\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{40mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 20.03.2014
% version 2.0, 03.04.2014, poslednie 2 zadachi popravil

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   03.04.2014}

\newcommand{\firstdate}{24.03.2014}

\begin{document}

\listok{2}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ контрольная за первый модуль}
\lhead{\small Комплексная алгебраическая геометрия, март 2014, контрольная}

{\scriptsize
Каждому студенту выдается список задач для решения
(7 штук), по одной задаче из каждого раздела. Списки задач
составлены индивидуально с помощью рандомайзера. Если
вас нет в списке, вам будет выдан вариант без имени; пожалуйста,
сдайте вместе с решениями задач лист, где указан ваш вариант, 
с отметкой экзаменатора, и вашей фамилией.
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$b=\min(40,7s)$, где $s$ -- число решенных задач.
Решение письменное, сдается до 18:30 понедельника, 24 марта.
Пожалуйста, сформулируйте (не опуская деталей) все 
нетривиальные теоремы, которыми вы пользуетесь, и укажите ссылку 
либо набросок доказательства.
}

\subsection{Линейная алгебра}

\задача
Докажите, что $SU(1,1)/\pm 1 $ изоморфно $SO(1,2)$.
\ез

\задача
Пусть $V=\C^n$ комплексное векторное пространство,
$h$ невырожденная псевдо-эрмитова форма
(то есть $I$-инвариантная симметрическая форма
без условия положительности), a $h_1$ псевдо-эрмитова форма на $V$. 
Докажите, что существует такой вектор $v\in V$, и $\lambda\in \R$,
что $h(v,y)=\lambda h_1(v,y)$ для любого $y\in V$, или найдите
контрпример.
\ез

\задача
Пусть $(V_1, h_1)$, $(V_2, h_2)$ евклидовы векторные
пространства, а $V=V_1 \oplus V_2$. Рассмотрим скалярное
произведение на $V$ (не обязательно положительно
определенное) $h$ такое, что $h\restrict {V_1}=h_1$
и $h\restrict {V_2}=h_2$. Докажите, что существует
число $C\in \R^{>0}$ такое, что скалярное произведение
$h+Ch_1$ положительно определено.
\ез

\задача
Пусть $V=\C^2$ -- комплексное векторное пространство
с заданной на нем комплексной формой объема. Докажите,
что пространство $\Lambda^{1,1}(V)=\R^4$ снабжено
невырожденным скалярным произведением сигнатуры (3,1).
Выведите из этого, что $SL(2,\C)/\pm 1=SO(3,1)$.
\ез

\subsection{Грассманова алгебра}

\определение
{\бф Вещественная структура} $\tau$ на комплексном пространстве $(V,I)$
есть инволюция такая, что $\tau I \tau^{-1}=-I$.
\ео

\задача
Пусть $V=\C^4$ -- 4-мерное эрмитово векторное пространство
с заданной на нем комплексной формой объема. Постройте на $\Lambda^{2,0}(V)$
$SU(4)$-инвариантную вещественную структуру и $SU(4)$-инвариантную
эрмитову форму.
\ез

\задача
Пусть $V=\C^n$, $H$ -- множество эрмитовых форм на $V$, а 
$\Phi:\; H\arrow \Lambda^{n-1,n-1}(M)$ отображение, переводящее
$\eta$ в $\eta^{n-1}$. Докажите, что $\Phi$ инъективно.
\ез

\задача
Пусть $(V=\R^{2n}, \omega)$ -- симплектическое векторное пространство,
$W\subset V$ -- $n$-мерное подпространство, а 
$\eta\in \Lambda^n W\subset \Lambda^n V$ соответствующий 
кососимметрический тензор. Докажите, что $\omega\restrict W=0$
$\Leftrightarrow$ $\eta\wedge\omega^\sharp=0$, где 
$\omega^\sharp\in \Lambda^2 V$ -- бивектор, двойственный 
к $\omega$.
\ез

\задача
Пусть $(V=\R^4, I)$ -- 2-мерное комплексное векторное пространство,
$W\subset V$ -- 2-мерное вещественное подпространство,
$\eta\in \Lambda^2_\R W\subset \Lambda^2_\R V$ соответствующий 
кососимметрический бивектор, а $\Omega\in \Lambda^2_\C V$
ненулевой комплексно-линейный кососимметрический 
бивектор. Докажите, что $\Omega\wedge \eta=0$
тогда и только тогда, когда $I(W)=W$.
\ез

\subsection{Почти комплексные структуры}

\задача
Постройте $SO(2n)$-инвариантную почти комплексную структуру
на $SO(2n)/U(n)$, и докажите, что она интегрируема.
\ез

\задача
Постройте $SO(2n)$-инвариантную симплектическую структуру
на $SO(2n)/U(n)$.
\ез


\задача
Постройте $U(n)$-инвариантную почти комплексную структуру
на $U(n,1)/U(n)$, и докажите, что она интегрируема.
\ез



\задача
Постройте $U(n)$-инвариантную симплектическую структуру
на $U(n,1)/U(n)$.
\ез


\subsection{Связности без кручения}

\задача
Пусть $\Xi$ -- тензор на многообразии $M$,
причем у каждой точки найдется окрестность
и на ней связность без кручения, такая, что 
$\nabla(\Xi)=0$. Докажите, что 
на $M$ найдется связность без кручения, такая, что 
$\nabla(\Xi)=0$. 
\ез

\определение
Пусть $\nabla:\; \Lambda^1 (M) \arrow \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^1(M)$
связность на многообразии. Определим оператор 
$\Hess^k_\nabla:\; C^\infty\arrow \Lambda^1(M)^{\otimes k}$
как $\Hess^k(f):=\nabla^{k-1}(df)$. 
\ео

\задача
Пусть $\nabla$ -- связность без кручения. 
Докажите, что $\Hess^kf$ -- симметрическая $k$-форма, для
любой функции $f$.
\ез

\замечание
Из-за этого результата, связности без кручения еще
называют {\бф симметрическими}.
\еза

\задача
Найдите группу голономий сферы $S^3$ с обычной метрикой.
\ез

\задача
Пусть $X$ -- нигде не зануляющееся векторное
поле на многообразии. Постройте связность $\nabla$
без кручения, такую, что $\nabla(X)=0$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- ориентируемое двумерное многообразие, а
$B_1, B_2\subset TM$ одномерные ориентируемые подрасслоения,
такие, что $B_1\oplus B_2 = TM$. Постройте связность
$\nabla$ без кручения, такую, что 
$\nabla(B_1)\subset B_1\otimes \Lambda^1 M$ и 
$\nabla(B_2)\subset B_2\otimes \Lambda^1 M$.
\ез



\subsection{Комплексный анализ}

\задача
Пусть на почти комплексном 
 многообразии $(M,I)$  задана голоморфная
функция $f$, такая, что $|f|=\const$. Докажите, что
$f$ постоянна. 
\ез

\задача
Пусть $X$ -- почти комплексное многообразие.
Докажите, что множество неподвижных точек $X_\iota$
антикомплексной инволюции --  гладкое многообразие,
причем $\dim_\R X_\iota = \dim_\C X$.
\ез

\задача 
Пусть $D\subset \C^n$ -- компактная
область с гладкой границей, а $f$ -- голоморфная
функция на $D$, которая непрерывна и вещественна на границе $D$.
Докажите, что $f$ постоянна. 
\ез


\задача
Пусть $f$ -- голоморфная функция на кэлеровом многообразии
$(M,\omega)$ размерности $n$.
Докажите, что $\int_M dd^c (|f|^2\wedge\omega^{n-1})\geq 0$,
и равенство возможно, только если $f=\const$. Выведите из этого, 
что на компактном кэлеровом многообразии все голоморфные функции
постоянны.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- комплексное многообразие,
$\nabla$ -- связность без кручения, сохраняющая $I$, 
а $\phi$ -- вещественная функция, такая,
что симметрическая 2-форма $\operatorname{Hess}(\phi)$,
полученная симметризацией $\nabla^2(\phi)$,
положительно определена.\footnote{Такая функция называется
{\бф выпуклой}.} Докажите, что
$dd^c \phi$ -- кэлерова форма.
\ез



%\задача
%Пусть $f$ -- непрерывная функция на комплексном
%многообразии, голоморфная в открытом, плотном
%подмножестве. Докажите, что $f$ дифференцируема
%(а следовательно, голоморфна).
%\ез




\subsection{Топология кэлеровых многообразий}


\задача
Пусть $M=S^3\times S^3\times S^2\times S^1 \times S^1$. Докажите, что $M$
не допускает кэлеровой структуры.
\ез

\задача
Пусть $M=S^4\times S^2\times S^1 \times S^1$. Докажите, что $M$
не допускает кэлеровой структуры.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- кэлерово многообразие,
а его алгебра когомологий изоморфна алгебре Грассмана
с образующими $x_1, x_2, x_3, x_4$ степеней $d_1, d_2, d_3, d_4$.
Докажите, что $d_i=1$ для всех $i$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- кэлерово многообразие, 
гомеоморфное произведению сфер размерности
$d_1, ..., d_n$, причем все $d_i >1$. 
Докажите, что $d_i=2$ для всех $i$.
\ез


\subsection{Алгебры суперсимметрий}


\задача
Пусть $(M, I, \omega)$ -- почти комплексное эрмитово
многообразие, причем $d\omega=0$. Найдите размерность 
супералгебры Ли, порожденной $L, \Lambda, d$, где
$L(\eta) = \omega\wedge \eta$, а $\Lambda = *L*$,
и опишите эту супералгебру.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- кэлерово многообразие, 
$\goth a$ -- супералгебра суперсимметрий 
$M$.\footnote{Это супералгебра Ли размерности $(5|4)$, порожденная
оператором Вейля, операторами Ходжа и дифференциалом
де Рама.} Найдите размерность супералгебры, 
порожденной $\goth a$ и оператором $dd^c$,
и опишите эту супералгебру.
\ез

\задача
Пусть $(M,I, \omega)$ -- комплексное эрмитово многообразие.
Докажите, что $[L, d^*]$ дифференцирование, или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $(M,I, \omega)$ -- комплексное эрмитово многообразие.
Докажите, что  $\{\Lambda,[\Lambda, d]\}=0$, или найдите контрпример.
\ез

\end{document}