\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{40mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 20.03.2014
% version 2.0, 03.04.2014, poslednie 2 zadachi popravil

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   03.04.2014}

\newcommand{\firstdate}{24.03.2014}

\begin{document}

\listok{2}{����������� �������������� ���������,\\ ����������� �� ������ ������}
\lhead{\small ����������� �������������� ���������, ���� 2014, �����������}

{\scriptsize
������� �������� �������� ������ ����� ��� �������
(7 ����), �� ����� ������ �� ������� �������. ������ �����
���������� ������������� � ������� ������������. ����
��� ��� � ������, ��� ����� ����� ������� ��� �����; ����������,
������ ������ � ��������� ����� ����, ��� ������ ��� �������, 
� �������� ������������, � ����� ��������.
����� ����� �� ��� ������� ����������� �� �������
$b=\min(40,7s)$, ��� $s$ -- ����� �������� �����.
������� ����������, ������� �� 18:30 ������������, 24 �����.
����������, ������������� (�� ������� �������) ��� 
������������� �������, �������� �� �����������, � ������� ������ 
���� �������� ��������������.
}

\subsection{�������� �������}

\������
��������, ��� $SU(1,1)/\pm 1 $ ��������� $SO(1,2)$.
\��

\������
����� $V=\C^n$ ����������� ��������� ������������,
$h$ ������������� ������-�������� �����
(�� ���� $I$-������������ �������������� �����
��� ������� ���������������), a $h_1$ ������-�������� ����� �� $V$. 
��������, ��� ���������� ����� ������ $v\in V$, � $\lambda\in \R$,
��� $h(v,y)=\lambda h_1(v,y)$ ��� ������ $y\in V$, ��� �������
�����������.
\��

\������
����� $(V_1, h_1)$, $(V_2, h_2)$ ��������� ���������
������������, � $V=V_1 \oplus V_2$. ���������� ���������
������������ �� $V$ (�� ����������� ������������
������������) $h$ �����, ��� $h\restrict {V_1}=h_1$
� $h\restrict {V_2}=h_2$. ��������, ��� ����������
����� $C\in \R^{>0}$ �����, ��� ��������� ������������
$h+Ch_1$ ������������ ����������.
\��

\������
����� $V=\C^2$ -- ����������� ��������� ������������
� �������� �� ��� ����������� ������ ������. ��������,
��� ������������ $\Lambda^{1,1}(V)=\R^4$ ��������
������������� ��������� ������������� ��������� (3,1).
�������� �� �����, ��� $SL(2,\C)/\pm 1=SO(3,1)$.
\��

\subsection{����������� �������}

\�����������
{\�� ������������ ���������} $\tau$ �� ����������� ������������ $(V,I)$
���� ��������� �����, ��� $\tau I \tau^{-1}=-I$.
\��

\������
����� $V=\C^4$ -- 4-������ �������� ��������� ������������
� �������� �� ��� ����������� ������ ������. ��������� �� $\Lambda^{2,0}(V)$
$SU(4)$-������������ ������������ ��������� � $SU(4)$-������������
�������� �����.
\��

\������
����� $V=\C^n$, $H$ -- ��������� ��������� ���� �� $V$, � 
$\Phi:\; H\arrow \Lambda^{n-1,n-1}(M)$ �����������, �����������
$\eta$ � $\eta^{n-1}$. ��������, ��� $\Phi$ ����������.
\��

\������
����� $(V=\R^{2n}, \omega)$ -- ��������������� ��������� ������������,
$W\subset V$ -- $n$-������ ���������������, � 
$\eta\in \Lambda^n W\subset \Lambda^n V$ ��������������� 
������������������ ������. ��������, ��� $\omega\restrict W=0$
$\Leftrightarrow$ $\eta\wedge\omega^\sharp=0$, ��� 
$\omega^\sharp\in \Lambda^2 V$ -- ��������, ������������ 
� $\omega$.
\��

\������
����� $(V=\R^4, I)$ -- 2-������ ����������� ��������� ������������,
$W\subset V$ -- 2-������ ������������ ���������������,
$\eta\in \Lambda^2_\R W\subset \Lambda^2_\R V$ ��������������� 
������������������ ��������, � $\Omega\in \Lambda^2_\C V$
��������� ����������-�������� ������������������ 
��������. ��������, ��� $\Omega\wedge \eta=0$
����� � ������ �����, ����� $I(W)=W$.
\��

\subsection{����� ����������� ���������}

\������
��������� $SO(2n)$-������������ ����� ����������� ���������
�� $SO(2n)/U(n)$, � ��������, ��� ��� ������������.
\��

\������
��������� $SO(2n)$-������������ ��������������� ���������
�� $SO(2n)/U(n)$.
\��


\������
��������� $U(n)$-������������ ����� ����������� ���������
�� $U(n,1)/U(n)$, � ��������, ��� ��� ������������.
\��



\������
��������� $U(n)$-������������ ��������������� ���������
�� $U(n,1)/U(n)$.
\��


\subsection{��������� ��� ��������}

\������
����� $\Xi$ -- ������ �� ������������ $M$,
������ � ������ ����� �������� �����������
� �� ��� ��������� ��� ��������, �����, ��� 
$\nabla(\Xi)=0$. ��������, ��� 
�� $M$ �������� ��������� ��� ��������, �����, ��� 
$\nabla(\Xi)=0$. 
\��

\�����������
����� $\nabla:\; \Lambda^1 (M) \arrow \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^1(M)$
��������� �� ������������. ��������� �������� 
$\Hess^k_\nabla:\; C^\infty\arrow \Lambda^1(M)^{\otimes k}$
��� $\Hess^k(f):=\nabla^{k-1}(df)$. 
\��

\������
����� $\nabla$ -- ��������� ��� ��������. 
��������, ��� $\Hess^kf$ -- �������������� $k$-�����, ���
����� ������� $f$.
\��

\���������
��-�� ����� ����������, ��������� ��� �������� ���
�������� {\�� ���������������}.
\���

\������
������� ������ ��������� ����� $S^3$ � ������� ��������.
\��

\������
����� $X$ -- ����� �� ������������ ���������
���� �� ������������. ��������� ��������� $\nabla$
��� ��������, �����, ��� $\nabla(X)=0$.
\��

\������
����� $M$ -- ������������� ��������� ������������, �
$B_1, B_2\subset TM$ ���������� ������������� �������������,
�����, ��� $B_1\oplus B_2 = TM$. ��������� ���������
$\nabla$ ��� ��������, �����, ��� 
$\nabla(B_1)\subset B_1\otimes \Lambda^1 M$ � 
$\nabla(B_2)\subset B_2\otimes \Lambda^1 M$.
\��



\subsection{����������� ������}

\������
����� �� ����� ����������� 
 ������������ $(M,I)$  ������ �����������
������� $f$, �����, ��� $|f|=\const$. ��������, ���
$f$ ���������. 
\��

\������
����� $X$ -- ����� ����������� ������������.
��������, ��� ��������� ����������� ����� $X_\iota$
��������������� ��������� --  ������� ������������,
������ $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.
\��

\������ 
����� $D\subset \C^n$ -- ����������
������� � ������� ��������, � $f$ -- �����������
������� �� $D$, ������� ���������� � ����������� �� ������� $D$.
��������, ��� $f$ ���������. 
\��


\������
����� $f$ -- ����������� ������� �� ��������� ������������
$(M,\omega)$ ����������� $n$.
��������, ��� $\int_M dd^c (|f|^2\wedge\omega^{n-1})\geq 0$,
� ��������� ��������, ������ ���� $f=\const$. �������� �� �����, 
��� �� ���������� ��������� ������������ ��� ����������� �������
���������.
\��

\������
����� $M$ -- ����������� ������������,
$\nabla$ -- ��������� ��� ��������, ����������� $I$, 
� $\phi$ -- ������������ �������, �����,
��� �������������� 2-����� $\operatorname{Hess}(\phi)$,
���������� �������������� $\nabla^2(\phi)$,
������������ ����������.\footnote{����� ������� ����������
{\�� ��������}.} ��������, ���
$dd^c \phi$ -- �������� �����.
\��



%\������
%����� $f$ -- ����������� ������� �� �����������
%������������, ����������� � ��������, �������
%������������. ��������, ��� $f$ ���������������
%(� �������������, ����������).
%\��




\subsection{��������� ��������� ������������}


\������
����� $M=S^3\times S^3\times S^2\times S^1 \times S^1$. ��������, ��� $M$
�� ��������� ��������� ���������.
\��

\������
����� $M=S^4\times S^2\times S^1 \times S^1$. ��������, ��� $M$
�� ��������� ��������� ���������.
\��

\������
����� $M$ -- �������� ������������,
� ��� ������� ����������� ��������� ������� ���������
� ����������� $x_1, x_2, x_3, x_4$ �������� $d_1, d_2, d_3, d_4$.
��������, ��� $d_i=1$ ��� ���� $i$.
\��

\������
����� $M$ -- �������� ������������, 
������������ ������������ ���� �����������
$d_1, ..., d_n$, ������ ��� $d_i >1$. 
��������, ��� $d_i=2$ ��� ���� $i$.
\��


\subsection{������� ��������������}


\������
����� $(M, I, \omega)$ -- ����� ����������� ��������
������������, ������ $d\omega=0$. ������� ����������� 
������������ ��, ����������� $L, \Lambda, d$, ���
$L(\eta) = \omega\wedge \eta$, � $\Lambda = *L*$,
� ������� ��� ������������.
\��

\������
����� $M$ -- �������� ������������, 
$\goth a$ -- ������������ �������������� 
$M$.\footnote{��� ������������ �� ����������� $(5|4)$, �����������
���������� �����, ����������� ����� � ��������������
�� ����.} ������� ����������� ������������, 
����������� $\goth a$ � ���������� $dd^c$,
� ������� ��� ������������.
\��

\������
����� $(M,I, \omega)$ -- ����������� �������� ������������.
��������, ��� $[L, d^*]$ �����������������, ��� ������� �����������.
\��

\������
����� $(M,I, \omega)$ -- ����������� �������� ������������.
��������, ���  $\{\Lambda,[\Lambda, d]\}=0$, ��� ������� �����������.
\��

\end{document}
 
