\documentclass[12pt]{article}

%version 1.0, 15.05.2014
%version 1.1, 23.05.2014 Kompaktnost' v pervoj zadache (spasibo Goninu).
%version 1.2, 27.05.2014 Znak vo vtoroj zadache (spasibo Goninu).
%version 1.3, 30.05.2014 zamonutaya v poslednej (Gonin)

\newcommand{\version}{version 1.3,\ \   30.05.2014}
\newcommand{\firstdate}{16.05.2014}

\newcommand{\MA}{\operatorname{\sf MA}}
\addtolength{\topmargin}{-7mm}
\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{11}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 11:
многообразия Калаби-Яу}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 11}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



\задача
Пусть $\phi$ -- 
решение уравнения Монжа-Ампера 
$\frac{(\omega+ dd^c \phi)^n}{\omega^n}= A e^f$
на компактном кэлеровом многообразии $(M,\omega)$, с ненулевой константой $A$.
Докажите, что форма $\omega+ dd^c \phi$ кэлерова.
\ез


\задача
Обозначим за 
$\MA(\phi)$ функционал
$\MA(\phi):= \log\frac{(\omega+ dd^c \phi)^n}{\omega^n}$.
Докажите, что на компактном кэлеровом многообразии любое решение
уравнения $\MA(\phi) = f+\phi$,  удовлетворяет
$\phi < 1- \min(f)$.
\ез


\определение
{\бф Сильно положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма,
полученная как линейная комбинация произведений неотрицательно
определенных эрмитовых форм с положительными коэффициентами,
{\бф слабо положительная форма} есть вещественная $(p,p)$-форма, 
удовлетворяющая
$\eta(\zeta_1, I(\zeta_1), ..., \zeta_{k}, I(\zeta_{k}))\geq 0$
для любого набора из $k$ векторов $\zeta_i \in TM$.
\ео

\задача
Докажите, что любая
сильно положительная форма слабо положительна.
\ез

\задача
Докажите, что произведение слабо положительной и сильно
положительной формы слабо положительно.
\ез

%\определение
%Пусть $V$ -- векторное пространство, а $K\subset V$ выпуклый конус,
%т.е. выпуклое подмножество, которое сохраняется гомотетиями
%с положительным коэффициентом, а $g:\; V\times V'\arrow \R$ --
%невырожденное спаривание. Конус $K'\subset V'$ называется
%{\бф двойственным} к $K$, если 
%\[ x\in K \Leftrightarrow \forall y \in K',\ \  g(x,y) \geq 0
%\]
%\ео
%
%\задача
%Пусть $K$ -- открытый конус. Всегда ли двойственный к нему конус открыт?
%\ез


\задача
Пусть $M$ -- компактное комплексное многообразие
Рассмотрим спаривание $\Lambda^{p,p}M \times \Lambda^{n-p,n-p}M$,
$\alpha, \beta \arrow \int_M\alpha\wedge\beta$.
Докажите, что конус слабо положительных форм - двойственный к 
конусу сильно положительных.
\ез

%\задача
%Пусть $\dim_\C M=3$. Докажите, что любая
%слабо положительная форма на $M$ сильно
%положительна.
%\ез

\задача
Найдите слабо положительную (2,2)-форму на 4-мерном
комплексном многообразии, которая не сильно положительна.
\ез

\задача
Пусть $P$ -- строго сильно положительная замкнутая $(p,p)$-форма 
(то есть форма, лежащая во внутренности конуса сильно
положительных форм) на компактном кэлеровом многообразии,
а $f$ -- функция, такая, что $dd^c f\wedge P=0$. Докажите, что 
$f$ -- константа.
\ез


\end{document}