\documentclass[12pt]{article}

%version 1.0, 15.05.2014, получено из листка 17 за 2011
%version 1.1, 29.06.2014, popravil paru zadach

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   29.06.2014}
\newcommand{\firstdate}{30.05.2014}

\newcommand{\MA}{\operatorname{\sf MA}}
\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{13}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 13:
ростки подмногообразий}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 13}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



\задача
Назовем точку $z\in Z$ комплексно-аналитического
подмножества $Z\subset M$ {\бф гладкой}, если
в какой-то окрестности $z$, $Z$ биголоморфно шару.
Докажите, что у любого комплексно-аналитического
подмножества есть гладкие точки.
\ез


\задача
Пусть $Z\subset M$ -- 
комплексно-аналитическое подмножество,
а $Z_{sing}\subset Z$ -- множество особых
точек $Z$. Докажите, что $Z_{sing}$ -- тоже
комплексно-аналитическое подмножество.
\ез

\задача
Предположим, что $Z\subset M$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое подмножество. Докажите, что
$Z \backslash Z_{sing}$ линейно связно.
\ез


\задача
Пусть $Z\subset M$ -- неприводимое
комплексно-аналитическое подмножество,
а $x,y$ -- гладкие точки. Докажите, что
размерность $Z$ в окрестности $x$ такая
же, как размерность $y$.
\ез

\задача
Пусть $Z\ni x$ -- росток неприводимого комплексно-аналитического
подмножества $M$ в точке $x\in M$, а $k$ -- коразмерность
$Z$ в гладких точках. Докажите, что $Z$ -- одна из неприводимых
компонент ростка комплексно-аналитического
подмножества, заданного $k$ уравнениями (``полного пересечения'').
\ез

\задача
Пусть $V\subset \C^n$ -- росток комплексно-аналитического
подмножества в 0, заданного $k <n$ уравнениями. Докажите, что
есть росток голоморфного отображения $\C^n \arrow \C^k$,
которое сюрьективно отображает $V$ на росток $\C^k$ в 0.
\ез

\задача
Пусть $Z\subset \C^n$ -- компактное
комплексно-аналитическое
подмножество. Докажите, что $Z$ конечно.
\ез



\end{document}