\documentclass{slides} \usepackage{amssymb, amsmath, amscd, color, epsfig, russcorr, russlh} %\usepackage[matrix,arrow]{xy} \newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}} \newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}} \newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}} \newcommand{\blue}{\color{blue}} \def\бф{\bf} \def\ем{\em} \def\ит{\it} \def\блуе{\blue} \def\пурпле{\purple} \def\ред{\red} \def\греен{\green} \def\невпаге{\newpage} \def\eqref#1{(\ref{#1})} \newcommand{\goth}{\mathfrak} \newcommand{\g}{{\frak g}} \newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}} \newcommand{\Z}{{\Bbb Z}} \def\C{{\Bbb C}} \newcommand{\R}{{\Bbb R}} \newcommand{\Q}{{\Bbb Q}} \renewcommand{\H}{{\Bbb H}} \newcommand{\6}{\partial} \def\1{\sqrt{-1}\:} \newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{#1}}\right.}} \newcommand{\cntrct} % contraction with a vector field {\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}} \def\Bbb#1{\mathbb #1} \newcommand{\calo}{{\cal O}} \newcommand{\cac}{{\cal C}} % Correcting TeX... %\let\oldtilde=\tilde %\renewcommand{\tilde}{\widetilde} \renewcommand{\bar}{\overline} \renewcommand{\phi}{\varphi} \renewcommand{\epsilon}{\varepsilon} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \renewcommand{\leq}{\leqslant} % Operatornames \newcommand{\even}{{\rm even}} \newcommand{\ev}{{\rm even}} \newcommand{\odd}{{\rm odd}} \newcommand{\const}{{\it const}} \newcommand{\fl}{{\rm fl}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\Sym}{\operatorname{Sym}} \newcommand{\Hol}{\operatorname{{\cal H}ol}} \newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}} \newcommand{\Id}{\operatorname{Id}} \newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}} \newcommand{\dist}{\operatorname{\text{\sf dist}}} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} \newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}} \newcommand{\Alt}{\operatorname{Alt}} \newcommand{\Ann}{\operatorname{Ann}} \newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}} \newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}} \newcommand{\Can}{\operatorname{Can}} \newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}} \newcommand{\Spin}{\operatorname{Spin}} \newcommand{\codim}{\operatorname{codim}} \newcommand{\coim}{\operatorname{coim}} \newcommand{\coker}{\operatorname{coker}} \newcommand{\slope}{\operatorname{slope}} \newcommand{\rk}{\operatorname{rk}} \newcommand{\Def}{\operatorname{Def}} \newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}} \newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}} \newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}} \newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}} \newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\inbfpare}[1]{{% \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}% }} \newcommand{\comment}[1]{{}} \def\blacksquare{\hbox{\vrule width 10pt height 10pt depth 0pt}} \def\endproof{\blacksquare} \def\ендпрооф{\blacksquare} \makeatletter %\@ifundefined{Bbb} % {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}% %{}% {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Pagestyle % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\ps@verbit}{% \renewcommand{\@oddhead}{% \scriptsize {\it \small Комплексные аналитические пространства, лекция 1 \hfil \tiny Миша Вербицкий}} \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead} \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil} \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}} \pagestyle{verbit} \setlength\paperheight {10in}% \setlength\paperwidth {13.5in} \setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth} \setlength{\textheight}{0.8\paperheight} \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight} \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth} \addtolength{\topmargin}{-20mm} \addtolength{\leftmargin}{-25mm} \addtolength{\rightmargin}{-25mm} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem, % % definition,example defined there: % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\лемма}{% {\bf \green ЛЕММА:\ }} \newcommand{\утверждение}{% {\bf \green УТВЕРЖДЕНИЕ:\ }} \newcommand{\следствие}{% {\bf \green СЛЕДСТВИЕ:\ }} \newcommand{\теорема}{% {\bf \green ТЕОРЕМА:\ }} \newcommand{\гипотеза}{% {\bf \green ГИПОТЕЗА:\ }} \newcommand{\предложение}{% {\bf \green ПРЕДЛОЖЕНИЕ:\ }} \newcommand{\определение}{% {\bf \green ОПРЕДЕЛЕНИЕ:\ }} \newcommand{\пример}{% {\bf \green ПРИМЕР:\ }} \newcommand{\замечание}{% {\bf \green ЗАМЕЧАНИЕ:\ }} \newcommand{\вопрос}{% {\bf \green ВОПРОС:\ }} \newcommand{\упражнение}{% {\bf \green УПРАЖНЕНИЕ:\ }} \newcommand{\задача}{% {\bf \green ЗАДАЧА:\ }} \newcommand{\доказательство}{% {\bf \green ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:\ }} \newcommand{\дшаг}{% {\bf \green Доказательство. Шаг 1:\ }} \begin{document} \setcounter{page}{1} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{center} {\Large\bf Комплексные аналитические пространства, \\[15mm] \small лекция 1: многообразия и пучки} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \\[14mm] {\small Миша Вербицкий } \\[20mm] {\tiny\bf НМУ/ВШЭ, Москва \\[2mm] 25 февраля 2017 } \end{center} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры} \определение {\бф \блуе Комплексной структурой} на вещественном векторном пространстве $V$ называется эндоморфизм $I\in \End(V)$, удовлетворяющий $I^2=-\Id_V$. \замечание Продолжим $I$ на тензоры формулой $I(\alpha\otimes \beta \otimes \gamma ...)= I(\alpha)\otimes I(\beta) \otimes I(\gamma) ...$ Если $g$ -- положительно определенное скалярное произведение на $V$, то $g_I:=g+I(g)$ тоже положительно определено и $I$-инвариантно: $I(g_I)=I$. Другими словами, {\бф \ред $I$ -- ортогональный оператор относительно $g_I$.} \определение Положительно определенное скалярное произведение, в котором $I$ ортогонально, называется {\бф \блуе эрмитовой метрикой} на $(V,I)$. Мы только что доказали, что она всегда существует. \следствие Все собственные значения $I$ простые (то есть $I$ {\бф \ред полупрост}, другими словами, диагонализуется). В самом деле, {\бф \блуе любой ортогональный оператор полупрост.} \newpage {\бф \блуе Комплексные структуры (продолжение)} \замечание Пусть $\alpha$ -- собственное значение оператора комплексной структуры $I$. Поскольку $\alpha^2=-1$, имеем $\alpha=\pm \1$. \определение Собственное пространство $I$, соответствующее $\1$, обозначается $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$, а соответствующее $-\1$ обозначается $V^{0,1}$. Очевидно, $V\otimes_\R \C=V^{1,0}\oplus V^{0,1}$. Это разложение называется {\бф \блуе разложение Ходжа.} \замечание Поскольку, к тому же, $I$ вещественный, получаем, что $\overline{V^{1,0}} = V^{0,1}$. В частности, {\бф \пурпле это пространства одинаковой размерности.} \упражнение Докажите, что естественная проекция $V^{1,0}$ на $V$ вдоль $V^{0,1}$ {\бф \пурпле задает изоморфизм вещественных пространств $V^{0,1}\arrow V$.} \замечание Мы получили, что {\бф \пурпле оператор комплексной структуры на $V$ задает отождествление $V$ и комплексного векторного пространства.} \упражнение Докажите, что оператор комплексной структуры {\бф \ред однозначно задается подпространством $V^{1,0}\subset V\otimes_\R \C$ половинной размерности,} которое не пересекается с $V\subset V\otimes_\R \C$. \невпаге {\bf \blue Оператор комплексной структуры в координатах} \следствие В подходящем базисе на $V\otimes_\R \C$, любой оператор комплексной структуры $I\in \End(V)$ записывается диагональной матрицей \[\left[ \begin{array}{c|c} \begin{array}{cccc} \1 & & &\\ & \1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & \1 \end{array} & 0 \\ \hline 0 & \begin{array}{cccc} -\1 & & &\\ & -\1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & -\1 \end{array} \end{array}\right] \] Это дает нормальную форму такого оператора в вещественном базисе \[ \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ & & 0 & -1 \\ & & 1 & 0 \\ & & & & \ddots \\ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 0 & -1 \\ & & & & & & 1 & 0 \end{bmatrix} \] \невпаге {\bf \blue Почти комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Почти комплексная структура} на многообразии $М$ есть оператор $I\in \End TM$ в эндоморфизмах касательного расслоения, удовлетворяющий $I^2=-\Id_{TM}$. \пример Возьмем $\C^n$, с комплексными координатами $z_i = x_i + \1 y_i$. Тогда $I(x_i) = y_i$, $I(y_i) = - x_i$ -- почти комплексная структура. \определение {\бф \блуе Разложение Ходжа} на кокасательном расслоении к $M$ есть разложение $\Lambda^1(M)\otimes_\R \C= \Lambda^{1,0}(M)\oplus \Lambda^{0,1}(M)$, где $I\restrict{\Lambda^{1,0}(M)}= \1$, а $I\restrict{\Lambda^{0,1}(M)}= -\1$. \определение Функция $f:\; M \arrow \C$ на почти комплексном многообразии называется {\бф\блуе голоморфной}, если $df \in \Lambda^{1,0}(M)$. \замечание Легко привести {\бф \пурпле пример почти комплексного многообразия, на котором вовсе нет голоморфных функций.} Например, $S^6$ со стандартной $G_2$-инвариантной почти комплексной структурой. \невпаге {\bf \blue Голоморфные функции на $\C^n$} \теорема Пусть $f:\; M \arrow \C$ -- дифференцируемая функция на открытом подмножестве $M\subset \C^n$, с естественной комплексной структурой. {\bf \blue Тогда следующие свойства $f$ равносильны.}\\ \ \ (1) {\bf \пурпле $f$ голоморфна} (в смысле вышеприведенного определения)\\ \ \ (2) Дифференциал $Df\in TM^* \otimes_\R \C$ рассматриваемый как $\C$-значная функция на $T_x M = T_x \C^n$, {\bf \пурпле является $\C$-линейным.}\\ \ \ (3) Для каждой комплексной аффинной прямой $L\subset \C^n$, ограничение $f\restrict L$ {\bf \пурпле голоморфно как функция одного переменного}\\ \ \ (4) $f$ {\bf \пурпле разлагается в ряд Тэйлора} по комплексным координатам в окрестности каждой точки $x\in M$. {\бф \греен Доказательство:} (1) и (2) равносильны (тавтологически). Равносильность (1) и (3) тоже очевидна, потому что для каждой формы $\theta \in \Lambda^{1,0}(M)$, ограничение на 1-мерные подпространства имеет тип (1,0), и наоборот - если оно имеет тип (1,0) на таких подпространствах, это (1,0)-форма. Наконец, разложение в ряд Тэйлора следует из формулы Коши для голоморфной функции одного переменного с остаточным членом. \ендпрооф \невпаге {\bf \blue Голоморфные отображения} \определение Пусть $(M, I_M)$ и $(N, I_N)$ -- почти комплексные многообразия, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Оно называется {\бф\блуе голоморфным}, если $f^*(\Lambda^{1,0}(N))\subset \Lambda^{1,0}(M)$. \замечание {\бф \пурпле Это эквивалентно тому, что $df:\; T_x M \arrow T_{f(x)}N$ \\ комплексно-линейно}. \замечание {\бф \блуе Композиция голоморфных отображений голоморфна.} \замечание Для открытого подмножества $M\subset \C^n$, {\бф \пурпле расслоение $\Lambda^{1,0}(M)$ порождено (над $\C^\infty M$) дифференциалами голоморфных функций.} \следствие (*) Пусть заданы открытые подмножества $M\subset \C^m, N \subset \C^n$, а $f:\; M \arrow N$ -- гладкое отображение. Предположим, что для любой голоморфной функции на $N$, соответствующая функция $f^* \phi$ голоморфна на $M$. {\бф \ред Тогда $f$ -- голоморфное отображение}. {\бф \греен Доказательство:} Если функция $f^* \phi$ всегда голоморфна, то $f^*(d\phi) = d(f^*\phi) \subset \Lambda^{1,0}(M)$. {\бф \пурпле Поскольку $d\phi$ порождают $\Lambda^{1,0}(N)$, это значит, что $f^*\Lambda^{1,0}(N)$ лежит в $\Lambda^{1,0}(M)$.} \невпаге {\bf \blue Пучки} \определение {\бф\блуе Пучок} ${\cal F}$ на топологическом пространстве $M$ -- это набор векторных пространств ${\cal F}(U)$, заданных для каждого открытого подмножества $U\subset M$, с {\бф \блуе отображениями ограничения} ${\cal F}(U) \stackrel{\phi_{U,U'}}\arrow {\cal F}(U')$ для каждого $U'\subset U$, и следующими свойствами (1) {\бф \пурпле Композиция ограничений -- снова ограничение:} если $U_1\subset U_2 \subset U_3$ вложенные открытые множества, а ${\phi_{U_1,U_2}}$, ${\phi_{U_2,U_3}}$ соответствующие отображения ограничений, то $\phi_{U_1,U_2}\circ \phi_{U_2,U_3}=\phi_{U_1,U_3}$. (2) {\пурпле Если $U=\bigcup U_i$, а ограничение $f\in {\cal F}(U)$ на все $U_i$ равно нулю, то $f=0$.} (3) ("склейка сечений") Пусть $\{U_i\}$ -- покрытие множества $U\subset M$, a $f_i \in {\cal F}(U_i)$ набор сечений, заданных для каждого элемента покрытия, и удовлетворяющих условию $f_i\restrict{U_i\cap U_j} = f_j\restrict{U_i\cap U_j},$ для любой пары элементов покрытия. {\бф\пурпле Тогда существует $f\in {\cal F}(U)$ такой, что ограничения $f$ на $U_i$ дает $f_i$.} Пространство ${\cal F}(U)$ называется {\бф\блуе пространство сечений пучка ${\cal F}$ над $U$}, оно также обозначается ${\cal F}\restrict U$. Ограничение сечения $f\in {\cal F}(M)$ на $U\subset M$ также обозначается $f\restrict U$. \невпаге {\bf \blue Jean Leray} \begin{center} \epsfig{file=leray8LG.jpg,width=0.40\linewidth}\\[10mm] { \it \small\green Jean Leray (7.11.1906 - 10.11.1998) \\ with grand-daughter Clothilde, 1990 } \end{center} \невпаге {\bf \blue Пучки: примеры пучков} \определение {\бф \блуе Пучок колец} есть пучок $U \arrow {\cal F}(U)$ такой, что на каждом ${\cal F}(U)$ задана структура кольца, а отображения ограничения являются гомоморфизмами. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле следующие пространства функций на $\R^n$ задают пучки колец.} \\ \phantom{XX} 1. Пространство непрерывных функций \\ \phantom{XX} 2. Пространство бесконечно гладких функций. \\ \phantom{XX} 3. Пространство $i$-кратно дифференцируемых функций \\ \phantom{XX} 4. Пространство функций, которые равны нулю вне множества нулевой меры. \\ \phantom{XX} 5. Пространство измеримых функций. \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле следующие пространства функций на $\R^n$ не задают пучки колец.} \\ \phantom{XX} 1. Пространство постоянных функций. \\ \phantom{XX} 2. Пространство ограниченных функций. \\ \phantom{XX} 3. Пространство функций, зануляющихся вне ограниченного подмножества. \\ \phantom{XX} 4. Пространство интегрируемых функций. \невпаге {\bf \blue Комплексные многообразия} \определение {\бф \блуе Окольцованное пространство} есть топологическое пространство с заданным на нем пучком колец. \пример {\бф \пурпле Открытый шар $B\subset \C^n$ с пучком $\calo_B$ голоморфных функций является окольцованным пространством.} \определение {\бф \блуе Комплексное многообразие} $(M, \calo_M)$ есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно (как окольцованное пространство) открытому шару $(B, \calo_B)$ \замечание Пусть $U_1, U_2$ -- два открытых подмножества в комплексном многообразии, a $f_1, f_2$ -- изоморфизмы $U_1, U_2$ с открытым шаром. Композиция $f_1 f^{-1}_2$ задает изоморфизм окольцованных пространств $f_1(U_1\cap U_2) \arrow f_2(U_1\cap U_2)$. {\бф \пурпле В силу Следствия (*), этот изоморфизм голоморфен.} \следствие Мы получаем, что комплексное многообразие имеет атлас из открытых подмножеств, которые гомеоморфны открытым шарам в $\C^n$, а функции перехода голоморфны. {\бф \ред Это еще одно определение комплексного многообразия.} \невпаге {\bf \blue Пучки и многообразия} \замечание Аналогичным образом можно определить, например, гладкие многообразия. \определение {\бф\блуе Гладкое многообразие} есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно шару $\R^n, C^\infty \R^n$, где $C^\infty \R^n$ обозначает пучок гладких функций на $\R^n$. \определение {\бф\блуе Гладкое многообразие класса $C^i$} есть окольцованное пространство, которое локально изоморфно шару $(\R^n, C^i \R^n)$, где $C^i \R^n$ обозначает пучок $i$ раз дифференцируемых функций на $\R^n$. \замечание {\бф \пурпле Это определение эквивалентно обычному} (в терминах карт и атласов). \определение Почти комплексная структура на $M$ называется {\бф \блуе интергрируемой}, если $M$, окольцованное пучком голоморфных функций, является комплексным многообразием. \невпаге {\bf \blue Bernhard Riemann (1826-1866)} \begin{center} \epsfig{file=Bernhard_Riemann_2.jpg,width=0.40\linewidth}\\[10mm] {\it\small \green Bernhard Riemann (1826-1866),\\ deutscher Mathematiker\\ date: c. 1850\\ \phantom{source: Familienarchiv Thomas Schilling}} \end{center} \невпаге {\bf \blue Схемы} \замечание Я приведу определение схемы во имя исторической справедливости. Если определение схем вам непонятно, не нервничайте: в дальнейшем оно нигде не используется. \begin{center} \epsfig{file=Grothendieck-gandalf.jpg,width=0.55\linewidth}\\ {Alexander Grothendieck \\ (28 марта 1928 - 13 ноября 2014)} \end{center} Здесь и в дальнейшем все кольца предполагаются коммутативные и с единицей. \невпаге {\bf \blue Спектр кольца} \определение {\бф \блуе Спектр кольца} $\Spec R$ есть множество всех его простых идеалов. Для каждого элемента $f\in R$, определим множество $U_f\subset \Spec R$ как множество всех простых идеалов, не содержащих $f$. {\бф\блуе Топология Зариского} на $\Spec R$ есть топология с базой открытых множеств $U_f$, для всех $f\in R$. \упражнение {\бф \пурпле Докажите, что $U_f\cap U_g= U_{fg}$.} \определение Пучок {\бф \блуе регулярных функций} $\calo$ на $\Spec R$ определяется формулой $\calo\restrict{U_f}= R[f^{-1}]$ ("локализация кольца $R$ по $f$"). \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле это определение задает пучок,} причем однозначно. \определение {\бф \блуе Схема} есть окольцованное пространство, локально изоморфное спектрам колец с топологией Зариского. В этой ситуации пучок регулярных функций $\calo$ называется {\бф \блуе структурным пучком}. \замечание {\бф \пурпле Структурный пучок может содержать нильпотенты.} \невпаге {\bf \blue Комплексно-аналитические подможества} \определение {\бф \blue Комплексно-аналитическое подмножество} комплексного многообразия $M$ есть замкнутое подмножество $Z\subset M$, локально заданное как множество общих нулей какого-то набора голоморфных функций. \пример Любое дискретное подмножество в $\C$ есть комплексно-аналитическое подмножество. \пример Пусть $Z\subset \C$ счетное, не дискретное подмножество. {\бф \пурпле Докажите, что $Z$ не может быть комплексно аналитично.} \определение Пусть ${\cal F}$ -- пучок на топологическом пространстве $X$. Точка $x\in X$ {\бф \блуе принадлежит носителю} ${\cal F}$, если у $x$ нет окрестности $U\ni x$ такой, что ${\cal F}\restrict U=0$. \замечание Кольцо голоморфных функций на комплексном многообразии $M$ обозначается $\calo_M$; той же буквой обозначается и пучок голоморфных функций (он же {\бф \блуе структурный пучок}). \невпаге {\bf \blue Комплексно-аналитические пространства} \упражнение Пусть $B$ -- шар в $\C^n$, а $I\subset \calo_B$ идеал. Тогда $\calo_B/I$ задает пучок на $B$ следующим образом: для каждого открытого подмножества $U\subset B$, определяем $(\calo_B/I)\restrict U$ как $(\calo_B/I)\otimes_{\calo_B}\calo_U$. {\бф \пурпле Докажите, что это пучок.} \упражнение Докажите, что {\бф \пурпле носитель пучка $\calo_B/I$ есть множество общих нулей $\Ann(I)$ идеала $I$}. \определение {\бф \блуе Комплексно-аналитическое пространство} есть окольцованное пространство, локально изоморфное $(\Ann(I), \calo_B/I)$, где $I$ есть идеал в пучке $\calo_B$ голоморфных функций на шаре. \замечание Как и для схем, {\бф \ред в структурном пучке комплексно-аналитического пространства могут содержаться нильпотенты.} \невпаге {\bf \blue Hans Grauert} \begin{center} \epsfig{file=Grauert.png,width=0.40\linewidth}\\[10mm] { \it \small\green Hans Grauert in Bonn, 2000\\ (8.02.1930 - 4.09.2011)} \end{center} \end{document}