\documentclass{slides}

\usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh}
%\usepackage[matrix,arrow]{xy}

\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\блуе{\blue}
\def\пурпле{\purple}
\def\ред{\red}
\def\греен{\green}
\def\невпаге{\newpage}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\def\Bbb#1{\mathbb #1}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}}
\newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}}
\newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}

\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\ендпрооф{\blacksquare}




\makeatletter

%\@ifundefined{Bbb}
%     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
%{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 1 \hfil
  \tiny Миша Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


   \setlength\paperheight {10in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcommand{\лемма}{%
     {\bf \green ЛЕММА:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\следствие}{%
     {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }}
\newcommand{\гипотеза}{%
     {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }}
\newcommand{\предложение}{%
     {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\определение}{%
     {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\пример}{%
     {\bf \green ПРИМЕР:\ }}
\newcommand{\замечание}{%
     {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }}
\newcommand{\вопрос}{%
     {\bf \green ВОПРОС:\ }}
\newcommand{\упражнение}{%
     {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }}
\newcommand{\задача}{%
     {\bf \green ЗАДАЧА:\ }}
\newcommand{\доказательство}{%
     {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }}
\newcommand{\дшаг}{%
     {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }}


\begin{document}
\setcounter{page}{1}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm]
\small лекция 1: многообразия и пучки}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий } 
\\[20mm]

{\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва
\\[2mm] 25 февраля 2017
}
\end{center}

\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры}

\определение 
{\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном
пространстве $V$ называется эндоморфизм
$I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. 


\замечание
Продолжим $I$ на тензоры формулой 
$I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes 
I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$
Если $g$ -- положительно определенное скалярное
произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)$ 
тоже положительно определено и $I$-инвариантно:
$I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный
оператор относительно $g_I$.}

\определение
Положительно определенное скалярное произведение,
в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой
метрикой} на $(V,I)$. Мы только  что доказали,
что она всегда существует.

\следствие
Все собственные значения $I$ простые (то есть
$I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле,
{\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.}



\newpage

{\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)}


\замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение
оператора комплексной структуры $I$.
Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$.

\определение
Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$,
обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$
обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R
\C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. Это разложение называется
{\бф \блуе разложение Ходжа.}

\замечание 
Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем,
что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. 
В частности, {\бф \пурпле это пространства одинаковой размерности.}

\упражнение
Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$
{\бф \пурпле задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$.}

\замечание Мы получили, что {\бф \пурпле оператор
комплексной структуры на $V$ задает отождествление
$V$ и комплексного векторного пространства.}

\упражнение
Докажите, что оператор комплексной структуры
{\бф \ред однозначно задается подпространством
$V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$
половинной размерности,} которое не
пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$.



\невпаге

{\bf \blue Оператор комплексной структуры в координатах}

\следствие
В подходящем базисе на $V\otimes_\R \C$, любой оператор
комплексной структуры  $I\in \End(V)$ записывается
диагональной матрицей

\[\left[
\begin{array}{c|c}
\begin{array}{cccc}
\1 &  & &\\
  &  \1 & & \\
  &    & \ddots &  \\
  &    &  &  \1 
\end{array}
 & 0 \\ \hline
0 & \begin{array}{cccc}
-\1 &  & &\\
  &  -\1 & & \\
  &    & \ddots &  \\
  &    &  &  -\1 
\end{array}
\end{array}\right]
\]
Это дает нормальную форму такого оператора в вещественном базисе
\[ \begin{bmatrix}
0 & -1 \\
1 &  0 \\
  &    & 0 & -1 \\
  &    & 1 &  0 \\
  &    &   &   & \ddots   \\
  &    &   &   & & \ddots \\
  &    &   &   & &       & 0 & -1 \\
  &    &   &   & &       & 1 &  0
\end{bmatrix}
\]


\невпаге

{\bf \blue Почти комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$
есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного
расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. 

\пример
Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$.
Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти
комплексная структура.

\определение
{\бф \блуе Разложение Ходжа} на кокасательном расслоении
к $M$ есть разложение $\Lambda^1(M)\otimes_\R \C= 
\Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{0,1}(M)$, где
$I\restrict{\Lambda^{1,0}(M)}= \1$, а 
$I\restrict{\Lambda^{0,1}(M)}= -\1$.


\определение
Функция $f:\; M \arrow \C$ на
почти комплексном многообразии называется
{\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$.

\замечание
Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного
многообразия, на котором вовсе нет голоморфных
функций.} Например, $S^6$ со стандартной
$G_2$-инвариантной почти комплексной структурой.


\невпаге

{\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$}

\теорема
Пусть $f:\; M \arrow \C$  -- дифференцируемая
функция на открытом подмножестве
$M\subset \C^n$, с естественной комплексной
структурой. {\bf \blue Тогда следующие
свойства $f$ равносильны.}\\
\ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного
определения)\\
\ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$
рассматриваемый как $\C$-значная функция на 
$T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\
\ \  (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$,
ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\
\ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным
координатам в окрестности каждой точки $x\in M$.

{\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны
(тавтологически).

Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой
формы $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение
на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0),
и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах,
это (1,0)-форма.

Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из 
формулы Коши  для голоморфной функции одного переменного
 с остаточным членом. \ендпрооф


\невпаге

{\bf \blue Голоморфные отображения}

\определение
Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные
многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое
отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным},
если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$.

\замечание
{\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\
комплексно-линейно}.

\замечание
{\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.}

\замечание 
Для открытого подмножества $M\subset \C^n$, {\бф \пурпле расслоение
$\Lambda^{1,0}(M)$ порождено (над $\C^\infty M$)
дифференциалами голоморфных функций.}


\следствие (*)
Пусть заданы открытые подмножества
$M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ --
гладкое отображение. Предположим, что для любой
голоморфной функции на $N$, соответствующая
функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$.
{\бф \ред Тогда $f$ -- голоморфное отображение}.

{\бф \греен Доказательство:} 
Если функция $f^* \phi$ всегда голоморфна,
то $f^*(d\phi) = d(f^*\phi) \subset \Lambda^{1,0}(M)$.
{\бф \пурпле Поскольку $d\phi$ порождают $\Lambda^{1,0}(N)$,
это значит, что $f^*\Lambda^{1,0}(N)$ лежит в $\Lambda^{1,0}(M)$.}



\невпаге

{\bf \blue Пучки}

\определение 
{\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом 
пространстве $M$ -- это набор векторных
пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого
подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями
ограничения} 
${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$
для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами

(1)  {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:}
если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые
множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$
соответствующие отображения ограничений, то
$\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$.

(2) {\пурпле  Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение 
$f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то
$f=0$.}

(3) ("склейка сечений")  Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие 
множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$
набор сечений, заданных для каждого элемента
покрытия, и удовлетворяющих условию
$f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$
для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле  Тогда
существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения
$f$ на $U_i$ дает $f_i$.}

Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе  
пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается
${\cal F}\restrict U$. Ограничение сечения
$f\in {\cal F}(M)$ на $U\subset M$ также обозначается
$f\restrict U$.

\невпаге

{\bf \blue Jean Leray}


\begin{center}
\epsfig{file=leray8LG.jpg,width=0.40\linewidth}\\[10mm]
{ \it \small\green Jean Leray (7.11.1906 - 10.11.1998) \\
with grand-daughter Clothilde, 1990
} 
\end{center}



\невпаге

{\bf \blue Пучки: примеры пучков}


\определение
{\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$
такой, что на каждом  ${\cal F}(U)$ 
задана структура кольца, а отображения ограничения
являются гомоморфизмами.


\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле следующие пространства функций на $\R^n$
задают пучки колец.}
 \\ \phantom{XX} 1. Пространство непрерывных функций
 \\ \phantom{XX} 2. Пространство  бесконечно гладких функций.
 \\ \phantom{XX}  3. Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций 
 \\ \phantom{XX}  4. Пространство функций, которые равны нулю вне
множества нулевой меры. 
 \\ \phantom{XX}  5. Пространство измеримых функций.

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле следующие пространства функций на $\R^n$
не задают пучки колец.}
 \\ \phantom{XX} 1. Пространство постоянных функций.
 \\ \phantom{XX} 2. Пространство ограниченных функций.
 \\ \phantom{XX} 3. Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного
подмножества.
 \\ \phantom{XX} 4. Пространство интегрируемых функций.



\невпаге

{\bf \blue Комплексные многообразия}

\определение
{\бф \блуе Окольцованное пространство} есть 
топологическое пространство с заданным на нем пучком колец.

\пример 
{\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$
голоморфных функций является окольцованным пространством.}


\определение
{\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное
пространство, которое локально изоморфно (как
окольцованное пространство) открытому шару 
$(B, \calo_B)$

\замечание
Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества
в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы
$U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$
задает изоморфизм окольцованных пространств
$f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$.
{\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм
голоморфен.} 

\следствие
Мы получаем, что комплексное многообразие
имеет атлас из открытых подмножеств, которые
гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции
перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение
комплексного многообразия.}


\невпаге

{\bf \blue Пучки и многообразия}

\замечание
Аналогичным образом можно определить, например, гладкие
многообразия.

\определение
{\бф\блуе Гладкое многообразие} есть 
окольцованное пространство, которое локально изоморфно
шару $\R^n, C^\infty \R^n$, где $C^\infty \R^n$
обозначает пучок гладких функций на $\R^n$.

\определение 
{\бф\блуе Гладкое многообразие класса $C^i$} есть 
окольцованное пространство, которое локально изоморфно
шару $(\R^n, C^i \R^n)$, где $C^i \R^n$
обозначает пучок $i$ раз дифференцируемых функций на $\R^n$.

\замечание
{\бф \пурпле Это определение эквивалентно обычному} (в терминах
карт и атласов).


\определение
Почти комплексная структура на $M$ называется {\бф \блуе интергрируемой},
если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является
комплексным многообразием.


\невпаге

{\bf \blue Bernhard Riemann (1826-1866)}

\begin{center}
\epsfig{file=Bernhard_Riemann_2.jpg,width=0.40\linewidth}\\[10mm]
{\it\small \green
Bernhard Riemann (1826-1866),\\ deutscher Mathematiker\\
date: c. 1850\\
\phantom{source: Familienarchiv Thomas Schilling}}
\end{center}

\невпаге

{\bf \blue Схемы}

\замечание
Я приведу определение схемы во имя исторической справедливости.
Если определение схем вам непонятно, не нервничайте:
в дальнейшем оно нигде не используется.

\begin{center}
\epsfig{file=Grothendieck-gandalf.jpg,width=0.55\linewidth}\\
{Alexander Grothendieck \\
(28 марта 1928 - 13 ноября 2014)}
\end{center}

Здесь и в дальнейшем все кольца предполагаются
коммутативные и с единицей.

\невпаге

{\bf \blue Спектр кольца}

\определение
{\бф \блуе Спектр кольца} $\Spec R$ есть множество всех его
простых идеалов. Для каждого элемента $f\in R$, определим
множество $U_f\subset \Spec R$ как множество всех
простых идеалов, не содержащих $f$.
{\бф\блуе Топология Зариского} на $\Spec R$ 
есть топология с базой открытых множеств 
$U_f$, для всех $f\in R$.

\упражнение {\бф \пурпле Докажите, что
 $U_f\cap U_g= U_{fg}$.}

\определение
Пучок {\бф \блуе регулярных функций} $\calo$ на $\Spec R$
определяется формулой $\calo\restrict{U_f}= R[f^{-1}]$
("локализация кольца $R$ по $f$").

\упражнение
Докажите, что {\бф \пурпле 
это определение задает пучок,} причем однозначно.

\определение
{\бф \блуе Схема} есть окольцованное пространство,
локально изоморфное спектрам колец с топологией Зариского.
В этой ситуации пучок регулярных функций $\calo$
называется {\бф \блуе структурным пучком}.

\замечание 
{\бф \пурпле Структурный пучок может содержать нильпотенты.}

\невпаге

{\bf \blue Комплексно-аналитические подможества}

\определение
{\бф \blue Комплексно-аналитическое подмножество}
комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество
$Z\subset M$, локально заданное как множество общих нулей
какого-то набора голоморфных функций.

\пример
Любое дискретное подмножество в $\C$ есть
комплексно-аналитическое
подмножество.

\пример
Пусть $Z\subset \C$ счетное, не дискретное подмножество.
{\бф \пурпле Докажите, что $Z$ не может быть комплексно
аналитично.}

\определение
Пусть ${\cal F}$ -- пучок на топологическом
пространстве $X$. Точка $x\in X$ {\бф \блуе
принадлежит носителю} ${\cal F}$, если
у $x$ нет окрестности $U\ni x$ такой, что
${\cal F}\restrict U=0$. 

\замечание
Кольцо голоморфных функций на комплексном многообразии
$M$ обозначается $\calo_M$; той же буквой обозначается
и пучок голоморфных функций (он же {\бф \блуе структурный пучок}).


\невпаге

{\bf \blue Комплексно-аналитические пространства}

\упражнение Пусть $B$ -- шар в $\C^n$,
 а $I\subset \calo_B$ идеал.
Тогда $\calo_B/I$ задает пучок на $B$ следующим
образом: для каждого открытого подмножества
$U\subset B$, определяем $(\calo_B/I)\restrict U$
как $(\calo_B/I)\otimes_{\calo_B}\calo_U$.
{\бф \пурпле Докажите, что это пучок.}

\упражнение
Докажите, что 
{\бф \пурпле носитель пучка $\calo_B/I$
есть множество общих нулей $\Ann(I)$ идеала $I$}.

\определение
{\бф \блуе Комплексно-аналитическое пространство}
есть окольцованное пространство, локально изоморфное
$(\Ann(I), \calo_B/I)$, где $I$ есть идеал
в пучке $\calo_B$ голоморфных функций на шаре.

\замечание
Как и для схем, {\бф \ред в структурном пучке
комплексно-аналитического  пространства могут содержаться нильпотенты.}

\невпаге

{\bf \blue Hans Grauert}


\begin{center}
\epsfig{file=Grauert.png,width=0.40\linewidth}\\[10mm]
{ \it \small\green Hans Grauert in Bonn, 2000\\
(8.02.1930 - 4.09.2011)} 
\end{center}



\end{document}


