(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$, где 
\[ V=\frac{f\Phi}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)}.
\]}
\phantom{.\hspace{-30pt}} \дшаг
 Пусть $Z=\bigcup_{i=1}^n z_i=\alpha_i$, а $S_\epsilon$ --
произведение окружностей радиуса $\epsilon$ с центром 
в $\alpha_1, ..., \alpha_n$. Легко видеть, что $S, S_\epsilon\subset \C^n \backslash Z$,
и оба тора гомотопны в области $\C^n \backslash Z$, где форма $V$ замкнута.
$dV=0$ и формула Стокса дает $\int_S V= \int_{S_\epsilon} V$.
{\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{S_\epsilon} V=
(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$.}

\newpage

{\бф \блуе Формула Коши в произвольной размерности (продолжение)}


\теорема Пусть $\Delta \subset \C^n$ полидиск полирадиуса $(1,1,..., 1)$,
то есть $\Delta= B_1(z_1) \times B_1(z_2) \times ... \times B_1(z_n)$,
а $\alpha_1, ..., \alpha_n\in \Delta$ комплексные числа с $|\alpha_i|\leq 1$.
Обозначим за $S$ произведение окружностей радиуса 1, 
$S= S_1(z_1) \times S_1(z_2) \times ... \times S_1(z_n)$.
Пусть $f$ функция, голоморфная в полидиске. {\бф \ред Тогда
$\int_S V=
(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$, где 
$ V=\frac{fdz_1 \wedge ... \wedge dz_n}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)}$.}

\дшаг Пусть  $S_\epsilon$ --
произведение окружностей радиуса $\epsilon$ с центром 
в $\alpha_1, ..., \alpha_n$. 
{\бф \пурпле Осталось доказать, что $\lim_{\epsilon \rightarrow 0}\int_{S_\epsilon} V=
(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$.}

{\бф \греен Шаг 2:} Для упрощения обозначений мы положим
$\alpha_i=0$, и параметризуем $S_\epsilon$ 
кубом $[0, 2\pi]^n$ при посредстве отображения
$t_1, ..., t_n\arrow \epsilon e^{\1 t_1}, ..., e^{\1 t_n}$.
Это дает
\begin{multline*}
\int_{S_\epsilon} V= 
\int_{S_\epsilon}f(z) \frac{dz_1}{z_1}\wedge ... \wedge\frac{dz_n}{z_n}  =\\
=\int_0^{2\pi} ... \int_0^{2\pi} 
\frac{f(\epsilon e^{\1t_1 })}{\epsilon e^{\1t_1}} ... \frac{f(\epsilon e^{\1t_n })}{\epsilon e^{\1t_n}}(\1\epsilon)^n e^{\1t}dt_1dt_2...dt_n =\\
=(\1)^n\int_0^{2\pi}...\int_0^{2\pi}f(\epsilon e^{\1t})dt_1dt_2...dt_n,
\end{multline*}
и это сходится к $(2\pi\1)^n f(\alpha_1, ... \alpha_n)$. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Разложение в ряд Тэйлора}

\замечание
Из формулы Коши легко следует, что {\бф \ред голоморфные функции,
определенные в полидиске, раскладываются в этом полидиске в ряд Тэйлора.}
Действительно, 
\[
f(\alpha_1, ... \alpha_n)= \frac1{(2\pi\1)^n} \int_S \frac{fdz_1 \wedge ... \wedge dz_n}{(z_1-\alpha_1) (z_2-\alpha_2) \times ... \times (z_n-\alpha_n)}
\]
Раскладывая $(z_i-\alpha_i)^{-1}$ в ряд по формуле
\[
\frac 1 {(z_i-\alpha_i)}= \frac {z_i^{-1}} {(1-\alpha_i z_i^{-1})}
= \sum_{l=0}^\infty \alpha_i^l z_i^{-l-1},
\]
получаем
\[
f(\alpha_1, ... \alpha_n)= \sum_{i_1=0}^\infty ... \sum_{i_n=0}^\infty 
\alpha_1^{i_1} .... \alpha_{i_n}^{i_n} \int_{S_\epsilon} f(z_1,..., z_n)z_1^{-i_1-1} ...
z_n^{-i_n-1} dz_1 \wedge ... \wedge dz_n.
\]






\newpage

{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций (повторение)}

\лемма 
{\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
{\бф \ред Тогда $f=0$.}

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\следствие 
Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия,
а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_U)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение
ограничения $H^0(\calo_U)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.}


\определение 
{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций}  есть
множество классов эквивалентности голоморфных функций,
определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности
{\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}.

\невпаге

{\бф \блуе Формальные степенные ряды (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$
есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где
$P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных
степенных рядах определяется покомпонентно, произведение
по формуле
\[
\left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n)\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n)
\]
где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n)  Q_j(t_1, ..., t_n)$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред формальные степенные ряды образуют кольцо.}

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем
есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным
идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$
обратим. 

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
кольцо формальных степенных рядов
локально.}


\невпаге

{\бф \блуе Ряды Тэйлора и ростки голоморфных функций (повторение)}

\определение
Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $x\in M$ -- точка,
а $t_1, ..., t_n$ -- комплексные координаты в некоторой
окрестности $x$ с нулем в $x$. С ростком голоморфной
функции $f$ в $x$ свяжем формальный ряд
\[
\sum_{i_1+ i_2+ ...+ i_n=r} 
\frac {d^r f}{dt_1^{i_1}dt_2^{i_2}... dt_n^{i_n}}\cdot \frac {t_1^{i_1} t_2^{i_2} ... t_n^{i_n}}{i_1!i_2!...i_n!}
\]
Этот формальный ряд называется {\бф\блуе ряд Тэйлора функции $f$}.

\утверждение
{\бф \ред Ряд Тэйлора голоморфной функции $f$ сходится к $f$ в небольшой окрестности $x$.}


\следствие
Взятие ряда Тэйлора {\бф \ред задает вложение кольца ростков  $\calo_{x,M}$ в кольцо
формальных рядов в $x$.}


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
кольцо ростков голоморфных функций локально.}


\замечание В дальнейшем, {\бф \блуе голоморфная функция} это то же самое, что 
{\бф \блуе аналитическая функция} и {\бф \блуе комплексно-аналитическая функция.}


\newpage

{\бф \блуе Порядок нуля голоморфной функции (повторение)}

\определение
Пусть $f$ голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$.
Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$,
где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф \блуе у $f$ есть нуль кратности
$k$ в 0,} (или {\бф \блуе порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. 

\определение
{\бф \блуе Главная часть} голоморфной функции $f(t_1, ..., t_n)$ есть ненулевой
однородный полином $Q(t_1, ..., t_n)$ степени $d$ такой, что $f-Q$ имеет нуль
кратности $\geq d+1$.

\замечание {\бф \пурпле Главная часть, с точностью до действия линейного оператора,
не зависит от замены координат.} Иначе говоря, {\бф \ред главная часть
голоморфной функции в $x$ однозначно определена как однородный полином на касательном пространстве $T_x M$.}

{\бф \греен Упражнение 1:}
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности нуля в $\C^n$, которая
имеет в 0 нуль порядка $k$. Докажите, что {\бф \пурпле для любого 
выбора координат, предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.}


{\бф \греен Упражнение 2:}
Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$.
Сделаем линейную замену координат таким образом, что 
полином $Q(0, z_n)$ ненулевой. {\бф \пурпле Проверьте, что 
$\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$. }


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\замечание
Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций 
на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$.
Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

{\бф \греен Доказательство потом}



\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Weierstrass.jpg,width=0.45\linewidth}\\
{Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\
(1815 - 1897)}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (применимость)}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.


\замечание Из упражнений 1-2 следует, что  {\бф \пурпле
подготовительная теорема Вейерштрасса применима
к любой комплексно-аналитической функции $f$, для которой
$Q(z_n)\neq 0$, где $Q$ есть главная часть $f$}. 
В частности, она становится применима после линейной
замены координат $z_1, ..., z_n \arrow A(z_1),..., A(z_n)$,
вне множества $A\in GL(n)$, имеющего меру 0.

\следствие
Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$,
{\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса
применима ко всем $f_i$.}

\newpage

{\бф \блуе Формула Ньютона}


\определение
Пусть $\alpha_1, ..., \alpha_l$ -- набор независимых
переменных, а $e_i$ -- коэффициенты многочлена
$t^l+ e_{l-1}t^{l-1}+ ... + e_1 t + e_0:= \prod_{i=1}^l (t+\alpha_i)$.
Тогда $e_j$ называются {\бф \блуе элементарными
симметрическими полиномами} от $\alpha_i$.

\теорема {\бф \блуе (Тождества Ньютона)}\\
Пусть $Q_j:= \sum_i \alpha^j$.
{\бф \ред Тогда элементарные симметрические
полиномы $e_0, ..., e_{l-1}$ полиномиально 
выражаются через $Q_1, ..., Q_l$,} с рациональными
коэффициентами.

\доказательство
Имеет место {\бф \блуе тождество Ньютона}: 
\[ k e_k = \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^ie_{k-i}Q_i.\]
Чтобы это усмотреть, напишем производящую функцию
$E(t):= \prod_i (1-t \alpha_i) = \sum_i (-1)^i t^i e_i$.
Дифференцируя по $t$, получаем 
\[ 
  \frac{E'(t)}{E(t)}=\sum_i\frac{-\alpha_i}{1-t\alpha_it}=
  -\sum_i\sum_{j=1}^\infty \alpha_i^j t^{j-1}.
\] 
Пусть $Q(t):= \sum_{j=1}^\infty  Q_j t^j$.
Из предыдущей формулы получаем $tE'= -EQ$,
что доказывает тождество Ньютона.
 \ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Нули логарифмической производной}

\упражнение
Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске, не зануляющаяся на
его границе $\6\Delta$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$. {\бф \пурпле Тогда $S_k(f)= \sum \alpha_i^k$, где
$\alpha_i$ -- все нули $f$, взятые с кратностями.}

{\бф \греен Указание:}\  
Формула Коши.

\упражнение
Воспользуйтесь этим, чтобы доказать {\бф \блуе теорему Руше:}
если $f_t$ -- семейство голоморфных функций на диске $\Delta$, непрерывно зависящих
от параметра $t\in \R$ и не зануляющихся на $\6\Delta$, то число нулей
$f_t$ в $\Delta$ постоянно.

\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (объяснение)}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.


Для доказательства подготовительной теоремы Вейерштрасса,
{\бф \пурпле мы рассматриваем множество нулей $F$ как особое подмногообразие
$\C^n$, которое снабжено $k$-листным разветвленным
накрытием над $\C^{n-1}$}, и строим полином Вейерштрасса
{\бф \пурпле с тем же множеством нулей.}

Это делается так: мы выписываем полиномы Ньютона от нулей функции
$\tilde F_{z_1, ..., z_{n-1}}(z_n)= F(z_1, ..., z_n)$
как голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$, и выражаем
элементарные симметрические полиномы от этих нулей через
полиномы Ньютона, получая, что существует функция
$P(z, z_n)$, полиномиальная по $z_n$, и зануляющаяся
там же, где $F$, и с теми же кратностями.


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (доказательство)}




{\бф \греен Доказательство подготовительной теоремы Вейерштрасса:}\\
Поскольку $\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел
в 0, в некотором полидиске $\Delta(n-1,1):= B_r(z_1,
... z_{n-1}) \times \Delta_{r'}(z_n)$
бирадиуса $r, r'$, $F(z, z_n)\neq 0$, когда $|z_n|=r'$.
В этом полидиске мы построим разложение $F=u P$.

{\бф\греен Шаг 1:} Пусть ${\goth S}_k(z):= S_k(F(z, \cdot))$.
где $z\in B_r(z_1, ... z_{n-1})$, а $S_k(f):= \frac 1 {2\pi\1}\int_{\6\Delta} \frac
{f'}f z^k dz$.  В силу упражнения выше,
{\бф \пурпле ${\goth S}_0(z)$ равно числу нулей $F(z, \cdot)$
на диске $\Delta_{r'}$.} Поскольку ${\goth S}_0(z)$
непрерывно зависит от $z$, {\бф \ред число нулей постоянно.}



{\бф \греен Шаг 2:} Пусть
$e_l(z)$ -- элементарные полиномы от этих нулей,
обозначенных за $\alpha_i(z)$.
В силу упражнения выше, сумма $l$-х степеней
$\alpha_i(z)$ равна ${\goth S}_l(z)$.
{\bf \purple Воспользовавшись тождеством Ньютона,
мы выразим $e_l(z)$ через ${\goth S}_l(z)$,
получив голоморфные функции от $z_1, ..., z_{n-1}$.}


{\бф \греен Шаг 3:}
Пусть $P(z, z_n):= z_n^k + \sum_{i=0}^{k-1} (-1)^{i} e_i(z) z^i$.
Поскольку $P(z, z_n)$ имеет те же нули, что и $F$,
и с теми же кратностями, их частное -- гладкая функция $u$,
которая не зануляется нигде в $\Delta(n-1,1)$, и голоморфна
вне множества нулей $F$. Поскольку $u$ дифференцируема, она
голоморфна и обратима в $\Delta(n-1,1)$. Мы получили $F= Pu$.
\endproof


%\newpage
%
%{\бф \блуе Tеорема Вейерштрасса о делении}
%
%\теорема {\бф \блуе (Tеорема Вейерштрасса о делении)}\\ 
%Пусть $P$ -- голоморфная функция в окрестности 0, 
%зануляющаяся с кратностью $k$.
%{\бф \ред Тогда каждая голоморфная функция
%$F$, заданная в окрестности 0, может быть представлена
%в виде $F=fP +Q$,} где $Q(z,z_n)$ -- полином Вейерштрасса,
%степени, меньшей $k$.
%
%\доказательство
%Выбрав подходящую систему координат, можно
%считать, что $F= u F'$, и $P=v P'$, где
%$F'(z, z_n)$ и $P'(z, z_n)$ -- полиномы
%Вейерштрасса. Деление $F$ в столбик на $P'$ дает
%$F=v^{-1}PR+Q'$, где $Q'(z, z_n)$ -- полином
%Вейерштрасса степени, меньшей $k$. \ендпрооф


\невпаге

{\бф \блуе Лемма Гаусса}

\определение
Элемент $r\in R$ кольца $R$ {\бф \блуе прост}
если для любого делителя $r'| r$, либо $r'$ обратим в $R$,
либо частное $r/r'$ обратимо. 

\определение
Кольцо без делителей нуля, где однозначно разложение на простые сомножители,
называется {\bf \blue факториальным}.

\теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\
Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$
тоже факториально.}


{\бф \греен Доказательство будет дальше.}

\упражнение
Пусть $R$ кольцо без делителей нуля. {\бф \пурпле Докажите, что
кольцо полиномов $R[t]$ не имеет делителей нуля.}

\невпаге

{\бф \блуе Примитивные полиномы}

\определение Пусть $R$ -- факториальное кольцо.
Полином $P(t)\in R[t]$ называется {\бф \блуе примитивным},
если НОД его коэффициентов равен 1.

{\бф \греен Лемма 1:}
Пусть $P_1, P_2\in R[t]$ примитивные полиномы.
{\бф \ред Тогда их произведение тоже примитивно.}

\доказательство
Пусть $p\in R$ простое. Поскольку $P_1, P_2$ примитивны,
они ненулевые по модулю $p$. Поскольку факторкольцо $R/(p)$
не имеет делителей нуля, {\бф \пурпле произведение $P_11P_2$ ненулевое 
в $R/(p)$, значит, НОД коэффициентов $P_1P_2$ не делит $p$.}
\ендпрооф


{\бф \греен Лемма 2:}
Пусть $R$ -- факториальное кольцо, а $K$ его поле частных.
{\бф \ред Тогда каждый примитивный полином $P\in R[t]$, который неприводим в $R[t]$,
неприводим в $K[t]$.}

\доказательство
Разложим $P$ в произведение двух полиномов из $K[t]$. 
Приведя общие знаменатели, получим $rP= P_1 P_2$, где $P_1, P_2\in R[t]$.
Поделив на НОД коэффициентов $P_i$, получим
$rP= r' P_1' P_2'$, где полиномы $P_1'$, $P_2'$ примитивны.
Но в этом случае $P_1'P_2'$ примитивный (Лемма 1). Получаем,
что НОД коэффициентов полинома $rP$ это $r$, а НОД
коэффициентов $r' P_1' P_2'$ это $r'$; сократив на $r, r'$, получим
разложение $P$ на множители в $R[t]$. \ендпрооф

\невпаге

{\бф \блуе Лемма Гаусса (доказательство)}

\теорема {\бф \блуе ("Лемма Гаусса")}\\
Пусть кольцо $R$ факториально. {\бф \ред Тогда кольцо полиномов $R[t]$
тоже факториально.}

\доказательство 
Обозначим за $K$ поле частных $R$.
Разложение на множители единственно в кольце $K[t]$, потому что там действует алгоритм Евклида.
В силу Леммы 2, для любого примитивного многочлена $P(t)$,
у него столько же разложений на неприводимые в $K[t]$, сколько в $R[t]$. Непримитивный
многочлен разлагается в произведение примитивного и НОДа его коэффициентов. \ендпрооф


\newpage

{\бф \блуе Факториальность кольца $\calo_n$ }

\утверждение
Пусть $f\in \calo_n$ -- элемент кольца ростков
голоморфных функций он $n$ переменных. 
{\бф \пурпле Тогда $f$ разлагается в 
произведение $f=f_1 ... f_N$
неразложимых функций,} причем {\бф \ред такое
разложение единственно.}


\доказательство
Достаточно доказать это, когда $f$ -- полином
Вейерштрасса. Разложив $f$ в произведение
неприводимых полиномов, получим искомое
разложение $f=f_1 ... f_N$. Осталось доказать
единственность. 

{\бф \греен Шаг 1:} Воспользовавшись индукцией,
{\бф \пурпле можно считать, что $\calo_{n-1}$ факториально.}
Из этого, по лемме Гаусса, 
следует факториальность $\calo_{n-1}[z_n]$.

{\бф \греен Шаг 2:} 
Пусть $g$ -- неразложимый элемент, который
делит произведение неразложимых элементов $ff_1$.
Воспользовавшись подготовительной теоремой
Вейерштрасса, можно считать, что $f,f_1,g$ --
полиномы Вейерштрасса в одной и той же системе координат. Тогда {\бф \пурпле $g$ делит
$ff_1$ в кольце $\calo_{n-1}[z_n]$.}
Поскольку это кольцо факториально,
из этого следует, что $f$ либо $f_1$ делит $g$.
\ендпрооф




\end{document}


