\documentclass[12pt]{article}

% iskhodnik: version 1.0, 21.11.2010
% version 1.0, 04.04.2014 
% version 1.1, 12.06.2014 dobawil kompaktnostj v poslednej zadache

\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   12.06.2014}
\newcommand{\firstdate}{18.04.2014}


\addtolength{\topmargin}{-15mm}
\addtolength{\textheight}{30mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-10mm}
%\addtolength{\textwidth}{20mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{9}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 9:
голоморфные расслоения}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 9}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}




\определение
Связность называется {\бф совместимой с голоморфной структурой}, 
если $\nabla^{0,1}=\bar\6$.
\ео

\задача
Пусть $B$ -- голоморфное расслоение,
а $\nabla$ -- связность, совместимая с голоморфной
структурой, причем $\nabla(b)$ голоморфно для любого
голоморфного $b$. Докажите, что кривизна $\nabla$ -- (2,0)-форма.
\ез

\замечание
В терминологии Атьи, такая связность называется
{\бф голоморфной}.\footnote{Иногда люди называют "голоморфной"
связность, совместимую с голоморфной структурой.}
\еза

\задача
Пусть $\nabla$ -- связность на голоморфном расслоении,
совместимая с голоморфной структурой, причем
ее кривизна -- (2,0)-форма.
Докажите, что это голоморфная связность.
\ез

\задача
Пусть $L$ - линейное расслоение
на компактном кэлеровом многообразии, допускающее
голоморфную связность с кривизной $\Theta$.
Докажите, что $\Theta=0$.
\ез

%\задача
%Пусть $L$ -- линейное расслоение на компактном
%комплексном многообразии $M$, причем $c_1(L)=0$.
%Всегда ли найдется плоская эрмитова
%связность на $L$? А плоская связность,
%согласованная с голоморфной структурой?
%А если $M$ кэлерово?
%\ез


\задача
Пусть $(L,h)$ - голоморфное линейное эрмитово
расслоение, причем соответствующая связность Черна
плоская.  Докажите, что $h$ однозначно с точностью до
константы задается голоморфной структурой на $L$.
\ез

\задача
Пусть $B$ -- 
одномерное вещественное расслоение на $M$, снабженное связностью
$\nabla$ такой, что ее кривизна $\Theta_\nabla$ имеет тип $(1,1)$.
\енум
\итем Докажите, что $\bar\6:=\nabla^{0,1}$ задает на $B_\C:= B\otimes_\R \C$
голоморфную структуру. 
\итем Пусть $B$ ориентируемо. Может ли $(B_\C,\bar\6)$ быть нетривиально
как голоморфное расслоение?
\итем Пусть $B$ неориентируемо, а $M$ 
компактно. Может ли $(B_\C, \bar\6)$ быть тривиально
как голоморфное расслоение?
\ее
\ез



\end{document}