\documentclass[10pt]{article}

%version 1.0, 15.05.2014, 
%version 1.1, 10.06.2014, dobavil polnotu (Shabalin ubedil menya, chto nado)
%version 1.2, 12.06.2014, ochepyatka vo vtoroj zadache

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   12.06.2014}
\newcommand{\firstdate}{23.05.2014}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{12}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 12:
подготовительная теорема Вейерштрасса}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 12}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


%\задача
%Пусть $M$ -- связное комплексное многообразие,
%допускающее непостоянную голоморфную функцию,
%а $R$ -- кольцо голоморфных функций на $M$.
%Докажите, что $R$ не нетерово.
%\ез

%\задача
%Пусть $R$ -- кольцо голоморфных функций $f$ на 
%$\C$ таких, что $\frac {|f(z)|}{e^{A|z|}}< C$.
%для какого-то $A\in \R$. Докажите, что $R$
%нетерово, или найдите контрпример.
%\ез 

%\задача
%Пусть $f$ -- голоморфная функция на гладком
%комплексном многообразии $M$, а $V(f)$ ее множество 
%нулей. Докажите, что для каждой точки $z\in V(f)$, есть
%окрестность $U\ni z$ такая, что пересечение $V(f)\cap U$
%связно.
%\ез

\определение
Локальное кольцо есть кольцо, у которого есть единственный
максимальный идеал $\goth m$. Локальное кольцо $R$ называется {\бф полным},
если для любой согласованной последовательности элементов
$r_i \in R/{\goth m}^i$ найдется $r\in R$ такой, что
$r=r_i \mod {\goth m}^i$.
\ео

\определение
Пусть $(R, \goth m)$ -- локальное кольцо, а $R[[t]]$ --
кольцо степенных рядов над $R$. Элемент
$r=\sum r_i t^i \in R[[t]]$ называется {\бф регулярным степени $k$},
если $r_k \notin \goth m$, а $r_0, ..., r_{k-1}\in \goth m$.
Говорится, что в локальном кольце $R_1$, $R[t]\subset R_1 \subset R[[t]]$ 
{\бф выполнена подготовительная теорема
Вейерштрасса}, если каждый регулярный элемент $R_1$ выражается
как произведение полинома $P\in R[t]$ и обратимого элемента
$u\in R_1$.
\ео

%\задача
%$(R, \goth m)$ -- локальное кольцо без делителей нуля, $R[[t]]$ --
%кольцо степенных рядов над $R$, a $r\in R[[t]]$
%регулярный степени $k$. Обозначим за $V\subset R[t]$
%пространство полиномов степени меньше $k$. Докажите,
%что $V= R[[t]]/(r)$, где $(r)$ есть идеал, порожденный $r$.
%\ез
%
%\указание Воспользуйтесь леммой Накаямы.
%\еу

\задача 
(теорема Вейерштрасса о делении).
Предположим, что
в локальном кольце 
$R_1$ выполнена подготовительная теорема Вейерштрасса,
$R[t]\subset R_1\subset R[[t]$. 
Пусть $(R, \goth m)$ -- полное локальное кольцо, а $r\in R_1$ --
регулярный элемент степени $m$. Докажите, что 
каждое $f\in R_1$ можно представить в виде
$f=qr+p$, где $q\in R_1$, а $p\in R[t]$ полином 
степени $<m$.
\ез

\задача
Пусть $(R, \goth m)$ -- локальное кольцо, а в $R_1$
верна теорема Вейерштрасса о делении,
$R[t]\subset R_1\subset R[[t]$. Докажите, что
в $R_1$ верна подготовительная теорема Вейерштрасса.
\ез

\указание
Запишите $t^m=qr + p$, где $p\in R[t]$,
и докажите, что $q$ обратимо.
\еу

\задача
Пусть $r\in R[[t]]$ -- регулярный элемент степени $n$, $r=\sum a_i t^i$.
Докажите, что $r=ur_1$, где $u$ обратим, а $r_1 = t^n \mod \goth m$.
\ез

\указание
Пусть $r= \sum_{i=0}^\infty t^i a_i$, а $R:= \sum_{i=k}^\infty t^{i-k} a_i$.
Докажите, что $R$ обратимо, а $rR^{-1}=t^n \mod \goth m$.
\еу


\задача
Пусть $(R, \goth m)$ -- полное локальное кольцо, а $r\in R[[t]]$
регулярный элемент, удовлетворяющий $r=t^k\mod {\goth m}$.
Докажите, что $r=pu$, где $p\in R[t]$ полином степени $k$, а 
$u\in R[[t]]$ обратим.
\ез

\указание
Записав $r= \sum t^i a_i$, $u^{-1}=\sum t^i u_i$, 
получим $ru^{-1}= \sum_{l=0}^\infty \sum_{i=0}^l u_i a_{l-i}t^l$.
Решите систему линейных уравнений $\sum_{i=0}^l u_i a_{l-i}=0$,
$l=k+1, k+2, ...$, воспользовавшись тем, что 
определитель соответствующей матрицы невырожден по модую $\goth m$.
\еу

\задача Пусть $R$ -- полное локальное кольцо. Докажите, что
в $R_1= R[[t]]$ верна  подготовительная теорема Вейерштрасса.
\ез

\указание
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\еу


\задача
Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ..., t_n]]$ нетерово.
\ез

\задача
Докажите, что кольцо $\C[[t_1, ..., t_n]]$ факториально.
\ез


\end{document}