\documentclass[12pt]{article}

% version 1.0, 11.02.2014 

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   11.02.2014}
\newcommand{\firstdate}{21.03.2014}


%\addtolength{\topmargin}{-7mm}
%\addtolength{\textheight}{15mm}
%\addtolength{\oddsidemargin}{-7mm}
%\addtolength{\textwidth}{15mm}

\input{defs-listki.tex}

\begin{document}

\listok{6}{Комплексная алгебраическая геометрия,\\ листок 6:
гармонические формы и оператор Лапласа}
\lhead{\small Комплексные многообразия, листок 6}

{\scriptsize
{\бф Правила:} 
Если сдано больше 1/3 задач, студент получает
$4t$ баллов, если больше 2/3 задач, $10t$ баллов, если 
все, кроме одной -- $15t$ баллов.

Эти виды оценок не складываются, то есть
больше $10t$ за листочек получить нельзя.

Коэффициент $t$ равен 1.5, если задачи сданы
не позже, чем через 20 дней после выдачи,
1, если между 20 и 35 днями, и 0.7, если позже.

Результаты сдачи записываются на листке
ведомости, которая выдается студенту, и ее надо
хранить до получения окончательных оценок
по курсу.}


\задача 
Пусть $M$ -- компактная кэлерова поверхность
(многообразие комплексной размерности 2). {\бф Сигнатура}
четырехмерного многообразия $\sigma(M)$ есть сигнатура формы
пересечения на $H^2(M)$. Докажите, что
$\sigma(M)= 2 h^{2,0}(M) - h^{1,1} +2$,
где $h^{p,q}(M):=\dim H^{p,q}(M)$.
\ез


\задача
Пусть $F$ -- точная, голоморфная $p$-форма
на $p$-мерном компактном комплексном многообразии.
Докажите, что $F=0$.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактная комплексная поверхность
(не обязательно кэлерова).
Докажите, что все голоморфные формы 
на $M$ замкнуты.
\ез

%\задача
%Пусть $(M,I, \omega)$ -- почти комплексное $n$-мерное эрмитово
%многообразие, а $D:\; C^\infty M \arrow C^\infty M$
%-- дифференциальный оператор 
%второго порядка на функциях, заданный
%формулой \[ D(f)= \frac{dd^c (f\wedge \omega^{n-1})}{\omega^n}.\]
%Предположим, что $d(\omega^{n-1})=0$.
%Докажите, что $D$ пропорционален оператору Лапласа.
%\ез


\задача
Пусть $f$ -- голоморфная функция на кэлеровом многообразии. 
Докажите, что функция $\Delta |f|^2$ неотрицательна.
\ез

%\задача
%Пусть $f_i$ -- набор голоморфных
%функций на кэлеровом многообразии. 
%Докажите, что функция $\Delta (\log \sum |f_i|^2)$ 
%неотрицательна.
%\ез

\задача
Пусть $f$ -- гладкая функция с компактным носителем
на кэлеровом многообразии $(M,I,\omega)$ размерности $n$.
Докажите, что интеграл $\int_M f\wedge dd^c f \wedge \omega^{n-1}$
неположителен, и равен нулю только если $f=\const$.
\ез


%\задача
%Пусть $\eta$ -- $k$-форма на вещественном многообразии,
%$L_\eta(t):= \eta \wedge t$, а $\Lambda_\eta:= (-1)^{\deg\eta}*L_\eta*$
%-- сопряженный оператор. Докажите, что $\Lambda_\eta$
%имеет порядок $k$ как дифференциальный оператор на 
%алгебре де Рама.
%\ез

\задача
Пусть $\eta$ -- гладкая форма на шаре $B$ с краем,
с плоской метрикой, непрерывно продолжающаяся на край.
Докажите, что $\eta\in \im \Delta$ (лежит в образе
оператора Лапласа). Найдите когомологии комплекса
$(\ker \Delta, d)$.
\ез

\задача
Пусть $\theta$ -- точная, голоморфная 1-форма на 
односвязном компактном комплексном многообразии
(не обязательно кэлеровом). Докажите, что $\theta=0$.
\ез



\end{document}
 
