\documentclass[12pt]{article}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.04.2014}
\newcommand{\firstdate}{25.04.2014}


%\addtolength{\topmargin}{-7mm}
%\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{10}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 10:
плюрисубгармонические функции}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 10}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}



\определение
{\бф Плюрисубгармоническая функция}
это вещественнозначная функция на 
комплексном многообразии, такая, что
$dd^c f$ есть неотрицательно определенная
эрмитова форма.
\ео

\задача
Пусть $f$ -- плюрисубгармоническая функция.
Докажите, что $f^2$ тоже плюрисубгармонична,
или найдите контрпример.
\ез

\задача
Пусть $f, g$ -- голоморфные функции, не имеющие общих нулей.
Докажите, что $\log(|f|^2+|g|^2)$ плюрисубгармонична.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- строго плюрисубгармоническая функция
на комплексном многообразии. Докажите, что $f$ не может иметь
строгих максимумов.
\ез

\задача 
Пусть $L$ -- положительное линейное расслоение
на компактном кэлеровом многообразии $M$, а $f$ --
голоморфное сечение $L$, зануляющееся в $Z$. 
Докажите, что  $|f|^{-1}$ плюрисубгармонична 
на $M \backslash Z$.
\ез


\задача
Пусть $f$ -- плюрисубгармоническая функция
на комплексном многообразии.
Докажите, что у $f$ нет
локальных максимумов.
\ез


\задача
Пусть $L$ -- нетривиальное
голоморфное линейное эрмитово расслоение на
компактном комплексном многообразии
а $-\1\Theta$ -- кривизна связности Черна. Предположим, что $\Theta \leq 0$,
то есть все собственные значения $\Theta$ неположительны.
Докажите, что у $L$ нет голоморфных сечений.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- голоморфное эрмитово расслоение
на компактном комплексном многообразии, $\nabla$ -- связность Черна,
а $b$ -- голоморфное сечение $B$. Предположим, что кривизна
$\nabla$ равна нулю. Докажите, что
$\nabla b=0$.
\ез



\end{document}