\documentclass[12pt]{article}

% v. 1.0, iskhodnik: version 2.0, 08.11.2010
% version 1.0, 04.04.2014 

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   04.04.2014}
\newcommand{\firstdate}{11.04.2014}


%\addtolength{\topmargin}{-7mm}
%\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{8}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 8:
когомологии Дольбо}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 8}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}




\задача
\енум \итем
Докажите, что на римановом многообразии
лапласиан $C^\infty M \stackrel \Delta \arrow C^\infty M$
задает сюрьективное отображение пучков.
\итем Вычислите
группу $i$-х когомологий, $i>0$, пучка гармонических
функций.
 \итем
Докажите, что на римановом многообразии
лапласиан $\Lambda^i M \stackrel \Delta \arrow \Lambda^i M$
задает сюрьективное отображение пучков.
\ее
\ез

%\задача
%Докажите, что группа $i$-х когомологий, $i>0$, пучка замкнутых $(1,1)$-форм
%изоморфна $H^{i-1}(\calo_M) \oplus \overline{H^{i-1}(\calo_M)}$,
%где $\overline{H^{i-1}(\calo_M)}$ обозначает комплексное сопряжение.
%\ез

\задача
Пусть ${\cal W}$ -- пучок замкнутых (1,1)-форм на 
комплексном многообразии. Постройте точную последовательность
\[
0\arrow \calo_M\oplus \overline{\calo_M}\arrow C^\infty M\oplus C^\infty M
\arrow {\cal W}\arrow 0.
\]
Докажите, что когомологии ${\cal W}$ конечномерны, если
$M$ компактно и кэлерово.
\ез


%\задача
%Пучок ${\cal F}$ на $M$ называется {\бф мягким}, если для каждого 
%замкнутого подмножества $Z \subset M$, и каждого ростка
%$v\in{\cal F}\restrict Z$ над $Z$, $v$ продолжается до
%глобального сечения. Докажите, что на компактном
%многообразии, любой мягкий пучок -- тонкий, и наоборот.
%\ез

\def\Ham{\operatorname{Ham}}

\задача
Векторное поле $v$ на симплектическом многообразии
$(M,\omega)$ называется {\бф гамильтоновым}, если
$\Lie_v\omega=0$. Докажите, что для $i\geq 1$, 
имеет место изоморфизм $H^i(\Ham М)\cong H^{i+1}(M)$
где $\Ham M$ обозначает пучок гамильтоновых векторных
полей. 
\ез

\задача
Докажите, что на одномерном комплексном многообразии
вторые когомологии пучка мероморфных функций (по сложению) равны нулю.
\ез

\задача
Пучок ${\cal F}$ на $M$ называется {\бф вялым}, если
отображение ограничения \[ \Gamma_M({\cal F})\arrow \Gamma_U({\cal F})\]
сюрьективно для каждого открытого $U$. Докажите, что любой
пучок вкладывается в вялый пучок.
\ез

%\задача
%(теорема Кодаиры о стабильности)
%Пусть $(M,I,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие.
%Обозначим за $d_{C^1}$ $C^1$-метрику на пространстве
%тензоров $\nu \in \End(TM)$.
%Докажите, что существует $\epsilon >0$ такой, что
%для любой комплексной структуры $I'$ с $d_{C^1}(I,I') < \epsilon$, 
%$(M,I')$ тоже допускает кэлерову структуру.
%\ез





\end{document}
