\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 2 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 2: ростки голоморфных функций} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 4 марта 2017 } \end{center} \newpage {\bf \blue Пучки (повторение)} \определение {\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом пространстве $M$ -- это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями ограничения} ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$ для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами (1) {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:} если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$ соответствующие отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. (2) {\пурпле Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$.} (3) ("склейка сечений") Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию $f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$ для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается ${\cal F}\restrict U$. Ограничение сечения $f\in {\cal F}(M)$ на $U\subset M$ также обозначается $f\restrict U$. \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия (повторение)} \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение комплексного многообразия.} \невпаге {\бф \блуе Прямой предел} \определение {\бф \блуе Диаграмма} векторных пространств есть направленный граф (граф со стрелочками), где каждой вершине соответствует векторное пространство, каждой стрелочке линейный гомоморфизм. Диаграмма {\бф \блуе коммутативная}, если всякий раз, когда из $A$ в $B$ можно придти по стрелочкам двумя способами, композиции соответствующих стрелочек равны. \определение Пусть $\{C_i\}$ - множество пространств, сопоставленных вершинам коммутативной диаграммы ${\cal C}$, а $E\subset \bigoplus_i C_i$ - подпространство, порожденное векторами вида $(x-y)$, где $x\sim y$. Фактор $\bigoplus_i C_i/E$ называется {\бф\блуе прямым пределом} диаграммы $\{C_i\}$, и еще {\бф\блуе индуктивным пределом}, и еще {\бф\блуе копределом} и {\бф\блуе колимитом}, и обозначается $\lim\limits_\rightarrow C_i$. \определение Пусть $M, {\cal F}$ - окольцованное пространство, $x\in M$ точка, а $\{U_i\}$ множество всех ее окрестностей. Рассмотрим коммутативную диаграмму, вершины которой пронумерованы $\{U_i\}$, а стрелочки $U_i$ в $U_j$ соответствуют вложениям $U_j \hookrightarrow U_i$ (в обратном направлении), каждой вершине $U_i$ соответствует ее пространство сечений ${\cal F}(U_i)$, а стрелочкам - отображения ограничений. Прямой предел этой диаграммы называется {\бф\блуе пространством ростков пучка ${\cal F}$ в точке $x$}. \невпаге {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций} \лемма {\бф \блуе (``принцип аналитического продолжения'')}\\ Пусть $f$ -- голоморфная функция на шаре $B$, которая зануляется в каком-то открытом подмножестве $B$. {\бф \ред Тогда $f=0$.} \упражнение {\бф \пурпле Докажите это.} \следствие Пусть $V\subset U$ -- связные комплексные многообразия, а $H^0(\calo_V)$, $H^0(\calo_V)$ обозначает кольца голоморфных функций на $U, V$. {\бф \ред Тогда отображение ограничения $H^0(\calo_V)\arrow H^0(\calo_V)$ инъективно.} \определение Пусть $x\in M$ точка комплексного многообразия. {\бф \блуе Кольцо ростков голоморфных функций} $\calo_{x,M}$ есть пространство ростков пучка голоморфных функций с естественной структурой кольца. \упражнение Отождествите кольцо ростков голоморфных функций с множеством классов эквивалентности голоморфных функций, определенных в окрестности $x$, с соотношением эквивалентности {\бф \блуе "$f\sim g$, если $f=g$ в какой-то окрестности $x$"}. \невпаге {\бф \блуе Формальные степенные ряды} \определение {\бф \блуе Формальный степенной ряд} от переменных $t_1, ..., t_n$ есть сумма вида $\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы степени $i$. Сложение на формальных степенных рядах определяется покомпонентно, произведение по формуле \[ \left(\sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)\right)\left(\sum_{i=0}^\infty Q_i(t_1, ..., t_n)\right) = \sum_{i=0}^\infty R_i(t_1, ..., t_n) \] где $R_d(t_1, ..., t_n)=\sum_{i+j=d}P_i(t_1, ..., t_n) Q_j(t_1, ..., t_n)$. \упражнение Докажите, что {\бф \ред формальные степенные ряды образуют кольцо.} \определение Кольцо называется {\бф \блуе локальным}, если в нем есть идеал $I$ (называемый {\бф \блуе максимальным идеалом кольца}) такой, что каждый элемент $a\not\in I$ обратим. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле кольцо формальных степенных рядов локально.} \невпаге {\бф \блуе Ряды Тэйлора и ростки голоморфных функций} \определение Пусть $M$ -- комплексное многообразие, $x\in M$ -- точка, а $t_1, ..., t_n$ -- комплексные координаты в некоторой окрестности $x$ с нулем в $x$. С ростком голоморфной функции $f$ в $x$ свяжем формальный ряд \[ \sum_{i_1+ i_2+ ...+ i_n=r} \frac {d^r f}{dt_1^{i_1}dt_2^{i_2}... dt_n^{i_n}}\cdot \frac {t_1^{i_1} t_2^{i_2} ... t_n^{i_n}}{i_1!i_2!...i_n!} \] Этот формальный ряд называется {\бф\блуе ряд Тэйлора функции $f$}. \утверждение {\бф \ред Ряд Тэйлора голоморфной функции $f$ сходится к $f$ в небольшой окрестности $x$.} \следствие Взятие ряда Тэйлора {\бф \ред задает вложение кольца ростков $\calo_{x,M}$ в кольцо формальных рядов в $x$.} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле кольцо ростков голоморфных функций локально.} \замечание В дальнейшем, {\бф \блуе голоморфная функция} это то же самое, что {\бф \блуе аналитическая функция} и {\бф \блуе комплексно-аналитическая функция.} \newpage {\бф \блуе Порядок нуля голоморфной функции} \определение Пусть $f$ голоморфная функция на $M$, зануляющаяся в $0\in B\subset \C^n$. Запишем ее ряд Тэйлора $f(z)= \sum_{i=0}^\infty P_i(t_1, ..., t_n)$, где $P_i$ -- однородные полиномы. Говорится, что {\бф \блуе у $f$ есть нуль кратности $k$ в 0,} (или {\бф \блуе порядка $k$}), если $P_0=...=P_{k-1}=0$. \утверждение {\бф \ред Кратность нуля не меняется при голоморфной замене координат.} \доказательство Голоморфная замена координат в 0 записывается набором функций $F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n)$, где $F_i(0)=0$, а матрица $\left (\frac{dF_i}{dt_j}\right)$ невырождена. Взяв композицию с линейной заменой координат, можно считать, что $F_i(t_1, ..., t_n)= t_i + P_i$, где $P_i$ сумма однородных полиномов степени $\leq 2$. Обозначим за $F$ отображение \[ (t_1, ..., t_n) \arrow F_1(t_1, ..., t_n), ..., F_n(t_1, ..., t_n).\] {\бф \пурпле Композиция однородного полинома $Q$ степени $d$ и $F$ есть сумма $Q$ и однородных полиномов степени $\geq d+1$,} значит, $F$ не меняет кратности нулей. \ендпрооф \newpage {\бф \блуе Главная часть голоморфной функции} \определение {\бф \блуе Главная часть} голоморфной функции $f(t_1, ..., t_n)$ есть ненулевой однородный полином $Q(t_1, ..., t_n)$ степени $d$ такой, что $f-Q$ имеет нуль кратности $\geq d+1$. \замечание Из доказательства, приведенного выше, также следует, что {\бф \пурпле главная часть, с точностью до действия линейного оператора, не зависит от замены координат.} Иначе говоря, {\бф \ред главная часть голоморфной функции в $x$ однозначно определена как однородный полином на касательном пространстве $T_x M$.} {\бф \греен Упражнение 1:} Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности нуля в $\C^n$, которая имеет в 0 нуль порядка $k$. Докажите, что {\бф \пурпле для любого выбора координат, предел $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ конечен.} {\бф \греен Упражнение 2:} Пусть $Q$ есть главная часть функции $F$. Сделаем линейную замену координат таким образом, что полином $Q(0, z_n)$ ненулевой. {\бф \пурпле Проверьте, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}\neq 0$. } \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (формулировка)} \определение Пусть $z_1, ..., z_n$ -- координаты на $\C^n$. {\бф \блуе Полином Вейерштрасса} есть функция вида $A_0 + z_n A_1 + ... + z_n^k A_k$, где $A_i\in \calo_{n-1}$ -- аналитические функции, зависящие только от $z_1, ..., z_{n-1}$. Полином Вейерштрасса часто записывается в виде $P(z, z_n)$, где $z$ обозначает совокупность координат $z_1, ..., z_{n-1}$. \замечание Обозначим за $\calo_{n-1}$ кольцо ростков голоморфных функций на $\C^{n-1}$ с координатами $z_1, ..., z_{n-1}$. Тогда {\бф \пурпле полиномы Вейерштрасса суть элементы кольца $\calo_{n-1}[z_n]$.} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. {\бф \греен Доказательство на следующей лекции} \newpage \begin{center} \epsfig{file=Weierstrass.jpg,width=0.45\linewidth}\\ {Karl Theodor Wilhelm Weierstra\ss\\ (1815 - 1897)} \end{center} \newpage {\бф \блуе Подготовительная теорема Вейерштрасса (применимость)} \теорема {\бф \блуе (Подготовительная теорема Вейерштрасса)}\\ Пусть $F$ -- аналитическая функция в окрестности 0 в $\C^n$, такая, что $\lim\limits_{z_n\rightarrow 0}\frac{F(0, z_n)}{z_n^k}$ имеет ненулевой предел в 0. {\бф \ред Тогда в какой-то окрестности 0, функцию $F$ можно разложить как $F=u(z)P(z, z_n)$, где $u$ обратима, а $P$ -- полином Вейерштрасса со старшим коэффициентом 1.} Более того, такое разложение единственно. \замечание Из упражнений 1-2 следует, что {\бф \пурпле подготовительная теорема Вейерштрасса применима к любой комплексно-аналитической функции $f$, для которой $Q(z_n)\neq 0$, где $Q$ есть главная часть $f$}. В частности, она становится применима после линейной замены координат $z_1, ..., z_n \arrow A(z_1),..., A(z_n)$, вне множества $A\in GL(n)$, имеющего меру 0. \следствие Для любого счетного набора голоморфных функций $f_1, f_2, ...$, {\бф \ред существует система координат, в которой подготовительная теорема Вейерштрасса применима ко всем $f_i$.} \end{document}