\documentclass[12pt]{article}

%\addtolength{\topmargin}{-20mm}
%\addtolength{\textheight}{40mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-15mm}
%\addtolength{\textwidth}{30mm}

\input{defs-listki.tex}

% version 1.0, 05.02.2014
% version 1.1, 08.02.2014 размерность 2 в задачах 5, 6
% version 1.2, 08.02.2014 2-транзитивность же!


\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   08.02.2014}

\newcommand{\firstdate}{07.02.2014}

\begin{document}

\listok{1}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ тест 1}
\lhead{\small Комплексная алгебраическая геометрия, тест 1}

{\scriptsize
Число очков за это задание вычисляется по формуле
$b=[4/3 s]$, где $s$ равно сумме баллов за задачи.
Решение письменное, сдается до 15:20 пятницы, 7 февраля.
Пожалуйста, сформулируйте (не опуская деталей) все 
нетривиальные теоремы, которыми вы пользуетесь, и укажите ссылку 
либо набросок доказательства.
Успешно учащиеся студенты должны получать
по 10 баллов в неделю, во избежание
пересдач и других эксцессов.
}

\subsection{Топология}

\задача[1 балл]
Пусть $B$ -- трехмерное ориентируемое векторное расслоение.
Докажите, что $\Sym^2 B$ тоже ориентируемо.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $B$ -- четырехмерное ориентируемое векторное расслоение.
Докажите, что $\Sym^2 B$ тоже ориентируемо.
\ез


\задача[1 балл]
Пусть $Z\subset \R^n$ -- счетное подмножество.
Постройте функцию $\mu:\; \R^n \arrow \R$,
непрерывную в $\R^n\backslash Z$ и разрывную в $Z$.
\ез

\задача[4 балла]
Пусть $Z\subset \R^n$ -- плотное, счетное подмножество.
Постройте функцию $\mu:\; \R^n \arrow \R$,
разрывную в $\R^n\backslash Z$ и непрерывную в $Z$,
или докажите, что ее не бывает.
\ез

\subsection{Дифференциальная геометрия}

\задача
\енум
\итем[1 балл]
Пусть $M$ -- компактное ориентированное двумерное риманово многообразие
нулевой кривизны. Докажите, что $M$ -- двумерный тор.
\итем[1 балл] Пусть $M$ -- компактное неориентированное двумерное
риманово многообразие
нулевой кривизны. Докажите, что $M$ -- бутылка Клейна.
\ее
\ез

\задача
Риманово многообразие $M$ называется {\бф симметрическим пространством},
если его группа изометрий транзитивна и 
содержит инволюцию, которая действует как -1 на касательном пространстве
к неподвижной точке.
\енум
\итем[1 балл] Пусть $M=SO(p,q)/SO(p)\times SO(q)$ -- 
грассманово многообразие $p$-мерных положительных плоскостей в 
векторном пространстве сигнатуры $(p,q)$. Постройте на $M$ 
$SO(p,q)$-инвариантную риманову метрику.
\итем[1 балл] 
Докажите, что $M=SO(p,q)/SO(p)\times SO(q)$ с такой метрикой 
-- симметрическое пространство.
\ее
\ез

\задача[4 балла]
Пусть $X,Y$ -- симметрические пространства,
такие, что группа изометрий действует транзитивно
на пространстве единичных касательных векторов.
Предположим, что их произведение обладает таким же свойством.
Докажите, что $X$ и $Y$ {\бф плоские}, то есть
их тензор кривизны равен нулю.
\ез



\subsection{Комплексный анализ}

\задача[1 балл]
Пусть $Z\subset \C$ -- конечное подмножество,
а $f$ -- ограниченная голоморфная функция на $\C\backslash Z$.
Докажите, что $f$ -- константа, или найдите контпример.
\ез

\задача[2 баллa]
Пусть $Z\subset (\R\backslash\Q) \subset \C$ -- компактное подмножество,
а $f$ -- ограниченная голоморфная функция на $\C\backslash Z$.
Докажите, что $f$ -- константа, или найдите контпример.
\ез

\задача[2 балла]
Пусть $f$ -- голоморфная функция на диске в $\C$,
которая непрерывно продолжается на его границу,
и вещественна там. Докажите, что $f$ -- константа,
или найдите контрпример.
\ез

\определение
Пусть $f$ -- голоморфная функция на подмножестве $\C$.
Напомню, что $g$ называется {\бф антипроизводной $f$}, 
если $g'=f$.
\ео

\задача[1 балл]
Пусть $P(t)$ -- полином третьей степени с вещественными коэффициентами,
все корни которого располагаются на вещественной прямой.
Докажите, что функция $f:=\sqrt{P(t)}$ 
корректно (с точностью до знака) определена на верхней полуплоскости.
Докажите, что антипроизводная $f$ переводит верхнюю полуплоскость
в прямоугольник.
\ез

\end{document}
 
