\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 2 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 2: ростки голоморфных функций}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 4 марта 2017
}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Пучки (повторение)}

\определение 
{\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом 
пространстве $M$ -- это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями
ограничения} 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами

(1)  {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:}
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$
соответствующие отображения ограничений, то
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

(2) {\пурпле  Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.}

(3) ("склейка сечений")  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
$f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$
для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле  Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}

Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе  
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается
${\cal F}\restrict U$. Ограничение сечения
$f\in {\cal F}(M)$ на $U\subset M$ также обозначается
$f\restrict U$.


\невпаге

{\bf \blue Комплексные многообразия (повторение)}

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение
комплексного многообразия.}

\невпаге

{\бф \блуе Прямой предел}


\определение
{\бф \блуе Диаграмма} векторных пространств
есть направленный граф (граф со стрелочками), где 
каждой вершине соответствует векторное пространство,
каждой стрелочке линейный гомоморфизм. Диаграмма
{\бф \блуе коммутативная}, если всякий раз, когда
из $A$ в $B$ можно придти по стрелочкам двумя
способами, композиции соответствующих стрелочек равны.


\определение
Пусть $\{C_i\}$ - множество пространств, сопоставленных
вершинам коммутативной диаграммы ${\cal C}$,
а $E\subset \bigoplus_i C_i$ - подпространство,
порожденное векторами вида $(x-y)$, где $x\sim y$.
Фактор $\bigoplus_i C_i/E$ называется
{\бф\блуе прямым пределом} диаграммы $\{C_i\}$,
и еще {\бф\блуе индуктивным пределом}, и еще
{\бф\блуе копределом} и {\бф\блуе колимитом}, и обозначается
$\lim\limits_\rightarrow C_i$.


\определение
Пусть $M, {\cal F}$ - окольцованное пространство,
$x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ множество всех ее
окрестностей. Рассмотрим коммутативную диаграмму,
вершины которой пронумерованы $\{U_i\}$, а  стрелочки 
$U_i$ в $U_j$ соответствуют
вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$
(в обратном направлении), каждой вершине
$U_i$ соответствует ее пространство сечений
${\cal F}(U_i)$, а стрелочкам - отображения
ограничений. Прямой предел этой диаграммы
называется {\бф\блуе пространством ростков
пучка ${\cal F}$ в точке $x$}.

\невпаге

{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций}

\лемма 
{\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\
Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая
зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$.
{\бф \ред Тогда $f=0$.}

\упражнение {\бф \пурпле Докажите это.}


\следствие 
Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия,
а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_V)$ обозначает кольца
голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение
ограничения $H^0(\calo_V)\arrow H^0(\calo_V)$ 
инъективно.}


\определение 
Пусть $x\in M$ точка комплексного многообразия.
{\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций} $\calo_{x,M}$
есть пространство ростков пучка голоморфных функций
с естественной структурой кольца.

\упражнение
Отождествите кольцо ростков голоморфных функций 
с множеством классов эквивалентности голоморфных функций,
определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности
{\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}.


\невпаге

{\бф \блуе Формальные степенные ряды}

\определение
{\бф \блуе Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$
есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где
$P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных
степенных рядах определяется покомпонентно, произведение
по формуле
\[
\left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n)\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n)
\]
где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n)  Q_j(t_1, ..., t_n)$.

\упражнение
Докажите, что {\бф \ред формальные степенные ряды образуют кольцо.}

\определение
Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем
есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным
идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$
обратим. 

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
кольцо формальных степенных рядов
локально.}


\невпаге

{\бф \блуе Ряды Тэйлора и ростки голоморфных функций}

\определение
Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $x\in M$ -- точка,
а $t_1, ..., t_n$ -- комплексные координаты в некоторой
окрестности $x$ с нулем в $x$. С ростком голоморфной
функции $f$ в $x$ свяжем формальный ряд
\[
\sum_{i_1+ i_2+ ...+ i_n=r} 
\frac {d^r f}{dt_1^{i_1}dt_2^{i_2}... dt_n^{i_n}}\cdot \frac {t_1^{i_1} t_2^{i_2} ... t_n^{i_n}}{i_1!i_2!...i_n!}
\]
Этот формальный ряд называется {\бф\блуе ряд Тэйлора функции $f$}.

\утверждение
{\бф \ред Ряд Тэйлора голоморфной функции $f$ сходится к $f$ в небольшой окрестности $x$.}


\следствие
Взятие ряда Тэйлора {\бф \ред задает вложение кольца ростков  $\calo_{x,M}$ в кольцо
формальных рядов в $x$.}


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
кольцо ростков голоморфных функций локально.}


\замечание В дальнейшем, {\бф \блуе голоморфная функция} это то же самое, что 
{\бф \блуе аналитическая функция} и {\бф \блуе комплексно-аналитическая функция.}


\newpage

{\бф \блуе Порядок нуля голоморфной функции}

\определение
Пусть $f$ голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$.
Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$,
где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф \блуе у $f$ есть нуль кратности
$k$ в 0,} (или {\бф \блуе порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. 

\утверждение {\бф \ред Кратность нуля не меняется при голоморфной замене координат.}

\доказательство
Голоморфная замена координат в 0 записывается набором функций
$F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n)$, где $F_i(0)=0$, а
матрица $\left (\frac{dF_i}{dt_j}\right)$ невырождена. 
Взяв композицию с линейной заменой координат, можно считать,
что $F_i(t_1, ..., t_n)= t_i + P_i$, где $P_i$ сумма однородных полиномов
степени $\leq 2$. Обозначим за $F$ отображение
\[ (t_1, ..., t_n) \arrow F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n).\]
{\бф \пурпле Композиция однородного полинома $Q$ степени $d$ и $F$ есть
сумма $Q$ и однородных полиномов степени $\geq d+1$,} значит, 
$F$ не меняет кратности нулей.
\ендпрооф

\newpage

{\бф \блуе Главная часть голоморфной функции}


\определение
{\бф \блуе Главная часть} голоморфной функции $f(t_1, ..., t_n)$ есть ненулевой
однородный полином $Q(t_1, ..., t_n)$ степени $d$ такой, что $f-Q$ имеет нуль
кратности $\geq d+1$.

\замечание Из доказательства, приведенного выше, также следует,
что {\бф \пурпле главная часть, с точностью до действия линейного оператора,
не зависит от замены координат.} Иначе говоря, {\бф \ред главная часть
голоморфной функции в $x$ однозначно определена как однородный полином на касательном пространстве
$T_x M$.}

{\бф \греен Упражнение 1:}
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности нуля в $\C^n$, которая
имеет в 0 нуль порядка $k$. Докажите, что {\бф \пурпле для любого 
выбора координат, предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.}


{\бф \греен Упражнение 2:}
Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$.
Сделаем линейную замену координат таким образом, что 
полином $Q(0, z_n)$ ненулевой. {\бф \пурпле Проверьте, что 
$\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$. }


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)}

\определение
Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$.
{\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть  
функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$,
где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие
только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса
часто записывается в виде $P(z, z_n)$,
где $z$ обозначает совокупность координат
$z_1, ..., z_{n-1}$.

\замечание
Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций 
на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$.
Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.

{\бф \греен Доказательство на следующей лекции}



\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Weierstrass.jpg,width=0.45\linewidth}\\
{Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\
(1815 - 1897)}
\end{center}


\newpage

{\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (применимость)}


\теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\
Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$,
такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0.
{\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно
разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ --
полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.}
Более того, такое разложение единственно.


\замечание Из упражнений 1-2 следует, что  {\бф \пурпле
подготовительная теорема Вейерштрасса применима
к любой комплексно-аналитической функции $f$, для которой
$Q(z_n)\neq 0$, где $Q$ есть главная часть $f$}. 
В частности, она становится применима после линейной
замены координат $z_1, ..., z_n \arrow A(z_1),..., A(z_n)$,
вне множества $A\in GL(n)$, имеющего меру 0.

\следствие
Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$,
{\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса
применима ко всем $f_i$.}



\end{document}


