\documentclass[12pt]{article}

% v. 1.0, iskhodnik: version 1.1, 01.11.2010
% version 1.0, 04.04.2014
% version 2.0, 16.04.2014 дд^ц-лемму упростил, поправил ошибку
% в старой версии были некоторые задачи по ошибке
% версион 2.1 номер задач поменял

\newcommand{\version}{version 2.1,\ \   17.04.2014}
\newcommand{\firstdate}{04.04.2014}


%\addtolength{\topmargin}{-7mm}
%\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{7}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 7:
потоки и когомологии}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 7}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


\задача
Пусть $\eta$ -- замкнутый поток на шаре в $\R^n$. Докажите,
что $\eta$ точен.
\ез

\задача
(``Ядро Ньютона'')
Пусть $Х$ есть $\R^n$, с плоской метрикой. Определим
обобщенную функцию $N$ на $X$ формулой 
\[ N(x):=\begin{cases}\frac 1 {2\pi} \log |x|, & \text{\ если\ $n=2$}\\
- \frac 1 {(n-2) \sigma_{n-1}}|x|^{2-n}, & \text{\ если\
$n\neq 2$}
\end{cases}
\]
где $\sigma_{n-1}$ -- объем $n$-мерной сферы.
Докажите, что $\Delta(N) = \delta_0$, где $\Delta$ есть
стандартный оператор Лапласа, а $\delta_0$ --
дельта-функция в нуле.
\ез

\задача
(локальная $dd^c$-лемма).
Пусть $\eta$ есть $(1,1)$-форма он $\C^n$, которая
замкнута.
%причем $p, q \geq 1$. 
Докажите, что
$\eta = dd^c \alpha$.
\ез

\задача
Пусть $dd^cf=0$, где $f$ -- функция на комплексном многообразии.
Докажите, что $f$ локально представляется как
 сумма голоморфной и антиголоморфной функции.
\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- замкнутая (1,1)-форма с компактным носителем на 
$\C^n$, $n>1$. Докажите, что $\eta= dd^c f$, где $f$ -- функция 
с компактным носителем.
\ез

\задача
Пусть $f$ -- непрерывная функция на комплексном
многообразии $M$, голоморфная в открытом, плотном
подмножестве $U\subset M$. Докажите, что $f$
голоморфна.
\ез


\задача
Рассмотрим отображение Лапласа на 
гладких функциях на многообразии с краем:
$\Delta:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$.
Докажите, что оно сюрьективно.
\ез


%\задача
%Постройте голоморфную функцию $f$ на открытом шаре $B \subset \C^n$,
%такую, что $f$ не продолжается голоморфно ни на какое
%открытое подмножество $B' \supset B$.
%\ез


%\задача
%Определим {\бф когомологии Ботта-Черна}
%$H^{1,1}_{BC}(M)$ как группу замкнутых $(1,1)$-форм по модулю
%образа $dd^c$. На произвольном комплексном
%многообразии постройте точную последовательность
%\[
%H^0(\Omega^1(M)) \oplus \overline{H^0(\Omega^1(M))} \arrow
%H^1({\cal O}_M) \oplus \overline{H^1({\cal O}_M)} \arrow
%H^{1,1}_{BC}(M) \arrow H^2(M)
%\]
%Здесь $H^0(\Omega^1(M))$ -- глобальные 1-формы,
%$H^1({\cal O}_M)$ -- когомологии пучка голоморфных функций, а
%$\overline{\cdots}$ обозначает комплексно-сопряженное
%векторное пространство.
%\ез

\end{document}
