\documentclass[10pt]{article}

%version 1.0, 15.05.2014, 
%version 1.1, 10.06.2014, dobavil polnotu (Shabalin ubedil menya, chto nado)
%version 1.2, 12.06.2014, ochepyatka vo vtoroj zadache

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   12.06.2014}
\newcommand{\firstdate}{23.05.2014}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{12}{����������� �������������� ���������,\\ ������ 12:
���������������� ������� ������������}
\lhead{\small ����������� ������������, ������ 12}

{\scriptsize
{\�� �������:} 
���� ����� ������ 1/3 �����, ������� ��������
$4t$ ������, ���� ������ 2/3 �����, $10t$ ������, ���� 
���, ����� ����� -- $15t$ ������.

��� ���� ������ �� ������������, �� ����
������ $10t$ �� �������� �������� ������.

����������� $t$ ����� 1.5, ���� ������ �����
�� �����, ��� ����� 20 ���� ����� ������,
1, ���� ����� 20 � 35 �����, � 0.7, ���� �����.

���������� ����� ������������ �� ������
���������, ������� �������� ��������, � �� ����
������� �� ��������� ������������� ������
�� �����.}


%\������
%����� $M$ -- ������� ����������� ������������,
%����������� ������������ ����������� �������,
%� $R$ -- ������ ����������� ������� �� $M$.
%��������, ��� $R$ �� ��������.
%\��

%\������
%����� $R$ -- ������ ����������� ������� $f$ �� 
%$\C$ �����, ��� $\frac {|f(z)|}{e^{A|z|}}< C$.
%��� ������-�� $A\in \R$. ��������, ��� $R$
%��������, ��� ������� �����������.
%\�� 

%\������
%����� $f$ -- ����������� ������� �� �������
%����������� ������������ $M$, � $V(f)$ �� ��������� 
%�����. ��������, ��� ��� ������ ����� $z\in V(f)$, ����
%����������� $U\ni z$ �����, ��� ����������� $V(f)\cap U$
%������.
%\��

\�����������
��������� ������ ���� ������, � �������� ���� ������������
������������ ����� $\goth m$. ��������� ������ $R$ ���������� {\�� ������},
���� ��� ����� ������������� ������������������ ���������
$r_i \in R/{\goth m}^i$ �������� $r\in R$ �����, ���
$r=r_i \mod {\goth m}^i$.
\��

\�����������
����� $(R, \goth m)$ -- ��������� ������, � $R[[t]]$ --
������ ��������� ����� ��� $R$. �������
$r=\sum r_i t^i \in R[[t]]$ ���������� {\�� ���������� ������� $k$},
���� $r_k \notin \goth m$, � $r_0, ..., r_{k-1}\in \goth m$.
���������, ��� � ��������� ������ $R_1$, $R[t]\subset R_1 \subset R[[t]]$ 
{\�� ��������� ���������������� �������
������������}, ���� ������ ���������� ������� $R_1$ ����������
��� ������������ �������� $P\in R[t]$ � ���������� ��������
$u\in R_1$.
\��

%\������
%$(R, \goth m)$ -- ��������� ������ ��� ��������� ����, $R[[t]]$ --
%������ ��������� ����� ��� $R$, a $r\in R[[t]]$
%���������� ������� $k$. ��������� �� $V\subset R[t]$
%������������ ��������� ������� ������ $k$. ��������,
%��� $V= R[[t]]/(r)$, ��� $(r)$ ���� �����, ����������� $r$.
%\��
%
%\�������� �������������� ������ �������.
%\��

\������ 
(������� ������������ � �������).
�����������, ���
� ��������� ������ 
$R_1$ ��������� ���������������� ������� ������������,
$R[t]\subset R_1\subset R[[t]$. 
����� $(R, \goth m)$ -- ������ ��������� ������, � $r\in R_1$ --
���������� ������� ������� $m$. ��������, ��� 
������ $f\in R_1$ ����� ����������� � ����
$f=qr+p$, ��� $q\in R_1$, � $p\in R[t]$ ������� 
������� $<m$.
\��

\������
����� $(R, \goth m)$ -- ��������� ������, � � $R_1$
����� ������� ������������ � �������,
$R[t]\subset R_1\subset R[[t]$. ��������, ���
� $R_1$ ����� ���������������� ������� ������������.
\��

\��������
�������� $t^m=qr + p$, ��� $p\in R[t]$,
� ��������, ��� $q$ ��������.
\��

\������
����� $r\in R[[t]]$ -- ���������� ������� ������� $n$, $r=\sum a_i t^i$.
��������, ��� $r=ur_1$, ��� $u$ �������, � $r_1 = t^n \mod \goth m$.
\��

\��������
����� $r= \sum_{i=0}^\infty t^i a_i$, � $R:= \sum_{i=k}^\infty t^{i-k} a_i$.
��������, ��� $R$ ��������, � $rR^{-1}=t^n \mod \goth m$.
\��


\������
����� $(R, \goth m)$ -- ������ ��������� ������, � $r\in R[[t]]$
���������� �������, ��������������� $r=t^k\mod {\goth m}$.
��������, ��� $r=pu$, ��� $p\in R[t]$ ������� ������� $k$, � 
$u\in R[[t]]$ �������.
\��

\��������
������� $r= \sum t^i a_i$, $u^{-1}=\sum t^i u_i$, 
������� $ru^{-1}= \sum_{l=0}^\infty \sum_{i=0}^l u_i a_{l-i}t^l$.
������ ������� �������� ��������� $\sum_{i=0}^l u_i a_{l-i}=0$,
$l=k+1, k+2, ...$, ���������������� ���, ��� 
������������ ��������������� ������� ���������� �� ����� $\goth m$.
\��

\������ ����� $R$ -- ������ ��������� ������. ��������, ���
� $R_1= R[[t]]$ �����  ���������������� ������� ������������.
\��

\��������
�������������� ���������� �������.
\��


\������
��������, ��� ������ $\C[[t_1, ..., t_n]]$ ��������.
\��

\������
��������, ��� ������ $\C[[t_1, ..., t_n]]$ ������������.
\��


\end{document}
